资源简介

1．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0．若S3＝7，a3＝1，则(　　)
A．q＝
C．S5＝8 D．an＋Sn＝8
难度：0.85
命题点：等比数列通项公式、等比数列前n项和公式．
AD　[根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0，因为q>0，所以q＝，故A正确．
a5＝a3q2＝1×，故B错误．
因为a1＝＝4，所以S5＝，故C错误．
an＝a1qn-1＝4×＝23-n，Sn＝＝8－23-n，所以an＋Sn＝8，故D正确．故选AD．]
2．(2025·全国一卷)已知数列{an}中，a1＝3，．
(1)证明：数列{nan}是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f '(－2)．
难度：0.65
命题点：导数的运算法则、等差数列的证明、错位相减法求和．
[解]　(1)证明：因为，
所以(n＋1)an+1＝nan＋1，
即(n＋1)an+1－nan＝1，
因为a1＝3，所以数列{nan}是首项为3，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知nan＝3＋n－1＝n＋2，
即an＝1＋，
因为f (x)＝3x＋2x2＋…＋xm，
所以f '(x)＝3＋4x＋5x2＋…＋(m＋2)xm-1，
所以f '(－2)＝3＋4×(－2)＋5×(－2)2＋…＋(m＋1)(－2)m-2＋(m＋2)(－2)m-1，①
－2f '(－2)＝3×(－2)＋4×(－2)2＋5×(－2)3＋…＋(m＋1)(－2)m-1＋(m＋2)(－2)m，②
①－②得
3f '(－2)＝3＋(－2)1＋(－2)2＋…＋(－2)m-1－(m＋2)(－2)m
＝3＋－(m＋2)(－2)m
＝·(－2)m，
所以f '(－2)＝·(－2)m，m∈N*．
1．重视基本运算
教材经典1．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，求a12的值．
[解]　在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，
所以a4＋a12＝a7＋a9，即1＋a12＝16，解得a12＝15．
锚点：等差数列的项的性质．
教材经典2．已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
(1)求通项公式an及Sn；
(2)设的通项公式及其前n项和Tn．
[解]　(1)因为{an}是首项a1＝19，公差d＝－2的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)·d＝19－2(n－1)＝－2n＋21．
Sn＝na1＋·(－2)＝－n2＋20n．
(2)由题意bn－an＝3n-1，所以bn＝3n-1－2n＋21，
Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n-1)＝－n2＋20n＋．
锚点：等差数列中基本量的运算，分组求和法．
【教用·备选题】
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝3n-1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
[解]　(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
由a2n＝2an＋1，可得a2＝2a1＋1，
即d＝a2－a1＝a1＋1，
又S4＝4a1＋
即4a1＋6d＝8a1＋4d．
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1．
(2)由题意，cn＝anbn＝(2n－1)·3n-1，
所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)·3n-1
∴3Tn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)·3n-1＋(2n－1)·3n，
∴－2Tn＝1×30＋2×31＋2×32＋…＋2×3n-1－(2n－1)·3n
＝1＋－(2n－1)·3n
＝(2－2n)·3n－2．
∴Tn＝(n－1)·3n＋1．
锚点：等差数列的通项公式、求和公式及错位相减法求和．
2．落实核心概念
教材经典3．设{an}是等比数列，有下列四个命题：
①是等比数列；③是等比数列；④lg|an|是等比数列．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　[由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n≥2)，
①＝q2为常数，故①正确；
②＝q2为常数，故②正确；
③为常数，故③正确；
④不一定为常数，故④错误．故选C．]
锚点：等比数列的判定．
教材经典4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n－1，求数列{an}的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列．
[解]　当n＝1时，有a1＝S1＝5．
当n≥2时，有an＝Sn－Sn-1＝3×2n－1－(3×2n-1－1)＝3×2n-1，a1＝5不满足该式，
因此数列{an}的通项公式为an＝
注意到a2＝3×22-1＝6，a3＝3×23-1＝12，
因此＝2，所以{an}不是等比数列．
锚点：由an与Sn的关系求通项公式，等比数列的判定．
3．培养思维品质
教材经典5．对于任意数列{an}，等式：
a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an+1－an＝2，求通项公式an．
[解]　当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)
＝1＋＝1＋2(n－1)＝2n－1，
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1．
锚点：由数列的递推关系求通项公式．
教材经典6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn＋2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设{an}的公比为q，由题意知，当n＝1时，a1q＝2a1＋2，①
当n＝2时，a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，②
联立①②，解得a1＝2，q＝3．
所以数列{an}的通项公式为an＝2×3n-1．
(2)由(1)知an＝2×3n-1，an+1＝2×3n．
所以an+1＝an＋(n＋2－1)dn．
所以dn＝．
设数列中存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则＝dm ·dp ，
所以，
即．
又因为m，k，p成等差数列，所以2k＝m＋p，
所以(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，
化简得k2＋2k＝mp＋m＋p，所以k2＝mp，
又2k＝m＋p，所以k＝m＝p，与已知矛盾．
所以在数列中不存在3项dm，dk，dp成等比数列．
锚点：等差、等比数列的性质及应用．
第40课时　数列的概念与简单表示法
[考试要求]　
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、函数解析式法)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．(北师大版选择性必修第二册P4例2改编)数列－1，，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝±
C．an＝(－1)n+1·
B　[由a1＝－1，代入检验可知选B．]
2．(人教A版选择性必修第二册P8习题4.1T2(4)改编)在数列{an}中，a1＝1，an+1＝1＋，则a5＝(　　)
A．2 B．
D　[由题意，令n＝1，可得a2＝1＋＝2；
令n＝2，可得a3＝1＋；
令n＝3，可得a4＝1＋；
令n＝4，可得a5＝1＋．
故选D．]
3．(苏教版选择性必修第一册P139习题4.1T9改编)如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为_____________，这个数列的一个通项公式为an＝_____________．
17　4n－3　[从阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13看出，从第2项起每一项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根据上述规律an＝a1＋(n－1)×4＝1＋(n－1)×4＝4n－3．所以通项公式an＝4n－3．]
4．(人教B版选择性必修第三册P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝_____________．
　[当n＝1时，a1＝S1＝2．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn-1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1．
显然当n＝1时，不满足上式，
故an＝]
5．(人教A版选择性必修第二册P9习题4.1T7改编)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则an的最小值为_____________．
　[由题意得an＝．因为n为正整数，所以2n≥2，0<，1－，所以an≥．故an的最小值为．]
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f (n)．
3．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间 的大小关 系 递增数列 an+1>an 其中n∈N*
递减数列 an+1常数列 an+1＝an
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
4．数列的前n项和
在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列{an}的前n项和．
1．已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1．
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn-1求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝
2．要用函数的观点探究数列的性质
在数列{an}中，若an最大，则
考点一　由an与Sn的关系求通项公式
[典例1]　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝(　　)
A．4
C．3 D．4(3n－1)
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝_____________．
(1)C　(2)　[(1)当n＝1时，S1＝4a1－3，即S1＝4S1－3，得S1＝1，
当n≥2时，Sn＝4(Sn－Sn-1)－3，
即3Sn＝4Sn-1＋3，
Sn＝Sn-1＋1，
Sn＋3＝(Sn-1＋3)，又S1＋3＝4，
所以{Sn＋3}是首项为4，公比为的等比数列，
所以Sn＋3＝4×，Sn＝4×．故选C．
(2)当n＝1时， a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an-1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，②
由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，∴an＝(n≥2，n∈N*)．
显然当n＝1时不满足上式，
∴an＝]
名师点评：Sn与an的关系问题转化的两个方向
方向1：利用an＝Sn－Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn-1＝an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解．
[巩固迁移]
1．(2026·湖北十堰模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－n，则a5＝(　　)
A．153 B．161
C．163 D．238
B　[因为Sn＝3n－n，则a5＝S5－S4＝35－5－34＋4＝161．故选B．]
2．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an+1＝SnSn+1，则下列结论正确的是(　　)
A．an＝
C．Sn＝－ 是等差数列
BCD　[∵an+1＝Sn·Sn+1＝Sn+1－Sn，两边同除以Sn+1·Sn，得＝－1．
∴是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－．
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝－，
又a1＝－1不适合上式，∴an＝故选BCD．]
【教用·备选题】
1．(2026·重庆模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，若nan＝Sn-1＋1(n≥2)，a1＝0，则S2 026等于(　　)
A．0　　　　　　　 B．1 012
C． D．2 025
(2)若数列{an}是正项数列，且＝_____________．
(1)C　(2)2n2＋2n　[(1)因为nan＝Sn-1＋1(n≥2)，则(n－1)an-1＝Sn-2＋1(n≥3)，
两式作差得nan－(n－1)an-1＝Sn-1－Sn-2(n≥3)，
所以nan－(n－1)an-1＝an-1(n≥3)，
所以an＝an-1(n≥3)，
又因为a1＝0，nan＝Sn-1＋1(n≥2)，
当n＝2时，2a2＝a1＋1＝1，
所以a2＝＝a3＝a4＝…，
所以S2 026＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 026＝0＋×2 025＝．故选C．
(2)由题意得当n≥2时，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2；
当n＝1时，＝2，∴a1＝4，符合上式，
∴an＝4n2，＝4n，
∴a1＋＋…＋n(4＋4n)＝2n＋2n2 ．]
考点二　由数列的递推关系求通项公式
[典例2]　(1)设数列{an}满足a1＝1，且an+1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝_____________．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an-1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝_____________．
(3)已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝_____________．
(4)已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝_____________．
(1)　[(1)由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
an－an-1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝．
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝．
(2)∵an＝an-1(n≥2)，
∴an-1＝an-2，an-2＝an-3，…，a2＝a1．
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1··…·．
当n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝．
(3)∵an+1＝2an＋1，∴an+1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝2，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2n，
∴an＝2n－1．
(4)∵an+1＝，a1＝2，∴an≠0，
∴，
即，
又a1＝2，则，
∴为公差的等差数列．
∴＋(n－1)×，∴an＝．]
名师点评：由递推关系求数列的通项公式的常用方法
[巩固迁移]
3．(1)在数列{an}中，a1＝3，an+1＝an＋，则数列{an}的通项公式为an＝_____________．
(2)已知数列的通项公式为an＝_____________．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝_____________．
(1)4－·2n
[(1)∵an+1－an＝，
∴当n≥2时，an－an-1＝，
…
a2－a1＝1－，
∴以上各式相加得an－a1＝1－，又a1＝3，
∴an＝4－(n≥2)，a1＝3适合该式，
∴an＝4－．
(2)由an，得，
所以当n≥2时，·…··…·，
∵a1＝，
∴an＝，
又∵n＝1时，a1＝满足上式，
∴an＝．
(3)∵an+1＝2an＋2n+1，∴两边同除以2n+1，
得＋1．又a1＝1，
∴，公差为1的等差数列，
∴＋(n－1)×1＝n－，
即an＝·2n．]
考点三　数列的函数特性
　数列的周期性
[典例3]　(2025·湖北部分重点中学二模)若数列{an}满足a1＝2，an+1 ＝(n∈N*)，则该数列的前2 025项的乘积是(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D．1
C　[因为数列{an}满足a1＝2，an+1＝(n∈N*)，
所以a2＝＝－3，
同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，…，
所以数列{an}的周期为4，即an+4＝an，
且a1·a2·a3·a4＝1，而2 025＝506×4＋1，
所以该数列的前2 025项的乘积是a1·a2·a3·a4·…·a2 025＝1506×a1＝2．故选C．]
【教用·备选题】
(2025·陕西榆林二模)已知数列{an}满足an+1＝1＋anan+1，a1＝2，则此数列前100项的和为(　　)
A．
D　[由an+1＝1＋anan+1，得an+1＝，
所以an+2＝，
an+3＝＝an，
故数列{an}是以3为周期的周期数列，
又a2＝＝－1，a3＝，且100＝3×33＋1，
则此数列前100项的和S100＝(a1＋a2＋a3)×33＋a1＝．
故选D．]
　数列的单调性
[典例4]　已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
D　[因为an+1－an＝＝，
由数列{an}为递减数列知，
对任意n∈N*，an+1－an＝<0，所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．
故选D．]
　数列的最值
[典例5]　(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是(　　)
A．数列{an}的最小项是a1
B．数列{an}的最大项是a4
C．数列{an}的最大项是a5
D．当n≥5时，数列{an}递减
BCD　[假设第n项为{an}的最大项，
则
即
解得4≤n≤5，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减．
当n→＋∞时，an→0，而a1＝，所以A错误．故选BCD．]
名师点评：判断数列单调性的两种方法
(1)作差(商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
[巩固迁移]
4．(2025·天津二模)已知{an}是一个无穷数列，“a2>a1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即an+1>an(n∈N*)．
若{an}是摆动数列，则可能有a2>a1，但是{an}不是递增数列，则仅由a2>a1不能推出{an}为递增数列，但{an}为递增数列可以推出a2>a1．
所以“a2>a1”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件．
故选B．]
5．已知数列{an}的前n项积为Tn，a1＝2且an+1＝1－，则T2 025＝_____________．
－1　[因为a2＝1－，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，…，所以数列{an}是周期为3的周期数列．又a1a2a3＝2××(－1)＝－1，且2 025＝3×675，所以T2 025＝(－1)675＝－1．]
6．已知数列{an}满足a1＝28，的最小值为_____________．
　[由an+1－an＝2n，a1＝28，可得an＝n2－n＋28，∴－1，
设f (x)＝x＋，可知f (x)在(0，2)内单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又n∈N*，且．
故．]
【教用·备选题】
1．数列{an}的通项公式为an＝，该数列的前50项中最大项是(　　)
A．a1 B．a44
C．a45 D．a50
C　[an＝＝＝1＋，
因为>0，∈(44，45)，
故当n≤44时，数列{an}递减，且an<1，
当n≥45时，数列{an}递减，且an>1，
故当n＝45时，{an}有最大项．
故选C．]
2．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1．
(1)求a1，a2和an；
(2)证明：数列{an}为递增数列．
[解]　(1)因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1，①
当n＝1时，a1＝31－1＝2．
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an-1＝3n-1－1，②
由①－②得nan＝3n－3n-1＝2·3n-1，所以an＝，
当n＝1时，a1＝＝2，所以a1也满足an＝，
当n＝2时，a2＝＝3，
故a1＝2，a2＝3，an＝，n∈N*．
(2)证明：由(1)知，an＝，易知an>0，
则，
又>0对一切n∈N*恒成立，所以>1，
即an+1>an对一切n∈N*恒成立，
所以数列{an}为递增数列．
课后作业(四十)　数列的概念与简单表示法
一、单项选择题
1．若数列{an}的前6项为1，－，则数列{an}的通项公式可以为an＝(　　)
A．
C．(－1)n·
D　[通过观察数列{an}的前6项，可以发现有如下规律：奇数项为正，偶数项为负，故用(－1)n+1表示各项的正负；各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故第n项的绝对值是，所以an＝(－1)n+1·．]
2．在数列{an}中，若an＝则a5＋a6＝(　　)
A．17 B．23
C．25 D．41
D　[a5＝2×5－1＝9，a6＝26-1＝32，故a5＋a6＝41．故选D．]
3．数列{an}的通项公式为an＝n＋，若数列{an}为递增数列，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，2) D．[1，＋∞)
C　[数列{an}为递增数列 an+1>an，所以n＋1＋，即a4．(2025·湖北黄冈三模)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn+m，且a1＝2，那么a10＝(　　)
A．2 B．10
C．11 D．56
A　[Sn＋Sm＝Sn+m中，令m＝1，
即Sn+1－Sn＝S1＝a1＝2，
所以 a10＝S10－S9＝2．故选A．]
5．(2026·山东潍坊模拟)已知数列{an}满足an+2＝－，且a1＝1，a2＝2，则a2 026＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－
B　[由题意，a1＝1，a2＝2，
则a3＝－＝－1，a4＝－，a5＝－＝1，a6＝－＝2，…，所以数列{an}为周期为4的数列，
则a2 026＝a506×4+2＝a2＝2．故选B．]
6．已知数列{an}满足an+1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
D　[由an+1＝an＋a1＋2n，可得an+1－an＝a1＋2n，
则an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋4)＋…＋(a1＋2n－2)
＝na1＋(n－1)(2＋2n－2)＝na1＋n(n－1)，
由a10＝130，可得10a1＋90＝130，解得a1＝4．故选D．]
7．已知数列{an}满足a1＝2，an＝n(an+1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝(　　)
A．2n B．
C．n2＋1 D．n＋1
A　[由an＝n(an+1－an)，得(n＋1)an＝nan+1，
即，n≥2，
由累乘法可得＝n(n≥2)，因为a1＝2，所以an＝2n(n≥2)，
又a1＝2，符合上式，所以an＝2n．故选A．]
8．(2025·安徽马鞍山一模)已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
C　[令an＝≥0，解得n≤3或n>，
当n≤3时，an≥0，故当n＝1，2时，Sn递增，且S3＝S2；
当4≤n≤8时，an<0，故当n＝4，5，6，7，8时，Sn递减；
当n≥9时，an>0，Sn递增．
且a1＝，a2＝，a3＝0，a4＝－，…，a8＝－5，
故S8二、多项选择题
9．已知数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{an}的通项公式的是(　　)
A．an＝ B．an＝(－1)n＋1
C．an＝2
AC　[数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，
经验证，AC选项符合题意，
对于B，当n＝1时，a1＝0，故B错误；
对于D，当n＝2时，a2＝2，故D错误．故选AC．]
10．(人教A版选择性必修第二册P26习题4.2T12改编)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法—商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则(　　)
A．S3＝a4 B．an+1－an＝
C．an+1－an＝n＋1 D．a10＝55
ACD　[由题意，第n层有an个球，a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an+1＝an＋n＋1．
即a2＝1＋2＝3，a3＝1＋2＋3＝6，…，an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
因为S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10，a4＝1＋2＋3＋4＝10，所以S3＝a4，A正确；
an+1－an＝＝n＋1，故B错误，C正确；
a10＝＝55，D正确．故选ACD．]
11．(2025·河北石家庄三模)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋11n，则下列说法正确的是(　　)
A．数列为递减数列
B．当且仅当n＝5时，Sn取得最大值
C．an＝－2n＋12
D．{}是等比数列
ACD　[由题意可知，＝－n＋11，则＝－n＋10－(－n＋11)＝－1<0，
故数列为递减数列，故A正确；
因为二次函数y＝－x2＋11x图象的对称轴为直线x＝，且开口向下，则当n＝5或6时，Sn取得最大值，故B错误；
当n≥2时，Sn-1＝－(n－1)2＋11(n－1)＝－n2＋13n－12，
则an＝Sn－Sn-1＝－n2＋11n－(－n2＋13n－12)＝－2n＋12，
又a1＝S1＝10，符合上式，故an＝－2n＋12，n∈N*，故C正确；
令bn＝＝2-2n+12，则＝2-2，则{}是等比数列，故D正确．故选ACD．]
三、填空题
12．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝_____________．
(答案不唯一)　[符合条件的数列有，…． ]
13．(2026·上海模拟)已知 an＝2n＋λ，若{an}的前n项和为Sn，{Sn}为递增数列，则λ的取值范围为 _____________．
(－4，＋∞)　[因为{an}的前n项和为Sn，{Sn}为递增数列，所以数列{an}从第二项开始要为正数，
a2＝4＋λ>0 λ>－4，则λ的取值范围为(－4，＋∞)．]
14．(2026·江苏泰州模拟)已知数列{an}满足，则{an}的通项公式为_____________．
an＝　[数列{an}中，＋…＋，
当n≥2时，＋…＋，
两式相减得，解得an＝，
而＝1，即a1＝1满足上式，
所以{an}的通项公式为an＝．]
15．(2026·江西十二校模拟)已知数列{an}的首项a1＝2，an+1＝3an＋2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若n≤t(an＋1)(n∈N*)恒成立，求实数t的取值范围．
[解]　(1)数列{an}的首项a1＝2，an+1＝3an＋2(n∈N*)，
可得an+1＋1＝3(an＋1)，
而a1＋1＝3≠0，故an＋1≠0，故＝3，
即数列{an＋1}是首项和公比均为3的等比数列，
可得an＋1＝3n，即an＝3n－1．
(2)n≤t(an＋1)(n∈N*)恒成立，
即t≥恒成立，
设bn＝，可得bn+1－bn＝<0，
即数列{bn}是递减数列，可得bn≤b1＝，
所以t≥，即实数t的取值范围是．
21/211．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0．若S3＝7，a3＝1，则 (　　)
A．q＝ B．a5＝
C．S5＝8 D．an＋Sn＝8
难度：0.85
命题点：等比数列通项公式、等比数列前n项和公式．
2．(2025·全国一卷)已知数列{an}中，a1＝3，．
(1)证明：数列{nan}是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f '(－2)．
难度：0.65
命题点：导数的运算法则、等差数列的证明、错位相减法求和．
1．重视基本运算
教材经典1．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，求a12的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：等差数列的项的性质．
教材经典2．已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
(1)求通项公式an及Sn；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前n项和Tn．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：等差数列中基本量的运算，分组求和法．
2．落实核心概念
教材经典3．设{an}是等比数列，有下列四个命题：
①是等比数列；②是等比数列；
③是等比数列；④lg|an|是等比数列．
其中正确命题的个数是 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：等比数列的判定．
教材经典4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n－1，求数列{an}的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：由an与Sn的关系求通项公式，等比数列的判定．
3．培养思维品质
教材经典5．对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an+1－an＝2，求通项公式an．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：由数列的递推关系求通项公式．
教材经典6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn＋2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
锚点：等差、等比数列的性质及应用．
第40课时　数列的概念与简单表示法
[考试要求]　1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、函数解析式法)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．(北师大版选择性必修第二册P4例2改编)数列－1，，－，－，…的一个通项公式为 (　　)
A．an＝± B．an＝(－1)n·
C．an＝(－1)n+1· D．an＝
2．(人教A版选择性必修第二册P8习题4.1T2(4)改编)在数列{an}中，a1＝1，an+1＝1＋，则a5＝ (　　)
A．2 B．
C． D．
3．(苏教版选择性必修第一册P139习题4.1T9改编)如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为______________，这个数列的一个通项公式为an＝___________．
4．(人教B版选择性必修第三册P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝___________．
5．(人教A版选择性必修第二册P9习题4.1T7改编)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则an的最小值为___________．
1．数列的定义
一般地，把按照__________________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是___________，对应的函数值是______________________，记为an＝f (n)．
3．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数______
无穷数列 项数______
项与项间 的大小关系 递增数列 an+1____an 其中n∈N*
递减数列 an+1____an
常数列 an+1＝an
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
4．数列的前n项和
在数列{an}中，Sn＝______________________叫做数列{an}的前n项和．
1．已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1．
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn-1求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝
2．要用函数的观点探究数列的性质
在数列{an}中，若an最大，则
若an最小，则
考点一　由an与Sn的关系求通项公式
[典例1]　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＝4an－3，则Sn＝ (　　)
A．4 B．4
C．3 D．4(3n－1)
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：Sn与an的关系问题转化的两个方向
方向1：利用an＝Sn－Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn-1＝an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解．
[巩固迁移]
1．(2026·湖北十堰模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－n，则a5＝ (　　)
A．153 B．161
C．163 D．238
2．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an+1＝SnSn+1，则下列结论正确的是 (　　)
A．an＝ B．an＝
C．Sn＝－ D．数列是等差数列
考点二　由数列的递推关系求通项公式
[典例2]　(1)设数列{an}满足a1＝1，且an+1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝___________．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an-1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝___________．
(3)已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝___________．
(4)已知数列{an}中，a1＝2，an+1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝___________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：由递推关系求数列的通项公式的常用方法
[巩固迁移]
3．(1)在数列{an}中，a1＝3，an+1＝an＋，则数列{an}的通项公式为an＝___________．
(2)已知数列满足a1＝an+1＝an，n∈N*，则数列的通项公式为an＝___________．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝___________．
考点三　数列的函数特性
　数列的周期性
[典例3]　(2025·湖北部分重点中学二模)若数列{an}满足a1＝2，an+1 ＝(n∈N*)，则该数列的前2 025项的乘积是 (　　)
A．－2 B．－1
C．2 D．1
　数列的单调性
[典例4]　已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为 (　　)
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
　数列的最值
[典例5]　(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是 (　　)
A．数列{an}的最小项是a1
B．数列{an}的最大项是a4
C．数列{an}的最大项是a5
D．当n≥5时，数列{an}递减
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：判断数列单调性的两种方法
(1)作差(商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
[巩固迁移]
4．(2025·天津二模)已知{an}是一个无穷数列，“a2>a1”是“{an}为递增数列”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知数列{an}的前n项积为Tn，a1＝2且an+1＝1－，则T2 025＝___________．
6．已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为___________．
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