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强基培优
强基培优1　指数式、对数式、幂式的大小比较
培优点一　临界值法比较大小
【典例展示1】　(1)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
(2)已知a＝log53，b＝log6，c＝log78，则 (　　)
A．aC．b[尝试解答]
名师点评：临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”“”的大小关系．
【纵深攻略】
1．已知a＝log42，b＝，则 (　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
培优点二　数形结合法比较大小
【典例展示2】　(多选)已知实数a，b，c满足2a＝＝log2c，则下列关系可能成立的是 (　　)
A．bC．a[尝试解答]
名师点评：本例属于方程根问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如将问题转化为函数y＝2x， y＝， y＝log2x的图象与直线y＝t的交点的横坐标的大小关系，再画出图象，数形结合求解即可．
【纵深攻略】
2．若ea＝－ln a，e-b＝ln b，e-c＝－ln c，则 (　　)
A．aC．b培优点三　利用指数、对数及幂的运算
性质比较大小
【典例展示3】　(1)设a＝，则a，b，c三个数的大小关系为 (　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．b>a>c D．c>a>b
(2)已知a＝，则 (　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
[尝试解答]
名师点评：作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定两值的大小关系．
【纵深攻略】
3．若a＝log54，b＝log43，c＝，则 (　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>b>a
4．设a＝lo3，b＝log812，c＝lg 15，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．aC．b培优点四　构造函数法比较大小
【典例展示4】　(1)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是 (　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．b>c>a
(2)若2a+log2a＝4b+2log4b，则 (　　)
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a[尝试解答]
名师点评：求解此类问题的关键是发现题眼、构造函数，如本例(1)的题眼是“对a，b，c同除以6π”，进而从．
【纵深攻略】
5．已知a＝log23+log32，b＝log45+log54，则下列结论正确的是 (　　)
A．a>b>2 B．a>2>b
C．b>a>2 D．2>a>b
培优点五　特值法、设元法比较大小
【典例展示5】　设x，y，z为正实数，且2x＝3y＝5z，则 (　　)
A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z
C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y
[尝试解答]
名师点评：本题利用特值法求解，简洁、明了；利用设元法求解，关键在于转化为比较的大小，便于运用对数函数的单调性．
【纵深攻略】
6．已知2+log2x＝3+log3y＝5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为 (　　)
A．x>y>z B．x>z>y
C．y>x>z D．y>z>x
1/3强基培优
强基培优1　指数式、对数式、幂式的大小比较
培优点一　临界值法比较大小
【典例展示1】　(1)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
(2)已知a＝log53，b＝log6，c＝log78，则(　　)
A．aC．b(1)B　(2)D　[(1)因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c．故选B．
(2)因为log78>log77＝1，log6名师点评：临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”“”的大小关系．
【纵深攻略】
1．已知a＝log42，b＝，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
D　[因为a＝log42＝>π0＝1，所以c>a>b．故选D．]
培优点二　数形结合法比较大小
【典例展示2】　(多选)已知实数a，b，c满足2a＝＝log2c，则下列关系可能成立的是(　　)
A．bC．aABC　[令2a＝，y＝log2x的图象．
由图象可知，
当y＝t在①位置时，b当y＝t在②位置时，a当y＝t在③位置时，ab名师点评：本例属于方程根问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如将问题转化为函数y＝2x， y＝， y＝log2x的图象与直线y＝t的交点的横坐标的大小关系，再画出图象，数形结合求解即可．
【纵深攻略】
2．若ea＝－ln a，e-b＝ln b，e-c＝－ln c，则(　　)
A．aC．bB　[在同一直角坐标系中画出y＝ex，y＝e-x，y＝ln x，y＝－ln x的图象，
由图象可知a培优点三　利用指数、对数及幂的
运算性质比较大小
【典例展示3】　(1)设a＝，则a，b，c三个数的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．b>a>c D．c>a>b
(2)已知a＝，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
(1)C　(2)D　[(1)由题意得a>0，b>0，c>0，
>1，故a>c，故b>a>c．故选C．
(2)由题意知b＝，
又函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，而3.4>，
又y＝3x在R上单调递增，所以，即a>c>b．故选D．]
名师点评：作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定两值的大小关系．
【纵深攻略】
3．若a＝log54，b＝log43，c＝，则(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>b>a
C　[因为81>64，所以3>，即b>c．
又lg 5>0，lg 3>0，
所以lg 5×lg 3<)2．
因为lg 4>lg，
所以>1，
即log54>log43，所以a>b>c．
故选C．]
4．设a＝lo3，b＝log812，c＝lg 15，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．bD　[a＝log23＝log2，
b＝log812＝log8，
c＝lg 15＝lg，
∵0b>c．
故选D．]
培优点四　构造函数法比较大小
【典例展示4】　(1)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．b>c>a
(2)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a(1)D　(2)B　[(1)的大小比较．
设f (x)＝，当x＝e时，f '(x)＝0，
当x>e时，f '(x)<0，当00，
∴f (x)在(e，＋∞)上单调递减，∵e<3<π<4，
∴，∴b>c>a．故选D．
(2)令f (x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，所以f (a)故选B．]
名师点评：求解此类问题的关键是发现题眼、构造函数，如本例(1)的题眼是“对a，b，c同除以6π”，进而从．
【纵深攻略】
5．已知a＝log23＋log32，b＝log45＋log54，则下列结论正确的是(　　)
A．a>b>2 B．a>2>b
C．b>a>2 D．2>a>b
A　[设f (x)＝x＋，x>0，则由对勾函数图象(图略)，f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f (x)min＝f (1)＝2，
且a＝log23＋log32＝log23＋＝f (log45)，
因为log23>log2＝log45>1，
所以f (log23)>f (log45)>f (1)，即a>b>2．
故选A．]
培优点五　特值法、设元法比较大小
【典例展示5】　设x，y，z为正实数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z
C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y
A　[法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log2253y．综上可得，3y<2x<5z．故选A．
法二(设元法)：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以，所以3y<2x<5z．故选A．]
名师点评：本题利用特值法求解，简洁、明了；利用设元法求解，关键在于转化为比较的大小，便于运用对数函数的单调性．
【纵深攻略】
6．已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A．x>y>z B．x>z>y
C．y>x>z D．y>z>x
B　[令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，此时x>y>z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x．故选B．]
教用备选题·强基培优(一)　指数式、对数式、幂式的大小比较
一、单项选择题
1．设a＝0.60.3，b＝0.30.3，c＝0.30.6，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．aD　[因为指数函数y＝0.3x在R上单调递减，
所以0.30.3>0.30.6，即b>c，又幂函数y＝x0.3在[0，＋∞)上单调递增，所以0.60.3>0.30.3，即a>b，所以a>b>c．]
2．设a＝50.4，b＝，c＝log32，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．bB　[因为b＝＝50.6>50.4＝a，且a＝50.4>1，c＝log323．已知a＝log23，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．cD　[a＝log23>log22＝1，
由32>23，得3>，即a>c>1；
b＝log434．若a＝－log0.220，b＝log624，c＝log312，则(　　)
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．c>b>a
A　[a＝－log0.220＝log520＝1＋log54，
b＝log624＝1＋log64，c＝log312＝1＋log34，
因为0＝log41所以log34>log54>log64，则c>a>b．故选A．]
5．若＝2-c，则正数a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．aB　[由
的图象，如图所示，
由图可知，c6．若2-x－2-y<3x－3y，则(　　)
A．ln(x－y＋1)<0 B．ln(x－y＋1)>0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
B　[2-x－2-y<3x－3y 3x－ x>y，
对于A和B，ln(x－y＋1)>ln 1＝0，故A错误，B正确；
对于C和D，当x＝y＋1时，ln|x－y|＝ln 1＝0，故C和D错误．故选B．]
二、多项选择题
7．已知实数a，b满足log2a＋lob>0，则下列结论正确的是(　　)
A． B．loga2>logb2
C． D．2a－2b>3-a－3-b
ACD　[因为log2a＋lob>0，所以log2a>log2b，
又y＝log2x为增函数，故a>b>0，
对于A，因为 y＝为减函数，
所以，故A正确；
对于B，当a＝4，b＝2时，loga2＝对于C，0<，故C正确；
对于D，令f (x)＝2x－3-x，因为y＝2x与y＝－3-x均为增函数，所以f (x)＝2x－3-x为R上的增函数，
所以2a－2b>3-a－3-b，故D正确．
故选ACD．]
8．设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>0，则的大小关系可能是(　　)
A．
C．
ACD　[法一(特值法)：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知
，选项D正确．
法二(设元法)：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以，选项A正确．]
三、填空题
9．比较：log43_____________log54(填“<”“>”或“＝”)．
<　[依题意log43＝＝log54．]
10．使得不等式logabe，2(答案不唯一)　[不妨取a>1，b>1，由ba令函数f (x)＝，当10，当x>e时，f '(x)<0，
即函数f (x)在(1，e]上单调递增，在[e，＋∞)上单调递减，
取a，b∈(1，e]，由f (b)此时logab9/9

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