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第47课时　空间点、直线、平面之间的位置关系
[考试要求]　1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
1．(北师大版必修第二册P227习题6－3A组T3改编)下列说法正确的是 (　　)
A．没有公共点的两条直线是异面直线
B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面不一定重合
D．若直线a不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a异面
2．(人教A版必修第二册P128练习T2改编)下列命题正确的是 (　　)
A．空间任意三点确定一个平面
B．一个点和一条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线确定一个平面
D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面
3．(人教A版必修第二册P131练习T3改编)下列说法正确的是 (　　)
A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
4．(北师大版必修第二册P227习题6－3B组T1改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为___________．
5．(苏教版必修第二册P175习题13.2(2)T15改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件___________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件___________时，四边形EFGH为正方形．
1．基本事实
(1)基本事实1：过______________________的三个点，有且只有一个平面．
(2)基本事实2：如果一条直线上的___________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有____条过该点的公共直线．
(4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线___________．
2．三个推论
推论1：经过一条直线和__________________一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条___________直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条___________直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
提醒：分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，它们的关系可能为平行或相交．
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
位置关系 符号
直线与 平面 直线在平面内 a α
直线在 平面外 直线与平面相交 a∩α＝A
直线与平面平行 a∥α
平面与 平面 两平面平行 α∥β
两平面相交 α∩β＝l
5．定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________________．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：______________________．
1．判断空间直线的位置关系一般有两种方法：
一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点P的连线和平面内不经过点P的直线是异面直线．” 如图所示．
2．异面直线所成角的求法
(1)平移使相交：通过平移一条(或2条)直线，使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角．
(2)向量法：已知a，b为异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈．
考点一　基本事实的应用
[典例1]　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：
(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(或证两平面重合)．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
[巩固迁移]
1．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是 (　　)
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
考点二　空间两直线位置关系的判定
[典例2]　(1)已知三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是 (　　)
A．b，c是异面直线 B．b∩c＝P
C．b∥c D．a与c没有公共点
(2)(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则 (　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线A1M与DD1是异面直线
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：空间中两直线位置关系的判定方法
[巩固迁移]
2．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 (　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
3．(2025·山东济南三模)如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是 (　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
考点三　异面直线所成的角
[典例3]　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 (　　)
A．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交形成三角形．平移直线的方法有：(1)直接平移；(2)中位线平移；(3)补形平移．
[巩固迁移]
4．(2026·辽宁大连模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1D上的动点，则直线PC1与B1C所成角的取值范围是 (　　)
A．
C．
5．(2026·山东济南模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，异面直线AC与PB所成的角为60°，E，F分别为棱PA，BC的中点，若AC＝2，PB＝4，则EF＝ (　　)
A． B．2
C．
7/7第47课时　空间点、直线、平面之间的位置关系
[考试要求]　
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．
2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
1．(北师大版必修第二册P227习题6－3A组T3改编)下列说法正确的是(　　)
A．没有公共点的两条直线是异面直线
B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面不一定重合
D．若直线a不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a异面
C　[对于A，两条平行直线也没有公共点，故错误；
对于B，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误；
对于C，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故正确；
对于D，由于a不平行于平面α，且a α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误．]
2．(人教A版必修第二册P128练习T2改编)下列命题正确的是(　　)
A．空间任意三点确定一个平面
B．一个点和一条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线确定一个平面
D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面
D　[不在一条直线上的三个点才能确定一个平面，A错误；
只有点在直线外时才能确定一个平面，B错误；
当三条直线交于同一点时可能确定三个平面，C错误，D正确．故选D．]
3．(人教A版必修第二册P131练习T3改编)下列说法正确的是(　　)
A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
D　[对于A，当直线l与平面α相交时，直线l上也有无数个点不在平面α内，故A错误；对于B，l与平面α内的任意一条直线异面或平行，故B错误；对于C，另一条直线也可能在这个平面内，故C错误；对于D，因为l∥α，所以l与平面α没有公共点，所以l与平面α内任意一条直线都没有公共点，故D正确．]
4．(北师大版必修第二册P227习题6－3B组T1改编)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为_____________．
60°　[因为M，N分别为BC和CC1的中点，
所以MN∥BC1，
又在正方体ABCD A1B1C1D1中， AC∥A1C1，
所以∠A1C1B或其补角为异面直线AC和MN所成的角，
又在正方体ABCD A1B1C1D1中，△A1C1B为正三角形，
所以∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°．]
5．(苏教版必修第二册P175习题13.2(2)T15改编)如图，在三棱锥A BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件_____________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件_____________时，四边形EFGH为正方形．
(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD
[(1)要使四边形EFGH为菱形，应有EF＝EH，
∵EF AC，EH BD，∴AC＝BD．
(2)要使四边形EFGH为正方形，
应有EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF AC，EH BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD．]
1．基本事实
(1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
(2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
提醒：分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，它们的关系可能为平行或相交．
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
位置关系 符号
直线与 平面 直线在平面内 a α
直线在 平面外 直线与平面相交 a∩α＝A
直线与平面平行 a∥α
平面与 平面 两平面平行 α∥β
两平面相交 α∩β＝l
5．定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
1．判断空间直线的位置关系一般有两种方法：
一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点P的连线和平面内不经过点P的直线是异面直线．” 如图所示．
2．异面直线所成角的求法
(1)平移使相交：通过平移一条(或2条)直线，使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角．
(2)向量法：已知a，b为异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈〉|＝．
考点一　基本事实的应用
[典例1]　已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：
(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
[证明]　(1)如图所示，连接B1D1．
因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1．
在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD，
所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，E，F四点共面．
(2)连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，平面DBFE为β．
因为Q∈A1C1，所以Q∈α．
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF所以DE与BF相交，
设交点为M，则由M∈DE，DE 平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1．
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，
所以M∈CC1．
所以DE，BF，CC1三线交于一点．
名师点评：共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内(或证两平面重合)．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
[巩固迁移]
1．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
C　[由题意知，D∈l，l β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面ABC与平面β的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD．故选C．]
考点二　空间两直线位置关系的判定
[典例2]　(1)已知三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是(　　)
A．b，c是异面直线 B．b∩c＝P
C．b∥c D．a与c没有公共点
(2)(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线A1M与DD1是异面直线
(1)B　(2)CD　[(1)∵α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∩b＝P，∴P∈a，P∈b，而a α，b γ，则P∈α，P∈γ，
而γ∩α＝c，∴P∈c，
可得a∩c＝P，b∩c＝P．
故选B．
(2)因为点A在平面CDD1C1外，
点M在平面CDD1C1内，
直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，
所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；
取DD1的中点E，连接AE(图略)，
则BN∥AE，但AE与AM相交，
所以AM与BN不平行，故B错误；
因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，
点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，
所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．]
名师点评：空间中两直线位置关系的判定方法
[巩固迁移]
2．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
D　[法一(反证法)：由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．故选D．
法二(模型法)：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．
]
3．(2025·山东济南三模)如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
D　[对于A，如图，PQ∥CD∥AB∥MN，M，N，P，Q四点共面，A不符合题意；
对于B，如图，MP∥GH∥EF∥NQ，M，N，P，Q四点共面，B不符合题意；
对于C，如图，MP∥KL∥NQ，M，N，P，Q四点共面，C不符合题意；
对于D，如图，PQ 平面MPQ，N 平面MPQ，M∈平面MPQ，M 直线PQ，则MN与PQ是异面直线，D符合题意．
故选D．]
【教用·备选题】
若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[空间中的两条直线a，b异面，则a，b没有公共点；反之，空间中的两条直线a，b没有公共点，不一定得到a，b异面，也可能a，b是平行直线，所以“a，b异面”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件．
故选A．]
考点三　异面直线所成的角
[典例3]　在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
C　[法一(平移法)：如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成的角．因为在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，
DM＝，DB1＝，
所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，在△DMO中，由余弦定理的推论，
得cos∠MOD＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选C．
法二(补形法)：如图，在长方体ABCD A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A'B'BA A'1B'1B1A1．连接B1B'，由长方体的性质可知，B1B'∥AD1，所以∠DB1B'或其补角为异面直线AD1与DB1所成的角．连接DB'，由题意，得DB'＝，B'B1＝＝2，DB1＝．
在△DB'B1中，由余弦定理，得
DB'2＝B'＋D－2B'B1·DB1·cos∠DB1B'，
即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B'，
∴cos∠DB1B'＝．
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
故选C．
法三(坐标法)：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，＝(－1，0，＝(1，1，)，则cos〈〉＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选C．]
名师点评：求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交形成三角形．平移直线的方法有：(1)直接平移；(2)中位线平移；(3)补形平移．
[巩固迁移]
4．(2026·辽宁大连模拟)在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为线段A1D上的动点，则直线PC1与B1C所成角的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
D　[在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1C1＝A1D＝C1D，所以△A1C1D为等边三角形，
因为A1D∥B1C，所以∠A1PC1或其补角为直线PC1与B1C所成的角，
由等边三角形的性质知，当点P与线段A1D的端点重合时，直线PC1与B1C所成的角取得最小值，
当点P与线段A1D的中点重合时，直线PC1与B1C所成的角取得最大值，故直线PC1与B1C所成角的取值范围是．
故选D．]
5．(2026·山东济南模拟)如图，在三棱锥P ABC中，异面直线AC与PB所成的角为60°，E，F分别为棱PA，BC的中点，若AC＝2，PB＝4，则EF＝(　　)
A． B．2
C． D．2或
C　[取AB的中点H，
连接FH，EH，如图，
因为E，F分别为棱PA，BC的中点，
则FH∥AC，EH∥PB，
又异面直线AC与PB所成的角为60°，
则∠EHF＝60°或∠EHF＝120°，
又FH＝AC＝1，EH＝PB＝2，
由余弦定理得，
EF2＝22＋12－2×2×1×＝3或EF2＝22＋12－2×2×1×＝7，
即EF＝或EF＝．
故选C．]
【教用·备选题】
1．(2025·吉林长春期末)如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M，N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM与CN 所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
A　[如图，连接DM，取DM的中点P，连接PN，PC，因为M，N分别是BC与AD的中点，故NP∥AM，
则∠CNP或其补角即为异面直线AM与CN 所成的角，
AM＝CN＝，
则PM＝PN＝．易知DM⊥BC，
则PC＝，
在△CPN中，由余弦定理的推论得，
cos∠CNP＝＝．
故选A．]
2．(2025·江苏南京三模)在直三棱柱ABC A1B1C1中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是(　　)
A． B．
C． D．
D　[连接BF，因为C1F＝BE，C1F∥BE，所以四边形C1FBE为平行四边形，所以BF∥C1E，所以∠DFB或其补角即为异面直线DF与C1E所成的角．
设AB＝2，则BD＝1，BF＝，
连接EF，DE，则DE＝AC＝1，因为EF∥BB1，
所以EF⊥平面ABC，DE 平面ABC，所以EF⊥DE，
EF＝BB1＝2，DF＝＝，
由余弦定理的推论得cos∠DFB＝．
所以异面直线DF与C1E所成角的余弦值是．故选D．]
3．如图，圆台OO1的上底面半径O1A1＝1，下底面半径OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为_____________．
45°　[在直角梯形OO1A1A中，因为B为OA的中点，OA＝2，所以O1A1＝OB＝AB＝1，连接A1B(图略)，易知四边形OO1A1B为矩形，所以OO1∥A1B，所以∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角．在Rt△AA1B中，因为AA1＝2，AB＝1，所以A1B＝．连接OC(图略)，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2，得BC＝．在Rt△A1BC中，因为BC＝A1B，所以∠BA1C＝45°．]
课后作业(四十七)　空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单项选择题
1．若直线上有两个点在平面外，则(　　)
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
D　[两点确定一条直线，由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，所以直线与平面相交或直线与平面平行，则可知直线上至多有一个点在平面内．故选D．]
2．(2026·江苏南通模拟)空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作的平面个数为(　　)
A．42 B．56
C．64 D．81
B　[根据题意知“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，所以可确定的平面个数是＝56．故选B．]
3．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为(　　)
A． B．
C． D．
C　[连接A1B(图略)，因为A1B∥D1C，所以A1D与A1B所成的角即为异面直线A1D与D1C所成的角，因为△A1BD为正三角形，所以A1D与A1B所成的角为，所以异面直线A1D与D1C所成的角为．
故选C．]
4．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(　　)
A．点P必在直线AC上
B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面DBC内
D．点P必在平面ABC外
A　[如图，因为EF 平面ABC，而GH 平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．
]
5．(2023·上海春季卷)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(　　)
A．DD1 B．AC
C．AD1 D．B1C
B　[对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；
对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；
对于C，当点P与点C1重合时，BP与AD1是平行直线；
对于D，当点P与点C1重合时，BP与B1C是相交直线．
故选B．]
6．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是(　　)
A．E，F，G，H四点共面
B．EF∥GH
C．EG，FH，AA1三线共点
D．∠EGB1＝∠FHC1
D　[对于AB，如图，连接EF，GH，因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1，因为B1E∥C1F，且B1E＝C1F，所以四边形B1EFC1是平行四边形，所以EF∥B1C1，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面，故AB正确；
对于C，如图，延长EG，FH相交于点P，因为P∈EG，EG 平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，
因为P∈FH，FH 平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1，因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，所以P∈AA1，所以EG，FH，AA1三线共点，故C正确；
对于D，当三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱时，tan∠EGB1＝，tan∠FHC1＝，且EB1＝FC1，当GB1≠HC1时，tan∠EGB1≠tan∠FHC1，
所以∠EGB1与∠FHC1不一定相等，故D错误．故选D．]
二、多项选择题
7．已知空间中的平面α，直线l，m，n以及点A，B，C，D，则以下四个命题中，不正确的是(　　)
A．在空间中，四边形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形
B．若l α，A∈l，则A α
C．若m α，n α，A∈m，B∈n，A∈l，B∈l，则l α
D．若l和m是异面直线，n和l是平行直线，则n和m是异面直线
ABD　[对于A项，正四面体A BCD的各棱长均相等，四边形ABCD为空间四边形，不是菱形，故A项错误；
对于B项，若l α，则l∥α或l与α相交，所以A α或A∈α(此时A为l与α的交点)，故B项错误；
对于C项，由已知可得，A∈α，B∈α，即直线l上有两个点在平面α内，根据基本事实2可知l α，故C项正确；
对于D项，如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1B1与BC异面(l，m是异面直线)，A1B1∥AB(l∥n)，
但AB∩BC＝B(m，n相交)，故D项错误．故选ABD．]
8．(人教A版必修第二册P132习题8.4T9改编)如图是正方体的展开图，则在该正方体中(　　)
A．AB与CD异面
B．CD与GH平行
C．EF与GH成60°角
D．CD与EF相交
AC　[该正方体的直观图如图所示，
AB与CD是异面直线，A正确；CD与GH相交，B错误；因为该几何体为正方体，所以EF∥CD，△GHD为正三角形，直线GH与直线GD所成的角为60°，则EF与GH所成的角为60°，C正确，CD与EF平行，D错误．
故选AC．]
三、填空题
9．(人教A版必修第二册P132习题8.4T5改编)三个平面最多把空间分为_____________部分，最少把空间分成_____________部分．
8　4　[三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．]
10．有下列四个命题：
①空间四点共面，则其中必有三点共线；
②空间四点不共面，则其中任意三点不共线；
③空间四点中有三点共线，则此四点共面；
④空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面．
其中所有真命题的序号为_____________．
②③　[①中，对于平面四边形来说不成立，故①是假命题；②中，若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故②是真命题；由②的分析可知③是真命题；④中，平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故④是假命题．]
四、解答题
11．如图，ABCD为空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且DH＝AD，DG＝CD．求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)EH，FG必相交且交点在直线BD上．
[证明]　(1)连接EF，HG，
由E，F分别为AB，BC的中点，则EF∥AC，
又DH＝AD，DG＝CD，则HG∥AC，
∴EF∥HG，
∴E，F，G，H四点共面．
(2)由DH＝AD，DG＝CD，
易知HG＝AC，
又E，F分别为AB，BC的中点，即EF＝AC，
∴HG≠EF．
结合(1)的结论可知，四边形EFGH是梯形，因此直线EH，FG不平行，
设它们的交点为P，则P∈平面ABD，P∈平面BCD，
又平面ABD∩平面BCD＝BD，因此P∈BD，
即EH，FG必相交且交点在直线BD上．
12．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC＝BC＝2，沿其中位线DE将三角形ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A BCDE，设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q．
(1)求证：M，N，P，Q四点共面；
(2)求异面直线BE与MQ所成的角．
[解]　(1)证明：由题意易知PQ∥DE，MN∥DE，所以PQ∥MN，所以M，N，P，Q四点共面．
(2)由条件知AD＝1，DC＝1，BC＝2，如图，延长ED至R，使DR＝ED，则ER＝BC，ER∥BC，故四边形ERCB为平行四边形，所以CR∥EB．又AC∥QM，所以∠ACR(或其补角)为异面直线BE与MQ所成的角．因为DA＝DC＝DR，且三条直线两两互相垂直，由勾股定理得AC＝AR＝CR＝，所以△ACR为正三角形，所以∠ACR＝60°，所以异面直线BE与MQ所成的角为60°．
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