资源简介

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第02讲 常用逻辑用语
夯实知识·突破重难·分层提能
考情 分析解读（课标要求 考情解读 备考策略）
知识 归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳）
知识1 充分条件与必要条件
知识2 全称量词命题与存在量词命题
知识3 含有一个量词的命题的否定
重难 核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接）
考点01 充分、必要条件的判定
方法技巧 充分、必要条件的判定方法
考点02 充分、必要条件的探索
考点03 充分、必要条件中的参数问题
方法技巧 充分、必要条件的求参问题
考点04 全称、存在量词命题的真假判断及否定
方法技巧 全称量词命题、存在量词命题真假判断
考点05 全称、存在量词命题的含参问题
方法技巧 全称量词命题、存在量词命题的参数问题
考点06 常用逻辑用语与集合的交汇
拔高 分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战）
考情·分析解读
课标要求
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。
2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。
3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。
4．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。
5．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。
6．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。
考题统计
核心考点 2026 2025 2024
充分条件与必要条件 / / 甲卷（理）T9
量词命题 / / 全国II卷T2
考情解读
常用逻辑用语是高考高频基础考点，核心考查充分必要条件判断、全称与存在量词命题的否定及真假判定，常结合函数、不等式、数列、向量等知识综合命题。题型以选择题为主，分值5分，多置于试卷中前段，难度中等偏易。命题侧重逻辑推理与集合包含关系，易混淆充分与必要条件、量词否定改写错误，复习需重点掌握定义判定、集合法与等价转化法.
备考策略
理解并掌握命题、充分必要条件、全称量词与存在量词的核心概念，能准确判断充分、必要条件，熟练进行量词命题的否定改写。强化定义法、集合法两种判定方法，结合函数、不等式、数列等知识进行综合训练，提升逻辑推理与转化能力。
知识 归纳梳理
知识1 充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
若，则是的充分条件，q是p的必要条件；
且 是的充分不必要条件
且 是的必要不充分条件
是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
2．集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即，
是的充分条件
是的必要条件
是的充分不必要条件
是的必要不充分条件
是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
知识2 全称量词命题与存在量词命题
1．全称量词和存在量词
量词名称 符号表示 常见量词
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等
（2）全称量词命题和存在量词命题
表示 全称量词命题 存在量词命题
语言表示 对中任意一个，有p(x)成立 中存在，使成立
符号表示
知识3 含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示：
命题 命题的否定
常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
重难 核心突破
考点01 充分、必要条件的判定
典例1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由，得，即，
则“ ”是“”的必要不充分条件.
典例2．已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】设该等比数列的公比为，
由，得，所以，
所以或，
取，此时满足且，则成立，
但数列不是单调递减数列，故充分性不成立；
当数列为单调递减数列时，则有，所以，
所以，所以或，
可得成立，故必要性成立；
因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件.
方法技巧 充分、必要条件的判定方法
（1）命题判断法：
①若“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件；
②若“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件．
（2）集合法：（小集合可以推出大集合）
若对应的集合为，对应的集合为，
①若，则是的充分条件；②若，则是的必要条件．
【考法预测1】已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】取，此时，但，故充分性不成立；
取，此时，但，故必要性不成立，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
【考法预测2】已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由向量，若，可得，
解，解得或，
所以是的充分不必要条件.
【考法预测3】已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由是偶函数得，，
得，
由是奇函数得，，
得，
若甲条件成立，取甲条件中，得，
代入乙条件验证，所以不是整数，不满足乙，即甲推不出乙；
若乙条件成立，，代入甲条件得，
所以满足时，乙可以推出甲；
所以甲是乙的必要不充分条件.
考点02 充分、必要条件的探索
典例1．设，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
由，得，所以，解得，
所以“”是“”的充要条件，故B错误；
由，得，解得，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
由，得，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：D.
典例2．已知直线，，平面，，则的一个充分条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【答案】D
【详解】对于A：若，，则或，不一定，A错误；
对于B：若，，则或，不一定，B错误；
对于C：若，，则或，不一定，C错误；
对于D：若，过作平面，设，则，又，所以，
又，，所以，D正确.
【考法预测1】已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不等式，即，解得，
故，
又的一个必要条件是，则是的真子集，
对于A，，不一定是的子集，比如时，A错误；
对于B，，不是的子集，B错误；
对于C，，是的真子集，C正确；
对于D，，不一定是的子集，比如时，D错误.
故选：C.
【考法预测2】“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】图象的对称轴为直线，若在上单调，则，
对于A，“”是“函数在上单调”的一个充要条件，故A错误；
对于B，“”是“函数在上单调”的一个必要不充分条件，故B正确；
对于C，“”是“函数在上单调”的一个充分不必要条件，故C错误；
对于D，“”是“函数在上单调”的一个既不充分也不必要条件，故D错误.
故选：B
【考法预测3】已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，可得.
因为且区间的长度为，
所以要使函数在区间内单调递增，
则，可得.
即命题：.
所以的一个充分条件为，故C正确.
考点03 充分、必要条件中的参数问题
典例1．设命题：，命题：.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解不等式可得或，即命题：或.
若是的必要不充分条件，则能推出，不能推出，
即是的真子集，所以.
故选：A.
典例2．已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______．
【答案】
【详解】命题对应集合，
命题对应集合或，
若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，
则有或，解得或，即，
又，故的取值范围为.
方法技巧 充分、必要条件的求参问题
在求解含参数的充分、必要、充要条件问题时，可先把条件对应到集合范围上，把逻辑关系转化为集合的包含或相等关系，再据此列出关于参数的不等式或不等式组进行计算。
解题时一定要重点检验区间端点能否取等号，特别是用集合包含关系求参数范围时，等号是否成立直接影响结果，处理不当很容易出现多解或少解的错误。
【考法预测1】已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得，根据指数函数单调性可得，即.
方程的两根为和.
不等式的解集为：
当时，解集为；
当时，解集为空集；
当时，解集为.
因为是的充分不必要条件，所以是解集的真子集，仅当解集为时满足条件.
因此满足且，解得，即的取值范围为.
【考法预测2】设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【详解】由得，得，
因为是的必要条件，所以，得，
故实数m的取值范围是.
【考法预测3】已知：，：，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____
【答案】
【详解】由，得或.
由题意得．
所以，或，即或．
考点04 全称、存在量词命题的真假判断及否定
典例1．已知命题，；命题，.则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【详解】因为当时，，所以命题为假命题，所以是真命题，
因为当时，，所以q是真命题，所以是假命题.
典例2．已知命题，；命题，.则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】C
【详解】对于命题，，，则，故命题为真命题；
对于命题，由可得，解得，命题为假命题，故命题为真命题.
方法技巧 全称量词命题、存在量词命题真假判断
（1）判定全称量词命题为真，必须通过严谨推理、结合定义或定理进行严格证明；若要判定它为假，只需找到一个反例，说明命题不成立即可。
（2）判断存在量词命题的真假，核心是看能否找到满足条件的元素：只要找到一个元素使结论成立，命题就是真命题；如果找不到任何符合条件的元素，命题就是假命题。
【考法预测1】（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题
C．“，”是假命题
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】ACD
【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确；
“至少有一个，使成立”是存在量词命题，B选项错误；
当时，，，C选项正确；
对于D，若，不妨取，则不成立，
若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确；
【考法预测2】已知命题，，则（ ）
A．命题的否定为，，且是真命题
B．命题的否定为，，且是真命题
C．命题的否定为，，且是假命题
D．命题的否定为，，且是假命题
【答案】C
【详解】因为，则，
由，得，即，解得，
所以命题为假命题.
故选：C.
【考法预测3】已知命题，；命题，，则（ ）
A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假
【答案】C
【详解】，，所以命题为假命题；
，都有，命题为真命题.
故选：C
考点05 全称、存在量词命题的含参问题
典例1．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】原全称命题“”为假命题，
则其否定“”为真命题，即方程在上有解，
的取值范围就是函数在上的值域.
，这是开口向上，对称轴为的二次函数，.
则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：.
因此的值域为，即.
典例2．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【详解】命题为真：，，则，即.
命题为真：方程有实根，
化简得得，解得或.
均为真，取交集得或.
方法技巧 全称量词命题、存在量词命题的参数问题
全称量词命题对应“恒成立”问题，存在量词命题对应“能成立”问题，这类题目通常可以用参变量分离法，把问题转化为函数的最值问题，具体转化规则如下：
①，；②，；
③，；④，.
【考法预测1】已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若为真命题，则命题为假命题，所以关于的方程没有两个不相等的实根，
即：有两个相等的实根或者没有实根，则，
解得：，所以的取值范围是.
【考法预测2】已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______．
【答案】
【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题，
可化为，
即，成立，故只需，
故实数m的取值范围为．
【考法预测3】若命题“，”为真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意当时，不等式恒成立；
当时，不等式可化为，因此可得；
当时，不等式可化为，因此可得；
综上可得.
故选：B
考点06 常用逻辑用语与集合的交汇
典例1．已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为.
(1)求集合A；
(2)设集合，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由命题为真命题，可知关于的方程无解，
则，解得，
故集合；
（2）由条件可知，
①当时，，解得，满足；
②当，则需使，解得.
由①②可知，实数的取值范围为.
典例2．设全集，集合，，其中．
(1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意．
“”是“”的必要而不充分条件，是的真子集．
，解得，
即实数的取值范围为；
（2）若“，使得”是假命题，则．
由（1）得，或．
①当时，，解得，此时满足题意；
②当时，则，无解；
即当命题为假命题时，实数的取值范围为，
∴当命题为真命题时，实数的取值范围为．
【考法预测1】已知集合，集合或.
(1)若，求，；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)或.
【分析】
【详解】（1）当时，，而或，
则，或.
（2）若命题“，都有”是真命题，则，
由题意，则或，即或，
故的取值范围为或.
【考法预测2】已知集合，集合，集合．
(1)计算；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由3可得，即，或.
所以.
（2）因为命题“，都有”是真命题，所以；
当时，，即，符合题意；
当时，，无解；
综上可得，实数m的取值范围是.
【考法预测3】已知命题，，命题q：集合中至多有一个元素．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若q为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】
【详解】（1）因为命题为真命题，即在上恒成立，
则判别式，
即，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）当时，(满足题意)，
当时，由集合A中至多有一个元素，
得，即，
综上所述：的取值范围为.
拔高 分层集训
基础演练
1．命题“，”的否定为________．
【答案】，
【详解】命题为存在量词命题，则命题的否定为，．
故答案为：，．
2．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】时，，符合，
时，，又，
或，解得或，
综上，时，，
则“”是“”的充分不必要条件．
3．已知命题，则，命题，，则（ ）
A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题
C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题
【答案】C
【详解】对于命题，当时，，所以为假命题；
对于命题，解不等式，得，所以为真命题．
4．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若，取，，满足，，此时，而，
因此，由无法推出，充分性不成立.
若，由，，得，
因此，，即，必要性成立.
综上，“”是“”的必要不充分条件.
5．已知表示两个不同的平面，分别为平面与平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若，，，则与平行或异面，所以不是的充分条件，
反过来，若，，，则或相交，所以也不是的必要条件.
所以 “”是“”的既不充分也不必要条件.
6．“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若函数的图象关于对称，
则，即，
因为是的真子集，
所以是函数的图象关于对称的必要不充分条件.
7．已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】已知是单位向量，故.
对两边平方得，
代入，解得.
由点积定义得（为两向量夹角），
得，即同向共线，存在使，充分性成立；
若存在使，由，
得. 当时，，此时，必要性不成立.
因此是“存在实数，使得”的充分不必要条件.
8．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由命题“”为真命题，
，
解得：，
9．命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题．
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，则，结合.
综上，．
10．命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题，
时，不等式为恒成立，满足题意，
时，则，解得，
综上，的范围是.
11．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】若为真命题，等价于，
，当且仅当时，等号成立，
，即，
可得，故实数的取值范围是．
12．若“”是假命题，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由于“”是假命题，则有对任意恒成立，
由于时，，因此，
又因为当时，，且在内可无限趋近，为满足恒成立，
故的取值范围是.
能力进阶
1．（2025·26高三上·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（ ）
A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】D
【详解】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立；
例如：设全集，集合，
此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立，
综上可得，是的既非充分也非必要条件.
2．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】充分性证明:当
①若,则有,于是;
②若,则有于是;
③若,则有,于是,因为,,所以有成立.
“”是“”的充分条件.
必要性证明:当
(1)若时，由，可得，则，于是;
(2)时，由，可得，则，于是;
(3)若,,则有,于是;
(4)若,,则有,满足条件,于是成立;
(5)若,,则不成立,不满足条件;
(6)若,,由,可得,即,所以有.
“”是“”的必要条件.
综上所述,“”是“”的充要条件.
3．（2025·26高三上·江苏·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，，，
当时，不等式化为，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
4．（2026·安徽·模拟预测）“函数在区间上单调递增”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】二次函数的对称轴为，
函数在区间上单调递增，则，解得，
由可得，但是由得不到，
所以函数在区间上单调递增是的必要不充分条件.
5．（2026·河南·模拟预测）已知，， 在上单调递增，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】，，所以在上有解，
又，当且仅当时等号成立，所以等号取不到，即，
所以.
对于图象的对称轴为直线，所以的递增区间是，
故当在上单调递增时，.
因为小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围，所以是的充分不必要条件.
6．（2025·26高三上·河南三门峡·期末）已知命题，，命题，.若，都是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【详解】对于命题，的否定为，，
因为命题为真命题，则，恒成立，故只需，
因为在单调递减，故在的最小值为，所以；
因为命题是真命题，则，即，解得或，
综上，，都是真命题，实数的取值范围是或.
故选：A
7．（2026高三·广东佛山·三模）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】由函数，
因为，可得，所以，
由不等式，可得，所以集合．
又因为“”是“”的充分条件，可得，
则满足，即，解得或，
所以实数的取值范围是．
8．设函数，
(1)若命题：是假命题，求的取值范围；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立，
当时，，显然不成立；
当时，函数为二次函数，
若即，则抛物线开口向上，显然符合题意；
若即，需使，解得，
综上，或.
故命题：是假命题时，；
（2）存在，使得成立，
即对于，使有解，
即在上能成立，所以，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以.
9．已知命题：，是真命题．
(1)记实数取值范围的集合为，求集合；
(2)在（1）的条件下，关于的不等式的解集为，且是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）命题：，是真命题，
所以，使得，
所以时，，
又二次函数对称轴为，开口向上，所以当时，，
故，所以．
（2）由不等式可得，
解得，即，
若是的必要条件，则，
所以，即，故实数的取值范围为．
真题实战
1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
6．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
8．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
9．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，解得：或，
即时，成立，反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件./ 让教学更有效
第02讲 常用逻辑用语
夯实知识·突破重难·分层提能
考情 分析解读（课标要求 考情解读 备考策略）
知识 归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳）
知识1 充分条件与必要条件
知识2 全称量词命题与存在量词命题
知识3 含有一个量词的命题的否定
重难 核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）
考点01 充分、必要条件的判定
方法技巧 充分、必要条件的判定方法
考点02 充分、必要条件的探索
考点03 充分、必要条件中的参数问题
方法技巧 充分、必要条件的求参问题
考点04 全称、存在量词命题的真假判断及否定
方法技巧 全称量词命题、存在量词命题真假判断
考点05 全称、存在量词命题的含参问题
方法技巧 全称量词命题、存在量词命题的参数问题
考点06 常用逻辑用语与集合的交汇
拔高 分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战）
考情·分析解读
课标要求
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。
2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。
3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。
4．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。
5．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。
6．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。
考题统计
核心考点 2026 2025 2024
充分条件与必要条件 / / 甲卷（理）T9
量词命题 / / 全国II卷T2
考情解读
常用逻辑用语是高考高频基础考点，核心考查充分必要条件判断、全称与存在量词命题的否定及真假判定，常结合函数、不等式、数列、向量等知识综合命题。题型以选择题为主，分值5分，多置于试卷中前段，难度中等偏易。命题侧重逻辑推理与集合包含关系，易混淆充分与必要条件、量词否定改写错误，复习需重点掌握定义判定、集合法与等价转化法.
备考策略
理解并掌握命题、充分必要条件、全称量词与存在量词的核心概念，能准确判断充分、必要条件，熟练进行量词命题的否定改写。强化定义法、集合法两种判定方法，结合函数、不等式、数列等知识进行综合训练，提升逻辑推理与转化能力。
知识 归纳梳理
知识1 充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
若，则是的充分条件，q是p的必要条件；
且 是的充分不必要条件
且 是的必要不充分条件
是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
2．集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即，
是的充分条件
是的必要条件
是的充分不必要条件
是的必要不充分条件
是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
知识2 全称量词命题与存在量词命题
1．全称量词和存在量词
量词名称 符号表示 常见量词
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等
（2）全称量词命题和存在量词命题
表示 全称量词命题 存在量词命题
语言表示 对中任意一个，有p(x)成立 中存在，使成立
符号表示
知识3 含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示：
命题 命题的否定
常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
重难 核心突破
考点01 充分、必要条件的判定
典例1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
典例2．已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
方法技巧 充分、必要条件的判定方法
（1）命题判断法：
①若“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件；
②若“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件．
（2）集合法：（小集合可以推出大集合）
若对应的集合为，对应的集合为，
①若，则是的充分条件；②若，则是的必要条件．
【考法预测1】已知x，y为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考法预测2】已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考法预测3】已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
考点02 充分、必要条件的探索
典例1．设，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
典例2．已知直线，，平面，，则的一个充分条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【考法预测1】已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考法预测2】“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【考法预测3】已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（ ）
A． B． C． D．
考点03 充分、必要条件中的参数问题
典例1．设命题：，命题：.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例2．已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______．
方法技巧 充分、必要条件的求参问题
在求解含参数的充分、必要、充要条件问题时，可先把条件对应到集合范围上，把逻辑关系转化为集合的包含或相等关系，再据此列出关于参数的不等式或不等式组进行计算。
解题时一定要重点检验区间端点能否取等号，特别是用集合包含关系求参数范围时，等号是否成立直接影响结果，处理不当很容易出现多解或少解的错误。
【考法预测1】已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考法预测2】设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________．
【考法预测3】已知：，：，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____
考点04 全称、存在量词命题的真假判断及否定
典例1．已知命题，；命题，.则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
典例2．已知命题，；命题，.则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
方法技巧 全称量词命题、存在量词命题真假判断
（1）判定全称量词命题为真，必须通过严谨推理、结合定义或定理进行严格证明；若要判定它为假，只需找到一个反例，说明命题不成立即可。
（2）判断存在量词命题的真假，核心是看能否找到满足条件的元素：只要找到一个元素使结论成立，命题就是真命题；如果找不到任何符合条件的元素，命题就是假命题。
【考法预测1】（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“至少有一个x，使成立”是全称量词命题
C．“，”是假命题
D．“”是“”的必要不充分条件
【考法预测2】已知命题，，则（ ）
A．命题的否定为，，且是真命题
B．命题的否定为，，且是真命题
C．命题的否定为，，且是假命题
D．命题的否定为，，且是假命题
【考法预测3】已知命题，；命题，，则（ ）
A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假
考点05 全称、存在量词命题的含参问题
典例1．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例2．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
方法技巧 全称量词命题、存在量词命题的参数问题
全称量词命题对应“恒成立”问题，存在量词命题对应“能成立”问题，这类题目通常可以用参变量分离法，把问题转化为函数的最值问题，具体转化规则如下：
①，；②，；
③，；④，.
【考法预测1】已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考法预测2】已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______．
【考法预测3】若命题“，”为真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
考点06 常用逻辑用语与集合的交汇
典例1．已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为.
(1)求集合A；
(2)设集合，求实数的取值范围.
典例2．设全集，集合，，其中．
(1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围．
【考法预测1】已知集合，集合或.
(1)若，求，；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围.
【考法预测2】已知集合，集合，集合．
(1)计算；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围．
【考法预测3】已知命题，，命题q：集合中至多有一个元素．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若q为真命题，求实数m的取值范围．
拔高 分层集训
基础演练
1．命题“，”的否定为________．
2．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题，则，命题，，则（ ）
A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题
C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题
4．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知表示两个不同的平面，分别为平面与平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是________．
12．若“”是假命题，则的取值范围为__________．
能力进阶
1．（2025·26高三上·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（ ）
A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·26高三上·江苏·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·安徽·模拟预测）“函数在区间上单调递增”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2026·河南·模拟预测）已知，， 在上单调递增，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025·26高三上·河南三门峡·期末）已知命题，，命题，.若，都是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
7．（2026高三·广东佛山·三模）已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是______．
8．设函数，
(1)若命题：是假命题，求的取值范围；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
9．已知命题：，是真命题．
(1)记实数取值范围的集合为，求集合；
(2)在（1）的条件下，关于的不等式的解集为，且是的必要条件，求实数的取值范围．
真题实战
1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

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