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强基培优3　指、对同构问题
1．指、对同构的原理
同构法是将不同的代数式(或不等式、方程式)通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．如y＝aea与y＝bln b(可化为ln b·eln b)可以同构为f (x)＝xex．
2．指、对变形的六种等价形式
(1)ln ex＝x＝eln x(核心公式)；
(2)xex＝eln xex＝eln x+x；
(3)＝eln x-x；
(4)x＋ln x＝ln ex＋ln x＝ln(xex)；
(5)x－ln x＝ln ex－ln x＝ln；
(6)．
3．指、对同构的三种基本模式
(1)积型：aea≤bln b
(2)商型：
(3)和差型：ea±a>b±ln b
【典例展示】　(1)(多选)若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是(　　)
A．a>ln b　　　　　　　 B．aC．ea>b D．ea(2)若关于x的不等式ex-a≥ln x＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____________．
(1)AC　(2)(－∞，1]　[(1)法一：由ea＋a>b＋ln b，
可得ea＋a>eln b＋ln b，
令f (x)＝ex＋x，则f (a)>f (ln b)，
因为f (x)在R上单调递增，
所以a>ln b，即ea>b．
法二：由ea＋a>b＋ln b，
可得ea＋ln ea>b＋ln b，
令g(x)＝x＋ln x，则g(ea)>g(b)，
因为g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以ea>b，即a>ln b．
(2)∵ex-a≥ln x＋a，∴ex-a＋x－a≥x＋ln x，
∴ex-a＋x－a≥eln x＋ln x．
设f (t)＝et＋t，则f '(t)＝et＋1>0，
∴f (t)在R上单调递增，
故f (x－a)≥f (ln x)，
即x－a≥ln x，即x－ln x≥a．
设g(x)＝x－ln x，则g'(x)＝1－，
令g'(x)>0，则x>1；令g'(x)<0，则0∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)内单调递减，
故g(x)min＝g(1)＝1，故a≤1．]
名师点评：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x，同加上x等，再进行变形．常见的有：
①aeax>ln x axeax>xln x；
②ex>aln(ax－a)－a ex>ln[a(x－1)]－1 ex-ln a－ln a>ln(x－1)－1 ex-ln a＋x－ln a>ln(x－1)＋x－1＝eln(x-1)＋ln(x－1)；
③ax>logax exln a> (xln a)exln a>xln x．
【纵深攻略】
1．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeaA．ab>e B．b>ea
C．abB　[由已知aea设f (x)＝xln x，则f (ea)∵a>0，则bln b>0，则b>1．
当x>1时，f '(x)＝ln x＋1>0，
则f (x)在(1，＋∞)上单调递增，∴ea故选B．]
2．已知函数f (x)＝对x∈(0，e]恒成立，则a的取值范围为_____________．
．]
教用备选题·强基培优(三)　指、对同构问题
一、单项选择题
1．不等式ax＋eax>ln(bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是(　　)
A．f (x)＝ln x＋x B．f (x)＝xln x
C．f (x)＝xex D．f (x)＝
A　[由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，
所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为ln eax＋eax>ln(bx)＋bx，
构造函数f (x)＝ln x＋x，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
可得f (eax)>f (bx)．故选A．]
2．若不等式xex－x－ln x－a≥0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，1] B．(0，e－1]
C．(－∞，1] D．(－∞，e－1]
C　[因为xex－x－ln x－a≥0，
所以eln x+x－(ln x＋x)－a≥0．
令t＝ln x＋x，则et－t－a≥0恒成立，
则a≤et－t恒成立，
令φ(t)＝et－t，则φ'(t)＝et－1，
当t∈(－∞，0)时，φ'(t)<0；
当t∈(0，＋∞)时，φ'(t)>0，
所以φ(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以φ(t)min＝φ(0)＝1，所以a≤1，故实数a的取值范围为(－∞，1]．故选C．]
3．已知x∈N，y∈N，xA．0 B．1
C．2 D．无穷多个
B　[ xy＝yx，两边取自然对数，得yln x＝xln y，即，所以满足x∈N，y∈N，x4．设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是(　　)
A．x>y B．x>ln y
C．xB　[不等式ex＋ln y>x＋y等价于ex－x>y－ln y，令f (x)＝ex－x，x>0，
则f (ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y，
∴不等式ex－x>y－ln y等价于f (x)>f (ln y)，
∵f '(x)＝ex－1，
∴当x∈(0，＋∞)时，f '(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，
由f (x)>f (ln y)有x>ln y，
若y∈(0，1]，则ln y≤0，由x>0，有x>ln y．
综上所述，x>ln y．故选B．]
二、填空题
5．已知当x≥e时，不等式xa＋≥aln x恒成立，则正实数a的最小值为_____________．
≤xa－aln x，
即≤xa－ln xa，
设f (x)＝x－ln x，
则当x≥e时，f ≤f (xa)恒成立，
因为f '(x)＝1－，
所以函数f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
因为x≥e，a>0，所以>1，xa>1，
因为f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以≤xa，
两边取对数，得≤aln x，
因为x≥e，
所以a≥，
令h(x)＝xln x，x≥e，
h'(x)＝ln x＋1>0，
所以h(x)在[e，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(e)＝e，
所以0<，所以a≥，
所以正实数a的最小值为．]
6．已知实数x1，x2满足＝_____________．
4　[由＝4，故x1>0，
由ln x2＝＝4，
可得·ln >0，
令f (x)＝xex，则f (x1)＝f (ln )，
f '(x)＝(x＋1)ex，
当x>0时，f '(x)>0，
所以函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
由f (x1)＝f (ln ，
所以，
因为x1＝4．]
三、解答题
7．已知函数f (x)＝x2－ax＋2ln x，若a>0，f (x)≤eax恒成立，求a的取值范围．
[解]　由题知f (x)的定义域为(0，＋∞)．
由f (x)≤eax，可得x2＋2ln x≤eax＋ax，
即＋ln x2≤eax＋ax．
令g(x)＝ex＋x，易知g(x)为增函数．
由＋ln x2≤eax＋ax，可得g(ln x2)≤g(ax)，
则ln x2≤ax，即．
设h(x)＝，
当x>e时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
当00，h(x)单调递增，
所以h(x)max＝h(e)＝，
所以．
6/6强基培优3　指、对同构问题
1．指、对同构的原理
同构法是将不同的代数式(或不等式、方程式)通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题． 如y＝aea与y＝bln b(可化为ln b·eln b)可以同构为f (x)＝xex．
2．指、对变形的六种等价形式
(1)ln ex＝x＝eln x(核心公式)；
(2)xex＝eln xex＝eln x+x；
(3)＝eln x-x；
(4)x+ln x＝ln ex+ln x＝ln(xex)；
(5)x－ln x＝ln ex－ln x＝ln；
(6)．
3．指、对同构的三种基本模式
(1)积型：aea≤bln b
(2)商型：
(3)和差型：ea±a>b±ln b
【典例展示】　(1)(多选)若ea+a>b+ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是 (　　)
A．a>ln b　　　　　　　 B．aC．ea>b D．ea(2)若关于x的不等式ex-a≥ln x+a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是____________．
[尝试解答]
名师点评：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x，同加上x等，再进行变形．常见的有：
①aeax>ln x axeax>xln x；
②ex>aln(ax－a)－a ex>ln[a(x－1)]－1 ex-ln a－ln a>ln(x－1)－1
ex-ln a+x－ln a>ln(x－1)+x－1＝eln(x-1)+ln(x－1)；
③ax>logax exln a> (xln a)exln a>xln x．
【纵深攻略】
1．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeaA．ab>e B．b>ea
C．ab2．已知函数f (x)＝，若不等式f (x)≥对x∈(0，e]恒成立，则a的取值范围为____________．
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