资源简介

6.3.1 角的概念
课题 6.3.1 角的概念 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：从实物中抽象出角的几何图形，理解角的静态与动态定义；2.数学运算：掌握度、分、秒的六十进制换算；3.逻辑推理：理解平角、周角的形成过程及方位角表示方法；4.数学建模：用方位角解决实际方向问题。
教学重点 角的概念及表示方法；度、分、秒的换算。突破策略：通过实物观察与动态演示建立概念，通过换算练习巩固六十进制。
教学难点 方位角的画法与表示；度、分、秒与度的小数形式的互化。突破策略：借助方位图直观演示，对比六十进制与十进制强化理解。
一、情境导入
观察下面实物中的图形，你发现这些实物给我们共同的形象是什么？
【过渡语】生活中处处有角，钟表的指针、三角尺、剪刀的开合都形成了角，今天我们就来系统研究角的概念与表示。
设计意图：通过实物图片直观导入，唤起学生对角的生活经验，激发学习兴趣，为抽象出角的几何概念做铺垫。
二、探究新知
1. 角的定义（静态描述）
想一想：这些表示角的图形有什么共同特点呢？
【知识点】角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角。这个公共端点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的边。
【过渡语】角不仅有静态的图形特征，还有动态的形成过程，下面我们来看看角是如何"旋转"出来的。
设计意图：引导学生观察实物中角的共同特征——公共端点和两条射线，自然抽象出角的静态定义，培养数学抽象素养。
2. 角的定义（动态描述）
这些"角"是怎样形成的？
【知识点】角的动态定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。旋转开始时的射线叫作始边，旋转终止时的射线叫作终边。
概念辨析：静态描述强调角的"构成要素"（顶点+两边），动态描述强调角的"形成过程"（始边旋转到终边）。两种描述从不同角度刻画了角。
设计意图：通过动画演示射线旋转形成角的过程，帮助学生理解角的动态定义，渗透运动变化的数学思想。
3. 平角与周角
探究1：射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？
当终边OB和始边OA成一条直线时，形成平角。平角等于180°。
探究2：继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？
当终边OB和始边OA重合时，形成周角。周角等于360°。
【知识点】平角与周角：平角是终边与始边成一条直线时所成的角，等于180°；周角是终边与始边重合时所成的角，等于360°。1周角=2平角=4直角。
易错提示：注意：平角的两边形成一条直线，但不能说平角就是直线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是射线。平角和周角都是特殊的角，具有角的全部要素。
【过渡语】掌握了角的定义后，我们还需要学会如何表示一个角，就像每个同学都有名字一样，角的表示方法是几何语言的基础。
设计意图：通过旋转让学生直观看到平角和周角的形成过程，区分"角"与"线"的本质差异，培养逻辑推理能力。
4. 角的表示方法
类比表示直线、射线、线段的方法，如何表示一个角？角的几何符号为"∠"。
记法1：用三个大写英文字母表示
记作：或
★ 重点强调：注意：表示顶点的字母必须写在中间。如∠AOB中，O是顶点，写在A和B的中间。"∠"不要与"＜"混淆。
记法2：用一个小写希腊字母表示
记作：
记法3：用一个数字表示
记作：
记法4：用一个大写英文字母表示
记作：
【知识点】角的四种表示方法：①三个大写字母（顶点字母在中间）；②一个大写字母（仅当顶点处只有一个角时）；③小写希腊字母（加弧线标注）；④数字（加弧线标注）。
易错提示：注意：当在顶点处只有一个角时，才可以用一个大写英文字母表示。如果一个顶点处有多个角，必须用三个字母表示以避免歧义。
【过渡语】学会了角的表示方法，接下来我们要研究角的大小如何度量，就像度量线段长度一样。
设计意图：通过四种表示方法的系统讲解和对比，让学生掌握角的规范表示，培养符号意识和数学表达能力。
5. 角的度量
探究：角的度量单位有哪些？它们又是如何定义的？
【知识点】角的度量单位：把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
★ 重点强调：角的度、分、秒是六十进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的。换算关系：，
设计意图：通过等分周角的方式引入度分秒概念，联系时间进制帮助学生理解六十进制，建立知识迁移。
6. 角的换算
根据度、分、秒的六十进制，完成以下换算：
解题技巧：换算口诀：大化小乘进率（度→分×60，分→秒×60），小化大除进率（秒→分÷60，分→度÷60）。
【知识点】角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制。此外还有弧度制、密位制等。角的度、分、秒是六十进制的。
【过渡语】角的度量不仅在数学中重要，在生活中也有广泛应用，比如航海中的方位角就是用角度来表示方向的。
设计意图：通过系统的换算关系整理，帮助学生建立度分秒的完整知识网络，掌握六十进制的换算方法。
7. 方位角
方位角：用方向和角度表示方向的角。以正北、正南为基准，平面图上方向规定为"上北下南，左西右东"。
例如：射线OA的方向是北偏东45°，射线OB的方向是南偏西60°。
【知识点】方位角的表示规则：①先写南或北，再写偏东或偏西；②当角度为45°时，可以表示为东南、东北、西南、西北方向；③以正北、正南方向为始边，偏东或偏西方向画终边。
【过渡语】下面我们通过一个航海中的实际例子，来学习如何根据方位角的描述画出射线。
设计意图：引入方位角的实际应用，将数学知识与生活实际联系，培养数学建模素养。
三、例题精讲
例1：方位角的应用
如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D。仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线。
审题分析
本题要求根据方位角的描述画出射线，需要确定中心O，以正北或正南方向为始边，按偏东或偏西方向旋转指定角度画出终边。
解题过程
解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间。射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在位置。
类似地，画南偏西10°的角得到货轮C方向，画北偏西45°的角得到海岛D方向。
方法总结
解题技巧：表示方向的角的画法：①确定中心，以参照物为中心；②确定始边，以正北或正南方向为始边；③确定偏向，偏东或偏西；④确定角度，画出终边。终边所指的方向就表示物体所在的方向。
变式训练
变式：若一艘船在O点观测到小岛在它的东南方向，请画出表示小岛方向的射线，并写出该方位角。
提示：东南方向即南偏东45°，以正南方向为始边，向东偏转45°画终边即可。
思考：如果从O点看灯塔A在北偏东30°方向，灯塔B在北偏西60°方向，那么灯塔A和B之间的夹角是多少度？
分析：北偏东30°的射线与正北方向的夹角为30°，北偏西60°的射线与正北方向的夹角为60°，两射线在正北方向的两侧，所以夹角=30°+60°=90°。
设计意图：通过实际航行情境的例题讲解，让学生掌握方位角的画法和表示方法，培养数学建模和空间想象能力。变式训练强化对方位角的理解。
四、随堂演练
练习1：角的表示
如图，下列说法错误的是（ ）
A. ∠ECA是一个平角 B. ∠ADE也可以用∠D表示
C. ∠BCA也可以用∠1表示 D. ∠ABC也可以用∠B表示
答案：D
算理讲解：解析：∠ABC所在的顶点B处不止一个角，因此不能用一个大写字母∠B来表示，必须用三个大写字母∠ABC表示。当顶点处有多个角时，必须用三个字母表示。
练习2：度分秒换算
计算：
(1) 1.45°=____′=____″
(2) 1800″=____′=____°
(3) 58.37°=____°____′____″
(4) 15°32′24″=____°=____″
算理讲解：解析：(1) 1.45°×60=87′，87′×60=5220″；(2) 1800″÷60=30′，30′÷60=0.5°；(3) 0.37°×60=22.2′，0.2′×60=12″；(4) 24″÷60=0.4′，(32+0.4)′÷60=0.54°，15°32′24″=15.54°，++24=55944″。
练习3：钟表角度
6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？
解：分别是180°，120°，75°的角。
算理讲解：解析：钟表上每大格为30°（360°÷12=30°）。6时整，时针和分针相隔6大格，°=180°；8时整，相隔4大格，°=120°；8时30分，时针在8和9之间（指向8.5），分针指向6，相隔2.5大格，°=75°。
练习4：角的表示方法转换
根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来。
解题技巧：提示：∠1可用三个大写字母表示，∠BAC可用数字或希腊字母表示，关键是在顶点处有多个角时必须用三个字母。
练习5：度分秒比较
(1) 35°等于多少分？等于多少秒？
(2) 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？
解：(1) 35°=2100′=126000″
(2) 这两个角不相等，38°15′大。
算理讲解：解析：(1) 35°×60=2100′，2100′×60=126000″。(2) 将38°15′化为度：，即38°15′=38.25°>38.15°，所以38°15′更大。注意38.15°≠38°15′，38.15°表示38度加0.15度，而38°15′表示38度加15分。
设计意图：通过分层练习巩固角的概念、表示方法和度分秒换算，针对易错点进行强化训练，提升数学运算能力。
课堂小结
本节课我们学习了：
1. 角的定义：静态描述（有公共端点的两条射线组成的图形）和动态描述（一条射线绕端点旋转而成）。
2. 平角与周角：终边与始边成直线时为平角，终边与始边重合时为周角。
平角=180°，周角=360°，1周角=2平角=4直角。
3. 角的表示方法：三个大写字母（顶点字母在中间）、一个大写字母（顶点处只有一个角时）、小写希腊字母、数字。
4. 角的度量：度、分、秒，六十进制，1°=60′，1′=60″。
5. 方位角：以正北、正南为基准，先写南或北再写偏东或偏西，45°时可表示为东南、东北、西南、西北方向。
★ 重点强调：重点回顾：角的两种定义、四种表示方法、度分秒的六十进制换算、方位角的画法与表示。
设计意图：通过系统小结梳理本课知识脉络，帮助学生形成完整的知识结构，强化重点，突破难点。

展开更多......

收起↑