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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 3.2.2 圆心角(2)
课型：新授课 设计时间： 2026 年 8 月 11 日
学习核心内容 圆心角定理的推论（同圆或等圆中弧、弦、圆心角、弦心距的等价关系）； 弧的度数定义； 3. 圆心角相关知识的综合应用（计算、证明）。
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1.掌握圆心角定理推论，理解弧的度数与圆心角度数的关系，能综合运用圆心角、弧、弦、弦心距的关系解决计算与证明问题。 2.经历 “推导 — 归纳 — 综合应用” 过程，提升逻辑推理、知识迁移和综合解题能力。 3.体会圆中元素间的内在联系，培养严谨的数学思维和合作探究意识。 1.能准确说出圆心角定理推论和弧的度数定义，达成知识目标； 2.能独立完成弧度数计算、综合证明题，规范书写解题步骤，达成能力目标； 3.主动参与课堂讨论，清晰表达解题思路，达成情感目标。
学习过程设计
环节一：引入新课 一、复习旧知，情境导入 1.回顾：圆心角定义、圆心角定理（同圆或等圆中，相等圆心角对等弧、等弦）。 2.设问：同圆或等圆中，若弧相等，能否推出弦、圆心角相等？弦相等呢？引出课题。 教师出示问题： 1.什么是圆心角？ 顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.圆心角定理是什么？ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. 教师提问： 定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 定理2：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦及其弦心距相等. 你能写出这两个定理的逆命题吗？ 命题1：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等. 命题2：在同圆或等圆中，相等的弦或弦心距所对的圆心角相等. 这两个命题成立吗？试试画出图形，并说明理由。 设计意图：能准确说出圆心角定理推论和弧的度数定义，达成知识目标。 教师出示问题： 【小组合作】设计一个实验，探索在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等. 实验过程：在两张透明的纸上，分别作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下. 在⊙O和⊙O′上分别作，将两圆重合，圆心固定. 将其中的一个圆旋转一个角度，使重合. ∠AOB与∠COD相等吗？ 【小组合作】用上述实验探究在同圆或等圆中，相等的弦或弦心距所对的圆心角是否相等. 通过实验你能发现什么？ 环节二：新知探究 【总结归纳】 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 【知识拓展】 (1)上述三种关系成立的前提条件是“在同圆或等圆中”，否则不成立. (2)由于一条弦(非直径)对着两条弧，“弦相等，所对的弧相等”中的 “弧相等”指的是“劣弧相等”或“优弧相等”． 环节三：典例精析 例3：如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA，OB，0C，延长AO，分别交BC于点P，交BC于点D. 连结BD，CD.判断四边形BDCO 是哪一种特殊四边形，并给出证明. 解：四边形BDCO是菱形. 证明如下：∵AB=BC=CA， ∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°， ∴∠BOD=180°-∠AOB=180°-120°=60°. 又∵ OB=OD， ∴△BOD是等边三角形. 同理，△COD是等边三角形. ∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形. 例4：已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O交 AC，BC 于点D，E. 求证：. 证明：如图，连结OD，OE. 在等边三角形ABC中，∠A=60°. ∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形. ∴∠AOD=60°. 同理，∠BOE=60°,∴∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE =180°-60°-60°=60°, ∴∠AOD=∠DOE=∠BOE, ∴. 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在⊙O中，弧AB＝弧CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，下列结论中错误的是(　　) . A．OE＝OF B．AB＝CD C．∠AOB＝∠COD D．AE＞CF 选做题： 2.如图， AB， CD是 ⊙O的两条弦，要使 AB=CD，在不添加线段与字母的条件下，需要补充的条件是_________________（补充一个即可）. 【综合拓展类作业】 3.如图， AB 为 ⊙O的直径，半径 OC//弦 BD，判断 弧AC与弧CD是否相等，并说明理由. 4.如图，在直径为10cm的☉O中，直径AC与BD所在的角∠AOB=120°，求四边形ABCD的周长和面积. 环节五：课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 理解掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质，会用这个定理解决简单的几何问题。
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列说法中正确的是(　 　) A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等 选做题： 2.如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F.且AC＝DB. 求证：AE＝BF. 【综合拓展类作业】 3.如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是弧AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F. 求证：AE＝BF＝CD. 参考答案： 课堂练习： D 2.弧AD=弧BC（答案不唯一） 3. 解：相等.理由：如图，连结 OD，∵OC//BD， ∴∠AOC=∠B， ∠COD=∠D. ∵OB=OD， ∴∠D=∠B， ∴∠AOC=∠COD， ∴弧AC=弧CD. 4.周长：，面积： 作业内容： 1.B 2.证明：连结OA，OB，如图所示． ∵OA＝OB，∴∠A＝∠B. ∵弧AC＝弧DB，∴∠AOE＝∠BOF. ∴△AOE≌△BOF. ∴AE＝BF. 3.证明：如图，连结AC，BD. ∵C，D是弧AB的三等分点， ∴弧AC＝弧CD＝弧BD.∴AC＝CD＝BD， ∠AOC＝∠COD＝∠BOD. 又∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°. ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°. ∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°. ∵OA＝OC，∠AOC＝30°， ∴∠ACE＝×(180°－30°)＝75°＝∠AEC. ∴AE＝AC. 同理可得BF＝BD. ∴AE＝BF＝CD.
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计：
教学反思： 通过本课的学习，一方面可以巩固圆心角与弧的关系定理，另一方面也是学习圆心角定理的逆定理，并且用逆定理完成证明题，在教材中处于承上启下的重要作用。另外，通过对圆心角逆定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法，因此，这节课无论在知识上，还是在方法上，都起着十分重要的作用。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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