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强基培优2　导数中的函数构造
培优点一　逆用导函数思维构造函数
　利用f (x)与xn构造
【典例展示1】　(多选)已知函数f (x)的导函数为f '(x)，对任意的正数x，都满足f (x)A．f (1)<2f f (2)
C．f (1)<4f f (2)+1
[尝试解答]
　利用f (x)与ex(或enx)构造
【典例展示2】　已知定义域为R的函数f (x)满足f (1)＝，且f (x)+f '(x)<0，则不等式f (x+1)>的解集是 (　　)
A．(2，+∞) B．(－∞，2)
C．(0，+∞) D．(－∞，0)
[尝试解答]
　利用f (x)与sin x，cos x构造
【典例展示3】　已知f '(x)是函数f (x)的导函数，f (x)－f (－x)＝0，且对于任意的x∈满足f '(x)cos x+f (x)sin x>0，则下列不等式一定成立的是 (　　)
A．
B．f
C．f (－1)D．
[尝试解答]
名师点评：(1)构造可导积函数
条件 构造函数
f '(x)g(x)+f (x)g'(x)≥0 F(x)＝f (x)g(x)
f '(x)+f (x)<0 F(x)＝exf (x)
f '(x)+nf (x)<0 F(x)＝enxf (x)
xf '(x)+f (x)>0 F(x)＝xf (x)
xf '(x)+nf (x)>0 F(x)＝xnf (x)
f '(x)sin x+f (x)cos x>0 F(x)＝f (x)sin x
f '(x)cos x－f (x)sin x>0 F(x)＝f (x)cos x
(2)构造可导商函数
①'，
特别地，'；
②'，
特别地，'，'；
③'；
④'．
【纵深攻略】
1．定义在的函数f (x)，f '(x)是它的导函数，且恒有f (x)A． sin 1
C．
2．已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，f '(x)是f (x)的导函数，f (－3)＝0，当x>0时，xf '(x)－f (x)>0，则不等式f (x)<0的解集为____________．
3．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)+f '(x)>1，f (1)＝3，则不等式exf (x)>ex+2e的解集为____________．
培优点二　地位同等同构
【典例展示4】　(1)(多选)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则 (　　)
A．ea－ebC． <1
(2)已知a，b，c∈(0，1)，且a2－2ln a+1＝e，b2－2ln b+2＝e2，c2－2ln c+3＝e3，其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是____________．
[尝试解答]
名师点评：地位同等同构策略
对于含有地位同等的两个变量的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有：
原式 转化 构造函数
>k(x2>x1) f (x1)－f (x2)(x2>x1) f (x1)－f (x2)> 构造y＝f (x)+，为减函数
【纵深攻略】
4．已知α，β均为锐角，且α+β－>sin β－cos α，则 (　　)
A．sin α>sin β B．cos α>cos β
C．cos α>sin β D．sin α>cos β
5．已知函数f (x)＝ax2+(a+1)ln x+1(a≤－1)，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，恒有|f (x1)－f (x2)|≥4，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－e2] B．(－∞，－e]
C．[－2，－1] D．(－∞，－2]
培优点三　依据数值特征构造函数
【典例展示5】　(1)设a＝999ln 1 001，b＝1 000·ln 1 000， c＝1 001ln 999，则下列选项正确的是 (　　)
A．a>c>b B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
(2)已知a＝e0.8+1，b＝，c＝ln(0.8e3)，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A.a>c>b B.c>b>a
C.b>a>c D.a>b>c
[尝试解答]
名师点评：当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为所构函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小.
【纵深攻略】
6.已知a，b，c∈(1，e)且aln 5＝5ln a，bln 4＝4ln b，cln 3＝3ln c，则 (　　)
A.aC.b4/4强基培优2　导数中的函数构造
培优点一　逆用导函数思维构造函数
　利用f (x)与xn构造
【典例展示1】　(多选)已知函数f (x)的导函数为f '(x)，对任意的正数x，都满足f (x)A．f (1)<2f f (2)
C．f (1)<4f f (2)＋1
BC　[设g(x)＝>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由g(1)>g，故A错误；
由g(1)设h(x)＝(x>0)，
则h'(x)＝＝<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由h(1)由h(1)>h(2)，得f (1)>f (2)＋1，故D错误．故选BC．]
　利用f (x)与ex(或enx)构造
【典例展示2】　已知定义域为R的函数f (x)满足f (1)＝的解集是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
D　[构造函数g(x)＝exf (x)，则
g'(x)＝ex[f (x)＋f '(x)]<0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
因为g(1)＝e1f (1)＝1，
所以不等式f (x＋1)>可变为ex+1f (x＋1)>1，
即g(x＋1)>g(1)，
所以x＋1<1，即x<0，
所以不等式f (x＋1)>的解集为(－∞，0)．故选D．]
　利用f (x)与sin x，cos x构造
【典例展示3】　已知f '(x)是函数f (x)的导函数，f (x)－f (－x)＝0，且对于任意的x∈满足f '(x)cos x＋f (x)sin x>0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．
B．f
C．f (－1)D．
A　[令g(x)＝，
则g'(x)＝，
又对于任意的x∈满足f '(x)cos x＋f (x)sin x>0，则g'(x)>0，
故g(x)在内单调递增，
而f (x)－f (－x)＝0，故g(－x)＝＝g(x)，故g(x)是偶函数，
故g，
即，
故A正确，BCD错误．故选A．]
名师点评：(1)构造可导积函数
条件 构造函数
f '(x)g(x)＋f (x)g'(x)≥0 F(x)＝f (x)g(x)
f '(x)＋f (x)<0 F(x)＝exf (x)
f '(x)＋nf (x)<0 F(x)＝enxf (x)
xf '(x)＋f (x)>0 F(x)＝xf (x)
xf '(x)＋nf (x)>0 F(x)＝xnf (x)
f '(x)sin x＋f (x)cos x>0 F(x)＝f (x)sin x
f '(x)cos x－f (x)sin x>0 F(x)＝f (x)cos x
(2)构造可导商函数
①'，特别地，'；
②'，特别地，'，'；
③'；
④'．
【纵深攻略】
1．定义在的函数f (x)，f '(x)是它的导函数，且恒有f (x)A． sin 1
C．
D　[f (x)0，x∈，
则F'(x)＝>0，
即函数F(x)在内单调递增．
A项，F，
∴，故A项错误；
B项，F(1)>F，
∴f (1)>2f sin 1，故B项错误；
C项，F，
∴，故C项错误；
D项，F，
∴，故D项正确．故选D．]
2．已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，f '(x)是f (x)的导函数，f (－3)＝0，当x>0时，xf '(x)－f (x)>0，则不等式f (x)<0的解集为_____________．
(－∞，－3)∪(0，3)　[设函数g(x)＝，
因为当x>0时，xf '(x)－f (x)>0，所以当x>0时，g'(x)>0，所以g(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (－x)＝－f (x)，
所以g(－x)＝＝g(x)，
所以函数g(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减．
因为f (－3)＝0，所以g(－3)＝＝0，g(3)＝g(－3)＝0，
当x>0时，f (x)<0等价为g(x)<0，
即g(x)当x<0时，f (x)<0等价为g(x)>0，
即g(x)>g(－3)，解得x<－3，
当x＝0时，f (x)＝0不符合题意，
综上，不等式f (x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0，3)．]
3．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)＋f '(x)>1，f (1)＝3，则不等式exf (x)>ex＋2e的解集为_____________．
(1，＋∞)　[设g(x)＝exf (x)－ex(x∈R)，
则g'(x)＝exf (x)＋exf '(x)－ex＝ex[f (x)＋f '(x)－1]，
因为f (x)＋f '(x)>1，所以f (x)＋f '(x)－1>0，
又ex>0，所以g'(x)>0恒成立，
所以y＝g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
故原不等式可转化为exf (x)－ex>2e，
又f (1)＝3，所以g(1)＝ef (1)－e＝2e，
所以g(x)>g(1)，所以x>1，
故不等式exf (x)>ex＋2e的解集为(1，＋∞)．]
培优点二　地位同等同构
【典例展示4】　(1)(多选)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则(　　)
A．ea－ebC． <1
(2)已知a，b，c∈(0，1)，且a2－2ln a＋1＝e，b2－2ln b＋2＝e2，c2－2ln c＋3＝e3，其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是_____________．
(1)CD　(2)a>b>c　[(1)由2a>2b>1，得a>b>0．对于A，设y＝ex－ln x且x∈(0，＋∞)，则y'＝ex－
<1，D正确．故选CD．
(2)设f (x)＝x2－2ln x，g(x)＝ex－x，则f (a)＝g(1)，f (b)＝g(2)，f (c)＝g(3)，又g'(x)＝ex－1>0(x>0)，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(3)>g(2)>g(1)，即f (c)>f (b)>f (a)，因为f '(x)＝2x－<0(x∈(0，1))，所以f (x)在(0，1)内单调递减，所以a>b>c．]
名师点评：地位同等同构策略
对于含有地位同等的两个变量的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有：
原式 转化 构造函数
>k(x2>x1) f (x1)－f (x2) (x2>x1) f (x1)－f (x2) > 构造y＝f (x)＋，为减函数
【纵深攻略】
4．已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则(　　)
A．sin α>sin β B．cos α>cos β
C．cos α>sin β D．sin α>cos β
D　[α＋β－，∴cos βcos α．故选D．]
5．已知函数f (x)＝ax2＋(a＋1)ln x＋1(a≤－1)，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，恒有|f (x1)－f (x2)|≥4，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－e2] B．(－∞，－e]
C．[－2，－1] D．(－∞，－2]
D　[由题意知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝2ax＋＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立，
从而a≤
＝，
当x∈时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
∴h(x)min＝h＝－2，故a≤－2．故选D．]
培优点三　依据数值特征构造函数
【典例展示5】　(1)设a＝999ln 1 001，b＝1 000·ln 1 000，c＝1 001ln 999，则下列选项正确的是(　　)
A．a>c>b B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
(2)已知a＝e0.8＋1，b＝，c＝ln(0.8e3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>c>b B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
(1)B　(2)D　[(1)设f (x)＝(1 000－x)ln(1 000＋x)，x∈[－1，1]，当x∈[－1，1]时，f '(x)＝－ln(1 000＋x)＋<0，所以函数f (x)在[－1，1]上单调递减，所以f (－1)＝1 001ln 999>f (0)＝1 000ln 1 000>f (1)＝999ln 1 001，所以c>b>a．故选B．(2)由题意得，a＝e0.8＋1，b＝0.8＋2，c＝ln 0.8＋3，构造函数y1＝ex＋1，y2＝x＋2，y3＝ln x＋3，
令f (x)＝y1－y2＝ex－x－1，x∈(0，1)，则f '(x)＝ex－1>0，所以f (x)在(0，1)内单调递增，所以f (0.8)>f (0)＝0，所以e0.8－0.8－1>0，所以e0.8＋1>0.8＋2，所以a>b．
令g(x)＝y2－y3＝x－ln x－1，x∈(0，1)，则g'(x)＝1－<0，所以g(x)在(0，1)内单调递减，所以g(0.8)>g(1)＝0，所以0.8－ln 0.8－1>0，所以0.8＋2>ln 0.8＋3，所以b>c，所以a>b>c．故选D． ]
名师点评：当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为所构函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．
【纵深攻略】
6．已知a，b，c∈(1，e)且aln 5＝5ln a，bln 4＝4ln b，cln 3＝3ln c，则(　　)
A．aC．bA　[aln 5＝5ln a ，
cln 3＝3ln c ．当x∈[1，e)时，f '(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，f '(x)<0，故f (x)在[1，e)内单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，作出f (x)的图象如图所示．因为a，b，c∈(1，e)，所以由图知a教用备选题·强基培优(二)　导数中的函数构造
一、单项选择题
1．已知函数f '(x)是函数f (x)的导函数，f (1)＝的解集为(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(1，e) D．(e，＋∞)
B　[由F(x)＝，
因为f (x)－f '(x)>0，则F'(x)<0，可知F(x)在R上单调递减，且F(1)＝，
由不等式F(x)<可得F(x)1，
所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞)．故选B．]
2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)的导函数为f '(x)，xf '(x)>2f (x)，则下列不等式成立的是(　　)
A．22f (3)>32f (2) B．22f (3)<32f (2)
C．2f (3)>3f (2) D．2f (3)<3f (2)
A　[令g(x)＝(x>0)，
则g'(x)＝，
∵xf '(x)>2f (x)，∴g'(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(2)即22f (3)>32f (2)．故选A．]
3．若0A．>ln x2－ln x1
B．C．x2
D．x2
C　[构造函数f (x)＝ex－ln x，x∈(0，1)，
f '(x)＝ex－，当x→0时，f '(x)<0，当x＝1时，f '(x)>0，易知f '(x)在(0，1)内单调递增，
∴f '(x)＝ex－在(0，1)内有唯一变号零点，
∴f (x)在(0，1)内有一个极值点，
∴f (x)在(0，1)内不单调，无法判断f (x1)与f (x2)的大小，故A，B错误；
令g(x)＝，x∈(0，1)，
∴g'(x)＝<0，
∴g(x)在(0，1)内单调递减，
又∵x2>x1，∴g(x1)>g(x2)，∴．故选C．]
4．已知函数y＝f (x)定义域为(0，＋∞)，f '(x)为其导函数，若xf '(x)－2f (x)>0恒成立，且f ，则不等式f (x)A．(0，1) B．
C． D．(1，＋∞)
B　[令g(x)＝，x>0，
那么g'(x)＝，
由于在(0，＋∞)上，xf '(x)－2f (x)>0恒成立，可知函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由于f ＝1，
当f (x)由于函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以0故选B．]
5．设f (x)是定义域为R的奇函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf '(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
A　[令g(x)＝(x≠0)，
则g'(x)＝，
所以当x>0时，g'(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f (x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．
又f (1)＝－f (－1)＝0，
即g(1)＝g(－1)＝0．
而f (x)>0等价于或
即所以x<－1或0故选A． ]
6．已知a＝e-0.02，b＝0.01，c＝ln 1.01，则(　　)
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．b>c>a
C　[由指数函数的性质得
a＝e-0.02>＝0.01＝b，
设f (x)＝ex－1－x，
则f '(x)＝ex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立，
因此f (x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f (0.01)>f (0)，即e0.01－1－0.01>0，
即e0.01>1.01，
∴b＝0.01>ln 1.01＝c，∴a>b>c．故选C．]
二、多项选择题
7．下列大小关系正确的是(　　)
A．C．3.32>23.3 D．3.34<43.3
BC　[对于A，由08．已知x>y>0，则下列不等式正确的是(　　)
A．ex－ey>x－y B．ln x－ln y>x－y
C．ln x≥1－
ACD　[设f (x)＝ex－x(x>0)，则f '(x)＝ex－1>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)>f (y)，即ex－x>ey－y，即ex－ey>x－y，A正确；
令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1，所以ln x－ln y设h(x)＝ln x－1＋，
当0当x>1时，h'(x)＝>0，函数h(x)单调递增，
则h(x)＝ln x－1＋，C正确；
设g(x)＝x·ex(x>0)，则g'(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)＝x·ex在(0，＋∞)上单调递增，
所以由x>y>0得x·ex>y·ey，即，D正确．故选ACD．]
三、填空题
9．实数e3，3π，π3的大小关系为_____________．(用“<”连接)
e3<π3<3π　[设f (x)＝，
当x>e时，f '(x)<0，
所以f (x)在(e，＋∞)上单调递减，
所以f (3)>f (π)，即，
所以πln 3>3ln π，
所以ln 3π>ln π3，即3π>π3．
因为y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，e<π，
所以e3<π3，所以e3<π3<3π．]
10．已知f (x)是定义在时，f '(x)sin x＋f (x)cos x>0，则不等式f (x)sin x<3的解集为_____________．
．
因为g(x)在．]
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