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5.2 解一元一次方程 第1课时 利用合并同类项解一元一次方程 教案
课题 5.2 解一元一次方程 第1课时 利用合并同类项解一元一次方程 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：理解合并同类项在解方程中的作用，掌握利用合并同类项解一元一次方程的方法 2.逻辑推理：通过解方程的过程，体会化归思想，理解将方程逐步转化为 x=a 形式的逻辑 3.数学建模：能从实际问题中找出等量关系，列出一元一次方程并求解 4.数学运算：熟练进行合并同类项和系数化为1的运算，准确求解一元一次方程
教学重点 1.利用合并同类项解一元一次方程。突破策略：通过例题示范"合并同类项→系数化为1"两步法，明确每步依据。
2.列一元一次方程解决实际问题。突破策略：用表格梳理数量关系，找准等量关系后列方程。
教学难点 1.从实际问题中找出等量关系并列方程。突破策略：用线段图或表格分析数量关系，明确"各个分量的和=总量"的基本相等关系。
2.理解合并同类项的化归作用。突破策略：对比化简前后方程的复杂程度，体会合并同类项使方程简化。
（一）复习导入
【过渡语】前面我们学习了等式的性质和合并同类项。今天我们要把这两个知识结合起来，学习一种解一元一次方程的方法。
复习1：什么是方程？
答：含有未知数的等式叫作方程。
复习2：等式的性质。
等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等。
等式的性质2：等式的两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
复习3：合并同类项练习。
（1）
（2）
（3）
教师引入：约820年，阿拉伯数学家花拉子米写了一本代数书《对消与还原》，重点论述怎样解方程。"对消"与"还原"是什么意思呢？学完本节课你就会明白。
（设计意图：通过复习等式的性质和合并同类项，为学习利用合并同类项解方程做好知识储备。花拉子米的故事激发学习兴趣，渗透数学文化。）
（二）新知探究：利用合并同类项解方程
【过渡语】我们来看一个实际问题，看看如何用合并同类项来解方程。
问题1 某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。前年这所学校购买了多少台计算机？
分析：设前年购买x台，则去年购买2x台，今年购买4x台。
等量关系：前年购买量 + 去年购买量 + 今年购买量 = 140台
列得方程：
解方程的过程：
把含有x的项合并同类项，得
系数化为1（等式性质2，两边除以7），得
因此，前年这所学校购买了20台计算机。
检验：当x=20时，左边=20++=20+40+80=140=右边，所以x=20是方程的解。
（设计意图：通过实际问题引入，让学生感受方程是解决实际问题的工具。计算机购买问题数量关系清晰，适合作为引入例题。）
【过渡语】在上面解方程的过程中，"合并同类项"起了什么作用？
解题技巧：合并同类项的目的就是化简方程，它是一种恒等变形，可以使方程变得简单，并逐步使方程向 x = a 的形式转化。
（设计意图：引导学生反思合并同类项的作用，理解化归思想：将复杂方程逐步转化为最简形式。）
（三）例题精讲
【过渡语】现在我们通过例题来巩固利用合并同类项解方程的方法。
例1 解下列方程：
（1）
解：合并同类项，得
系数化为1，得
根据等式的性质解一元一次方程时，得到的 x = m 就是方程的解（想一想为什么）。今后，检验环节通常可以省略。
（2）
解：先计算右边的常数项：
合并同类项，得
系数化为1，得
【知识点】利用合并同类项解一元一次方程的步骤：
（1）合并同类项：把等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 ax = b（a≠0，a，b为常数）的形式；
（2）系数化为1：利用等式的性质2，在方程两边除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，得到
★ 重点强调：解方程的目标：把方程变形，变为 x = a（a为常数）的形式。这是解方程的化归方向。
（设计意图：通过两道例题示范"合并同类项→系数化为1"的解题步骤，并归纳出一般步骤。例1(2)涉及等号右侧的运算，提醒学生先化简再合并。）
（四）例题精讲：数列问题
【过渡语】合并同类项不仅能解简单的方程，还能解决更复杂的实际问题。
例2 有一列数1，-3，9，-27，81，-243，…，其中第n个数是
(n≥1)，如果这列数中某三个相邻数的和是-1701，那么这三个数各是多少？
分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的数是它前面的数与-3的乘积。
解：设所求三个数中的第1个数是x，则后两个数分别是-3x，9x。
由三个数的和是-1701，得
合并同类项，得
系数化为1，得
所以，。
答：这三个数是-243，729，-2187。
解题技巧：解题技巧：
1. 发现数列规律是关键：后一项 = 前一项 × (-3)。
2. 设三个相邻数分别为x，-3x，9x，利用合并同类项简化方程。
3. 求出第一个数后，利用规律求出其余两个数。
（设计意图：数列问题展示了合并同类项解方程在更复杂情境中的应用，培养学生的观察归纳能力和数学建模能力。）
（五）巩固练习
【过渡语】现在我们来做一些练习，检验学习效果。
1. 馄饨问题：
王芳和姐姐、妈妈一起包馄饨，妈妈包馄饨的个数是王芳的4倍，姐姐包馄饨的个数是妈妈的，已知三人一共包了70个馄饨，则王芳包了多少个馄饨？
分析：设王芳包了x个馄饨，则妈妈包了4x个，姐姐包了2x个。
等量关系：王芳 + 妈妈 + 姐姐 = 70
合并同类项，得
系数化为1，得
答：王芳包了10个馄饨。
2. 中成药配比问题：
某种中成药由甘草、党参、苏叶三种材料组成，其中甘草、党参、苏叶三种材料的质量之比为1:2:4。若生产210 kg这种中成药，则需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是多少千克？
解：设需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是x kg，2x kg，4x kg。
合并同类项，得
系数化为1，得
所以，。
答：需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是30 kg，60 kg，120 kg。
概念辨析：列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
审（审题）→找（找相等关系）→设（设未知数）→列（列方程）→解（解方程）→检（检验结果）→答（确定答案）
（设计意图：通过馄饨问题和中成药配比问题，巩固列方程解应用题的步骤，培养数学建模能力。比例分配问题用"设一份为x"的策略。）
（六）课堂练习
解下列方程：
（1）
解：合并同类项，得
系数化为1，得
（2）
解：合并同类项，得
系数化为1，得
（3）
解：合并同类项，得
系数化为1，得
（4）
解：先计算右边：-5=7.5-5=2.5
合并同类项，得
系数化为1，得
（设计意图：四道解方程练习覆盖不同难度：正系数、分数系数、负系数、含运算的常数项，全面巩固解题方法。）
（七）课堂练习：应用题
3. 工厂产值问题：
某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年的2倍，这三年的总产值为550万元。2021年的产值是多少万元？
解：设2021年的产值是x万元，则2022年为1.5x万元，2023年为x=3x万元。
合并同类项，得
系数化为1，得
答：2021年的产值是100万元。
4. 洗衣机生产问题：
某洗衣机厂今年计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1:2:14。洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？
解：设计划生产Ⅰ型洗衣机x台，则Ⅱ型为2x台，Ⅲ型为14x台。
合并同类项，得
系数化为1，得
所以，。
答：洗衣机厂计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机各1500台、3000台、21000台。
易错提示：易错题辨析：
1. 合并同类项时，系数相加后容易忽略符号！如 -3x+0.5x = -2.5x，不是2.5x。
2. 系数化为1时，两边要除以同一个数，注意负号！如 -2.5x=10，x=10÷(-2.5)=-4。
3. 实际问题中，设未知数后要正确表示其他量。如"今年是去年的2倍"，去年为2x，今年为x=4x，不是3x。
4. 解方程的结果要检验是否符合实际意义，不能只算不管。
（设计意图：两道应用题进一步巩固列方程解应用题的方法。工厂产值问题涉及倍数关系，洗衣机问题涉及比例分配，体现方程模型的应用价值。）
（八）数学文化：对消与还原
约820年，阿拉伯数学家花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。这本书的拉丁译本为《对消与还原》。
"对消"指的就是"合并"——把同类项合并在一起，化简方程。
"还原"指的是把负项移到方程另一边变为正项，也就是后面将要学习的"移项"。
花拉子米的代数方法是现代代数学的起源之一，对世界数学发展产生了深远影响。
（设计意图：渗透数学文化，让学生了解"对消"与"还原"的含义，将本节课的合并同类项与历史渊源联系起来。）
（九）课堂小结
1. 会用合并同类项解一元一次方程。
解方程的步骤：合并同类项（合并同类项法则）→ 系数化为1（等式性质2）
2. 学会找等量关系列一元一次方程。
列方程解应用题的步骤：审→找→设→列→解→检→答
3. 理解化归思想：解方程就是把方程逐步变形为 x = a 的形式。
（十）板书设计

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