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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题：1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系（1）
课型：新授课 设计时间： 2026 年 7 月 29 日
学习核心内容 理解二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的对应关系；掌握判别式判定抛物线与x轴交点个数的方法；学会利用二次函数图像求一元二次方程的近似解，能结合函数图像解决简单综合问题，完善二次函数知识体系，提升数形结合解题能力。
学习目标 评价设计（指向学习目标）
①掌握利用判别式判断抛物线与x轴交点个数的三种情况，能熟练规范判断。 ②掌握利用二次函数图像估求一元二次方程近似解的方法，能根据函数值正负锁定方程根的取值区间。 ①通过随堂填空、快速判断题型，评价学生判别式的运用熟练度，精准匹配三种图像特征。 ②通过例题实操、课堂板演，评价学生图像估解方程的步骤规范性与区间判断准确性。
学习过程设计
环节一：引入新课 一、复习旧知，情境导入 想一想： 一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)有什么关系 当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。 现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？ 方程的解是函数图象与x轴的交点的横坐标。 设计意图： 环节二：新知探究 1.求方程2x2＋x－3=0的两个根 2x2+x 3=0 解得：x1=，x2=1 2.求二次函数y=2x2＋x－3与x轴的交点坐标A、B 解： 解得：x1= ，x2= 1∴A(，0)，B( 1，0) 问题：你发现方程的b2 －4ac值和函数图象与坐标轴的交点有什么联系？ 当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的根。 ①当b2 －4ac >0时，抛物线与x轴有 交点； ②当b2 －4ac =0时，抛物线与x轴只有 交点； ③当b2 －4ac <0时，抛物线与x轴 交点。 2个，1个，0个 【知识拓展】 环节三：典例精析 例1：利用二次函数的图象求方程x2+x-1=0的解(或近似解). 解：设y=x2+x-1，则方程x2+x-1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标. 在直角坐标系中画出函数y=x2+x-1的图象： 由函数y=x2+x-1的图象得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解. 观察，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈-1.6. 所以方程x2+x-1=0的近似解为x1≈0.6，x2≈-1.6. 思考：如果把方程x +x － 1 = 0变形成 x = － x+1，那么方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？ 用不同图象解法试一试，结果相同吗？ 在不使用计算机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？ 例2：一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时球的高度为h(m). 已知物体竖直上抛运动中，h=v0t-gt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s ).问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m 分析：根据已知条件，我们容易写出h(m)关于t(s)的二次函数表达式h=10t-5t2，并画出函数的大致图象.从图象我们可以看到，图象与横轴的两个交点分别为(0，0)，(2，0)，它们的横坐标分别为0与2，就是球从地面弹起和回到地面的时刻，此时h=0，所以这两个时刻也就是一元二次方程10t-5t2=0的两个根. 这两个时刻的差就是球从地面弹起至回到地面所需的时间. 同样，我们只要取h=3.75m，得一元二次方程10t-5t2=3.75，求出它的根，就得到球达到3.75m高度时所经过的时间. 解：由题意，得h(m)关于t(s)的二次函数表达式为h=10t-5t2. 取h=0，得一元二次方程10t-5t2=0， 解这个方程，得t1=0，t2=2. 所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为 t2-t1=2(s). 取h=3.75，得一元二次方程10t-5t2=3.75, 解这个方程，得t1=0.5，t2=1.5. 答:球从弹起至回到地面需2s，经过0.5s或1.5s球的高度达到3.75m. 【总结归纳】 从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴（或平行于横轴的直线）的交点坐标. 反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解. 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是(　　) A．x1＝1，x2＝3　　　B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 2.二次函数y=2x2-3x-c (c>0)的图象与x轴的交点情况是( ). A. 有1个交点 B. 有2个交点 C. 无交点 D. 无法确定 选做题： 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，图象经过点(1，0)，且对称轴为直线x＝－1，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根是________________． 【综合拓展类作业】 4.对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式： =v_0t 1/2gt^2 ，其中v_0（米）是上升高度， g（米/秒）是初速度， t（米/秒2）是重力加速度， （秒）是物体抛出后所经过的时间，下图是h与t的函数关系图. ⑴求：v_0 ，g； ⑵几秒时，物体在离抛出点25米高的地方. 环节五：课堂总结 1. 核心关系：函数零点=方程实数根=图像与x轴交点横坐标； 2. 三类判定：两个交点、一个交点、无交点； 3. 核心方法：数形结合，利用函数图像估求方程近似解； 4. 数学思想：数形结合、转化与归纳思想。
作业内容： 【知识技能类作业】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应关系如下表，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是(　　) x－1.5－1－0.500.511.522.5y－0.220.130.380.530.580.530.380.13－0.22
A．－1.5(1) 求小球到达最高点的坐标；
(2)若小球的落点是A，求点A的坐标． 4、已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ 参考答案： 课堂练习： C 2.B 3.x1＝－3，x2＝1 4.解：(1)由图知，当t=6时，h=0 ；当t=3时，h=45. ∴0=6v0 18g，45=3v0 4.5g 解得v0=30，g=10 ∴v0=30米/秒 g=10米/秒2 （2）由（1）得，函数关系式是h=30t-5t2 . 当h=25 时，25=30t-5t2 ，解得t1=1，t2=5 ∴经过1秒或5秒的物体在离抛出点25米高的地方. 作业内容： A 2. 10 3.解：(1)顶点坐标为（8，16）； （2）由题意，解得x=0或x=14，
则点O坐标为（0，0），点A的坐标为（14，7）． 4. （1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0， ∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解， 即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； (2)解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3， 把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0）， 因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点， 所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计： 一、核心对应关系 y=0 图像与x轴交点横坐标 = 方程实数根 二、判别式三类结论 ：2个交点，2个不等实根 ：1个交点，2个相等实根 ：无交点，无实数根 三、解题方法 画图→锁定区间→估算近似解 四、思想：数形结合、转化思想
教学反思： 部分学生对函数与方程的转化关系理解浅层，只会机械套用判别式，不会灵活运用图像判断根的情况；在求方程近似解时，学生区间锁定不精准，估算精度把控不足；少数学生忽略二次项系数不为0的隐含条件，在含参数题型中容易解题失误；知识迁移能力较弱，无法灵活解决综合题型。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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