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5.1.1从算式到方程 第1课时 方程的概念与列方程
课题 5.1.1从算式到方程 第1课时 方程的概念与列方程 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：从实际问题中抽象出方程的概念，理解方程是含有未知数的等式 2.逻辑推理：通过分析实际问题中的相等关系，建立方程模型，体会从算式到方程的进步 3.数学建模：能根据实际问题中的相等关系，设未知数并列出方程 4.数学运算：正确识别方程中的已知数和未知数，理解方程中等量关系的含义
教学重点 1.方程的概念：含有未知数的等式。突破策略：通过正反例对比，明确"含未知数"和"等式"两个条件缺一不可。
2.列方程的方法：找相等关系→设未知数→列方程。突破策略：通过多个实际问题反复训练"审→设→列"三步法。
教学难点 1.从实际问题中找出相等关系。突破策略：用线段图、表格等可视化工具辅助分析数量关系。
2.理解从算式到方程的进步。突破策略：对比同一问题的算式解法和方程解法，体会方程的优越性。
（一）新课导入
【过渡语】前面我们学习了整式的加减，能用代数式表示数量关系。今天我们要学习一种新的数学工具——方程，它可以帮助我们解决更复杂的问题。
出示登山队追及问题：甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发。甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km。多长时间后，甲队在途中追上乙队？
教师引导学生分析：
（1）甲队速度1.2km/h，乙队速度0.8km/h；甲出发点距大本营1km，乙出发点距大本营3km。
（2）设行进时间为x h，则甲队行进路程1.2x km，乙队行进路程0.8x km。
（3）甲队距大本营：(1. km；乙队距大本营：(0. km。
（4）追上时甲队距大本营的路程 = 乙队距大本营的路程，即 。
教师提问："这个式子与以前学过的代数式有什么不同？"
学生回答：含有等号，是一个等式，而且含有未知数x。
（设计意图：登山追及问题贴近生活，学生容易理解，通过分析路程关系自然地引出方程，让学生感受方程产生的必要性。）
（二）新知探究：方程的概念
【过渡语】我们再看两个实际问题，看看能不能用类似的方法列出等式。
问题1：用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
教师引导：设大水杯单价为x元，则小水杯单价为元。
相等关系：买3个大水杯的钱 = 买4个小水杯的钱，即 。
问题2：一枚长方形纪念币，面积是4000 mm ，长和宽的比为8:5。这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？
教师引导：设长为x mm，则宽为 mm。
相等关系：长×宽 = 面积，即 x· = 4000。
【知识点】方程：先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程。
教师强调：方程必须同时满足两个条件——①含有未知数；②是等式。缺一不可。
概念辨析：列算式 vs 列方程：
列算式：只能用已知数，表示解题的计算过程，复杂问题列算式较困难。
列方程：既可用已知数，又可用未知数，根据相等关系列出等式，解决问题更方便。
从算式到方程是数学的进步！
（设计意图：通过对比让学生感受方程方法的优越性，为后续学习方程解法奠定思想基础。）
（三）及时巩固：判断方程
【过渡语】现在我们来检验一下，看看大家能不能准确判断哪些式子是方程。
判断下列式子中，哪些是方程？
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ 。
答案：②④⑥⑦是方程。
解析：①不含未知数，不是方程；③不是等式，不是方程；⑤是不等式，不是方程；⑧是不等式，不是方程。②④⑥⑦同时满足"含未知数"和"等式"两个条件。
易错提示：易错题辨析：1. ""不是方程！因为它没有等号，只是一个代数式。2. ""不是方程！因为它虽然是等式，但不含未知数。3. ""不是方程！因为它是用不等号连接的，不是等式。4. 判断关键：必须同时满足"含未知数"和"是等式"两个条件！
（设计意图：通过正反例辨析，让学生准确把握方程的两个必要条件，避免将代数式、不等式等误认为方程。）
（四）数学文化：方程的起源
【过渡语】方程这个词其实有着悠久的历史，我们来看看它的由来。
汉语中"方程"一词源于讨论含多个未知数的等式的问题。我国古代数学著作《九章算术》中有专门的"方程"章，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为"方程术"。19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation一词译为"方程"。
（设计意图：渗透数学文化，增强民族自豪感，让学生了解"方程"一词的历史渊源。）
（五）例题精讲：列方程
【知识点】列方程三步法：审（审清题意，找相等关系）→设（设未知数）→列（根据相等关系列方程）。
例1（1）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？
审题分析：设学校有x名学生，则女生数为0.52x，男生数为0.48x。相等关系：女生数 - 男生数 = 80。
解题过程：设这所学校有x名学生，列得方程 。
方法总结：涉及百分比问题，关键是找准"谁比谁多"，转化为减法关系。
例1（2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m ，求正方形绿地的边长。
审题分析：设正方形边长为x m，加宽后变为的长方形。相等关系：扩大后的面积 = 500。
解题过程：设正方形绿地的边长为x m，扩大后面积为 m ，列得方程 。
方法总结：几何问题中，先根据面积公式写出代数式，再根据相等关系列方程。
（设计意图：两道例题分别对应"百分比问题"和"几何面积问题"，展示列方程方法的广泛适用性，巩固"审→设→列"三步法。）
（六）课堂练习
1. 甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元，用23元买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？
答案：设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买了支。列得方程 。
解析：总价 = 甲种铅笔总价+乙种铅笔总价 = 23元。
2. 有两条电线，第一条长90m，第二条长40m。要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等。求截下的那段电线的长度。
答案：设截下长度为x m。列得方程 。
解析：截后第一条长，第二条长，两者相等。
3. 某圆环工件，面积是200cm ，外沿大圆半径是10cm，内沿小圆的半径是多少厘米？
答案：设内沿小圆半径为r cm。列得方程 。
解析：圆环面积 = 大圆面积 - 小圆面积 = 200。
（设计意图：三道练习涵盖购物、截线、几何三种类型，训练学生从不同类型实际问题中找相等关系、列方程。）
（七）课堂小结
教师引导学生回顾：
1. 方程的定义：含有未知数的等式叫作方程。必须同时满足两个条件：①含未知数；②是等式。
2. 列方程的一般步骤：审（找相等关系）→设（设未知数）→列（根据相等关系列方程）。
3. 从算式到方程是数学的进步：列方程既用已知数又用未知数，比列算式更方便。
（八）板书设计
5.1.1从算式到方程 第1课时 方程的概念与列方程
一、方程的概念
　　含有未知数的等式（两个条件缺一不可）
二、列方程三步法
　　审（找相等关系）→设（设未知数）→列（列方程）
三、从算式到方程是数学的进步
四、例1 列方程
（九）教学反思
本节课是"一元一次方程"章节的起始课，重点是让学生理解方程的概念和列方程的方法。教学中以登山追及问题引入，通过"设未知数→找相等关系→列方程"的流程，让学生感受方程产生的自然过程。亮点在于"列算式vs列方程"的对比，让学生直观体会方程的优越性；易错题辨析通过正反例帮助学生准确把握方程的两个条件。改进方向：可在导入环节让学生先用算式尝试解决追及问题，感受算式的局限性，再引出方程，对比效果会更强烈。此外，列方程练习可增加学生板演环节，暴露典型错误并即时纠正。

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