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第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
夯实知识·突破重难·分层提能
考情 分析解读（课标要求 考情解读 备考策略）
知识 归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳）
知识1 一元二次不等式
知识2 简单分式不等式
知识3 绝对值不等式
知识4 高次不等式
重难 核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接）
考点01 不含参的一元二次不等式解法
考点02 由一元二次不等式的解集求参数
考点03 一元二次不等式在R上（恒）能成立问题
考点04 一元二次不等式在区间上（恒）能成立问题
考点05 一元二次方程根的分布问题
考点06 一元二次方程的实际问题
考点07 含参数的一元二次不等式解法
考点08 解分式不等式、高次不等式
考点09 解绝对值不等式
拔高 分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战）
考情·分析解读
课标要求
1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；
2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；
3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
考题统计
核心考点 2026 2025 2024
解不等式 全国Ⅰ卷T1
一元二次不等式的恒成立问题 天津卷T15
考情解读
一元二次不等式属于高考基础性必考内容，选择题常搭配集合运算命题。除常规整式不等式外，分式、绝对值、高次不等式均是考查范畴，解题普遍依托二次函数图像数形分析。含参数不等式是高频拉分点，需要分系数正负、判别式大小讨论，该知识点常嵌套在函数、导数题干中充当解题前置条件。
备考策略
备考先依托二次函数图像吃透一元二次不等式解法，牢记数形结合解题思路。熟练分式、绝对值、高次不等式标准化变形步骤，留意分母不为零、绝对值去括号易错点。注重含参不等式分类讨论训练，重点围绕二次项系数、判别式分类。该知识常融合集合、函数出题，需强化变形与分类逻辑。
知识 归纳梳理
知识1 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式
的图象
一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
一元二次不等式的解集 解集为
一元二次不等式的解集
2．不等式恒成立问题
（1）恒成立的充要条件是：或
（2）恒成立的充要条件是：或
知识2 简单分式不等式
（1）；
（2）
（3）左移，通分变成（1）；
（4）左移，通分变成（2）
知识3 绝对值不等式
1．绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．和型不等式的解法
（1）；
（2）.
知识4 高次不等式
1．高次不等式的概念
不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
2．穿根引线法的步骤：
①将最高次项系数化为正数；
②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
重难 核心突破
考点01 不含参的一元二次不等式解法
典例1．不等式的解集是____.
【答案】
【详解】不等式化为，
因式分解得，解得.
不等式的解集为，
典例2．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由可知,
是的必要不充分条件，
【考法预测1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，又，所以．
【考法预测2】已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解得或，即.
∴ .
又∵ ，在集合的元素中满足的有，
∴ .
【考法预测3】（多选）已知函数，则的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】即为，故或.
设，则充分不必要条件对应的集合应为的真子集，
4个选项中只有BD对应的集合为的真子集.
考点02 由一元二次不等式的解集求参数
典例1．已知的解集为，则的解集是_______________.
【答案】
【详解】由题意可知是方程的两根，
∴，，
∴，
∴.
典例2．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】关于x的不等式的解集为，
当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件；
当时，应满足且，解得．
综上知，实数a的取值范围是．
【考法预测1】已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由不等式的解集为可知，
且，，所以，
所以不等式可化为，
又，则，解得或．
【考法预测2】甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________．
【答案】
【详解】，甲写错了常数，正确计算后得到的解集为，即，
乙写错了常数，正确计算后得到的解集为，即，解得，
因此关于的一元二次不等式为，即，解得，
所以原不等式的解集为.
【考法预测3】已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】由题意可知：，是方程的两根，且，
则，可得，，
又，则，当且仅当时取等号，
所以其最小值为.
考点03 一元二次不等式在R上的（恒）能成立问题
典例1．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，使得为假命题，
则，都有为真命题，
当，则，满足，
当，则，满足，
综上，.
典例2．函数的定义域为R的充要条件是（ ）
A． B．且
C． D．
【答案】D
【详解】由题意得恒成立，，
当时，由二次函数的性质可得且，解得，
当时，一次函数不恒成立，
综上， .
【考法预测1】命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵“，使”是假命题，
即“，”是真命题，
∴，∴.
即命题“，使”是假命题等价于，
设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：，
则命题，而不能，
∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求.
∴选项B正确.
【考法预测2】已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意；
当时，对任意恒成立，需满足：
，解得，
综上可得．
方法技巧 不等式在R上恒成立与能成立解题方法
数形结合法：一元二次不等式在全体实数上恒或能成立，借助二次函数图像，结合抛物线开口方向与零点情况，列出不等式完成求解。
考点04 一元二次不等式在区间上的（恒）能成立问题
典例1．不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意可得对任意恒成立，
而，当且仅当时等号成立，
则，所以，则的最小值为．
典例2．使命题“”为假命题的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若命题“”为假命题，
则命题“”为真命题.
由，得，所以.
所以.
【考法预测1】若二次函数，满足对称轴为，且．
(1)求的解析式；
(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）二次函数，，
则，
对称轴为，，则，
所以.
（2）不等式恒成立，
即恒成立，
即，
令，
对称轴为，所以在上单调递减，
，
所以，
实数的取值范围为.
【考法预测2】函数对恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数对恒成立，
则，即
设，，则，
当时，，
则实数的取值范围.
故选：A.
【考法预测3】设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____
【答案】
【详解】当时，恒成立，即恒成立，
当时，上式成立；
当时，，
因为在上都是增函数，所以函数在上单调递增，
所以，所以；
当时，恒成立，即恒成立，
令，则在上恒成立，
又开口向下，对称轴为，
所以的最大值为，
所以，
综上：实数a的取值范围是
方法技巧 不等式在区间上恒成立与能成立解题方法
分离参数法：限定区间上的恒（能）成立问题，把参数与变量拆分，化为或，借助函数值域转化。
①恒成立 ；②恒成立
③能成立 ；④能成立
考点05 一元二次方程根的分布问题
典例1．若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【详解】方程在上有两个不相等的实数根，
，解得．
典例2．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】判别式： ，解得或，
对称轴在右侧： 对称轴，解得，
再由：恒成立，
所以两根都大于1的充要条件是，
，推不出，因此充分性不成立，
，可推出，因此必要性成立，
因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件.
【考法预测1】已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点，
所以，即，
整理得，解得
所以则的取值范围为.
故选：A.
【考法预测2】关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______．
【答案】
【详解】方程，解得，
依题意，，解得，
所以a的取值范围为.
【考法预测3】已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【详解】令，其图象开口向上，
又方程有一正根一负根，则，
解得，
故答案为：.
考点06 一元二次方程的实际问题
典例1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设这批台灯的销售单价为x元，
由题意得，即，解得，
因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C
典例2．某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求：
(1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？
(2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知平均成本；
要使平均成本不超过售价50元则有；
∵，所以两边同乘以得；
化简得，解得；
∵，
∴至少生产2件产品.
（2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润，
即，
要使利润不低于100元，则有；
解得不等式的解集为，
∴至少需要生产件产品.
【考法预测1】汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（ ）
A．甲、乙两车均超过规定限速
B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速
C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速
D．甲、乙两车均未超过规定限速
【答案】B
【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到；
因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到；
所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.
故选：B
【考法预测2】如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m.
【答案】
【详解】设正方形的边长为，则正方形的面积为，
四个相同的矩形即阴影部分的面积为，
四个空角的面积为，
设总造价为元，则，
即，即，解得，
故正方形周长的最大值为.
故答案为：.
【考法预测3】近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完.
(1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式；
(2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？
(3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围.
（参考数据：，）
【答案】(1)
(2)最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得
(3)
【分析】
【详解】（1）当时，；
当时，，
所以；
（2）若，即，
当时，万元；
若时，，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
所以2026年最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得.
（3）当时，由，即；
即，判别式，该不等式无解.
因此，在区间内，无法达到盈利5万元.
当时，由，即，
解方程，得两根为，
由于，所以解得
综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元.
考点07 含参数的一元二次不等式解法
典例1．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【详解】不等式 可化为，
当 时，不等式为 ，不满足对任意的 恒成立；
当 时， 的图象开口向下，不满足题意，
所以 ，且 ，所以 ，
所以 ，且 ；
所以 ，当且仅当 ，
即 时等号成立，所以 的最小值为 .
典例2．已知关于的不等式．
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，求已知关于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为
【分析】
【详解】（1）因为不等式的解集为，所以，
且 和 是方程 的两个实根，
可得，，
解得 ，；
（2）当 ，不等式为 ，即
① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ；
② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为；
若 ，则 ，不等式为 ，解集为；
若 ，则 ，不等式解集为 ；
③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 .
综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为 .
【考法预测1】已知集合，若，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【详解】由可得，
又，
，
当时，，由可得或，所以；
当时，，满足；
当时，，由可得或，所以；
综上，实数的取值范围是．
【考法预测2】解关于的不等式．
【答案】当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为全体实数，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【详解】由已知，得，：
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式等价于，
若，解得，或；
若，解得，
若，解得，或；
当时，不等式等价于，解得.
综上所述，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为全体实数，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【考法预测3】解关于x的不等式：．
【答案】当时，；当时，；当时，．
【详解】对不等式进行因式分解得，
当时，原不等式变为，解得，即；
当时，方程有两个根，
故不等式的解集为；
当时，方程有两个根，
故不等式的解集为；．
综上所述，当时，；当时，；当时，．
方法技巧 含参一元二次不等式分类讨论思路
求解带参数的一元二次不等式，分三层逐级讨论：首先看二次项系数，按系数大于零、等于零、小于零划分，区分一次、二次不等式；其次借助判别式，分0 讨论方程有无实根；最后若方程两根含参，再对比两根数值大小，分段确定解集。
考点08 解分式不等式、高次不等式
典例1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不等式等价于且，
解得.
即不等式的解集为.
典例2．关于实数x的不等式的解集是________．
【答案】
【详解】，
即等价于且，
根据“穿针引线法”，可得解集为.
【考法预测1】“”是“”成立的（ ）条件．
A．充分不必要 B．既不充分也不必要 C．充要 D．必要不充分
【答案】D
【详解】对于，不等式等价于 ，解得或.
充分性：由“”不能推出“”（例如当时，前者成立，后者不成立），
故“”不是“”的充分条件.
必要性：由“”可以推出“”，故“”是“”的必要条件.
因此“”是“”成立的必要不充分条件.
【考法预测2】不等式的解集为__________．
【答案】
【详解】由，得，
则，解得，
则不等式的解集为.
【考法预测3】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
故，解得或，
故该不等式的解集为.
考点09 解绝对值不等式
典例1．不等式解集为_________ ．
【答案】
【详解】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去；
当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此；
综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为.
典例2．不等式的解集为_____.
【答案】
【详解】因为，所以或，
即或，所以或，
所以不等式的解集为：.
故答案为：
【考法预测1】不等式的解集是_____．
【答案】
【详解】由可得或，
解，整理为，因式分解得，解得或，
解，整理为，二次函数开口向上，
判别式，故无解，
综上，不等式的解集为．
故答案为：．
【考法预测2】解不等式.
【答案】或
【详解】原不等式等价于
由①，得，或，∴，或.
由②，得，∴.
如图所示，原不等式的解集为或.
【考法预测3】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由，得，解得或，
由，得或，解得或，
因此“”是“”的充要条件.
拔高 分层集训
基础演练
1．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，解得，
，
．
2．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为，
因为，则，
所以不等式的解集是.
3．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】即为，故，故.
4．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】按的正负分类可得：
或，
得：或或，
解得：或或.
故选：A
5．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【详解】设，
则由题意可知，即，解得，
故实数的取值范围是.
故选：C．
6．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意当时，解得
当时，不等式恒成立，符合题意；
当，不等式，不符合题意；
当，的不等式的解集为，
所以，解得
综上所述，.
7．（2026·西藏林芝·二模）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为
【答案】AD
【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确；
对于选项B：由题意可得，
故，，则，故B错误；
对于选项C：，由，故，即，
所以不等式的解集为，故C错误；
对于选项D：，
由，则该不等式解集为，故D正确.
8．（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】ABC
【详解】设矩形的另一边长为，如图：
由与相似得且，
所以，又矩形的面积，
所以即，解得，
故边长可以取10，20，30，即ABC符合题意，D不符合题意.
故选：ABC
9．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根，
所以，解得，
所以，
由得，
当时，，
所以，则的取值范围是，故A正确.
10．不等式 的解集为______；不等式 的解集为______.
【答案】
【详解】，解得.
对于 ，
（方法一）当 时， ，得；
当时， ，得.
故 的解集为.
（方法二），得.
（方法三）显然，两边平方，得.
故填；
11．（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为__________．
【答案】
【详解】由题意得：，
由，化简得，解得：；
由，化简，解得；
取交集得：
12．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元.
【答案】
【详解】设每件定价为元，依题意得，
整理得，解得：．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．
13．设．
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为
【分析】
【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立，
所以对一切实数恒成立，
所以，当时，，不满足成立；
当时，需满足，即，解得，
综上，实数的取值范围为
（2）解：，
，
因为的实数根为，
所以，当，即时，的解集为；
当，即时，的解集为；
当，即时，的解集为.
综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为.
能力进阶
1．（2026·吉林·三模）（新载体）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知得，所以问题转化为恒成立，
设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，所以，解得.
2．（新载体）已知，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题得或，解得，故选项D正确．
3．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的最小值为4
C．关于的不等式的解集为
D．是关于的不等式的一个解
【答案】ACD
【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得，
因为，所以，即取，A正确；
选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以，
，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误；
C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为，
所以，已知，所以不等式解集为，C正确；
D选项，将代入得，因为，因此，
即是不等式的一个解，D正确.
4．（2026·广东汕头·模拟预测）（新考法）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________．
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以，
则，即，
所以关于b的一元二次不等式有解，且，
所以，
因为，所以，解得或，
当时，不等式为，得，符合题意；
当时，不等式为，得，符合题意，
则t的取值范围是.
故答案为：
5．（新角度）关于x的方程在区间有两解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，则；
令，则可整理为：；
故在区间有两解
等价于在上的解，对应有两个不同的解；
当或时，一个t对应上的一个解，
当且时，一个t对应上的两个解；
分离参数：，
令，对称轴为，；
与对称的点为；，，
当时，与有一个交点，
此时，一个t对应上的两个解；
当时，，一个t对应上的一个解，不合题意；
当时，或，对应或两个解，符合题意；
当时，与有两个交点，即t有两个值，
此时，一个t对应上的两个解，
则在区间上，x有4个解，不合题意，舍去；
当时，，此时对应上的两个解，符合题意；
综上，实数a的取值范围为．
6．（2025·26高三上·宁夏银川·期中）已知集合，，其中．
(1)求集合中的所有整数；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)集合中的所有整数为
(2)
【分析】
【详解】（1）由，解得，则，
所以集合中的所有整数为．
（2），
当时，，此时，满足题意；
当时，，所以，即，
又，则，
即，解得，
所以的取值范围为．
7．（新定义）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，．
(1)求不等式的解集；
(2)若，，，求m的取值范围；
(3)若的解集为，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由，即，
，所以．
所以的解集为；
（2），，此时，
即，使得，
又， 则，
故的取值范围为；
（3）不等式，即，
由方程可得或．
①若，不等式为，
即，所以，不符合题意；
②若，，
由，解得，
因为不等式的解集为，
所以，解得；
③若，，
由，解得，
因为不等式解集为，
所以，解得．
综上所述，的范围为．
8．（2025·26高三上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，，
(1)当时，求关于不等式的解集
(2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围
(3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）因为，．
①当时，不等式为，解集为；
②当时，，不等式可化为，解集为；
③当时，，不等式可化为，解集为；
④当时，，不等式可化为，解集为，
综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
（2）当时，，
知不等式对任意恒成立，只需．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，，
故实数的取值范围为
（3）设，则若对任意，恒成立，
即，解得.
真题实战
1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______．
【答案】
【详解】方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________．
【答案】
【详解】原不等式转化为，解得，
则其解集为.
故答案为：.
4．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____．
【答案】
【详解】由题意得不等式即，
即不等式的解集为，
故答案为：
5．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.
【答案】
【详解】根据题意知.
当时，,即，解得，则有；
当时，,即，，即时，不等式都成立.
综上所述，的的取值范围为.
故答案为：.
6．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______
【答案】
【详解】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.
故答案为：/ 让教学更有效
第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
夯实知识·突破重难·分层提能
考情 分析解读（课标要求 考情解读 备考策略）
知识 归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳）
知识1 一元二次不等式
知识2 简单分式不等式
知识3 绝对值不等式
知识4 高次不等式
重难 核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）
考点01 不含参的一元二次不等式解法
考点02 由一元二次不等式的解集求参数
考点03 一元二次不等式在R上（恒）能成立问题
考点04 一元二次不等式在区间上（恒）能成立问题
考点05 一元二次方程根的分布问题
考点06 一元二次方程的实际问题
考点07 含参数的一元二次不等式解法
考点08 解分式不等式、高次不等式
考点09 解绝对值不等式
拔高 分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战）
考情·分析解读
课标要求
1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；
2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；
3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
考题统计
核心考点 2026 2025 2024
解不等式 全国Ⅰ卷T1
一元二次不等式的恒成立问题 天津卷T15
考情解读
一元二次不等式属于高考基础性必考内容，选择题常搭配集合运算命题。除常规整式不等式外，分式、绝对值、高次不等式均是考查范畴，解题普遍依托二次函数图像数形分析。含参数不等式是高频拉分点，需要分系数正负、判别式大小讨论，该知识点常嵌套在函数、导数题干中充当解题前置条件。
备考策略
备考先依托二次函数图像吃透一元二次不等式解法，牢记数形结合解题思路。熟练分式、绝对值、高次不等式标准化变形步骤，留意分母不为零、绝对值去括号易错点。注重含参不等式分类讨论训练，重点围绕二次项系数、判别式分类。该知识常融合集合、函数出题，需强化变形与分类逻辑。
知识 归纳梳理
知识1 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式
的图象
一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
一元二次不等式的解集 解集为
一元二次不等式的解集
2．不等式恒成立问题
（1）恒成立的充要条件是：或
（2）恒成立的充要条件是：或
知识2 简单分式不等式
（1）；
（2）
（3）左移，通分变成（1）；
（4）左移，通分变成（2）
知识3 绝对值不等式
1．绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．和型不等式的解法
（1）；
（2）.
知识4 高次不等式
1．高次不等式的概念
不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
2．穿根引线法的步骤：
①将最高次项系数化为正数；
②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
重难 核心突破
考点01 不含参的一元二次不等式解法
典例1．不等式的解集是____.
典例2．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【考法预测2】已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【考法预测3】（多选）已知函数，则的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
考点02 由一元二次不等式的解集求参数
典例1．已知的解集为，则的解集是_______________.
典例2．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【考法预测1】已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测2】甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________．
【考法预测3】已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
考点03 一元二次不等式在R上的（恒）能成立问题
典例1．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
典例2．函数的定义域为R的充要条件是（ ）
A． B．且
C． D．
【考法预测1】命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【考法预测2】已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________．
方法技巧 不等式在R上恒成立与能成立解题方法
数形结合法：一元二次不等式在全体实数上恒或能成立，借助二次函数图像，结合抛物线开口方向与零点情况，列出不等式完成求解。
考点04 一元二次不等式在区间上的（恒）能成立问题
典例1．不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
典例2．使命题“”为假命题的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考法预测1】若二次函数，满足对称轴为，且．
(1)求的解析式；
(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【考法预测2】函数对恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测3】设函数， 若恒成立，则实数的取值范围____
方法技巧 不等式在区间上恒成立与能成立解题方法
分离参数法：限定区间上的恒（能）成立问题，把参数与变量拆分，化为或，借助函数值域转化。
①恒成立 ；②恒成立
③能成立 ；④能成立
考点05 一元二次方程根的分布问题
典例1．若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________．
典例2．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考法预测1】已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考法预测2】关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______．
【考法预测3】已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______.
考点06 一元二次方程的实际问题
典例1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
典例2．某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求：
(1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？
(2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？
【考法预测1】汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（ ）
A．甲、乙两车均超过规定限速
B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速
C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速
D．甲、乙两车均未超过规定限速
【考法预测2】如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m.
【考法预测3】近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完.
(1)求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式；
(2)2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？
(3)若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围.
（参考数据：，）
考点07 含参数的一元二次不等式解法
典例1．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
典例2．已知关于的不等式．
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，求已知关于的不等式的解集．
【考法预测1】已知集合，若，则实数的取值范围是_____．
【考法预测2】解关于的不等式．
【考法预测3】解关于x的不等式：．
方法技巧 含参一元二次不等式分类讨论思路
求解带参数的一元二次不等式，分三层逐级讨论：首先看二次项系数，按系数大于零、等于零、小于零划分，区分一次、二次不等式；其次借助判别式，分0 讨论方程有无实根；最后若方程两根含参，再对比两根数值大小，分段确定解集。
考点08 解分式不等式、高次不等式
典例1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
典例2．关于实数x的不等式的解集是________．
【考法预测1】“”是“”成立的（ ）条件．
A．充分不必要 B．既不充分也不必要 C．充要 D．必要不充分
【考法预测2】不等式的解集为__________．
【考法预测3】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
考点09 解绝对值不等式
典例1．不等式解集为_________ ．
典例2．不等式的解集为_____.
【考法预测1】不等式的解集是_____．
【考法预测2】解不等式.
【考法预测3】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
拔高 分层集训
基础演练
1．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
6．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026·西藏林芝·二模）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为
8．（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
9．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．不等式 的解集为______；不等式 的解集为______.
11．（2026·上海杨浦·模拟预测）不等式的解集为__________．
12．某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元.
13．设．
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
能力进阶
1．（2026·吉林·三模）（新载体）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（新载体）已知，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的最小值为4
C．关于的不等式的解集为
D．是关于的不等式的一个解
4．（2026·广东汕头·模拟预测）（新考法）已知，对任意实数x恒成立．若，则t的取值范围是_______________．
5．（新角度）关于x的方程在区间有两解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·26高三上·宁夏银川·期中）已知集合，，其中．
(1)求集合中的所有整数；
(2)若，求实数的取值范围．
7．（新定义）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，．
(1)求不等式的解集；
(2)若，，，求m的取值范围；
(3)若的解集为，求a的取值范围．
8．（2025·26高三上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数 ，，
(1)当时，求关于不等式的解集
(2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围
(3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围
真题实战
1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________．
4．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____．
5．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______.
6．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______

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