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分课时教学设计
第8课时《2.4.1 行程、几何图形及动点问题 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 掌握列一元二次方程解决实际问题的方法。培养学生将实际问题向数学模型转化的能力，根据实际问题中蕴含的相等关系列一元二次方程，并应用它解决实际问题。
学习者分析 理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题。初步认识一元二次方程的应用价值，发展学生分析和解决问题的能力。
教学目标 1.掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性。 2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题。
教学重点 掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何等问题。建立一元二次方程模型。
教学难点 正确分析数学模型以解决平均变化率问题及行程（或动点）问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课 还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题。 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，掌握列一元二次方程解决实际问题的方法。环节二：新知探究 探究：利用一元二次方程解决行程（动点）问题 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m． 问题1：梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ 解：设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动x m，根据题意，得（8－x）2＋（6＋x）2=102，整理，得x2－2x=0，解得x1=0，x2=2.即梯子顶端下滑2 m． 问题2：如果梯子的长度是13 m，梯子顶端到地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 解：设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得（12－x）2＋（5＋x）2=132，整理，得x2－7x=0.解得x1=0（舍），x2=7.即梯子顶端下滑7 m时与梯子的底端滑动的距离相等。 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论。 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，通过独立思考,培养学生将实际问题向数学模型转化的能力，根据实际问题中蕴含的相等关系列一元二次方程，并应用它解决实际问题，体会数学建模的思想。环节三：典例精析 例1 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向 200 n mile 处有一目标B，在B的正东方向 200 n mile 处有一重要目标C. 小岛D位于AC 的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC的中点. 一艘军舰沿A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到0.1海里)？ 解：连接DF。 ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC 的中位线。 ∴DF∥AB ， 且DF=1/2AB。 ∵AB⊥BC，AB=BC=200 n mile， ∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile。 设相遇时补给船航行了x n mile， 那么DE=x n mile，AB+BE=2x n mile， EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile。 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x =100 +(300-2x) ， 整理，得3x -1 200x+100 000=0。 解这个方程，得x1=200-≈118.4， x2=200+(不合题意，舍去)。 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile。 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，通过建立问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，东西方向上有A，C两地相距10 km，甲以16 km/h的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12 km/h的速度从C地出发向正南方向前进，则最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6 km。 A. B. C. 1.5 D. 选做题 2.如图，在 △ACB 中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 21 cm。动点 P 从点 C 出发沿 CA 方向运动，动点 Q 同时从点 B 出发沿 BC 方向运动。如果动点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s，那么经过几秒它们相距 15 cm？ 【综合拓展类作业】 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速移动(到点C为止)，它们的速度都是1m/s。多少秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半
课堂总结 课堂小结，自我完善
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8 m，AD＝3 cm，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以2 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点D移动。请问当点P和点Q的距离是5 cm时，P，Q两点出发了(　　)秒。 A. 4 B. 或4 C. 或8 D. 选做题： 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？答：门高、宽和对角线的长分别是　　　　　尺。 【综合拓展类作业】 3.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动。P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm。 答案： 【课堂练习】 A 2.解：设 t s 后 P ，Q 两点相距 15 cm。 由题意有 t2＋(21－t)2 = 152， 解得 t1 = 9，t2 = 12。 所以，运动 9 s 或12 s 时，P ，Q 两点相距 15 cm。 3.解：设x秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半。 根据题意，得 (8-x)(6-x)=××8×6。 整理，得 x2-14x+24=0。 解这个方程，得 x1=2，x2=12(不合题意，舍去) 答：2秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半。 【作业设计】 B 2. 8，6，10 解　设P，Q两点从出发经过t s时，点P，Q间的距离是10 cm， 作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6 cm，PQ=10 cm，如图所示. ∵PA=3t cm，BE=CQ=2t cm， ∴PE=|AB-AP-BE|=|16-5t|，由勾股定理，得(16-5t)2+62=102， 整理，得25t2-160t+192=0.解得t1=4.8，t2=1.6. 故从出发到1.6 s或4.8 s时，点P和点Q的距离是10 cm.
教后反思 通过本节课，培养学生将实际问题向数学模型转化的能力，根据实际问题中蕴含的相等关系列一元二次方程，并应用它解决实际问题，体会数学建模的思想。
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