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6.2.2 线段的比较与运算 第1课时 线段的比较 教案
课题 6.2.2 线段的比较与运算
第1课时 线段的比较 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：理解线段比较的方法和基本事实；2.逻辑推理：类比比身高推导线段比较方法；3.数学建模：用线段比较解决实际距离问题；4.直观想象：通过叠合法直观比较线段长短
教学重点 线段长短的比较方法（度量法、叠合法）；尺规作图作一条线段等于已知线段；线段的基本事实
教学难点 叠合法的操作步骤和理解；两点之间线段最短的运用；两点间距离的概念
一、新课导入
【过渡语】同学们，上节课我们学习了直线、射线、线段的概念和表示方法。现在来复习一下：经过两点有几条直线？
复习回顾：
1. 基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。
2. 直线、射线、线段的表示方法：
（1）用一个小写字母表示，如直线l、线段a、射线l；
（2）用线上的两个点的大写字母表示，如直线AB、线段AB、射线AB。
【过渡语】在日常生活中，我们经常需要比较两条线段的长短，比如比较两名同学的身高、比较两根绳子的长度等。那么，在数学中如何比较两条线段的长短呢？如何作一条线段等于已知线段呢？今天我们就来学习线段的比较。
设计意图：通过复习上节课内容，巩固直线、射线、线段的基础知识，为学习线段的比较做好铺垫。通过生活实例引入新课，激发学生学习兴趣，体会数学与生活的紧密联系。
二、新知探究
知识点一：作一条线段等于已知线段
1. 尺规作图的概念
【过渡语】在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。下面我们来学习如何作一条线段等于已知线段。
探究1：如何作一条线段等于已知线段AB？
2. 方法一：测量长度法
步骤：
（1）用刻度尺量出已知线段AB的长度；
（2）在另一条直线上画一条与AB长度相等的线段CD。
设计意图：通过测量长度法，让学生理解"数"的角度作线段的方法，为后续学习尺规作图做铺垫。
3. 方法二：尺规作图法
步骤：
（1）先用直尺画直线l；
（2）再用圆规在直线l上截取CD=AB。
【知识点】尺规作图：在数学中，常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。
解题技巧：尺规作图要点：
1. 直尺只用来画直线，不用来测量长度。
2. 圆规用来截取线段长度和画弧。
3. 作图时要注意步骤的准确性和规范性。
4. 直尺画直线l，圆规截取CD=AB，两步缺一不可。
设计意图：通过尺规作图法，让学生掌握用无刻度直尺和圆规作线段的方法，培养数学作图技能和几何直观。
知识点二：比较两条线段的长短
1. 类比引入
【过渡语】探究2：如何比较两名同学的身高？同学们想一想，有哪些方法？
比较身高的方法：
方法一：目测法——直接观察比较，但有时不准确。
方法二：度量法——用卷尺分别量出两人的身高，将数值进行比较。
方法三：叠合法——让两人站在同一平地上，脚底平齐，观察头顶直接比出高矮。
设计意图：通过类比比身高的方法，引导学生将生活经验迁移到数学中，为学习线段比较方法做铺垫。体现数学来源于生活的理念。
2. 线段比较的方法
【过渡语】探究3：类比比身高的方法，怎样比较两条线段的长短呢？
【知识点】比较线段长短的方法有三种：
方法一：目测法
用直接观察进行比较。目测的结果不准确，仅适用于差距明显的线段。
方法二：度量法
【知识点】度量法：用刻度尺分别测量出两条线段的长度，通过比较数值大小来确定线段的长短。这是从"数"的角度进行比较。
用刻度尺分别测量出两条线段的长度来比较。从"数"的角度进行比较。
方法三：叠合法
把一条线段移到另一条线段上作比较。从"形"的角度进行比较。
操作要点：一个端点重合，另一个端点放在公共端点的同侧。
3. 叠合法的三种情况
【知识点】叠合法比较线段AB与线段CD的三种情况：
（1）点B在线段CD外（点B在点D的右侧）：
（2）点B与点D重合：
（3）点B在线段CD上（点B在点D的左侧）：
概念辨析：三种比较方法对比：
目测法：直接观察，简单但不准确，仅适用于差距明显的线段。
度量法：用刻度尺测量长度，从"数"的角度比较，精确但有测量误差。
叠合法：用圆规将一条线段移到另一条上，从"形"的角度比较，几何特征明显。
记忆口诀：目测看大概，度量比数值，叠合看位置。
解题技巧：叠合法操作步骤：
1. 将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合。
2. 将线段AB沿着线段CD的方向放置。
3. 观察点B的位置：
- 点B在CD外（D的右侧）→ AB＞CD
- 点B与D重合 → AB=CD
- 点B在CD上（D的左侧）→ AB＜CD
4. 注意：两个端点必须放在公共端点的同侧。
设计意图：通过类比和系统讲解，让学生掌握三种比较线段长短的方法。重点强调叠合法的操作步骤和三种情况的判断，培养学生的几何直观和逻辑推理能力。
4. 例题精讲
例1 估计下列图中线段AB与线段AC的大小关系，再用刻度尺或圆规来检验你的估计。
审题分析：先通过目测估计AB与AC的大小关系，再用度量法或叠合法检验。
解法一（度量法）：
解法二（叠合法）：
解析：通过度量法量出AB和AC的长度，比较数值大小；通过叠合法将AB移到AC上，观察点B的位置。两种方法都得出AB＜AC的结论。
解题技巧：解题技巧：比较线段长短时——
1. 先目测估计，再用工具检验。
2. 度量法：分别测量长度，比较数值。
3. 叠合法：将端点重合，观察另一个端点的位置。
4. 两种方法可以互相验证，确保结果准确。
设计意图：通过例题精讲，让学生掌握用度量法和叠合法比较线段长短的具体操作步骤。强调先估计后检验的思维方法，培养数学严谨性。
知识点三：线段的基本事实
1. 探究最短路径
【过渡语】探究4：如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路。
分析：连接A、B两点，可以画出多条线（曲线、折线、线段），其中线段AB是最短的路径。
操作：连接AB，线段AB即为从A地到B地的最短道路。
2. 线段的基本事实
【知识点】线段的基本事实（公理）：两点的所有连线中，线段最短。
简单说成：两点之间，线段最短。
3. 两点间的距离
【知识点】两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。
注意："距离"是一个数量（长度值），不是图形（线段本身）。线段是图形，线段的长度才是距离。
概念辨析：概念辨析：
"线段"——图形：连接两点的线段是一个几何图形。
"距离"——数量：连接两点的线段的长度，是一个数值。
例如：A、B两点的距离是5cm，指线段AB的长度为5cm。
注意：不能说"A、B两点的距离是线段AB"，应该说"A、B两点的距离是线段AB的长度"。
★ 重点强调：重点强调：
1. "两点之间，线段最短"中的"线段"是特指连接两点的所有线中最短的那条，即连接两点的线段。
2. "两点间的距离"是一个长度值，不是图形。距离=线段的长度。
3. 基本事实是无需证明的真命题，是推理的出发点。
设计意图：通过探究最短路径问题，让学生自主发现"两点之间线段最短"的基本事实。结合生活经验（如走捷径），帮助学生理解这一基本事实的合理性和实用性。强调"距离"是数量而非图形，帮助学生辨析易混概念。
4. 随堂演练
练习1 下列说法正确的是（ ）
A. 连接两点的线段叫作两点间的距离
B. 两点间连线的长度，叫作两点间的距离
C. 连接两点的直线的长度，叫作两点的距离
D. 连接两点间的线段的长度，叫作两点间的距离
答案：D
解析：A错误，线段是图形不是距离；B错误，"连线"可以是曲线，不一定是线段；C错误，直线没有长度；D正确，两点间的距离是连接两点的线段的长度。
练习2 下列说法正确的是（ ）
A. 画一条3cm长的直线 B. 画一条3cm长的射线
C. 画一条3cm长的线段 D. 在直线、射线、线段中直线最长
答案：C
解析：直线和射线都是无限长的，不能度量，A、B、D错误。线段有两个端点，可以度量长度，C正确。
练习3 若AB=4cm，BC=3cm，则A、C两点的距离为（ ）
A. 1cm B. 7cm C. 1cm或7cm D. 不确定
答案：D
解析：由于没有说明点A、B、C的位置关系，分两种情况讨论：
（1）当点B在A、C之间时，AC=AB+BC=4+3=7cm；
（2）当点B不在A、C之间时（如A在B、C之间），AC=|AB-BC|=|4-3|=1cm。
但题目未说明三点的位置关系，所以不能确定，选D。
练习4 估计下列图中线段AB与AC的大小关系，再用刻度尺或圆规检验。
答案：第一组AB＞AC，第二组AB＜AC，第三组AB＝AC。
设计意图：通过随堂演练，巩固线段比较方法和基本事实的应用。练习1、2辨析概念，练习3渗透分类讨论思想，练习4训练估测和检验能力。
易错提示：易错题辨析：
1. "两点间的距离"是线段的长度（数量），不是线段本身（图形）。
2. 直线和射线不能度量长度，只有线段可以度量。
3. 叠合法比较时，必须一个端点重合，另一个端点放在同侧。
4. 比较AB与BC求AC时，需要分情况讨论（点B在AC上或不在AC上）。
5. "两点之间线段最短"说的是所有连线中线段最短，不是任意两条线段比较。
课堂小结
【过渡语】本节课我们学习了哪些内容？请同学们回顾一下。
1. 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图。作一条线段等于已知线段的方法——先画直线，再用圆规截取。
2. 比较线段长短的方法：
（1）目测法：直接观察，不准确；
（2）度量法：用刻度尺测量长度，从"数"的角度比较；
（3）叠合法：将一条线段移到另一条上，从"形"的角度比较。
3. 叠合法的三种情况：点B在CD外→AB＞CD；点B与D重合→AB=CD；点B在CD上→AB＜CD。
4. 线段的基本事实：两点之间，线段最短。
5. 两点间的距离：连接两点的线段的长度。注意"距离"是数量，不是图形。
设计意图：通过系统回顾，帮助学生梳理本课知识脉络，形成完整的知识结构。

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