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1.4 正方形的性质与判定
复习回顾：
还记得正方形的定义吗 正方形与菱形有怎样的关系 与矩形呢
正方形的定义：
特殊四边形的关系：
思考·交流
(1)正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？
(2)你认为正方形有哪些特殊的性质？与同伴进行交流
由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.
相关图形性质的关系：
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分.
几何语言：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°
AB＝BC＝CD＝DA
AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
正方形的对称性：正方形既是轴对称图形(正方形有4条对称轴)，又是中心对称图形.
[例1]如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，F是BC延长线上的一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
尝试·交流
如图，四边形ABCD是正方形.
(1)在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件 试一试，并与同伴交流你画图的理由.
(2)请在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H 依次在正方形ABCD 的边AB，BC，CD，DA上，则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件 试一试，并与同伴交流你的思考过程.
随堂练习：
如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其
中一对进行证明.
如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A′，C′的位置，得到正方形A′BC′D.已知菱形 ABCD的面积为120cm2，正方形A′BC′D的面积为50cm2，求AC的长
满足什么条件的矩形是正方形 满足什么条件的菱形是正方形
定理：①有一组邻边相等的矩形是正方形
②对角线互相垂直的矩形是正方形
③有一个角是直角的菱形是正方形
④对角线相等的菱形是正方形
[例2]已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
尝试·思考
(1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想.
猜想：
证明：
已知：如图，点A1，B1，C1，D1分别是正方形ABCD各边的中点.
求证：四边形A1B1C1D1为正方形.
(2)以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
(3)以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？
原四 边形 四边形 菱形 矩形 平行四边形 正方形
原四边形 对角线 对角线不垂直，不相等 对角线不垂直， 不相等 对角线相等 对角线垂直 对角线相等且垂直
中点四边形
以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与四边形的对角线有关，新四边形的边平行且等于对角线的一半.
原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直
中点四边形形状
随堂练习：
证明：(1)对角线互相垂直的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
2.如图，任意画一个四边形，再以四边的中点为顶点画一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征 请证明你的结论，并与同伴进行交流.
习题1.4
[知识技能]
对角线长为2cm的正方形，其边长是多少？
如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，求∠AEB的度数.
已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：四边形AECF是菱形.
如图，点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH.试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论.
[数学理解]
如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD＝ QC，BP，AQ是两条直路.证明BP＝AQ，且BP⊥AQ.
[问题解决]
作两条直线，将正方形分成大小、形状完全相同的四部分.你有几种方法(至少说出三种)？
(1)如图(1)，四边形ABCD是正方形，点P在对角线BD上，连接AP，CP.线段AP与CP的长度有怎样的关系？如图(2)，如果点P在对角线BD的延长线上呢？请证明你的结论.
(2)你还可以提出什么问题？
(1) (2)
[联系拓广]
如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上的一点，且DE＝2，CE＝3DE.当点P在对角线AC上运动时，PD＋PE的最小值是多少？
如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
(1)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？请说明理由.
(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？请说明理由.参考答案
复习回顾：
正方形的定义： 有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫作正方形
思考·交流
①它具有矩形与菱形的所有性质；②正方形是特殊的矩形；③正方形是特殊的菱形；④正方形是特殊的平行四边形.
[例1]
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形.
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边都相等，四个角都是直角).
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF.
∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.
(2)延长BE交DF于点M，∵△BCE≌△DCF
∴∠CBE＝∠CDF
∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°
∴∠CBE＋∠F＝90°
∴∠BMF＝180°－(∠CBE＋∠F)＝180°－ 90°＝90°.∴BE⊥DF.
尝试·交流
(1) 连接正方形的对角线AC、BD. 作对角线AC的垂直平分线，在AC中取点E，F，使OE＝OF. 顺次连接A、E、C、F 四点，四边形AECF即为所求菱形.
(2)在正方形的边AB上任取一点E(不与端点重合). 在边BC上取点F，边CD上取点G，边DA上取点H， 使得AE＝BF＝CG＝DH. 顺次连接E、F、G、H四点，四边形EFGH即为所求菱形.
随堂练习：
解：图中的全等三角形共有3对，分别是△ADC与△ABC，△FCD与△FCB，△FAD 与 △FAB.
选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：
∵正方形 ABCD，∴AD＝AB，∠DAF＝∠BAF，
又∵AF＝AF，∴△FAD≌△FAB.
解：AC＝24cm.
[例2]
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形 BECF 是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB =∠DCB＝45°
∴∠EBC＝∠ECB.∴ EB＝EC.
∴□BECF是菱形(菱形的定义).
在△EBC 中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝180°－∠EBC －∠ECB＝180°－ 45°－ 45°＝90°.
∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
尝试·思考
(1)
猜想： 以四边形四边中点为顶点的四边形是正方形
证明：
证明：连接 AC、BD，
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD，
∵A1、D1分别为 AB、AD 的中点，∴A1D1∥BD，A1D1＝BD，
同理B1C1∥BD，B1C1＝BD，A1B1∥AC，A1B1＝AC，
∴A1D1＝B1C1，A1D1∥B1C1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形，
∵AC＝BD，∴A1B1＝B1C1，∴四边形A1B1C1D1是菱形，
∵AC⊥BD，A1D1∥BD，∴A1D1⊥AC，又A1B1∥AC，
∴A1D1⊥A1B1，∴四边形A1B1C1D1是正方形．
原四 边形 四边形 菱形 矩形 平行四边形 正方形
原四边形 对角线 对角线不垂直，不相等 对角线不垂直， 不相等 对角线相等 对角线垂直 对角线相等且垂直
中点四边形 平行四边形 矩形 菱形 平行四边形. 正方形
以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与四边形的对角线有关，新四边形的边平行且等于对角线的一半.
原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
随堂练习：
(1)已知：ABCD是矩形， AC⊥BD，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD是矩形，∴∠A＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，
又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD(SAS)，∴AB = AD，
∴ABCD是正方形(正方形的定义)
(2)已知：ABCD是菱形， ∠A＝90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB＝BC＝CD＝DA，
又∵∠A＝90°，∴ABCD是正方形(正方形的定义)
2.
任意四边形的中点四边形是平行四边形
习题1.4
[知识技能]
解：边长＝
解：∠AEB＝75°
证明：在正方形ABCD中，BE＝DF，
易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD ，
即CE＝AE＝AF＝FC，∴四边形AECF是菱形.
解：四边形 EFGH 是正方形.∵在正方形 ABCD 中，AE＝BF＝CG＝DH，
易证 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
即EH＝HG＝GF＝FE，且∠AHE＝∠DGH.
∵∠DGH＋∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°，∴四边形EFGH是正方形.
[数学理解]
证明：如图， AQ与BP交于点O.
在正方形ABCD中，∵PD＝QC， ∴DQ＝AP .
又∵AB＝AD ，∠D＝∠PAB＝90°，∴△ABP≌△DAQ.
∴BP＝AQ，∠DAQ＝∠ABP ．
∵∠ABP＋∠APB＝90°＝∠DAQ＋∠APB.
∴∠AOP＝90°.
∴BP＝AQ且BP⊥AQ．
[问题解决]
解：(1)∵ 四边形ABCD是正方形，在△ABP和△CBP中：
∴AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝45 ，且 BP＝BP(公共边).
∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴AP＝CP.
当点 P 在 BD 的延长线上时，同理可证△ABP≌△CBP(SAS)，
∴AP＝CP.
综上，无论点P在对角线BD上还是其延长线上，都有AP＝CP
[联系拓广]
解：PD＋PE的最小值是10.
解：(1)四边形ABCD的对角线AC＝BD；(2)四边形ABCD的对角线AC⊥BD.

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