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重难点培优02 基本不等式求最值核心题型全解
知识精讲·重难聚焦讲技巧 1
知识点01 基本不等式常用核心结论 1
知识点02 运用基本不等式求最值的三大前提条件 1
知识点03 利用基本不等式求最值的五类解题方法 2
题型深研·通法变式提能力 2
题型1 直接法求最值 2
题型2 配凑法求最值 3
题型3 分式分离法求最值 5
题型4 消元法求最值 7
题型5 乘“1”法求最值 8
题型6 双换元法求最值 10
题型7 构造不等式法求最值 12
题型8 多次使用基本不等式求最值 13
题型9 多元均值不等式求最值 15
分层进阶·双阶训练验成效 15
巩固过关 17
创新提升 17
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点01 基本不等式常用核心结论
1、若实数，，则，当且仅当时等号成立。
由此可推出常用变形：，该式子同样要求、均为正数。
2、对于任意实数，，都满足，当且仅当时取等号。
拓展衍生结论：；还有恒成立关系。
完整的均值链不等式：对正数，有。
知识点02 运用基本不等式求最值的三大前提条件
第一条为一正：参与运算的每一项数值都必须是正数，若存在负数，不能直接套用基本不等式，需要先变形处理符号。
第二条为二定：分为两种情况，求两式相加的最小值，需要保证两项乘积是固定常数；求两式相乘的最大值，需要保证两项相加为固定常数，没有定值则无法直接求出最值。
第三条为三相等：计算结束后一定要检验等号能否取到，也就是存在实数能让成立，若无法取等，计算出的定值不具备参考意义，这是高频易错点。
知识点03 利用基本不等式求最值的五类解题方法
1、直接法
适用于题干给出的式子本身就满足一正二定三相等，无需额外变形，直接套用均值不等式就能求出最值。
2、配凑法
核心思路是对原式拆分、添项，人为构造出和定值或者积定值的形式，构造完成后再使用基本不等式计算最值，是考试最常用的方法。
3、代换法
多用于带分式的条件最值题目，分为两种题型。第一种是分母为单项式，采用乘1代换法，借助已知等式整体乘1拆分求解；第二种是分母为多项式，简单题型可用观察法，观察两个分母相加和分子是否存在倍数关系，复杂题型统一使用待定系数法，设参数配凑分母，解出参数后拆分式子计算。
4、消元法
适合含有多个变量的题型，借助题干给出的等量关系减少变量数量，把多元式子转化为二元甚至一元函数，再结合基本不等式求解。
5、构造不等式法
需要梳理已知条件与所求代数式之间的联系，通过拆分、重组式子构造出含目标式的不等式，解不等式得到目标式取值范围，进而确定最大、最小值。
题型深研·通法变式提能力
题型1 直接法求最值
方法技巧
题目给出的代数式本身能够直接套用基本不等式，解题时严格遵循“一正、二定、三相等”三大使用条件。
如果式子中变量对应的项为负数，不能直接使用公式，需要先提取负号，把式子转化为正数形式后，再借助基本不等式计算最值。
例1．已知、都是正数，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因、都是正数，，
则由，可得.
当且仅当，即，时取等号.
所以的最大值为.
变式1-1．已知，则的最大值为__________．
【答案】/
【详解】因为，当且仅当时等号成立，
结合可得，，
当且仅当，或，时等号成立，
所以当，或，时，取最大值，最大值为.
变式1-2．已知，则的最小值为________.
【答案】
【详解】，.
由于，，则，
当且仅当时取等号.
变式1-3．已知正数，满足，则的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【详解】因为，解得，当且仅当，即时等号成立.
题型2 配凑法求最值
方法技巧
配凑的核心是对整式进行等价变形，通过调整系数、拆分常数项等方式改变式子结构，全程保证变形前后代数式数值不变。
所有配凑操作都围绕构造和定值或积定值展开，常用拆项、添项的手段，让式子满足基本不等式的使用要求。完成配凑后需要逐项检验，确认各项均为正数、存在定值、等号能够成立，防止配凑失误造成答案出错。
例2．若，则的（ ）
A．最小值为4 B．最小值为6
C．最大值为4 D．最大值为6
【答案】B
【详解】由，得，则，
当且仅当，即时取等号成立，
所以的最小值为6，无最大值.
变式2-1．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
故选：C.
变式2-2．若，则函数的最小值为_____.
【答案】10
【详解】若，则，
所以函数，
当且仅当，即时等号成立，
故函数的最小值为.
变式2-3．已知，则的最大值为__________.
【答案】
【详解】由于，故，
，
当且仅当，即时取到等号，故的最大值为，
故答案为：
题型3 分式分离法求最值
方法技巧
该方法多用于分式型代数式，常见操作有两种，一是对分子配凑后拆分分式，二是对分母换元分解，最终将原式转化成对勾函数标准形式。
整理后式子为会呈现出常数加恒正或恒负分式的结构，在此基础上就能直接运用基本不等式求解最值。
例3．设，则的最小值为_____________．
【答案】
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故当时，的最小值为.
变式3-1．已知，求的最小值
【答案】6
【详解】当时，，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6.
变式3-2．函数的最小值是，则当时，a的值为________，当时，a的值为______
【答案】
【详解】当时，
当时：，当且仅当即时等号；
此时.
当时，，
当且仅当即时等号；此时.
综上：
若，则，由题，所以.
若，则，由题，所以.
故答案为：1； 1.
变式3-3．，则的最小值是__，此时a＝__．
【答案】 2； 0
【详解】显然，，
则，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，的最小值是2，此时.
故答案为：2；0．
题型4 消元法求最值
方法技巧
当题目存在多个变量时，可以借助题干给出的等量关系消去其中一个变量，把多元问题简化为单变量函数，再结合基本不等式求最值。
解题过程中不能忽略剩余变量本身自带的取值范围限制，避免求出的最值对应变量不在有效定义域内。
例4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】
【详解】（方法一）由，可得，
因为，，所以，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为13．
（方法二）由，可得，因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为13．
变式4-1．已知，均为正数，若，则最小值为________.
【答案】
【详解】已知，对已知等式变形得.
将上式代入中化简得.
由基本不等式得，
因此，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
变式4-2．设，且，则的最小值为______.
【答案】
【详解】因为，且，
所以，即，所以，
当且仅当，即，时取等号，
即的最小值为.
故答案为：
变式4-3．已知，，且，则的最小值为________.
【答案】
【详解】因为，，且，
所以，则，
整理得，
又，，所以，
所以.
因此，
当且仅当，即时取等号.
此时，满足题意.
故答案为：
题型5 乘“1”法求最值
方法技巧
分母为单项式时，采用乘“1”代换法，利用题干等式构造数值1，再与所求式子相乘拆分计算
例5．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】已知，，且，
，
当且仅当，结合得时等号成立，
的最小值为．
变式5-1．已知，，且，则的最小值是______.
【答案】8
【详解】，
当且仅当时等号成立，即时，的最小值为8.
变式5-2．若正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．25
【答案】C
【详解】由，可得，所以，
故，
当且仅当,即，也即时取等号，
联立，解得，时，等号成立．
故最小值为.
变式5-3．函数，的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】D
【详解】因为，
所以
，
又，，
所以当且仅当，即时等号成立．
题型6 双换元法求最值
方法技巧
分母为多项式时可使用待定系数法，设参匹配分母结构，解出参数后拆分式子求解。
例：如分母为与，条件等式为，
设
∴，解得：，则
例6．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】已知，则，
，
当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为.
变式6-1．已知，若，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，且，所以，
所以，
当且仅当即、时等号成立．
所以的最小值为.
变式6-2．已知，，，则的最小值为______.
【答案】/
【详解】因为
，
当且仅当，又，，，即时取等号.
故答案为：
变式6-3．已知，，，则的最小值为________.
【答案】
【详解】令，则，
则可转化为，求最小值即求的最小值.
，
当且仅当，即，即时，等号成立，
因此的最小值为.
故答案为：.
题型7 构造不等式法求最值
方法技巧
梳理已知条件与待求代数式之间的等量、大小关系，对式子重新拆分重组，利用基本不等式建立包含目标式的不等式。
通过解不等式得到目标代数式的取值区间，以此确定最大值或最小值，计算完成后依旧要验证等号成立的条件是否满足。
例7．已知，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】已知，得：，
设（），则，不等式变为：，
整理得： ，
因为，所以，不等式等价于，解得，
因为，所以.
故选：C.
变式7-1．已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C．3 D．4
【答案】A
【详解】由题意得，
所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号，
当时，所以的最大值为2.
故选：A.
变式7-2．（多选）已知实数满足，则（ ）
A．有最大值为 B．有最小值为
C．有最小值为1 D．有最大值为2
【答案】ABD
【详解】对于A，因为且，所以，即，当且仅当或
时取等号，有最大值为，故A正确；
对于B，设，则，
所以，由，所以，
所以，即，所以，
当且仅当时，有最小值为故B正确；
对于C，因为且，所以，
当且仅当或时取等号，有最小值为，故C 错误；
对于D，因为且，所以，所以，
当且仅当或时，有最大值为2，故D正确；
故选：ABD.
变式7-3．若正数满足，则的最小值是___________.
【答案】4
【详解】因为正数满足，所以，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是4.
故答案为：4.
题型8 多次使用基本不等式求最值
方法技巧
同一道题目需要反复多次使用基本不等式时，每一次套用公式都要单独验证等号成立条件。
所有不等式取等的条件必须完全统一，若前后等号成立的约束互相冲突，则无法同时取到最值，该解题思路失效。
例8．已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题知，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，当，时，原式取得最小值.
变式8-1．若，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
变式8-2．已知，，且，则的最小值是______.
【答案】24
【详解】解：，
因为，所以，
所以，
当且仅当，，时等号成立，
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题．
变式8-3．已知，，则的最小值为_______.
【答案】
【详解】由，，
，
当且仅当，时取等号，
故答案为：
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题.
题型9 多元均值不等式求最值
方法技巧
针对三个及以上正数的求最值问题，可使用多元均值不等式。
多元均值不等式：，为正数，当且仅当时，取等号
例9．我们知道，当且仅当时，等号成立，即的算术平均数的平方不大于平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即，当且仅当时，等号成立.已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，由题中的推广可得，
所以，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，
由恒成立，可得，
故的最小值为.
变式9-1．已知正数满足,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解:由题知,
,
当且仅当时取等号,
所以．
故选:C．
变式9-2．若，，求 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，
,
当且仅当即时等号成立，
的最小值为．
故选：．
变式9-3．已知，，都是正实数，且，则的最大值是______.
【答案】
【详解】解：，，是正实数，且，，
当且仅当，即时，等号成立
，，即的最大值为．
故答案为：．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（多选）下列结论正确的是（ ）.
A．当时，
B．当时，的最大值是
C．当时，的最小值是
D．当时，的最大值是
【答案】ABD
【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确；
当时，，当，即时，等号成立，故B正确；
当时，，
当，即时，等号成立，故C错误；
当时，，
当，即时，等号成立，故D正确.
2．当时，则的最小值是______.
【答案】
【详解】因为，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________．
【答案】16
【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，
则，所以，
因为，
所以
，
当且仅当，即时，此时，符合题意，
所以当时，取的最小值16.
4．若，，则的最小值为______．
【答案】/
【详解】由题设，
则.
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
5．已知，则的最小值为_____．
【答案】
【详解】，则，
当且仅当时，即时取等号，
即的最小值为.
6．已知，，且，则的最小值为________．
【答案】
【详解】由题意得，，
所以，
当且仅当，，即时，等号成立．
7．已知，且，则的最小值为_____________．
【答案】/
【详解】因为，
即①，
当且仅当，即时取等号，结合解得，，
又，等量替换不等式①中的，得，
解不等式得，或，
已知，，则，
故的最小值为．
8．已知，且，则的最小值为_____．
【答案】
【详解】由，得：，即，则，
由且，可知、，因此、.
所以
当且仅当，即，结合，
解得，时取等号.
因此，的最小值为.
9．已知为正数，，则的最小值为_________.
【答案】
【详解】由题设，则，
求的最小值，即求的最小值，其中，
由，
当且仅当，即时取等号，
综上，的最小值为.
10．已知，则的最小值为__________．
【答案】9
【详解】因为，则，.
所以
.
当且仅当时，即等号成立.
因此，的最小值为9.
11．若，且，则的最大值为_____．
【答案】
【详解】由对数的运算性质得，
由三元基本不等式得，
当且仅当时取等，而在上单调递增，
则，故的最大值为．
故答案为：
12．（多选）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】已知，由基本不等式，
当时，，解得，当且仅当时取等号，
当时，，解得，当且仅当时等号成立，
，故A正确；
因为关于的方程有解，所以
因此，故B错误；
由，即由上可得，
所以，，
所以，故C正确；
因为，由选项A知，
由，得，故D正确．
创新提升
1．若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为正实数a，b满足，则，
又因为，即，
可得，即，
当且仅当，即时，等号成立，
则，
所以的最小值为.
故选：A.
2．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．1 B． C．9 D．4
【答案】C
【详解】由条件正实数，，满足，
可得，所以，
当，即时，等号成立，此时取最大值为1，，
所以，
当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9，
故选：C.
3．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【详解】由，得，
于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
4．设，则函数的最小值为________.
【答案】/
【详解】
，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为.
5．已知正实数满足，则的最小值为___________．
【答案】/
【详解】，可得，
则.
又因为，即，
所以，
故，
即（当且仅当，即时取等），
所以，
故答案为：./ 让教学更有效 SSSS
重难点培优02 基本不等式求最值核心题型全解
知识精讲·重难聚焦讲技巧 1
知识点01 基本不等式常用核心结论 1
知识点02 运用基本不等式求最值的三大前提条件 1
知识点03 利用基本不等式求最值的五类解题方法 2
题型深研·通法变式提能力 2
题型1 直接法求最值 2
题型2 配凑法求最值 3
题型3 分式分离法求最值 3
题型4 消元法求最值 4
题型5 乘“1”法求最值 4
题型6 双换元法求最值 5
题型7 构造不等式法求最值 5
题型8 多次使用基本不等式求最值 6
题型9 多元均值不等式求最值 6
分层进阶·双阶训练验成效 7
巩固过关 7
创新提升 7
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点01 基本不等式常用核心结论
1、若实数，，则，当且仅当时等号成立。
由此可推出常用变形：，该式子同样要求、均为正数。
2、对于任意实数，，都满足，当且仅当时取等号。
拓展衍生结论：；还有恒成立关系。
完整的均值链不等式：对正数，有。
知识点02 运用基本不等式求最值的三大前提条件
第一条为一正：参与运算的每一项数值都必须是正数，若存在负数，不能直接套用基本不等式，需要先变形处理符号。
第二条为二定：分为两种情况，求两式相加的最小值，需要保证两项乘积是固定常数；求两式相乘的最大值，需要保证两项相加为固定常数，没有定值则无法直接求出最值。
第三条为三相等：计算结束后一定要检验等号能否取到，也就是存在实数能让成立，若无法取等，计算出的定值不具备参考意义，这是高频易错点。
知识点03 利用基本不等式求最值的五类解题方法
1、直接法
适用于题干给出的式子本身就满足一正二定三相等，无需额外变形，直接套用均值不等式就能求出最值。
2、配凑法
核心思路是对原式拆分、添项，人为构造出和定值或者积定值的形式，构造完成后再使用基本不等式计算最值，是考试最常用的方法。
3、代换法
多用于带分式的条件最值题目，分为两种题型。第一种是分母为单项式，采用乘1代换法，借助已知等式整体乘1拆分求解；第二种是分母为多项式，简单题型可用观察法，观察两个分母相加和分子是否存在倍数关系，复杂题型统一使用待定系数法，设参数配凑分母，解出参数后拆分式子计算。
4、消元法
适合含有多个变量的题型，借助题干给出的等量关系减少变量数量，把多元式子转化为二元甚至一元函数，再结合基本不等式求解。
5、构造不等式法
需要梳理已知条件与所求代数式之间的联系，通过拆分、重组式子构造出含目标式的不等式，解不等式得到目标式取值范围，进而确定最大、最小值。
题型深研·通法变式提能力
题型1 直接法求最值
方法技巧
题目给出的代数式本身能够直接套用基本不等式，解题时严格遵循“一正、二定、三相等”三大使用条件。
如果式子中变量对应的项为负数，不能直接使用公式，需要先提取负号，把式子转化为正数形式后，再借助基本不等式计算最值。
例1．已知、都是正数，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．已知，则的最大值为__________．
变式1-2．已知，则的最小值为________.
变式1-3．已知正数，满足，则的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
题型2 配凑法求最值
方法技巧
配凑的核心是对整式进行等价变形，通过调整系数、拆分常数项等方式改变式子结构，全程保证变形前后代数式数值不变。
所有配凑操作都围绕构造和定值或积定值展开，常用拆项、添项的手段，让式子满足基本不等式的使用要求。完成配凑后需要逐项检验，确认各项均为正数、存在定值、等号能够成立，防止配凑失误造成答案出错。
例2．若，则的（ ）
A．最小值为4 B．最小值为6
C．最大值为4 D．最大值为6
变式2-1．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式2-2．若，则函数的最小值为_____.
变式2-3．已知，则的最大值为__________.
题型3 分式分离法求最值
方法技巧
该方法多用于分式型代数式，常见操作有两种，一是对分子配凑后拆分分式，二是对分母换元分解，最终将原式转化成对勾函数标准形式。
整理后式子为会呈现出常数加恒正或恒负分式的结构，在此基础上就能直接运用基本不等式求解最值。
例3．设，则的最小值为_____________．
变式3-1．已知，求的最小值
变式3-2．函数的最小值是，则当时，a的值为________，当时，a的值为______
变式3-3．，则的最小值是__，此时a＝__．
题型4 消元法求最值
方法技巧
当题目存在多个变量时，可以借助题干给出的等量关系消去其中一个变量，把多元问题简化为单变量函数，再结合基本不等式求最值。
解题过程中不能忽略剩余变量本身自带的取值范围限制，避免求出的最值对应变量不在有效定义域内。
例4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
变式4-1．已知，均为正数，若，则最小值为________.
变式4-2．设，且，则的最小值为______.
变式4-3．已知，，且，则的最小值为________.
题型5 乘“1”法求最值
方法技巧
分母为单项式时，采用乘“1”代换法，利用题干等式构造数值1，再与所求式子相乘拆分计算
例5．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
变式5-1．已知，，且，则的最小值是______.
变式5-2．若正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．25
变式5-3．函数，的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
题型6 双换元法求最值
方法技巧
分母为多项式时可使用待定系数法，设参匹配分母结构，解出参数后拆分式子求解。
例：如分母为与，条件等式为，
设
∴，解得：，则
例6．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
变式6-1．已知，若，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
变式6-2．已知，，，则的最小值为______.
变式6-3．已知，，，则的最小值为________.
题型7 构造不等式法求最值
方法技巧
梳理已知条件与待求代数式之间的等量、大小关系，对式子重新拆分重组，利用基本不等式建立包含目标式的不等式。
通过解不等式得到目标代数式的取值区间，以此确定最大值或最小值，计算完成后依旧要验证等号成立的条件是否满足。
例7．已知，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式7-1．已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C．3 D．4
变式7-2．（多选）已知实数满足，则（ ）
A．有最大值为 B．有最小值为
C．有最小值为1 D．有最大值为2
变式7-3．若正数满足，则的最小值是___________.
题型8 多次使用基本不等式求最值
方法技巧
同一道题目需要反复多次使用基本不等式时，每一次套用公式都要单独验证等号成立条件。
所有不等式取等的条件必须完全统一，若前后等号成立的约束互相冲突，则无法同时取到最值，该解题思路失效。
例8．已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式8-1．若，则的最小值为____________．
变式8-2．已知，，且，则的最小值是______.
变式8-3．已知，，则的最小值为_______.
题型9 多元均值不等式求最值
方法技巧
针对三个及以上正数的求最值问题，可使用多元均值不等式。
多元均值不等式：，为正数，当且仅当时，取等号
例9．我们知道，当且仅当时，等号成立，即的算术平均数的平方不大于平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即，当且仅当时，等号成立.已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
变式9-1．已知正数满足,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
变式9-2．若，，求 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式9-3．已知，，都是正实数，且，则的最大值是______.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（多选）下列结论正确的是（ ）.
A．当时，
B．当时，的最大值是
C．当时，的最小值是
D．当时，的最大值是
2．当时，则的最小值是______.
3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________．
4．若，，则的最小值为______．
5．已知，则的最小值为_____．
6．已知，，且，则的最小值为________．
7．已知，且，则的最小值为_____________．
8．已知，且，则的最小值为_____．
9．已知为正数，，则的最小值为_________.
10．已知，则的最小值为__________．
11．若，且，则的最大值为_____．
12．（多选）已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
创新提升
1．若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．1 B． C．9 D．4
3．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．设，则函数的最小值为________.
5．已知正实数满足，则的最小值为___________．

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