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强基培优4　三角函数中ω的范围问题
培优点一　三角函数的单调性与ω的关系
【典例展示1】　已知函数f (x)＝sin上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A．
C．
B　[法一：由题意得
则
又ω>0，所以
所以k＝0，则0<ω≤．
法二：取ω＝1，则f (x)＝sin，
令＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ，k∈Z，
当k＝0时，函数f (x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B．]
名师点评：先依据题设信息，确定函数的单调区间，再根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围．
【纵深攻略】
1．已知ω>0，函数f (x)＝cos上单调递减，则ω的最大值为_____________．
，
因为函数y＝cos t在上单调递减，
而函数f (x)＝cos上单调递减，
所以 [0，π]，
由此可得不等式组解得0<ω≤．
则ω的最大值为．]
2．已知函数f 上单调递增，则ω的取值范围是_____________．
．
当x∈，
由题意可得．
综上所述，ω的取值范围是．]
培优点二　三角函数图象的对称性
与ω的关系
【典例展示2】　已知ω>0，函数f (x)＝sin上恰好存在两条对称轴，则ω的最大值为(　　)
A．2 B．5
C．8 D．11
C　[函数f (x)的最小正周期为T＝，
f (x)在区间上恰好存在两条对称轴，
T，
即，解得4≤ω<12．
因为f ＋f (x)＝0，
所以点是函数f (x)图象的一个对称中心，
则f ＝kπ，k∈Z，
即ω＝3k－1，k∈Z．
因为ω>0，则k∈N*，且ω随k的增大而增大，
当k＝4时，ω＝11，此时f (x)＝sin上有三条对称轴，不合题意，
当k＝3时，ω＝8，此时f (x)＝sin，
其中8x＋∈[π，3π]，有两条对称轴，则ω的最大值为8．故选C．]
名师点评：三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为．所以可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而研究“ω”的范围．
【纵深攻略】
3．已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)，若直线x＝是函数y＝f (x)的图象的一个对称中心，则ω的最小值为_____________．
＋φ＝k2π，k1，k2∈Z，
两式相减得ωπ＝＋kπ，k∈Z，
又ω>0，故ωmin＝．]
培优点三　三角函数的最值与ω的关系
【典例展示3】　(1)已知函数f (x)＝sin上只取得一次最大值，则ω的取值范围为(　　)
A．
C．
(2)已知函数f (x)＝cos，则ω的取值范围是_____________．
(1)B　(2)，
所以－，
解得ω≤．
又因为f (x)在区间上只取得一次最大值，
即当x∈．
所以．
综上，ω的取值范围是．故选B．
(2)因为x∈，
又函数f (x)＝cos，
若ω>0，由余弦函数图象可知，存在x∈，不合题意，所以ω<0，
由x∈，
由余弦函数图象可知，－．]
名师点评：利用三角函数的最值、极值与区间的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的取值范围．
【纵深攻略】
4．已知函数f 内恰有一个最大值和一个最小值，则ω的可能取值是_____________．(填一个即可)
3或4(任选一个即可)　[由x∈，
画出函数y＝sin x的图象，如图，
由图可知，．
因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4．]
5．若函数f (x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是_____________．
＋2kπ，k∈Z，解得－＋k，k∈Z，当k≠0时，不符合题意，令k＝0，得－＋2kπ，k∈Z，解得＋k，k∈Z，当k≠0时，不符合题意，令k＝0，得．]
培优点四　三角函数的零点与ω的关系
【典例展示4】　已知函数f (x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在[0，1]上恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是_____________．
．]
名师点评：三角函数相邻两个零点之间的距离为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围．
【纵深攻略】
6．设函数f (x)＝cos2内恰有2个零点，则实数ω的取值范围为(　　)
A．
C．
A　[f (x)＝
＝．
当x∈，
若f (x)在区间内恰有2个零点，
则2π<．
故选A．]
教用备选题·强基培优(四)　三角函数中ω的范围问题
一、单项选择题
1．若函数f (x)＝sin，则ω的值为(　　)
A．
D　[因为函数f (x)＝sin＝kπ，k∈Z，解得ω＝2k－，k∈Z，又因为0<ω<2，所以ω＝．故选D．]
2．设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[因为f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝－1，f (x2)＝1，|x1－x2|min＝＝2．]
3．若函数f (x)＝sin，则ω的取值范围是(　　)
A．
C．
B　[当x∈，故选B．]
4．已知函数f (x)＝3cos(ω>0)，若f (x)在区间[0，π)上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A．
C．
A　[当x∈[0，π)时，2ωx＋，
由于函数f (x)在区间[0，π)内有且仅有3个零点和2条对称轴，根据余弦函数的图象与性质，
可得．
故选A．]
5．将函数f (x)＝sin个单位长度得到的函数图象关于y轴对称，则ω的值可以为(　　)
A． B．1
C．2 D．5
B　[函数f (x)＝sin
，
依题意，函数y＝sin＋kπ(k∈Z)，
解得ω＝1＋6k(k∈Z)．又ω>0，结合选项，可得ω可以取1．故选B．]
6．已知函数f (x)＝2 025tan内单调，则ω的取值范围为(　　)
A．(0，1] B．
C．
D　[当x∈，
结合正切函数的单调性可知
k∈Z，
解得ω∈(k∈Z)，
根据6k－5<3k＋，
所以－，结合k∈Z，可知k只能为0或1，
当k＝0时，可得0<ω≤．
综上所述，ω的取值范围是．
故选D．]
二、多项选择题
7．已知函数f (x)＝mcos ωx＋2，则ω的取值可能是(　　)
A．
BC　[因为f (x)≥f ＝2，
即f sin 0＝2，所以m＝2，
所以f ，
所以＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋8k，k∈Z，当k＝0时，ω＝．
故选BC．]
8．已知f (x)＝1－2cos2(ω>0)．则下列判断正确的是(　　)
A．若f (x1)＝1，f (x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2
B．存在ω∈(0，2)，使得f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C．若f (x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为
D．若f (x)在
CD　[因为f (x)＝1－2cos2．
对于A，由条件知，最小正周期为2π，所以，故A错误；
对于B，函数f (x)的图象向右平移的图象，
若其关于y轴对称，则－＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，故对任意整数k，ω (0，2)，故B错误；
对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋，故C正确；
对于D，由条件得．
又ω>0，所以0<ω≤，故D正确．]
三、填空题
9．设函数f (x)＝sin(ωx＋φ)内单调，则ω的最大值为_____________．
k1，k2∈Z，
则
又f (x)在内单调，
则，解得0<ω≤5，
即0<≤5，k1，k2∈Z，
则－，k1，k2∈Z，
当k2－k1＝2时，ω＝，
则f (x)＝sin，
当x∈，
结合正弦函数图象知f (x)单调递减，符合题意，故ωmax＝．]
10．若函数y＝f (x)的定义域内存在x1，x2(x1≠x2)，使＝_____________；若f (x)在[π，2π]上为“互补函数”，则ω的取值范围为_____________．
0　＝sin ωx，当ω＝3时，f (x)＝sin 3x，
可得f ＝sin π＝0．
由“互补函数”的定义，得存在x1，x2∈[π，2π](x1≠x2)，使得f (x1)＋f (x2)＝2，
所以令t＝ωx，则函数y＝sin t在区间[ωπ，2ωπ]上存在两个极大值点，则≤π，可得ω≥2．
当2T＝2×≤π时，即ω≥4，显然符合题意；
当ωπ≤；
当4π>ωπ>≤ω<4，
综上，ω的取值范围是．]
10/10强基培优4　三角函数中ω的范围问题
培优点一　三角函数的单调性与ω的关系
【典例展示1】　已知函数f (x)＝sin上单调递增，则ω的取值范围为 (　　)
A．
C．
[尝试解答]
名师点评：先依据题设信息，确定函数的单调区间，再根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围．
【纵深攻略】
1．已知ω>0，函数f (x)＝cos上单调递减，则ω的最大值为____________．
2．已知函数f 上单调递增，则ω的取值范围是____________．
培优点二　三角函数图象的对称性与ω的关系
【典例展示2】　已知ω>0，函数f (x)＝sin上恰好存在两条对称轴，则ω的最大值为 (　　)
A．2 B．5
C．8 D．11
[尝试解答]
名师点评：三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为．所以可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而研究“ω”的范围．
【纵深攻略】
3．已知函数f (x)＝sin(ωx+φ)(ω>0)，若直线x＝是函数y＝f (x)的图象的一个对称中心，则ω的最小值为____________．
培优点三　三角函数的最值与ω的关系
【典例展示3】　(1)已知函数f (x)＝sin上只取得一次最大值，则ω的取值范围为 (　　)
A．
C．
(2)已知函数f (x)＝cos在x∈，则ω的取值范围是____________．
[尝试解答]
名师点评：利用三角函数的最值、极值与区间的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的取值范围．
【纵深攻略】
4．已知函数f 内恰有一个最大值和一个最小值，则ω的可能取值是____________．(填一个即可)
5．若函数f (x)＝sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是____________．
培优点四　三角函数的零点与ω的关系
【典例展示4】　已知函数f (x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在[0，1]上恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是____________．
[尝试解答]
名师点评：三角函数相邻两个零点之间的距离为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值范围．
【纵深攻略】
6．设函数f (x)＝cos2内恰有2个零点，则实数ω的取值范围为 (　　)
A．
C．
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