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教材拓展4　圆锥曲线中的等角定理
1．椭圆中的等角定理
已知椭圆C：＝1(a>b>0)，直线l过定点(m，0)(m≠0，|m|≠a)且不垂直于x轴，同时直线l与椭圆C交于P，Q两点，则x轴上存在点R，使得直线RP，RQ与x轴的夹角相等．
逆定理
已知椭圆C：(m≠0，|m|≠a)，设直线l不垂直于x轴，同时直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线RP，RQ与x轴的夹角相等，则直线l恒过定点(m，0)．
注：定点所在轴只需要与a保持一致即可，不要求在椭圆内，也不要求在椭圆外，如图所示．
证明：普通联立法即可．
2．双曲线中的等角定理
已知双曲线C：＝1(a>b>0)，直线l过定点(m，0)(m≠0，|m|≠a)且不垂直于x轴，同时直线l与双曲线C交于P，Q两点，则x轴上存在点R，使得直线RP，RQ与x轴的夹角相等．
逆定理
已知双曲线C：(m≠0，|m|≠a)．设l不垂直于x轴，同时直线l与双曲线C交于P，Q两点，若直线RP，RQ与x轴的夹角相等，则直线恒过定点(m，0)．
注：定点在实轴上即可，不要求在双曲线内部，也不要求过定点的直线必须是和同一侧曲线相交于两点，包括如下三种情况，证明过程一致．
证明：普通联立法即可．
3．抛物线中的等角定理
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l过定点(m，0)(m≠0)，同时直线l与抛物线C交于P，Q两点，则x轴上存在点R(－m，0)，使得直线RP，RQ与x轴的夹角相等．
逆定理
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与x轴上定点R(m，0)(m≠0)，直线l与抛物线C交于P，Q两点，若直线RP，RQ与x轴的夹角相等，则直线恒过定点(－m，0)．
注：定点在对称轴上即可．
【典例展示】　设椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
[赏析]　(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1．
点A的坐标为．
又M(2，0)，所以直线AM的方程为y＝－．
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°．
当l与x轴垂直时，OM为线段AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB．
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1<．
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得，
kMA+kMB＝．
将y＝k(x－1)代入+y2＝1，得
(2k2+1)x2－4k2x+2k2－2＝0，Δ＝(－4k2)2－4(2k2+1)·(2k2－2)>0，
所以x1+x2＝．
则2kx1x2－3k(x1+x2)+4k＝＝0．
从而kMA+kMB＝0，故直线MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA＝∠OMB．
综上，∠OMA＝∠OMB．
点拨：解析几何中与角有关的问题可以向斜率转化．
【纵深攻略】
已知F(1，0)是椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点，过点F作直线l交椭圆于A，B两点，其中A在x轴上方．当AB⊥x轴时，|AB|＝3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P(4，0)，
(ⅰ)求证：∠APF＝∠BPF；
(ⅱ)设点M在椭圆C上，点N是△FMP的外接圆与椭圆C的另一个交点(异于M)，若MF平分∠AMB，且，求cos∠ANB的值．
3/3教材拓展2　等和(高)线定理
已知平面内一个基底{(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上(如图)，且k＝，
则λ+μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和(高)线．
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过点O时，k＝0．
【典例展示】
给定两个长度为3的平面向量
，其中x，y∈R，则x+y的最大值是____________．
[赏析]　法一(常规解法)：
建立如图所示的平面直角坐标系，则A(3，0)，B，设C(3cos α，3sin α)，α∈ (3cos α，3sin α)＝x(3，0)+y
时，x+y取最大值，最大值为2．
法二(等和线法)：
如图所示，设x+y＝k，则直线AB为k＝1的等和线，所有与直线AB平行的等和线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OE⊥AB，∵OA＝3，∠AOB＝，
∴OE＝＝2，即x+y的最大值为2．
[答案]　2
【纵深攻略】
1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内(包括边界)的一个动点，设(λ，μ∈R)，则λ+μ的取值范围是 (　　)
A． B．[3，4]
C．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若(λ，μ∈R)，则λ+μ＝ (　　)
A．1 B．
2/2教材拓展3　抛物线中的阿基米德三角形
如图，假设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，F为抛物线的焦点，过抛物线准线y＝－上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由点P和两切点A，B围成的△PAB称为“阿基米德三角形”，在△PAB中有如下的常见结论：
(1)抛物线在A处的切线方程：x1x＝p(y+y1)，抛物线在B处的切线方程：x2x＝p(y+y2)，直线AB的方程：x0x＝2p＝p(y0+y)；
(2)直线AB过抛物线的焦点；
(3)过点F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作抛物线的两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线；
(4)PF⊥AB；
(5)AP⊥PB；
(6)设线段AB的中点为M，则PM平行(或重合)于抛物线的对称轴．
【典例展示】　已知曲线C：y＝上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
[赏析]　(1)证明：设D，A(x1，y1)，
则＝2y1．
由y'＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1．
整理得2tx1－2y1+1＝0．
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2+1＝0．
故直线AB的方程为2tx－2y+1＝0．
所以直线AB过定点．
(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx+．
由
可得x2－2tx－1＝0，Δ＝4t2+4>0．
于是x1+x2＝2t，x1x2＝－1，y1+y2＝t(x1+x2)+1＝2t2+1，
|AB|＝×＝2(t2+1)．
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝．
因此，四边形ADBE的面积S＝．
设M为线段AB的中点，则M．
由于⊥与向量(1，t)平行，所以t+(t2－2)t＝0．
解得t＝0或t＝±1．
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4．
因此，四边形ADBE的面积为3或4．
【纵深攻略】
(多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家．若抛物线上任意两点A，B处的切线交抛物线的准线于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y+2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论正确的是 (　　)
A．点P(，－2) B．PC⊥x轴
C．PA⊥PB D．PF⊥AB
2/2教材拓展
教材拓展1　端点效应
端点效应是指在求解不等式恒成立问题时，通过分析函数在区间端点的取值或极限行为，得到参数的必要条件，从而缩小参数范围的一种方法，通常结合导数工具进一步验证充分性．端点效应适用于形如“对任意的x∈[a，b]，f (x)≥0(或f (x)≤0)恒成立，求参数范围”的问题，尤其当函数在端点处取值为零或极限为零时，端点效应可能有效．
(1)如图1，如果连续函数f (x)在区间[a，b]上单调，f (x)≥0恒成立，则f (a)≥0且f (b)≥0．
(2)一阶端点效应：如果在区间[a，b]上，f (x)≥0恒成立，且f (a)＝0(或f (b)＝0)，则f '(a)≥0(或f '(b)≤0)．如图2．因为如果f '(a)<0，那么函数会在x＝a右侧的一个小区间内先单调递减，此时函数f (x)在x≥a时不恒为非负值，不满足要求，如图3．
这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应．
类似地，如果连续函数f (x)在某一点a处的函数值f (a)恰好为零，当x>a时，f (x)<0恒成立的一个必要条件为a处的导数值f '(a)<0．
(3)二阶端点效应：如图4，如果函数f (x)在区间[a，b]上，f (x)≥0恒成立，且f (a)＝0，f '(a)＝0(或f (b)＝0，f '(b)＝0)，则f ″(a)≥0(或f ″(b)≤0)．
【典例展示】　已知函数f (x)＝(1－ax)ln(1+x)－x，当x≥0时，f (x)≥0，求实数a的取值范围．
[赏析]　f (x)＝(1－ax)ln(1+x)－x≥0， x∈[0，+∞)，
第一步：代入端点值，验证f (0)是否为0
因为f (0)＝0，
第二步：求导，验证f '(0)是否为0
f '(x)＝－aln(x+1)+－1，可得f '(0)＝0，
第三步：再求导，求f ″(0)
f ″(x)＝－，可得f ″(0)＝－2a－1，
第四步：令f ″(0) ≥0，估计实数a的取值范围
令f ″(0)＝－2a－1≥0，得a≤－．
第五步：对实数a的取值范围进行充分性证明
下面只需证当a≤－时，对任意x≥0，f (x)≥0恒成立．
f (x)＝(1－ax)ln(1+x)－x≥ln(1+x)－x，
令g(x)＝ln(1+x)－x，
g'(x)＝－1，
g″(x)＝≥0， x∈[0，+∞)，
所以g'(x)在[0，+∞)上单调递增，
g'(x)≥g'(0)＝0， x∈[0，+∞)，
即得g(x)在[0，+∞)上单调递增，f (x)≥g(x)≥g(0)＝0， x∈[0，+∞)，
综上所述，实数a的取值范围为．
名师点评：对任意x∈[m，n]，f (x)≥0恒成立求参数这类题目，求解流程如下：
(1)若f (m)＝0，则求f '(x)，判断令f '(m)＝0时是否含有参数．若有，则停止求导；若没有，继续(2)．
(2)若f '(m)＝0，则求f ″(x)，判断令f ″(x)＝0时是否含有参数．若有，则停止求导；若没有，继续(3)．
(3)……求n阶导数直到求出参数范围．
(4)若端点导函数值不为0，直接令导函数在端点处的函数值大于等于0(或者小于等于0)，求出参数范围然后证明即可．
【纵深攻略】
已知函数f (x)＝ln(x+1)+ax2－x(a∈R)．当x≥0时，f (x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
3/3教材拓展
教材拓展1　端点效应
端点效应是指在求解不等式恒成立问题时，通过分析函数在区间端点的取值或极限行为，得到参数的必要条件，从而缩小参数范围的一种方法，通常结合导数工具进一步验证充分性．端点效应适用于形如“对任意的x∈[a，b]，f (x)≥0(或f (x)≤0)恒成立，求参数范围”的问题，尤其当函数在端点处取值为零或极限为零时，端点效应可能有效．
(1)如图1，如果连续函数f (x)在区间[a，b]上单调，f (x)≥0恒成立，则f (a)≥0且f (b)≥0．
(2)一阶端点效应：如果在区间[a，b]上，f (x)≥0恒成立，且f (a)＝0(或f (b)＝0)，则f '(a)≥0(或f '(b)≤0)．如图2．因为如果f '(a)<0，那么函数会在x＝a右侧的一个小区间内先单调递减，此时函数f (x)在x≥a时不恒为非负值，不满足要求，如图3．
这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应．
类似地，如果连续函数f (x)在某一点a处的函数值f (a)恰好为零，当x>a时，f (x)<0恒成立的一个必要条件为a处的导数值f '(a)<0．
(3)二阶端点效应：如图4，如果函数f (x)在区间[a，b]上，f (x)≥0恒成立，且f (a)＝0，f '(a)＝0(或f (b)＝0，f '(b)＝0)，则f ″(a)≥0(或f ″(b)≤0)．
【典例展示】　已知函数f (x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x，当x≥0时，f (x)≥0，求实数a的取值范围．
[赏析]　f (x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x≥0， x∈[0，＋∞)，
第一步：代入端点值，验证f (0)是否为0
因为f (0)＝0，
第二步：求导，验证f '(0)是否为0
f '(x)＝－aln(x＋1)＋－1，可得f '(0)＝0，
第三步：再求导，求f ″(0)
f ″(x)＝－，可得f ″(0)＝－2a－1，
第四步：令f ″(0) ≥0，估计实数a的取值范围
令f ″(0)＝－2a－1≥0，得a≤－．
第五步：对实数a的取值范围进行充分性证明
下面只需证当a≤－时，对任意x≥0，f (x)≥0恒成立．
f (x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x≥ln(1＋x)－x，
令g(x)＝ln(1＋x)－x，
g'(x)＝－1，
g″(x)＝≥0， x∈[0，＋∞)，
所以g'(x)在[0，＋∞)上单调递增，
g'(x)≥g'(0)＝0， x∈[0，＋∞)，
即得g(x)在[0，＋∞)上单调递增，f (x)≥g(x)≥g(0)＝0， x∈[0，＋∞)，
综上所述，实数a的取值范围为．
名师点评：对任意x∈[m，n]，f (x)≥0恒成立求参数这类题目，求解流程如下：
(1)若f (m)＝0，则求f '(x)，判断令f '(m)＝0时是否含有参数．若有，则停止求导；若没有，继续(2)．
(2)若f '(m)＝0，则求f ″(x)，判断令f ″(x)＝0时是否含有参数．若有，则停止求导；若没有，继续(3)．
(3)……求n阶导数直到求出参数范围．
(4)若端点导函数值不为0，直接令导函数在端点处的函数值大于等于0(或者小于等于0)，求出参数范围然后证明即可．
【纵深攻略】
已知函数f (x)＝ln(x＋1)＋ax2－x(a∈R)．当x≥0时，f (x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　由题意可得f (0)＝0，
f '(x)＝＋2ax－1，此时f '(0)＝0；
f ″(x)＝－＋2a，此时f ″(0)＝2a－1；
要想对任意的x≥0，f (x)≥0恒成立，则必有f ″(0)＝2a－1≥0，即得a≥．
即得a≥是f (x)≥0在x≥0时恒成立的一个必要条件．
下面证明充分性，即证当a≥时，对任意x≥0，f (x)≥0恒成立．
f (x)＝ln(x＋1)＋ax2－x≥ln(x＋1)＋x2－x，
令g(x)＝ln(x＋1)＋x2－x，
则g'(x)＝≥0，
即得g(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0；
即得 x∈[0，＋∞)，f (x)≥g(x)≥0恒成立．
充分性得证．
综上所述，实数a的取值范围为．
教材拓展2　等和(高)线定理
已知平面内一个基底{(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上(如图)，且k＝，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和(高)线．
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过点O时，k＝0．
【典例展示】给定两个长度为3的平面向量
，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是_____________．
[赏析]　法一(常规解法)：
建立如图所示的平面直角坐标系，则A(3，0)，B
时，x＋y取最大值，最大值为2．
法二(等和线法)：如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为k＝1的等和线，所有与直线AB平行的等和线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OE⊥AB，∵OA＝3，∠AOB＝＝2，即x＋y的最大值为2．
[答案]　2
【纵深攻略】
1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内(包括边界)的一个动点，设(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)
A． B．[3，4]
C．
B　[直线BF为k＝1的等和线，当点P在△CDE内时，直线EC是距点A最近的等和线，过点D的等和线是最远的，所以λ＋μ∈．设正六边形的边长为2，则AN＝3，AM＝1，AD＝4，故λ＋μ∈[3，4]．故选B．
]
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　)
A．1 B．
B　[法一(常规法)：因为E为线段AO的中点，所以．故选B．
法二(等和线法)：如图，直线AD是定值为1的等和线，延长BE交AD于点F，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝．故选B．
]
教材拓展3　抛物线中的阿基米德三角形
如图，假设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，F为抛物线的焦点，过抛物线准线y＝－上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由点P和两切点A，B围成的△PAB称为“阿基米德三角形”，在△PAB中有如下的常见结论：
(1)抛物线在A处的切线方程：x1x＝p(y＋y1)，抛物线在B处的切线方程：x2x＝p(y＋y2)，直线AB的方程：x0x＝2p＝p(y0＋y)；
(2)直线AB过抛物线的焦点；
(3)过点F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作抛物线的两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线；
(4)PF⊥AB；
(5)AP⊥PB；
(6)设线段AB的中点为M，则PM平行(或重合)于抛物线的对称轴．
【典例展示】　已知曲线C：y＝上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
[赏析]　(1)证明：设D，A(x1，y1)，
则＝2y1．
由y'＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1．
整理得2tx1－2y1＋1＝0．
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0．
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0．
所以直线AB过定点．
(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋．
由
可得x2－2tx－1＝0，Δ＝4t2＋4>0．
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝×＝2(t2＋1)．
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝．
因此，四边形ADBE的面积S＝．
设M为线段AB的中点，则M．
由于与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0．
解得t＝0或t＝±1．
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4．
因此，四边形ADBE的面积为3或4．
【纵深攻略】
(多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家．若抛物线上任意两点A，B处的切线交抛物线的准线于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论正确的是(　　)
A．点P(，－2) B．PC⊥x轴
C．PA⊥PB D．PF⊥AB
BCD　[由 消去y可得x2－8x－16＝0．
令A，Δ>0，则x1＋x2＝8，x1x2＝－16，
∵y＝，
∴直线PA：y＝，
直线PB：y＝，
联立解得
即P(4，－2)，A错误；
∵xC＝＝4，∴PC⊥x轴，B正确；
∵kPA·kPB＝＝－1，
∴PA⊥PB，C正确；
∵kPF＝＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，
∴PF⊥AB，D正确．
故选BCD．]
教材拓展4　圆锥曲线中的等角定理
1．椭圆中的等角定理
已知椭圆C：，使得直线RP，RQ与x轴的夹角相等．
逆定理
已知椭圆C：(m≠0，|m|≠a)，设直线l不垂直于x轴，同时直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线RP，RQ与x轴的夹角相等，则直线l恒过定点(m，0)．
注：定点所在轴只需要与a保持一致即可，不要求在椭圆内，也不要求在椭圆外，如图所示．
证明：普通联立法即可．
2．双曲线中的等角定理
已知双曲线C：，使得直线RP，RQ与x轴的夹角相等．
逆定理
已知双曲线C：(m≠0，|m|≠a)．设l不垂直于x轴，同时直线l与双曲线C交于P，Q两点，若直线RP，RQ与x轴的夹角相等，则直线恒过定点(m，0)．
注：定点在实轴上即可，不要求在双曲线内部，也不要求过定点的直线必须是和同一侧曲线相交于两点，包括如下三种情况，证明过程一致．
证明：普通联立法即可．
3．抛物线中的等角定理
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l过定点(m，0)(m≠0)，同时直线l与抛物线C交于P，Q两点，则x轴上存在点R(－m，0)，使得直线RP，RQ与x轴的夹角相等．
逆定理
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与x轴上定点R(m，0)(m≠0)，直线l与抛物线C交于P，Q两点，若直线RP，RQ与x轴的夹角相等，则直线恒过定点(－m，0)．
注：定点在对称轴上即可．
【典例展示】　设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
[赏析]　(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1．
点A的坐标为．
又M(2，0)，所以直线AM的方程为y＝－．
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°．
当l与x轴垂直时，OM为线段AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB．
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1<．
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得，
kMA＋kMB＝．
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝(－4k2)2－4(2k2＋1)·(2k2－2)>0，
所以x1＋x2＝．
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0．
从而kMA＋kMB＝0，故直线MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA＝∠OMB．
综上，∠OMA＝∠OMB．
点拨：解析几何中与角有关的问题可以向斜率转化．
【纵深攻略】
已知F(1，0)是椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点，过点F作直线l交椭圆于A，B两点，其中A在x轴上方．当AB⊥x轴时，|AB|＝3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P(4，0)，
(ⅰ)求证：∠APF＝∠BPF；
(ⅱ)设点M在椭圆C上，点N是△FMP的外接圆与椭圆C的另一个交点(异于M)，若MF平分∠AMB，且，求cos∠ANB的值．
[解]　(1)由题知，|AB|＝．
故椭圆C的标准方程为＝1．
(2)(ⅰ)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线l的斜率不为0，y1>0，y2<0．
设直线AB的方程为l：x＝my＋1，与椭圆方程联立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ>0．
则有y1＋y2＝－，①
设直线AP与直线BP的斜率分别为k1，k2，则
k1＋k2＝＝0，
所以∠APF＝∠BPF．
(ⅱ)设T(x0，y0)满足，则
，②
将x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入②，并化简得
＋1＝0，③
将(ⅰ)中①代入③得y0＋4＝0，
即．
又因为直线AB和直线x＝4的交点为R．
故满足的T点都在以FR为直径的圆上．
因为R，P，F，M，N都在以FR为直径的圆上，
故，所以NF是∠ANB的角平分线．
则S△ANF＋S△BNF＝S△ABN，
所以|NA|·|NF|·sin∠ANF＋|NB|·|NF|·sin∠BNF＝|NA|·|NB|·sin∠ANB，
即＝．
所以，
解得cos∠ANF＝，
所以cos∠ANB＝．
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