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6.3.3 余角和补角
课题 6.3.3 余角和补角
课型 新授课
课时 1课时（45分钟）
教材版本 人教版 数学 七年级上册
教学方法 讲授法、探究法、讲练结合
教学用具 多媒体课件、长方形纸片
核心素养目标 数学抽象：从图形与折叠纸片中抽象出余角、补角的数量关系，用符号语言刻画两角之和，体会从特殊到一般的归纳。；逻辑推理：借助等式的性质推导“同角（等角）的余角相等”等性质，并能用规范语言表述推理过程。；数学运算：由 ° 逆向得到 ° ∠1，进行角度的加减计算（含度、分、秒）。；直观想象：借助图形与折叠纸片直观感知互余、互补，在较复杂图形中识别互余、互补的角对。
教学重点 余角、补角的概念及其性质。
教学难点 余角、补角性质的理解与简单应用；在图形中准确识别互余、互补的角。
一、教学目标
1. 认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质。
2. 通过简单的推理，归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言描述性质。
二、教学过程
【复习导入】（5分钟）
出示图形（点O处引出射线OA、OB、OC），引导同学们观察由这些射线组成的角，提问：你能说说图中角的和差关系吗？
观察图形并口答：；；。
追问：图中除了和差关系之外，是否存在两个角的和等于90°或180°的情况？比如∠AOB和∠BOC的和有什么特殊性？
不一定，要看具体图形。但如果某个图中有一个直角或平角，相邻的两个角就可能满足特殊和的关系。
【过渡语】角的和差是研究角的关系的基础。如果两个角的和等于一个特殊的角——90°或180°，这就引出了两种重要的角的关系：互余和互补。
【探究新知：余角的概念】（8分钟）
探究1：图中 ∠A 与 ∠B 有怎样的数量关系？显然 °。像这样，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，简称互余。
结合图形理解：若°，则称∠A是∠B的余角，∠B也是∠A的余角，即∠A与∠B互余。
举实例：已知°，°，则°，所以∠1与∠2互余。那么如果°，它的余角是多少度？
余角=。
探究2：将一张长方形纸片沿一个角折叠，折痕与长方形的边形成了4个角。其中 °，°。这说明折叠产生的相邻角也满足特殊的和的关系。
【知识点】余角概念：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角（简称互余），其中一个角是另一个角的余角。
强调表述规范：可以说“∠1是∠2的余角”，或“∠1和∠2互余”，但不能单独说某一个角是余角（互余是成对出现的）。
练习表述：°，°，则∠A与∠B__ _（互余÷不互余），∠A的余角是__ _。
【补角的概念】（6分钟）
类似地，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角（简称互补）。图中 ∠3 和 ∠4 的和是180°，所以 ∠3 和 ∠4 互为补角。
对比余角与补角，归纳二者的联系与区别：两角和分别为90°与180°。
【知识点】补角概念：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
注意两点：①互余、互补指的是两个角之间的数量关系，与位置无关，且成对出现；②若两角互余，则这两个角一定都是锐角；若两角互补，则可能都是直角（？不，两个直角是，对），也可能是一个锐角、一个钝角。
举例：若°，则它的补角=，是两个角中一个是钝角、一个是锐角；若°，则补角=90°，是两个直角互补。
【性质的推导与归纳】（12分钟）
思考1：如图，∠1与∠2、∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？请同学们先独立思考，再小组讨论。
推理：因为 ∠1 与 ∠2 互余，所以 ° ∠1；又因为 ∠1 与 ∠3 互余，所以 ° ∠1；根据等式性质（等量代换），。
【知识点】性质一：同角的余角相等。
思考2：已知 ∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且 ，那么 ∠2与∠4相等吗？请类比上面的推理过程写出证明思路。
因为°，所以° ∠1；因为°，所以° ∠3；又，所以° ° ，即。
【知识点】性质二：等角的余角相等。
类比迁移：上面我们从互余出发得到了两条性质。类似地，从互补出发，你能得到什么结论？请仿照前面的推理完成。
同角的补角相等：°，° 。等角的补角相等：°，°，且 。
【知识点】性质三：同角的补角相等。
【知识点】性质四：等角的补角相等。
我们把四条性质整理为：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。这四条性质的推理依据都是等式的性质（等量代换和等量加减）。
【例题精讲】（8分钟）
【例题4】
如图，点A、O、B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
【思路分析】找90°。因为A、O、B在同一直线上，°；OD、OE分别平分两角，可得°，故∠COD与∠COE互余。同理可得其余角对。
【解答】因为点A、O、B在同一直线上，所以∠AOC与∠BOC互为补角。又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以，，从而°。所以∠COD与∠COE互为余角。同理，∠AOD与∠BOE、∠AOD与∠COE、∠COD与∠BOE也互为余角。
例4中，我们是先利用角平分线的定义将大角平分，再通过两角的和为90°判断互余关系。注意：一定要紧扣互余的定义（和为90°）来判断。
【课堂小结与拓展】（0分钟）
三、板书设计
余角：°（互余）
补角：°（互补）
同角（等角）的余角相等
同角（等角）的补角相等
四、教学反思
1. 本节课学生哪些地方容易出错？
2. 哪些学生需要特别关注？
3. 教学时间分配是否合理？
4. 实验/探究环节是否达到预期效果？
5. 有哪些生成性问题？如何处理？
6. 下节课如何改进？

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