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第三十章 直线与圆的位置关系
30.2 三角形的内切圆
知识点一 三角形的内切圆
三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
三角形的内切圆的作法：
1）确定圆心：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心.
2）确定半径：过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径.
【技巧总结】
1）三角形的面积：如果三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形的面积
2）直角三角形的内切圆半径：如果直角三角形的直角边为a，b，斜边为c，则内切圆半径
3）在填空题或选择题中，可直接利用上述公式计算.
即学即练
1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可．
【详解】解：三角形的内心是三角形角平分线的交点，
由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意．
2．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：A．
3．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义，，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵在中，点O为的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内切圆、外接圆，等腰三角形等知识，利用图形去观察分析是解题的关键．画一个固定的圆作为的内切圆，再分别画出几个等腰三角形，度数依次增大，观察图形即可得解．
【详解】解：如图
根据图形我们可以发现，当的内切圆的半径确定时，在增大的过程中，的外接圆的半径先减小，后增大；
故选D．
题型01 理解三角形内切圆的相关概念
典｜例｜精｜析
例1．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）下列说法正确的有（ ）个
①长度相等的两条弧是等弧②相等的圆心角所对的弧相等③平分弦的直径平分弦所对的弧④的圆周角所对的弦是直径⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等⑥三角形的内心是三条角平分线的交点⑦在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查圆的基本性质与三角形外心和内心的性质，根据相关知识点，逐项判断正误即可．
【详解】解：①等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合，长度相等不一定为等弧，不符合题意；
②相等的圆心角所对弧相等需在同圆或等圆中，不符合题意；
③平分弦的直径平分弦（非直径）所对的弧，不符合题意；
④圆周角定理，圆周角所对弦为直径，符合题意；
⑤三角形外心到顶点距离相等，但到三边距离不一定相等，不符合题意；
⑥三角形内心是角平分线交点，符合题意；
⑦在同圆或等圆中相等弦所对圆周角可能相等或互补，不符合题意．
正确的有④、⑥共2个，
故选A．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·四川凉山·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部
C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等
【答案】B
【分析】本题考查圆的相关概念和性质，以及重心的性质．根据等弧的定义、三角形的内心、重心以及圆周角定理逐一判断即可．
【详解】解：A．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故原说法错误；
B．三角形的内心是角平分线的交点，一定在三角形内部，正确；
C．三角形的重心是中线交点，到三边的距离不一定相等，故原说法错误；
D． 同弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误．
故选B．
2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【分析】根据点是的内心，可得，可判断①正确；连接，，可得，从而得到，进而得到，可判断②正确； ，得出，再由点为的中点，则成立，可判定③正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，得出，可判断④正确．
【详解】解：∵点是的内心，
∴，
∴对应的圆心角相等，
∴，
∴，故①说法正确；
如图，连接，，
∵点是的内心，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，故②说法正确；
∵，
∵点为的中点，
∴线段经过圆心O，
∴，
∴成立，故③说法正确；
∵点是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④说法正确；
综上分析可知，①②③④正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．
3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）用无刻度的直尺和圆规确定的内心，下列做法正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的平分线的交点，再确定哪个作图是作的三角形的两个内角的平分线，从而可得答案．
【详解】解：∵三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的平分线的交点，
观察各选项可得：
选项A中的作图是作的是三角形两边的垂直平分线，故不符合题意；
选项B中的作图是作的是三角形两边上高，故不符合题意；
选项C中的作图是作的是三角形两个内角的平分线，故符合题意；
选项D中的作图是作的是三角形两边上的中线，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形的内心的含义，确定三角形的内切圆的圆心位置，利用三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解本题的关键．
题型02 利用内心性质求内切圆半径（直角三角形）
典｜例｜精｜析
例2．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________．
【答案】
【分析】本题主要考查内切圆的性质、三角形的面积等，熟练掌握内切圆的性质是解题的关键．
先连接，设圆的半径为，根据题目条件推出，，最后根据三角形的面积公式，运用等面积法即可求解．
【详解】解：如图，连接，设圆的半径为，
∵是的内切圆，，，为切点，
∴，，
∵，，，
∴，
∵
，
即，
解得：．
故答案为：．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知三角形三边长分别为、、，则其内切圆半径为______．
【答案】
【分析】根据题意作出图形，由切线长定理得，，，由切线的性质定理得，，由勾股定理逆定理得，进而得四边形是正方形，从而得，设的半径为，则，，，再根据列方程，即可求解．
【详解】解：如图，中，，，，切三边于点、、，连接、，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
设的半径为，则，，，
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理逆定理、正方形的判定和性质，根据题意作出图形，利用切线长定理结合直角三角形的边长关系建立方程是解题的关键．
2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒
连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒
【详解】解：如图，连接﹒
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形﹒
设的半径为r，则﹒
∵为的内切圆，
∴，
∴在中，根据勾股定理得，
解得（舍去）﹒
∴的半径为1﹒
故答案为：1
3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知线段a，b是的两边长，且线段a，b满足．则的内切圆半径长为________．
【答案】1或
【分析】本题考查了三角形内切圆，绝对值的非负性，乘方的非负性，求算术平方根．
由绝对值和平方的非负性可得a和b的值，再根据勾股定理确定斜边长，分斜边为c和b两种情况讨论，利用内切圆半径结合等面积法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
设第三边为c，的内切圆半径长为，
当c是斜边时，，则，
解得：；
当b是斜边时，同理可得；
故答案为：1或．
题型03 利用内心性质求内切圆半径（一般三角形）
典｜例｜精｜析
例3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，

设，则，
由勾股定理得：，．
．
解得：．
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是______．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，解直角三角形，根据等边三角形的性质，当剪下的圆与等边三角形的三边相切时，圆的半径最大，求出等边三角形的内切圆的半径即可．
【详解】解：如图，当剪下的圆与等边三角形的三边都相切时，圆的半径最大，
设等边三角形的内切圆的圆心为O，与相切于点D，连接，，，
∵是等边三角形，
∴，
∵等边三角形的内切圆的圆心为O，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，
∵是等边三角形纸片，，
∴，
∴，
∴，
∴，即r的最大值是，
故答案为：．
2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（ ）
A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内切圆的性质，设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、，由内切圆可得，，，，则，即可得到，同理可得，再代入计算即可．
【详解】解：设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、，
∵，
∴，，
∵为斜边上的中线，
∴，，
∵的内切圆圆心，切点分别为、、，的内切圆半径为，
∴，，，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故选：B．
3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，10
【答案】B
【分析】分别求出各三角形的内切圆半径，比较即可．
【详解】如图，任意一个三角形的内心O，分别过O作三边的垂线，垂足为D、E、F，连接，
∴
∴
∴三角形内切圆半径
A、∵三角形是等边三角形
∴
∴三角形内切圆半径；
B、如图，中，，过A作于D，
∴，
∴，
∴
∴三角形内切圆半径；
C、如图，中，，过A作于D，
设，
∵
∴
解得，
∴
∴三角形内切圆半径；
C、中，，
∴
∴是直角三角形
∴
∴三角形内切圆半径；
∵
∴内切圆半径最小的是4，10，10，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆、勾股定理，掌握内切圆半径与三角形周长和面积的关系是解题的关键．
4．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题．
【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，
，
，
，
的长为，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键．
题型04 利用内心的性质线段长
典｜例｜精｜析
例4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内心的性质，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据已知得出是等边三角形，，证明，，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵点是的内心，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴，
故答案为：．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，、分别是的内心和外心，连接，若，则的长______．
【答案】
【分析】过内心作三角形三边的垂线，利用内心到三边距离相等的性质，结合判定四边形 为正方形，然后设正方形边长为，结合含角的直角三角形边长关系和的长度建立方程，求出正方形边长，再通过证明得到，结合外心的性质算出，最后在中用勾股定理求出．
【详解】解：如图，过点作，，，连接，
，，，
，，
点为的外心，
，
点为的内心，
，平分，
，
四边形是正方形，
，
设正方形边长为，则，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内心和外心的定义与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，含角的直角三角形的边长关系，掌握三角形内心和外心的性质是解题关键．
2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在 中，，，，、 分别为 的内心和外心，则__________．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内心与外心性质，三角形的面积公式，全等三角形的性质与判定，正方形的判定与性质，勾股定理，连接，过点作于点，作于点，作于点，根据勾股定理求得，根据三角形的外心性质求得，由三角形的内心性质得，再根据三角形的面积公式，由的边长求得，进而证明四边形为正方形，求得，再证明得，进而求得，最后由勾股定理求得．
【详解】解：连接，过点作于点，作于点，作于点，
∵，，，
∴，
∵为的外心，
∴，
∵为的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值．
【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵的周长为36，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：，
即的长为8，
故答案为：8．
题型05 利用内心的性质求周长
典｜例｜精｜析
例5．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图， 的周长为，， 是的内切圆，的切线与、分别交于点、， 则的周长为_______ ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的切线长定理，三角形的内切圆，掌握圆的切线长定理是解答本题的关键．设与各边的切点分别为、、，与相切于点，根据切线长定理可得，，， ，，再由的周长为，，列式进行等量代换即可求得的周长．
【详解】解：如图，设与各边的切点分别为、、，与相切于点，
，，， ，，
，即，
，
的周长为，
，
， 即，
，
的周长为：
．
故答案为：．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为_________．
【答案】21
【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的周长等知识．设与分别相切于点F、G、L、H，则，，所以，而，，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H，
则，，且，
∴，
∵，，且的周长为，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：21．
2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________．
【答案】12
【分析】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键．
先根据三角形内心的定义得到是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，于是得到，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：连接．
∵点O是的内心，
∴分别是和的角平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴的周长，
故答案为：12．
3．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，已知D、E分别在等边的边、上，连结，的平分线恰好经过的外心O，交于点F，连结，若的周长为18，则的周长为________．
【答案】54
【分析】作于点G，于点H，于点M，连接，，，，根据平分， 得到，根据推出，得到，易得O为的内心，得到，推出．根据推出，得到，根据，得到为等边三角形，得到，根据O为正的外心，得到，根据推出，得到，推出，根据的周长为18，得到的周长为54．
【详解】解：过点O作于点G，于点H，于点M，连接，，，，如图，

∵是的平分线，，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等边三角形，O是的外心，
∴O为的内心，
∴平分，
∵，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵O为的外心，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长
．
∴的周长的周长，
∵的周长为18，
∴的周长为．
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了等边三角形，角平分线，全等三角形，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形外心与内心的性质，直角三角形全等的判定和性质．
题型06 利用内心的性质求面积
典｜例｜精｜析
例6．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知直角三角形外接圆的半径为6，内切圆的半径为2，那么这个直角三角形的面积是__________．
【答案】28
【分析】本题考查了直角三角形外接圆的性质，直角三角形内切圆的性质，勾股定理，完全平方公式及直角三角形的面积公式．利用直角三角形外接圆半径与斜边的关系求斜边，再通过内切圆半径公式求两直角边和，结合勾股定理和完全平方公式求两直角边乘积，最后计算面积．
【详解】解：如图，点O是的外心，点D是的内心，E、F、M是的内切圆与各边的切点，
设，，则有，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为28，
故答案为：28．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）的内切圆半径为，的周长为，则的面积是______．
【答案】2
【分析】本题考查的是三角形的内心的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
利用三角形内切圆的性质，三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半．
【详解】设的内切圆圆心为，切点为点，，，连接，，，，，，
则到各边的距离均等于内切圆半径，
，，，
，
的面积可表示为、、的面积之和，即，，
；
故答案是：．
2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是_________．

【答案】/
【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法，勾股定理．根据已知得出是解题关键．
设、、与的切点分别为、、，证得四边形是正方形，然后根据切线长定理可得：，由此可求出半径的长，然后利用图中阴影部分的面积代数求解即可．
【详解】解：如图所示，设、、与的切点分别为、、

在，，，，
∴，
四边形中，，，
四边形是正方形，
由切线长定理，得：，，，
，
∴．
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：．
3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为_________．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可．
【详解】∵，，是边上的高，
∴，，
∴，，
设与的半径分别为x，y，则
∴，，
解得，
∴与的面积比为，
故答案为：．
题型07 利用内心的性质计算角度
典｜例｜精｜析
例7．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题．
【详解】解：连接，
点是的内心，，
，
，
点是外接圆的圆心，
，
．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内心和外心定义，掌握圆周角定理和内心定义解决此题的关键．
连接，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点求得，利用圆周角定理求得，然后利用等边对等角和三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：连接，
∵I是的内心，，
∴，
∵点O是的外心，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________．
【答案】/36度
【分析】本题主要考查三角形的内心和外心的性质，角平分线以及三角形内角和定理的应用，根据三角形的内心和外心得到对应的角相等，再结合角平分线得到对应角关系，结合三角形内角和定理列出方程，求解即可．
【详解】解：设，如图，
∵点E为的内心，
∴，，
∵点F为的外心，
∴，，
∵的内心与的外心重合，
∴，
∵平分，
∴，
∵点E为的内心，
∴ ，
则，
解得，
那么，，
故答案为：．
3．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，锐角内接于，I为内心，已知，则的度数为______．
【答案】/110度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理等，根据等腰三角形的性质求出的度数是解决问题的前提．根据及的度数，求出，可知，由为内心，得、为、的平分线，则有，即可解决问题．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为内心，
∴、为、的平分线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
题型08 三角形内心的应用
遇到三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点可得角的平分线.由于三角形的内切圆与三角形各边都相切，所以连接三角形的内心和切点、内心和顶点可得直角三角形，且内心和切点之间的距离等于三角形内切圆的半径.
典｜例｜精｜析
例8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内心、角平分线的性质、平行线的性质，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，根据点为的内心，可知，，根据平移的性质可证，，根据等角对等边可知，，根据周长的公式可得阴影部分的周长就是的长度．
【详解】解：如图所示，连接、，
点为的内心，
平分，平分，
，，
由平移的性质可知：，，
，，
，，
，，
阴影部分的周长为．
故答案为：.
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键．
根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，然后用周角定义即可求解．
【详解】解：∵沿折叠，点恰好与的内心重合，
∴，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
故答案为：40．
2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出是解决问题的关键．
作于D，于E，于F，根据题意得出四边形是正方形，得出，由勾股定理得出，由内心的性质得出，，，由勾股定理求出，，由直线与圆的位置关系，即可得出结果．
【详解】解：如图，作于D，于E，于F，连接，，
则，
四边形是长方形，
是的内心，
，
四边形是正方形，
．
，，，
，
设，
则，
，
，
，，
，，
当时，与线段有且只有一个公共点，
当时，与线段有两个公共点，
当时，与线段有且只有一个公共点，
当时，与线段没有公共点，
综上可知，的取值范围是或．
故答案为：或．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为__．
【答案】
【分析】连接，延长到，使，连接，则，先根据三角形的内心及三角形内角和定理求出，则，证明得，在中，根据含有角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，进而在中，由勾股定理求出，从而可得的长．
【详解】解：连接，延长到，使，连接，如图所示：
则，
在中，，
∴，
∵点是的内心，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，理解三角形的内心，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行运算是解决问题的关键．
题型09 三角形内切圆与外接圆综合
典｜例｜精｜析
例9．（江苏扬州市江都区2025-2026学年九年级第一学期期末考试数学试卷）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．利用三角形三边分别为5、12、13，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心，在中，先求得，再由勾股定理可求得的长．
【详解】解：如图，
∵三角形三边分别为5，12，13，
∴，
根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：，
如图，设，，
设的内切圆的半径为r，则，
∵，
∴，
∴，解得，
∴，
在中，，
根据勾股定理得∴，
则该三角形内心与外心之间的距离为，
故答案为：．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）已知的外心为，内心为，，_______
【答案】或
【分析】本题考查三角形的外心、内心的性质以及圆周角定理，熟练掌握对外心、内心的性质是解题的关键．
用三角形外心的性质和圆周角定理得出的度数，再利用三角形内角和定理以及三角形内心的性质得出答案．
【详解】解：∵是的外心，，
当点在优弧上时，如图：
∴，
∵是的内心，
∴、分别平分、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当点在劣弧上时，
则，
∵是的内心，同理可得，
∴；
故答案为：或．
2．（21-22九年级上·山东潍坊·期中）如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为_____．
【答案】/140度
【分析】此题考查了三角形的内心和外心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意做出的外接圆，的内切圆，进而利用三角形内心和外心的性质求解．
分别作出的外接圆，的内切圆，首先根据三角形内心的性质以及三角形内角和定理求出，进而求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：分别作出的外接圆，的内切圆，
∵点I是的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点O是是外心，
∴，
故答案为：．
3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为_____．
【答案】
【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接，，，取中点，连接，过作于点，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，最大值为，然后由勾股定理求出的值即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性质定理和勾股定理的应用．
【详解】解：如图，连接，，，取中点，连接，过作于点，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
∵为的中点，
∴，
则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点三点共线时，最大，为的值，
∵为的内心，过作于点，于点，
∴四边形为正方形，
由直角三角形的内切圆半径为，即，
∴，
取的中点G，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴最大值为，
故答案为：．
题型10 圆外切四边形模型
典｜例｜精｜析
例10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______．
【答案】48
【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H，
∵四边形是的外切四边形，
∴，
∴
∴，
∴四边形的周长为
．
故答案为：48．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________．
【答案】8
【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键．
利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可．
【详解】解：如图，
∵的外切四边形，
∴，
∴，
∵，
∴设、、，则，即，
∵四边形的周长为32，
∴，解得：，
∴．
故答案为：8．
2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分．
(1)求证：与相切；
(2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补；
(3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等，
（1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切．
（2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补．
（3）由是四边形的内切圆，得①，由，得②，由①②可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得．
【详解】（1）证明：如图1，连接，过点作于点，
∵与相切，
∴，又平分，
∴，
∴与相切．
（2）如图2，连接，
∵是四边形的内切圆，
∴，，，，
∴，
在四边形中，，
同理可证，．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形对角互补．
（3）∵是四边形的内切圆，
∴，①
记与的交点为点，
∵，
∴，②
由①②可得，
设，，
∴和都是方程的两根，
又，∴，，
又，∴平分，
∴为直径，
连接，则，
∴，
∴，
∵为直径，，
∴，
∴．
题型11 内切圆与全等三角形综合证明
典｜例｜精｜析
例11．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求解，连接，，，过作，，，垂足分别为，，，根据是的内心，利用，，，得出，求解即可．
【详解】解：点，点，
，，
∴在中，；
连接，，，过作，，，垂足分别为，，，
是的内心，
∴分别平分
∴
∵
∴
∴
同理可得，，，
设，则，，
，
解得：，
∴，
的坐标为，
点关于轴对称的点的坐标是．
变｜式｜巩｜固
1．（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____．
【答案】/
【分析】过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过作于，于，于，
∵，
∴四边形是矩形，
∵是的内心，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点在边上，扇形与边相切于点，点，分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为___________．
【答案】/0.5
【分析】连接，根据切线的性质得到，进而得到四边形是矩形，则，再证明，得到，则，设，，则，，根据完全平方公式求出，再根据三角形的内切圆半径公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵矩形，
∴，
∵扇形与边相切于点，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵是的内切圆，
∴的半径．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的内切圆、完全平方公式的应用，熟练掌握三角形内切圆半径公式是解题的关键．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，，，动点沿弧从运动到，作于点，则内切圆圆心的运动路径长是______．
【答案】
【分析】连接、、，过、、三点作，连接、，在优弧上取点，连接、，结合内切圆性质得，，根据三角形内角和定理可得，利用“边角边”证明，由全等三角形性质可得，结合圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据勾股定理求出，当点和点重合时，连接，结合等边对等角易推得是等边三角形，即点在以为弦，并且所对的圆周角是的一段劣弧上运动，则内切圆圆心的运动路径长即为劣弧的弧长，结合弧长公式即可得解．
【详解】解：如图，连接、、，过、、三点作，连接、，
在优弧上取点，连接、，
在扇形中，，动点沿弧从运动到，
，
点是内切圆圆心，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
根据圆内接四边形的性质可得，，
，
，
，
，，
又当点和点重合时，连接，如下图：
此时，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
综上，点在以为弦，并且所对的圆周角是的一段劣弧上运动，
劣弧的弧长，
内切圆圆心的运动路径长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是内切圆性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质、弧长计算公式，解题关键是通过计算的大小恒定推出内切圆圆心的运动轨迹．
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1 / 10第三十章 直线与圆的位置关系
30.2 三角形的内切圆
知识点一 三角形的内切圆
三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
三角形的内切圆的作法：
1）确定圆心：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心.
2）确定半径：过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径.
【技巧总结】
1）三角形的面积：如果三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形的面积
2）直角三角形的内切圆半径：如果直角三角形的直角边为a，b，斜边为c，则内切圆半径
3）在填空题或选择题中，可直接利用上述公式计算.
即学即练
1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A．B．C． D．
2．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，在中，点O为的内心，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大
题型01 理解三角形内切圆的相关概念
典｜例｜精｜析
例1．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）下列说法正确的有（ ）个
①长度相等的两条弧是等弧②相等的圆心角所对的弧相等③平分弦的直径平分弦所对的弧④的圆周角所对的弦是直径⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等⑥三角形的内心是三条角平分线的交点⑦在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·四川凉山·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部
C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等
2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
3．（22-23九年级上·吉林长春·期末）用无刻度的直尺和圆规确定的内心，下列做法正确的是（ ）
A．B．C． D．
题型02 利用内心性质求内切圆半径（直角三角形）
典｜例｜精｜析
例2．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知三角形三边长分别为、、，则其内切圆半径为______．
2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________．
3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知线段a，b是的两边长，且线段a，b满足．则的内切圆半径长为________．
题型03 利用内心性质求内切圆半径（一般三角形）
典｜例｜精｜析
例3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为__________．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是______．
2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（ ）
A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2
3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，10
4．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
题型04 利用内心的性质线段长
典｜例｜精｜析
例4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是的内心，以为圆心作半径为3的圆，分别交的边于，，，，点，连接和，若，则__________
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，、分别是的内心和外心，连接，若，则的长______．
2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在 中，，，，、 分别为 的内心和外心，则__________．
3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________．
题型05 利用内心的性质求周长
典｜例｜精｜析
例5．（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图， 的周长为，， 是的内切圆，的切线与、分别交于点、， 则的周长为_______ ．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为_________．
2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，的周长是，点O是的内心，过点O作，与分别交于点E、F，已知，则的周长为 ___________．
3．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，已知D、E分别在等边的边、上，连结，的平分线恰好经过的外心O，交于点F，连结，若的周长为18，则的周长为________．
题型06 利用内心的性质求面积
典｜例｜精｜析
例6．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知直角三角形外接圆的半径为6，内切圆的半径为2，那么这个直角三角形的面积是__________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）的内切圆半径为，的周长为，则的面积是______．
2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是_________．

3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为_________．
题型07 利用内心的性质计算角度
典｜例｜精｜析
例7．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________．
3．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，锐角内接于，I为内心，已知，则的度数为______．
题型08 三角形内心的应用
遇到三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点可得角的平分线.由于三角形的内切圆与三角形各边都相切，所以连接三角形的内心和切点、内心和顶点可得直角三角形，且内心和切点之间的距离等于三角形内切圆的半径.
典｜例｜精｜析
例8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________．
2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为__．
题型09 三角形内切圆与外接圆综合
典｜例｜精｜析
例9．（江苏扬州市江都区2025-2026学年九年级第一学期期末考试数学试卷）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）已知的外心为，内心为，，_______
2．（21-22九年级上·山东潍坊·期中）如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为_____．
3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为_____．
题型10 圆外切四边形模型
典｜例｜精｜析
例10．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________．
2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分．
(1)求证：与相切；
(2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补；
(3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围)
题型11 内切圆与全等三角形综合证明
典｜例｜精｜析
例11．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________．
变｜式｜巩｜固
1．（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____．
2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点在边上，扇形与边相切于点，点，分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为___________．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，，，动点沿弧从运动到，作于点，则内切圆圆心的运动路径长是______．
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