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6.3.2 角的比较与运算
课题 6.3.2 角的比较与运算 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：从角的比较类比线段比较，理解角的和差与角平分线；2.数学运算：掌握角度的四则运算和度分秒进借位；3.逻辑推理：通过类比推理建立角与线段的联系；4.数学建模：用三角尺画指定角度，解决实际问题。
教学重点 角的比较方法（叠合法）和角平分线的概念。突破策略：通过类比线段比较引入叠合法，结合折纸操作直观理解角平分线。
教学难点 角度的四则运算（度分秒进借位）和角平分线的推理应用。突破策略：通过分步计算和借位练习强化运算规则，用几何语言训练推理。
一、复习导入
回顾：已知线段AB，CD，你有那些办法比较它们的大小？
方法一：目测法；方法二：度量法；方法三：叠合法。
【知识点】类比思想：线段比较和角比较的方法完全对应，都可用目测法、度量法、叠合法。数学中常用类比法由已知知识探索新知识。
【过渡语】我们已经学会了比较线段的大小和线段的和差运算，角与线段有许多相似之处，今天我们就类比线段的研究方法来学习角的比较与运算。
设计意图：通过复习线段比较方法，引出类比思想，为角的比较学习做铺垫，促进知识迁移。
二、探究新知
1. 角的比较方法
想一想：类比比较线段的方法，如何比较两个角的大小？
方法一：目测法
直接观察，如
方法二：度量法
用量角器分别测量角的度数，度数大的角大。
例如：∠AOB=70°，∠A′O′B′=40°，所以∠AOB＞∠A′O′B′。
方法三：叠合法
将两个角的顶点重合，把它们一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小。
①O′B′在∠AOB内部，则∠AOB＞∠A′O′B′；
②O′B′在∠AOB外部，则∠AOB＜∠A′O′B′；
③O′B′与OB重合，则∠AOB=∠A′O′B′。
【知识点】角的三种大小关系：大于（＞）、小于（＜）、等于（＝）。角的大小只与两边张开的程度有关，与边的长短无关。
【过渡语】学会了比较角的大小，接下来我们研究如何对角度进行加减运算，就像线段可以求和差一样。
设计意图：通过三种比较方法的系统讲解，建立角的比较与线段比较的类比联系，培养类比推理能力。
2. 角的和与差
思考：类比两条线段的和与差，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？
【知识点】角的和差：两个角可以相加（减），得到的角叫做这两个角的和（差）。
【过渡语】利用一副三角尺，我们可以组合出很多特殊度数的角，你能算出哪些？
设计意图：通过类比线段和差引入角的和差概念，降低学习难度，帮助学生建立知识体系。
3. 用三角尺画特殊角
探究：借助一副三角尺的角，结合角的和差运算，可以画出哪些度数的角？
三角尺角度：90°、60°、30°、45°。
用类似的方法，还可以画出120°、105°、135°、150°等角。
解题技巧：用三角尺可画出的特殊角规律：15°的倍数角（15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°等），都是45°和30°角的和或差。
设计意图：通过三角尺画角的活动，让学生动手操作，加深对角的和差运算的理解，培养数感。
4. 角度的加减运算规则
★ 重点强调：加法规则：①度与度、分与分、秒与秒分别相加；②秒逢60向分进1，分逢60向度进1。
★ 重点强调：减法规则：①度与度、分与分、秒与秒分别相减；②从低位算起，秒相减不够向分借1作60，分相减不够向度借1作60。
【知识点】角度进制：度分秒是六十进制，与时间计量（时、分、秒）的进位规则相同，都是逢60进1，借1作60。
【过渡语】掌握了加减规则后，我们通过一个实际例子来巩固角度减法的运算。
设计意图：系统总结角度加减的运算法则，强调六十进制的借位进位规则，与时间计算类比，降低理解难度。
5. 例题精讲：角度的加减运算
例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数。
审题分析
AB是直线，所以∠AOB=180°。∠AOB=∠AOC+∠BOC，因此∠BOC=∠AOB-∠AOC。
解题过程
解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB=∠AOC+∠BOC，
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-53°17′。
先将180°化为179°60′再进行减法运算：
方法总结
解题技巧：角度减法技巧：被减数度不够时，将1°化为60′；被减数分不够时，将1′化为60″。可先将大数统一化为分或秒再计算。
设计意图：通过典型例题示范角度减法的运算过程，强调借位技巧，培养数学运算能力。
6. 角度的乘除运算规则
★ 重点强调：乘法规则：①度、分、秒分别与倍数相乘；②秒逢60向分进1，分逢60向度进1。
★ 重点强调：除法规则：①度、分、秒分别与除数相除；②从高位算起，度除不尽向分转化，分除不尽向秒转化。
【知识点】角度四则运算：角度运算与普通数运算不同，因为度分秒是六十进制不是十进制，加、减、乘、除时都要注意六十进制的进借位规则。
【过渡语】角度乘除在生活中也有应用，比如把一个周角平均分成若干份，就需要用到角度除法。
设计意图：在加减基础上扩展乘除运算，形成完整的角度四则运算知识体系。
7. 例题精讲：角度的乘除运算
例3 把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？
审题分析
周角=360°，需要将360°平均分成7份，即360°÷7。
解题过程
解：360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°+25.7′≈51°26′。
答：每份是约51°26′的角。
方法总结
解题技巧：角度除法技巧：度除不尽时，将余数乘以60转化为分继续除；分除不尽时，将余数乘以60转化为秒继续除。
设计意图：通过周角等分问题讲解角度除法，培养数学运算能力，为后续角度计算打下基础。
8. 角平分线
思考：类比线段的中点，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间有怎样的关系？
【知识点】角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。
几何语言表示：因为OB平分∠AOC，所以∠AOB=∠BOC；或∠AOC=2∠AOB=2∠BOC。
易错提示：注意：角平分线满足的三个条件：①从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分。三个条件缺一不可。
【知识点】角平分线的性质：OB平分∠AOC，则∠AOB=∠BOC，∠AOC=2∠AOB=2∠BOC。这三个等式是解决角平分线问题的核心工具。
【过渡语】学习了角平分线，我们还可以类比得到角的三等分线和四等分线，它们都是将角分成若干等份的射线。
设计意图：通过类比线段中点引入角平分线，利用几何语言训练学生的符号表达和推理能力。
9. 角的三等分线与四等分线
类似地，还有角的三等分线、四等分线等。
三等分线：射线OB、OC将∠AOD分成三个相等的角，∠AOD=3∠AOB。
四等分线：射线OB、OC、OD将∠AOE分成四个相等的角，∠AOE=4∠AOB。
设计意图：通过类比角平分线推广到三等分线和四等分线，扩展学生的知识面，培养类比推理能力。
10. 折纸作角平分线
探究：如何在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线？
方法：将角的顶点对折，使角的两边重合，折痕所在的射线就是角的平分线。
设计意图：通过折纸操作，让学生直观感受角平分线的形成过程，实现动手操作与数学概念的融合。
三、随堂演练
练习1：角的大小比较
在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（ ）
A. ∠AOB＞∠AOC B. ∠AOC=∠BOC C. ∠BOC＞∠AOC D. ∠AOC＞∠BOC
答案：A
算理讲解：解析：射线OC在∠AOB内部，所以∠AOC是∠AOB的一部分，因此∠AOB＞∠AOC一定成立。其他选项不一定成立，因为C是任意取的点。
练习2：角平分线
如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，∠COD=25°，则∠AOB等于（ ）
A. 50° B. 75° C. 100° D. 120°
答案：C
算理讲解：解析：OD平分∠AOC，∠COD=25°，所以∠AOC=2∠COD=50°。OC平分∠AOB，所以∠AOB=2∠AOC=100°。
练习3：角的关系填空
填空题：
(1) 如果∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1_____∠3；
(2) 如果∠1＞∠2，∠2＞∠3，则∠1_____∠3。
答案：=；＞
算理讲解：解析：等量代换和传递性。若∠1=∠2且∠2=∠3，则∠1=∠3；若∠1＞∠2且∠2＞∠3，则∠1＞∠3。
练习4：角的和差填空
按图填空：
练习5：角度四则运算
计算：
(1) 48°39′+67°31′ (2) 41°12′-11°27′
(3) 21°17′×5 (4) 180°÷11（精确到分）
算理讲解：解析：(1) 48°39′+67°31′=115°70′=116°10′（70′进1°剩10′）；(2) 41°12′-11°27′=40°72′-11°27′=29°45′（借1°化60′）；(3) 21°17′×5=105°85′=106°25′（85′进1°剩25′）；(4) 180°÷11=16°+4°÷11=16°+240′÷11≈16°+21.8′≈16°22′。
练习6：蛋糕等分问题
如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？
解：把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是45°；要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成24份。
算理讲解：解析：整个蛋糕相当于360°的周角。等分成8份：360°÷8=45°；每份15°：360°÷15°=24份。
练习7：综合应用
如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=31°28′，求∠AOD的度数。
算理讲解：解析：AB是直线，∠AOB=180°。OC平分∠AOB，所以∠AOC=90°。∠AOD=∠AOC-∠COD=90°-31°28′=89°60′-31°28′=58°32′。
五、课堂小结
本节课我们学习了：
1. 角的比较方法：目测法、度量法（量角器）、叠合法（将顶点和一边重合，观察另一边位置）。
2. 角的和与差：∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠AOB=∠AOC-∠BOC。
3. 角度的四则运算：加、减、乘、除，注意六十进制（逢60进1，借1作60）。
4. 角平分线：从一个角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线。三条性质：∠AOB=∠BOC，∠AOC=2∠AOB，∠AOC=2∠BOC。
5. 角的三等分线、四等分线：将角分成三个或四个相等的角。
★ 重点强调：重点回顾：叠合法比较角的大小、角度四则运算的进借位规则、角平分线的定义与性质。
设计意图：通过系统小结梳理本课知识脉络，帮助学生形成完整的知识结构，强化重点，突破难点。

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