资源简介

1．(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
难度：0.85
命题点：复数代数形式的乘法运算、复数的几何意义．
A　[因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A．]
2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　)
A．－i　　　 B．i
C．0　　　 D．1
难度：0.85
命题点：共轭复数的概念及计算、复数的除法运算．
A　[因为z＝＝－i，所以i，所以z－＝－i－i＝－i．故选A．]
3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
难度：0.85
命题点：用基底表示向量．
B　[因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2＝2(＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B．]
4．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)
A．－6　　　B．－5　　　C．5　　　D．6
难度：0.85
命题点：向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示．
C　[由已知有c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，故，解得t＝5．故选C．]
5．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝_____________．
难度：0.85
命题点：向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、平面向量模的计算．
　[a－b＝(1，1－2x)，根据a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，所以|a|＝．]
1．重视基本运算
教材经典1．已知A(－2，1)，B(2，－2)，C(－3，－5)，D(3，3)．
(1)求证：⊥；
(2)求上的投影向量．
[解]　(1)证明：＝(4，－3)，＝(6，8)，
∵＝24－24＝0，∴⊥．
(2)＝(5，2)，＝(4，－3)，
∴．
锚点：向量的坐标运算、投影向量的计算．
教材经典2．如图，在△ABC中，AD＝AB，E是CD的中点，设＝a，＝b，用a，b表示．
[解]　a－b；
)＝
＝a＋b．
锚点：平面向量基本定理．
教材经典3．已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
[解]　(1)证明：因为＝e1＋e2，＝2e1＋8e2＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)＝5，
所以共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，又由于向量e1，e2不共线，则解得k＝±1．
锚点：共线向量定理．
教材经典4．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2．
(1)求a·b；
(2)求证：(a＋b)⊥(a－b)．
[解]　(1)因为e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，
所以e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝1×1×，
因为a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2，
所以a·b＝(3e1－2e2)·(2e1－3e2)＝6－4e1·e2－9e1·e2＋6
＝6－13e1·e2 ＋ 6
＝6×12－13×＋6×12＝．
(2)证明：因为a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2，
所以a＋b＝5e1－5e2，a－b＝e1＋e2，
所以(a＋b)·(a－b)＝(5e1－5e2)·(e1＋e2)
＝5(e1－e2)·(e1 ＋ e2)＝5()＝5(|e1|2－)＝0，
所以(a＋b)⊥(a－b)．
锚点：向量数量积的运算．
2．落实核心概念
教材经典5．设复数z＝(a>0)，若复数w＝z(z＋i)的虚部减去其实部的差等于，求复数w．
[解]　由已知，z＝i，
∴w＝z(z＋i)＝
＝
＝i＋i＋i2
＝i，
∴w的实部为，
虚部为，
由已知得＝，
∵a>0，∴a＝2．
∴w的实部为＝3，
∴w＝＋3i．
锚点：复数的基本概念及运算．
教材经典6．如图，在☉C中，是不是只需知道☉C的半径或弦AB的长度，就可以求出的值？
[解]　只需知道弦AB的长度，无需知道半径．理由如下：
取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB．
由数量积的几何意义可知，＝|AD||AB|＝|AB|2．
锚点：向量数量积的几何意义．
3．培养思维品质
教材经典7．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|z－i|，则z所对应的点的集合是什么图形？
[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z在复平面内的对应点为(x，y)，
∵|z＋1|＝|z－i|，
∴ ，
∴ x＋y＝0，
∴ z所对应的点的集合是过原点且斜率为－1的直线．
锚点：复数的几何意义．
教材经典8．如图，已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点，求：
(1)的值；
(2)的最大值．
[解]　(1)依题意建立如图所示的平面直角坐标系，
则D(0，0)，C(0，1)，B(1，1)，
设E(1，x)(0≤x≤1)，
所以＝(1，x)，＝(1，0)，
所以＝1×1＋x×0＝1．
(2)因为＝(1，x)，＝(0，1)，
所以＝1×0＋x×1＝x，
因为0≤x≤1，
所以的最大值是1．
锚点：向量中的最值问题、平面向量的坐标运算．
第35课时　平面向量的概念及线性运算
[考试要求]　
1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
3．掌握向量线性运算的性质及其几何意义．
1．(人教A版必修第二册P5习题6.1T3改编)下列说法正确的是(　　)
A．非零向量是两平行向量
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若a与b都是单位向量，则a＝b
D．若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b
A　[易知A正确；若b＝0，a与c未必平行，故B错误；单位向量a与b的方向均不确定，故C错误；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任意两个向量都不能比较大小，故D错误．]
2．(湘教版必修第二册P13习题1.2T6改编)＝(　　)
A．
D．0
D　[－()＝＝0．
故选D．]
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T13改编)设e是单位向量，|＝3，则四边形ABCD是(　　)
A．梯形　　B．菱形　　C．矩形　　D．正方形
B　[∵＝3e，＝－3e，
∴，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵||＝3，
∴四边形ABCD是菱形．
故选B．]
4．(苏教版必修第二册P47复习题T17改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝_____________．
　[∵λa＋b与a＋2b共线，
∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，
∴]
5．(人教B版必修第二册P142例1改编)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为_____________．
[2，6]　[当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．]
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．零向量的相反向量仍是零向量．
2．向量的线性运算
向量 运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 　三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 几何意义 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3．向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
[二级结论]
1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点 )．
2．(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(点O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1．
3．若G为△ABC的重心，则有
(1)＝0；(2))．
4．对于任意两个向量a，b，都有
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
1．解决与向量有关的概念问题，一是要紧扣大小和方向这两个关键要素，二是要注意零向量的特殊性．
2．向量加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”；向量减法的几何意义要求“共起点，连终点，指被减”．
3．a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
考点一　平面向量的概念
[典例1]　(多选)下列关于向量的说法正确的是(　　)
A．若|a|＝0，则a＝0
B．若向量是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上
C．若a为非零向量，则与a同向
D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb
(2)(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．
B．共线
C．是相反向量
D．|
(1)AC　(2)ABC　[(1)对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；
对于B，若向量是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在同一条直线上，故B错误；
对于C，a为非零向量，则与a方向相同，故C正确；
对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误．
(2)对于A，因为EF＝BC＝CD，EF∥CD，所以，故A正确；
对于B，因为DE∥AB，所以共线，故B正确；
对于C，因为BD＝CD，所以是相反向量，故C正确；
对于D，，故D错误．故选ABC．]
名师点评：在平面向量中，共线向量又称作平行向量，注意与平面几何中的共线、平行的概念区分．
[巩固迁移]
1．a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
C　[因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D．当a＝2b时，，故a＝2b是成立的充分条件．]
【教用·备选题】
若向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列结论一定正确的是(　　)
A．a＝0
B．存在实数λ，使得a＝λb
C．存在实数m，n，使得ma＝nb
D．|a－b|＝|a|－|b|
C　[当a≠0且b≠0时，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共线，且同向，故存在实数λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝，其中m，n同号，即a＝b，即ma＝nb，则存在实数m，n，使得ma＝nb，当a≠0，b＝0时，选项A，B错误；当a＝0，b≠0时，|a－b|≠|a|－|b|，故D错误．故选C．]
考点二　平面向量的线性运算
　向量加、减法的几何意义
[典例2]　若O是△ABC所在平面内的一点，且满足||，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
B　[＝()＋()＝，
∴||．
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．]
　向量的线性运算
[典例3]　(1)(2025·浙江嘉兴三模)在△OAB所在平面内，点C满足＝(　　)
A． b
C．－ b
(2)(2026·河南信阳模拟)如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若，其中m，n∈R，则m＋n的值为(　　)
A．1 B．
(1)C　(2)C　[(1)由向量的线性运算可知，
)＝－b．故选C．
(2)因为，
，
所以，
又，
所以m＝，n＝，故m＋n＝，故选C．]
名师点评：平面向量线性运算的求解策略
(1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)在△ABC中，D为BC上一点，若．
[巩固迁移]
2．已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若(λ，μ为实数)，则λ2－μ2＝(　　)
A．－
C．
A　[如图，在矩形ABCD中，)，
在△DAO中，，所以λ＝，μ＝－，所以λ2－μ2＝．]
3．在△ABC中，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，设可用a，b表示为_____________．
b　[如图，因为E为线段CD的中点，所以．因为D为线段AB的中点，所以b．
]
考点三　向量共线定理的应用
[典例4]　(1)(2025·江苏南通三模)已知e1，e2为平面内一个基底，＝5e1＋4e2，若A，B，D三点共线，则a的值为(　　)
A．2 B．－2
C．0 D．1
(2)(2026·湖南长沙模拟)如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N．设，则2m＋n的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(1)A　(2)C　[(1)＝e1＋ae2，＝5e1＋4e2－(e1－4e2)＝4e1＋8e2＝4(e1＋2e2)，
因为A，B，D三点共线，∴a＝2．故选A．
(2)连接AO，因为点O是线段BC上靠近点B的三等分点，则，
即＝2(，
又因为，
则，
因为M，N，O三点共线，故n＝1，
因此2m＋n＝3．故选C．]
名师点评：利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 共线．
[巩固迁移]
4．(2026·江西赣州模拟)已知e1，e2为不共线向量，a＝ke1－2e2，b＝－e1＋e2，若a，b为共线向量，则k＝(　　)
A．2 B．4
C．±1 D．±2
D　[因为e1，e2为不共线向量，且a，b为共线向量，
设a＝λb，又a＝ke1－2e2，b＝－e1＋e2，
则ke1－2e2＝λe1＋λe2，
故解得故选D．]
5．如图所示，已知G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
A　[延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心，
∴)＝)＝．
∵M，G，N三点共线，∴＝1，即＝3．故选A．]
课后作业(三十五)　平面向量的概念及线性运算
一、单项选择题
1．如图，在正六边形ABCDEF中，＝(　　)
A．0 B．
D　[根据正六边形的性质，易得．]
2．(2025·河南新发展联盟三模)若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西60°方向，且|OA|＝|OB|＝2 km，则向量表示(　　)
A．从点O出发，朝北偏西60°方向移动2 km
B．从点O出发，朝北偏西75°方向移动2 km
C．从点O出发，朝北偏西60°方向移动2 km
D．从点O出发，朝北偏西75°方向移动2 km
C　[以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得∠AOB＝180°－60°＝120°，
设，因为|OA|＝|OB|＝2 km，所以四边形OACB为菱形，
则∠AOC＝×120°＝60°，则△AOC为正三角形，
所以||＝2 km，
故向量表示从点O出发，朝北偏西60°方向移动2 km．
故选C．]
3．已知四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，记＝(　　)
A．a－ b
C．－ a－b
C　[a＋b．
故选C．]
4．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝5e1－4e2，若A，B，C三点共线，则实数k的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
A　[法一：因为＝3e1＋2e2，
＝4e1＋ke2，＝5e1－4e2，
所以＝(4e1＋ke2)－(3e1＋2e2)＝e1＋(k－2)e2，
＝(5e1－4e2)－(3e1＋2e2)＝2e1－6e2，
又A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，
使得，
即e1＋(k－2)e2＝λ(2e1－6e2)，
所以
故选A．
法二：根据题意，设＋(1－x)，
则3e1＋2e2＝[4x＋5(1－x)]e1＋[kx－4(1－x)]e2，
因为e1，e2是平面内两个不共线的向量，
所以]
5．已知P为△OAB所在平面内一点，且，则(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在射线AB上
D　[由，
所以，所以点P在射线AB上．]
6．已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝3e1－6e2，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
C　[对于A，因为＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，不存在实数λ使得，故A，B，C三点不共线，故A错误；
对于B，因为＝e1＋2e2，＝3e1－6e2，不存在实数λ使得，故A，B，D三点不共线，故B错误；
对于C，因为＝－2e1＋4e2，＝3e1－6e2，则，故A，C，D三点共线，故C正确；
对于D，因为＝－3e1＋2e2，＝－()＝－(e1＋2e2＋3e1－6e2)＝－4e1＋4e2，不存在实数λ使得，故B，C，D三点不共线，故D错误．故选C．]
二、多项选择题
7．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　)
A．||
B．＝0
C．
D．S△MBC＝S△ABC
BD　[如图，M为△ABC的重心，则＝0，A错误，B正确；
＝)＝，C错误；
由DM＝AD，得S△MBC＝S△ABC，D正确．]
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则(　　)
A．
B．
C．
D．
ABC　[∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴，故A正确；
∵，∴，
∴，又F为AE的中点，
∴，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．]
三、填空题
9．已知a是单位向量，向量b满足|a－b|＝3，则|b|的最大值为_____________．
4　[法一：设＝a，＝b，因为|a－b|＝3，
即||＝3，
即||＝3，
所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，
又a是单位向量，则||＝1，
故||的最大值为||＝1＋3＝4，
即|b|的最大值为4．
法二：因为b＝a－(a－b)，
所以|b|≤|a|＋|a－b|＝1＋3＝4，
所以|b|的最大值为4．]
10．如图，在平行四边形ABCD中，，则a－b＝_____________．
－　[由题意可得，，
所以a＝，b＝，所以a－b＝－．]
四、解答题
11．(1)在任意平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，若，求λ的值；
(2)已知非零向量，λ∈[0，＋∞)，画图并说明AQ是∠BAC的平分线．
[解] (1)如图，
取AB的中点M，CD的中点N，连接AC，BD，则有ME∥BD，FN∥BD，
且ME＝FN＝BD，
所以四边形MFNE为平行四边形，
则
＝)＝)，
又，所以λ＝2．
(2)因为同向的单位向量，
如图，设，
则＝λ()，AM＝AN，
以AM，AN为邻边作平行四边形AMEN，
则，且平行四边形AMEN为菱形，
所以AE平分∠MAN，所以，
又A为公共点，所以A，E，Q三点共线，
所以AQ是∠BAC的平分线．
12．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝b．
(1)试用a，b表示；
(2)证明：B，E，F三点共线．
[解]　(1)在△ABC中，因为＝a，＝b，
所以＝b－a，
＝a＋(b－a)＝b，
b．
(2)证明：因为b，
＝－a＋b
＝，
所以共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．
13．在平面上有△ABC及其内部一点O满足关系式：S△OBC·
＝0，则O为△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
B　[记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝a·h2，S△OAC＝b·h3，S△OAB＝c·h1，因为S△OBC·＝0，则＝0，即a·h2·＝0，又因为a·＝0，所以h1＝h2＝h3，所以O是△ABC的内心．故选B．]
14．(多选)设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A．若
B．若，则M，B，C三点共线
C．若
D．若
ACD　[A选项，)＝，A正确；
B选项，假设M，B，C三点共线，则＝λ(＋(1＋λ)，故当λ＝－2时，不一致，所以M，B，C三点不共线，B错误；
C选项，根据＝λ()以及向量加法的平行四边形法则，
可知点M在直线AD上，又由＝(1－2μ)，可知点M在直线BC上，所以点M为边BC的中点，所以λ＝，1－2μ＝，即μ＝，所以λ＋μ＝，C正确；
D选项，因为，且x＋y＝，所以3，其中3x＋3y＝1，不妨设，则点Q在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高之比等于MQ与AQ之比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，D正确．]
21/211．(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
难度：0.85
命题点：复数代数形式的乘法运算、复数的几何意义．
2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝ (　　)
A．－i　　　 B．i
C．0　　　 D．1
难度：0.85
命题点：共轭复数的概念及计算、复数的除法运算．
3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝ (　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
难度：0.85
命题点：用基底表示向量．
4．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝ (　　)
A．－6　　　B．－5　　　C．5　　　D．6
难度：0.85
命题点：向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示．
5．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝___________．
难度：0.85
命题点：向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、平面向量模的计算．
1．重视基本运算
教材经典1．已知A(－2，1)，B(2，－2)，C(－3，－5)，D(3，3)．
(1)求证：⊥；
(2)求上的投影向量．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：向量的坐标运算、投影向量的计算．
教材经典2．如图，在△ABC中，AD＝AB，E是CD的中点，设＝a，＝b，用a，b表示．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：平面向量基本定理．
教材经典3．已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：共线向量定理．
教材经典4．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2．
(1)求a·b；
(2)求证：(a＋b)⊥(a－b)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：向量数量积的运算．
2．落实核心概念
教材经典5．设复数z＝(a>0)，若复数w＝z(z＋i)的虚部减去其实部的差等于，求复数w．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：复数的基本概念及运算．
教材经典6．如图，在☉C中，是不是只需知道☉C的半径或弦AB的长度，就可以求出的值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：向量数量积的几何意义．
3．培养思维品质
教材经典7．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|z－i|，则z所对应的点的集合是什么图形？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：复数的几何意义．
教材经典8．如图，已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点，求：
(1)的值；
(2)的最大值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：向量中的最值问题、平面向量的坐标运算．
第35课时　平面向量的概念及线性运算
[考试要求]　1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．3．掌握向量线性运算的性质及其几何意义．
1．(人教A版必修第二册P5习题6.1T3改编)下列说法正确的是 (　　)
A．非零向量是两平行向量
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若a与b都是单位向量，则a＝b
D．若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b
2．(湘教版必修第二册P13习题1.2T6改编)＝ (　　)
A． B．2
C． D．0
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T13改编)设e是单位向量，＝3e，＝－3e，||＝3，则四边形ABCD是 (　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
4．(苏教版必修第二册P47复习题T17改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝___________．
5．(人教B版必修第二册P142例1改编)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为___________．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有___________的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称___________)．
(2)零向量：长度为___________的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于___________长度的向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向___________或___________的非零向量．规定：零向量与任意向量___________．
(5)相等向量：长度相等且方向___________的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向___________的向量．零向量的相反向量仍是零向量．
2．向量的线性运算
向量 运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 　三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 几何意义 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向___________； 当λ<0时，λa的方向与a的方向___________； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3．向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使___________．
[二级结论]
1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点 )．
2．＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(点O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1．
3．若G为△ABC的重心，则有
(1)＝0；
(2))．
4．对于任意两个向量a，b，都有
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．
1．解决与向量有关的概念问题，一是要紧扣大小和方向这两个关键要素，二是要注意零向量的特殊性．
2．向量加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”；向量减法的几何意义要求“共起点，连终点，指被减”．
3．a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
考点一　平面向量的概念
[典例1]　(多选)下列关于向量的说法正确的是 (　　)
A．若|a|＝0，则a＝0
B．若向量是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上
C．若a为非零向量，则与a同向
D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb
(2)(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是 (　　)
A．
B．共线
C．是相反向量
D．||
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：在平面向量中，共线向量又称作平行向量，注意与平面几何中的共线、平行的概念区分．
[巩固迁移]
1．a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是 (　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
考点二　平面向量的线性运算
　向量加、减法的几何意义
[典例2]　若O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为 (　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
　向量的线性运算
[典例3]　(1)(2025·浙江嘉兴三模)在△OAB所在平面内，点C满足＝3＝a，＝b，则＝ (　　)
A．a＋b B．a＋b
C．－a＋b D．a－b
(2)(2026·河南信阳模拟)如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若＝m＋n，其中m，n∈R，则m＋n的值为 (　　)
A．1 B．
C． D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：平面向量线性运算的求解策略
(1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)在△ABC中，D为BC上一点，若．
[巩固迁移]
2．已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2－μ2＝ (　　)
A．－ B．
C． D．
3．在△ABC中，D为线段AB的中点，E为线段CD的中点，设＝a，＝b，则可用a，b表示为___________．
考点三　向量共线定理的应用
[典例4]　(1)(2025·江苏南通三模)已知e1，e2为平面内一个基底，＝e1＋ae2，＝e1－4e2，＝5e1＋4e2，若A，B，D三点共线，则a的值为 (　　)
A．2 B．－2
C．0 D．1
(2)(2026·湖南长沙模拟)如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N．设＝m＝n，则2m＋n的值为 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 共线．
[巩固迁移]
4．(2026·江西赣州模拟)已知e1，e2为不共线向量，a＝ke1－2e2，b＝－e1＋e2，若a，b为共线向量，则k＝ (　　)
A．2 B．4
C．±1 D．±2
5．如图所示，已知G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设＝x＝y的值为 (　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
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