资源简介

5.1.2 等式的性质 教案
课题 5.1.2 等式的性质 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：理解等式的两个基本性质，能用文字和数学式子表达等式的性质 2.逻辑推理：经历等式性质的探究过程，能运用等式性质进行等式变形和判断 3.数学建模：能利用等式的性质解简单的一元一次方程，体会化归思想 4.数学运算：熟练运用等式性质解一元一次方程，掌握检验方程解的方法
教学重点 1.等式的两个基本性质及其理解。突破策略：通过天平类比和具体数值验证，让学生直观感受等式变形的规律。
2.利用等式的性质解简单的一元一次方程。突破策略：按"性质1化归→性质2化归→检验"三步法反复训练。
教学难点 1.等式性质2中"除以同一个不为0的数"的条件理解。突破策略：通过反例辨析，强调除数不能为0的原因。
2.利用等式性质将方程逐步化为x=m的形式。突破策略：总结化归路径，每一步标注依据，形成规范解题步骤。
（一）新课导入
【过渡语】上节课我们学习了方程的概念和一元一次方程的识别。你能直接说出下面这些简单方程的解吗？
你能说出 ， 这样简单方程的解吗？
学生可以直接猜出答案：x=1.5 和 x=2。
教师追问："那你能直接说出方程 2x + 13 - x - 12 = 1 的解吗？"
学生可能一时答不上来。教师引导：对于复杂的方程，我们需要系统的方法来求解。今天我们就来学习等式的性质，它是解方程的基础。
（设计意图：从简单方程入手，让学生感受直接求解的局限性，自然引出学习等式性质的必要性，激发求知欲。）
（二）新知探究：等式的概念与基本事实
【过渡语】要研究等式的性质，我们首先要明确什么是等式。
【知识点】等式：用等号表示相等关系的式子叫作等式。我们可以用 a = b 表示一般的等式。
判断下列各式中哪些是等式？
① abc；② 3a+2b；③ xy+-5；④ 5；⑤ 2+3=5；⑥ =12；⑦ 9x+10=19
答案：⑤⑥⑦是等式。
解析：等式的特征是含有等号"="，表示左右两边相等的关系。①②③④都不含等号，不是等式。
关于等式，有两个基本事实：
基本事实1：等式两边可以交换。如果 a = b，那么 b = a。
基本事实2：相等关系可以传递。如果 a = b，b = c，那么 a = c。
这两个基本事实是我们研究等式性质的基础。
（设计意图：从等式概念入手，通过判断练习强化"含等号"的特征，再引出两个基本事实，为后续性质探究奠定基础。）
（三）新知探究：等式的性质1
【过渡语】在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，结果仍相等。引入负数后，这个性质还成立吗？我们来探究一下。
探究活动：请用具体的数试一试。
例如：8 = 8（等式成立）
两边同时加 3：8 + 3 = 11，8 + 3 = 11，仍相等。
两边同时加 -3：8 + (-3) = 5，8 + (-3) = 5，仍相等。
两边同时减 5：8 - 5 = 3，8 - 5 = 3，仍相等。
两边同时减 -5：8 - (-5) = 13，8 - (-5) = 13，仍相等。
【知识点】等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
数学式子表示：
教师强调：①"同一个数（或式子）"意味着两边加/减的必须完全相同；②可以加/减一个数，也可以加/减一个代数式。
算理讲解：为什么叫"性质1"？因为等式的性质是解方程的基本依据。性质1告诉我们：等式两边可以同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。这是我们把方程中某一项从一边移到另一边的理论依据。
（设计意图：通过具体数值验证的方式，让学生经历"猜想→验证→归纳"的探究过程，自然得出等式性质1，培养合情推理能力。）
（四）新知探究：等式的性质2
【过渡语】我们已经知道了等式两边加减同一个数结果仍相等，那么乘除呢？
继续探究：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果还相等吗？
例如：8 = 8（等式成立）
两边同时乘 3： = 24， = 24，仍相等。
两边同时乘 -2：8 × (-2) = -16，8 × (-2) = -16，仍相等。
两边同时除以 4：8 ÷ 4 = 2，8 ÷ 4 = 2，仍相等。
两边同时除以 -4：8 ÷ (-4) = -2，8 ÷ (-4) = -2，仍相等。
【知识点】等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
数学式子表示：
教师强调：①乘的数可以是0（两边都为0，仍相等）；②除以的数不能为0，因为0不能做除数。
易错提示：易错题辨析：等式性质2中"除以同一个不为0的数"，为什么要强调"不为0"？
答：因为0不能做除数，任何数除以0都没有意义。例如：8 = 8，如果两边同时除以0，就会出现 = ，这是没有意义的。所以除以的数必须不为0。
特别提醒：乘可以乘0（结果都为0，等式仍成立），但除必须除不为0的数！
（设计意图：通过乘除探究得出性质2，重点辨析"除以不为0的数"的限制条件，通过反例让学生深刻理解为什么不能除以0。）
（五）例题精讲：等式性质的应用
【过渡语】学习了等式的两个性质，我们来看看如何运用它们进行等式变形。
例3 根据等式的性质填空，并说明依据：
（1）如果 ，那么 2x + ______ = 5；
分析：右边从5-x变成了5，说明右边加了x，根据性质1，左边也要加x。
答案：x。依据：等式的性质1，两边同时加x，得 。
（2）如果 ，那么 m = ______；
分析：左边从m+2n变成了m，说明左边减了2n，根据性质1，右边也要减2n。
答案：5。依据：等式的性质1，两边同时减2n，得 。
（3）如果 x = -4，那么 ______·x = 28；
分析：左边从x变成了某个数乘x，右边从-4变成了28，28 ÷ (-4) = -7，说明两边同时乘了-7。
答案：-7。依据：等式的性质2，两边同时乘-7，得 。
（4）如果 ，那么 m = ____·n。
分析：左边从3m变成了m，说明左边除以了3，根据性质2，右边也要除以3。
答案：。依据：等式的性质2，两边同时除以3，得 m = n。
解题技巧：解题技巧：等式变形填空的关键是"对比变化"——观察等式从左边形式到右边形式，哪一边发生了什么变化（加了什么、减了什么、乘了什么、除以了什么），然后根据等式性质，另一边也做同样的变化。
（设计意图：四道填空例题分别对应性质1的加减和性质2的乘除，由易到难，让学生熟练掌握等式变形的方法和依据。）
（六）及时巩固：等式变形判断
【过渡语】现在我们来检验一下，看看大家能不能准确判断等式变形是否正确。
根据等式的性质进行变形，下列变形错误的是（ ）
A. 若 ，则 x = y
B. 若 ，则 a = b
C. 若 ，则 x = y
D. 若 ，则 x = y
答案：B。
解析：
A正确：根据性质1，两边同时加a，得x = y。
B错误：当c=0时， = = 0，此时a和b不一定相等。例如a=1，b=2，c=0时，左边==0，右边==0，等式成立，但a≠b。
C正确：根据性质1，两边同时减x，得x = y。
D正确：根据性质2，两边同时乘-2（-2≠0），得x = y。
易错提示：易错提醒：等式两边同时除以同一个数时，这个数必须不为0！如果除以的是一个含字母的式子，要考虑这个式子是否可能等于0。如B选项中，可能等于0，所以不能直接两边除以。
（设计意图：通过选择题形式辨析常见易错点，特别是"除以含字母的式子时要考虑是否为0"这一难点，强化对性质2条件的理解。）
（七）例题精讲：利用等式性质解方程
【过渡语】等式的性质是解方程的基础。现在我们来学习如何利用等式的性质解一元一次方程。
例4 利用等式的性质解下列方程：
（1）
解：方程两边减 7，得
x + 7 - 7 = 26 - 7
于是 。
检验：把 x = 19 代入方程左边，得 19 + 7 = 26，右边 = 26，左边 = 右边，所以 x = 19 是原方程的解。
（2）
解：方程两边除以 -5，得
-5x ÷ (-5) = 20 ÷ (-5)
于是 。
检验：把 x = -4 代入方程左边，得 -5×(-4) = 20，右边 = 20，左边 = 右边，所以 x = -4 是原方程的解。
（3）
解：方程两边加 5，得
x - 5 + 5 = 4 + 5
化简，得
方程两边乘 3，得
x = 27，即 。
检验：把 x = 27 代入方程左边，得 ×27 - 5 = 9 - 5 = 4，右边 = 4，左边 = 右边，所以 x = 27 是原方程的解。
【知识点】利用等式性质解一元一次方程的一般步骤：
第一步（性质1）：把方程逐步变形为等号一边只有含未知数的项，另一边只有常数项的形式；
第二步（性质2）：把方程转化为 x = m（常数）的形式；
第三步（检验）：把求得的解代入原方程，检验左右两边是否相等。
解题技巧：解题技巧：解方程的目标是把方程化为"x = 常数"的形式。
- 如果方程中有常数项加在未知数一边，用性质1两边同时减去这个常数；
- 如果未知数前有系数，用性质2两边同时除以这个系数（或乘它的倒数）；
- 一般先用性质1，再用性质2。
（设计意图：三道例题由易到难，分别对应"只用性质1""只用性质2""性质1+性质2"三种情况，让学生逐步掌握解方程的方法，并养成检验的习惯。）
（八）课堂练习
1. 根据等式的性质填空：
（1）如果 x = y，那么 x + 1 = y + _____；（性质1，加1）
（2）如果 x + 2 = y + 2，那么 _____ = y；（性质1，减2）
（3）如果 x = y，那么 _____·x = 5y；（性质2，乘5）
（4）如果 -3x = -3y，那么 x = _____。（性质2，除以-3）
答案：（1）1；（2）x；（3）5；（4）y。
2. 利用等式的性质解下列方程，并检验：
（1）； （2）
（3）； （4）
答案：（1）x=11；（2）x=150；（3）x=-；（4）x=-4。（检验略）
（设计意图：两道练习分别训练等式性质填空和解方程，覆盖本课两个核心知识点，巩固所学内容。）
（九）课堂小结
教师引导学生回顾：
1. 等式的两个基本事实：对称性（a=b→b=a）和传递性（a=b, b=c→a=c）。
2. 等式的性质1：两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
3. 等式的性质2：两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
4. 利用等式性质解方程的步骤：先用性质1化归，再用性质2化归，最后检验。
（十）板书设计

展开更多......

收起↑