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5.1.1 方程 第2课时 方程的解及一元一次方程 教案
课题 5.1.1 方程 第2课时 方程的解及一元一次方程 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：理解方程的解的概念，知道一元一次方程的定义及其三个要素 2.逻辑推理：能通过代入检验的方法判断一个数是否为方程的解，掌握一元一次方程的识别方法 3.数学建模：体会方程的解的实际意义，能用方程解决简单的实际问题 4.数学运算：熟练运用代入法检验方程的解，正确判断一元一次方程
教学重点 1.方程的解的概念及检验方法。突破策略：通过逐一代入验证的探究过程，让学生经历"猜想→验证→确认"的完整思维过程。
2.一元一次方程的概念及三个要素。突破策略：通过正反例对比辨析，强化"一元""一次""整式"三个条件缺一不可。
教学难点 1.区分"方程的解"与"解方程"两个概念。突破策略：用对比表格直观呈现两者的区别与联系。
2.一元一次方程中"次数都是1"的准确理解。突破策略：重点辨析x 、xy等含多个字母或高次项的情况。
（一）新课导入
【过渡语】上节课我们学习了方程的概念和列方程的方法。现在来看一个实际问题：如何求出方程中未知数的值呢？
出示粮仓问题：已知甲粮仓有粮食729t，乙粮仓有粮食384t。为了使甲粮仓粮食储量是乙粮仓的2倍，需要从乙粮仓运送多少吨粮食到甲粮仓？
回顾上节课的方法：设需要运送x t，列得方程 。
教师提问："方程列出来了，那么x到底等于多少呢？怎样才能求出这个方程中未知数的值？"
由此引出本节课的核心问题：如何求方程的解？
（设计意图：以粮仓问题为情境，自然地从"列方程"过渡到"求方程的解"，体现知识的内在联系，激发学生的求知欲。）
（二）新知探究：方程的解
【过渡语】对于较复杂的方程，我们暂时还不会直接求解。但我们可以尝试用估算的方法，通过代入不同的值来找到方程的解。
探究活动：估算方程 中未知数x的值。
教师引导学生列表尝试：
当x=1时，1700+=1850，不等于2450；
当x=2时，1700+=2000，不等于2450；
当x=3时，1700+=2150，不等于2450；
当x=4时，1700+=2300，不等于2450；
当x=5时，1700+=2450，恰好等于2450！
【知识点】方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。
【知识点】解方程：求方程的解的过程，叫作解方程。
教师强调：x=5就是方程1700+150x=2450的解。
【过渡语】我们再来看上节课的登山追及问题中的方程，看看它的解是多少。
探究：方程 的解是多少？
列表尝试：
当x=5时，左边=，右边=，左右两边相等。
所以x=5是方程 的解。
（设计意图：通过估算和列表尝试，让学生经历"猜想→验证→确认"的完整思维过程，自然引出方程的解的概念。）
（三）例题精讲：检验方程的解
【过渡语】判断一个数是不是方程的解，方法很简单：把这个数代入方程，看左右两边是否相等。我们通过例题来学习。
例2（1）x=2，x= 是方程 的解吗？
审题分析：要判断一个数是否为方程的解，只需将该数分别代入方程左右两边，计算并比较。
解：当x=2时，左边=，右边=3，左右不相等，所以x=2不是方程2x=3的解。
当x=时，左边=，右边=3，左右相等，所以x=是方程2x=3的解。
方法总结：检验方程的解，分两步——①代入：将数值代入方程左右两边；②判断：比较两边是否相等。
例2（2）x=10，x=20是方程 的解吗？
解：当x=10时，左边=，右边=，左右不相等，所以x=10不是方程的解。
当x=20时，左边=，右边=，左右相等，所以x=20是方程的解。
概念辨析：方程的解与解方程的区别与联系：
方程的解：是一个具体的数（名词），是解方程的结果。
解方程：是求方程的解的过程（动词）。
联系：方程的解是通过解方程求得的。
（设计意图：通过两道例题系统训练检验方法，并在对比表格中区分"方程的解"与"解方程"两个易混淆概念。）
（四）思考探究：硬币问题中的方程解
【过渡语】上节课我们列出了一个关于硬币面积的方程，现在我们来看看它的解是多少。
一枚长方形纪念币，面积是，长和宽的比为8:5。设长为x mm，则宽为()x mm。列得方程 。
思考：x=60是方程的解吗？x=80呢？
当x=60时，左边= 中，×=×3600=2250，右边=4000，左右不相等，所以x=60不是方程的解。
当x=80时，左边=×=×6400=4000，右边=4000，左右相等，所以x=80是方程的解。
（设计意图：通过硬币问题巩固检验方法，同时为后续学习一元一次方程的概念做铺垫——这个方程的次数是2，不是一元一次方程。）
（五）新知探究：一元一次方程的概念
【过渡语】观察我们列出的几个方程，它们有什么共同的特征呢？
观察以下方程：
共同特征：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③含有未知数的式子都是整式。
【知识点】一元一次方程：一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程。
三个要素（缺一不可）：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③是整式方程。
（设计意图：通过观察归纳，让学生自己发现一元一次方程的共同特征，培养归纳概括能力。）
（六）及时巩固：识别一元一次方程
【过渡语】现在我们来检验一下，看看大家能不能准确判断一个方程是不是一元一次方程。
下列式子中，是一元一次方程的是______（填序号）。
① 1+4=2+3（不含未知数）；② x+y=1（含有两个未知数）；③；④（未知数最高次数是2）；⑤（不是整式？）；⑥ 6+5y=2y-3。
答案：③⑥。
解析：①不含未知数，不是方程；②含两个未知数；④次数为2；⑤是分式方程，不是整式方程。③⑥满足三个条件：一元、一次、整式。
易错提示：易错题辨析：
1. "x +2x+1=4"不是一元一次方程！因为含有x 项，未知数的最高次数是2。
2. "=4"是分式方程吗？ 中分母3是常数，分子x是整式，所以是整式，这是一个一元一次方程！
3. 判断关键：必须同时满足"一元""一次""整式"三个条件！
（设计意图：通过正反例辨析，强化一元一次方程的三个要素，特别辨析"项"和"分母含未知数"两种易错情况。）
（七）数学文化：天元术
【过渡语】我们刚才学习了"一元一次方程"，那么"元"这个字是怎么来的呢？
用"元"表示未知数，源于我国宋元时期的"天元术"。天元术指的是用"天元"表示未知数，进而列出方程。现存使用天元术的最早著作是李冶(1192-1279)于1248年所著的《测圆海镜》，书中的"立天元一"相当于现在的"设未知数x"。后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入"地元""人元""物元"等表示多个未知数。
（设计意图：渗透数学文化，让学生了解"元"的历史渊源，增强民族自豪感，同时加深对"一元"含义的理解。）
（八）课堂练习
1. 判断x=2和x=4是不是方程的解。
答案：当x=2时，左边=，右边=5，不相等，x=2不是解。当x=4时，左边=，右边=5，相等，x=4是解。
解析：分别代入检验，比较左右两边的值是否相等。
2. 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
（1）2+3=3+2；（2）；（3）。
答案：（2）（3）是方程；（2）是一元一次方程。
解析：（1）不含未知数，不是方程；（2）满足一元一次方程三个条件；（3）含项，次数为2，不是一元一次方程。
（设计意图：两道练习分别训练"检验方程的解"和"识别一元一次方程"，覆盖本课两个核心知识点。）
（九）课堂小结
教师引导学生回顾：
1. 方程的解：使方程左、右两边值相等的未知数的值。检验方法：代入→计算→比较。
2. 解方程：求方程的解的过程。方程的解是通过解方程求得的。
3. 一元一次方程：只含一个未知数（一元），未知数次数都是1（一次），整式方程。三个要素缺一不可。
4. "元"源于我国宋元时期的天元术，体现了中国古代数学的智慧。
（十）板书设计
5.1.1 方程 第2课时 方程的解及一元一次方程
一、方程的解
　　使方程左右两边相等的未知数的值
　　检验方法：代入→计算→比较
二、解方程
　　求方程的解的过程
三、一元一次方程
　　三个要素：一元 + 一次 + 整式
四、天元术
（十一）教学反思
本节课是方程章节的第二课时，在上节课建立方程概念的基础上，重点学习方程的解和一元一次方程的概念。教学中以粮仓问题自然过渡，从"列方程"到"求方程的解"，体现了知识的连续性。亮点在于通过估算、列表尝试的方式让学生经历"猜想→验证→确认"的过程，避免了直接灌输概念；一元一次方程的概念通过观察归纳得出，学生参与度高。改进方向：在"方程的解"与"解方程"的辨析中，可增加更多互动环节，如让学生用自己的语言描述两者的区别；一元一次方程判断中，=4这类"分母是常数"的情况易被学生误判为分式方程，需要在辨析时重点强调。

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