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重难点培优03 拓展不等式：柯西、权方和不等式考点梳理
知识精讲·重难聚焦讲技巧 1
知识点01 柯西不等式 1
知识点02 权方和不等式 2
题型深研·通法变式提能力 2
题型1 利用柯西不等式求整式的最值 2
题型2 利用柯西不等式求分式的最值 4
题型3 利用柯西不等式求根式的最值 7
题型4 利用柯西不等式求三角函数式的最值 9
题型5 直接利用权方和不等式求最值 11
题型6 权方和不等式的变形 13
分层进阶·双阶训练验成效 15
巩固过关 15
创新提升 15
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点01 柯西不等式
1、二维形式的柯西不等式是基础常用公式，表达式为，式中均为实数，当且仅当时，不等式取到等号。
2、二维柯西不等式衍生出三类常用变式，每一类都有对应的适用条件与等号成立要求，做题时可根据所求式子结构灵活选用。
第一类变式，式中均为实数，在时取等；
第二类变式，式中均为实数，满足时等号成立；
第三类变式，要求，时取等。
3、柯西不等式可以拓展到组实数的一般形式，公式为，当且仅当存在实数，使得时，等号成立，多用于多变量最值求解。
4、柯西不等式的向量表达形式，，等号成立分为两种情况，一是其中一个向量为零向量，二是两个向量存在实数倍数关系，也就是，该形式常用来结合向量模长、数量积综合出题。
知识点02 权方和不等式
1、权方和不等式二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立），常用来快速处理分式求和最小值问题。
2、权方和不等式能够推广到项通用形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立。
该不等式核心特征十分鲜明，分子未知数的幂次比分母未知数的幂次多1，看到这类分式求和题型，可优先考虑使用权方和简化运算。
题型深研·通法变式提能力
题型1 利用柯西不等式求整式的最值
例1．已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）证明：
，
当且仅当，，时，等号成立.
所以.
（2）证明：由柯西不等式得：
，
当且仅当，即，，时，等号成立.
所以.
变式1-1．设不等式的解集为，且，.
(1)求的值；
(2)若、、为正实数，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)的最小值为
【分析】
【详解】（1）因为，，所以，，即，
因为，则.
（2）由（1）可知，，
由柯西不等式可得，
当且仅当时，即当，时，等号成立，
所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立，
因此，的最小值为.
变式1-2．已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)若，则；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1），，，
，
当且仅当，时取等号，
，即；
（2）∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得，
，
，
，当且仅当时取等号．
变式1-3．已知函数，m∈R，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若+，且，求的最小值.
【答案】（1）.（2）的最小值为9.
【详解】试题分析：（1）由已知，得到
所以
根据的解集是，得到.
（2）由(1)知，，由柯西不等式即得所求.
试题解析：（1）因为，所以.
所以
又的解集是，故. 5分
（2）由(1)知，，由柯西不等式得
∴的最小值为9 10分
考点：绝对值不等式解法，柯西不等式.
题型2 利用柯西不等式求分式的最值
例2．(1)已知均为正实数，求证：；
(2)已知，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）因为均为正实数，
所以（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），
所以（当且仅当时等号成立），
即（当且仅当时等号成立）．
（2）因为,
则，
因为，，由得
当且仅当时等号成立.
所以.
变式2-1．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______．
【答案】/
【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，，
∴
，
则．当且仅当时取等号．
解法二：（均值不等式），，，
所以．
当且仅当时取等号．
解法三：（权方和不等式）．
当且仅当时取等号．
故答案为：
变式2-2．已知函数，且的解集为.
(1)求的值；
(2)若正实数，满足.求的最小值.
【答案】（1）（2）9
【详解】试题分析：（1）由得，解得其解集为，即可得到实数的值；
（2）由(1)知，又是正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值.
试题解析：（1）因为
所以由得
由有解，得，且其解集为
又不等式解集为，故
（2）由(1)知，又是正实数，
由柯西不等式得
当且仅当时取等号
故的最小值为9
变式2-3．已知，，均为正数
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）∵，，均为正数，
∴，，均为正数，
∴由三个正数的均值定理，有，当且仅当时等号成立．
又∵，，均为正数，
∴由三个正数的均值定理，
有，当且仅当时等号成立．
∴，
当且仅当时等号成立．
∴.
（2）,同理可得,
∴,
设有
则原式=
由可得，
∴
，当且仅当时等号成立，
∴.
题型3 利用柯西不等式求根式的最值
例3．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，当且仅当时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立．
(1)若，求的最小值；
(2)已知，且恒成立，求的取值范围；
(3)求的最大值．
【答案】(1)3；
(2)；
(3)9.
【分析】
【详解】（1）由及柯西不等式，得，
则，当且仅当，即取等号，
所以的最小值为3.
（2）由及柯西不等式得，
则，即，当且仅当，即时取等号，
又不等式恒成立，则，
所以的取值范围是.
（3）由柯西不等式得
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为9.
变式3-1．已知：若均为实数，则，当且仅当时等号成立．试运用上述知识，分析以下问题：函数在___________时取最大值___________．
【答案】
【详解】由题意，可得 ，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
即的最大值为.
故答案为：；.
变式3-2．求函数的值域．
【答案】
【详解】根据题意，由柯西不等式法
．
当时，，
当时，，
所以,
即函数的值域为.
变式3-3．已知，则的最小值是_____．
【答案】
【详解】由于，
同理可得．三式相加得
等号成立时．所以的最小值为．
故答案为：
题型4 利用柯西不等式求三角函数式的最值
例4．若α,β为锐角,且
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意：.当且仅当，时等号成立，
即，.
故选：A.
【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，三角方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
变式4-1．求的最小值．
【答案】
【详解】由柯西不等式得：
．
所以，且当且仅当时等号成立．
故．
变式4-2．已知为正数，且满足，求证：．
【答案】详见解析
【详解】由柯西不等式，得
≤＝．
【点睛】本题考查了柯西不等式证明不等式的方法，属于基础题．
变式4-3．已知，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】由柯西不等式：，
当且仅当，
即，
即，即，
即，即，
即时等号成立，
因为，
则，
∴左边右边，
∴.
题型5 直接利用权方和不等式求最值
例5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．25
【答案】C
【详解】因为，所以.
，
当且仅当，即（在范围内）时，等号成立.
变式5-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
【答案】B
【详解】因为，
因为，所以，，
根据权方和不等式有：，
当且仅当时，即时等号成立.
所以函数的最小值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值.
变式5-2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以．
故选：C．
变式5-3．（1）若，且，则的最小值为________．
（2）已知正实数满足，则的最小值为________．
【答案】 27
【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)；
一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)．
（1），，则，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
（2）是正实数，，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为27.
故答案为： ；27
题型6 权方和不等式的变形
例6．已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由权方和不等式，可知
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2.
故选：B
变式6-1．若锐角满足，则的最小值是_____.
【答案】
【详解】
，
等号成立时．
附：权方和不等式的证明．
(H lder不等式)设，
则．
取，代入H lder不等式得
．
故答案为：.
变式6-2．已知正数，，满足，则的最小值为______________
【答案】
【详解】因为正数，满足，
所以，
当且仅当即时取等号.
故答案为：.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】D
【详解】根据柯西不等式，有
，
等号当时取得，因此所求最小值为．
故选：D.
2．若，则的最大值为______．
【答案】6
【详解】，
当且仅当，即时取“=”.
所以的最大值为6.
故答案为:6
3．已知是一个锐角，那么的最小值是_____.
【答案】
【详解】应用权方和不等式，有
等号成立时．
所以的最小值是．
故答案为：.
4．若，满足，则函数的最大值是_____．
【答案】
【详解】由柯西不等式得
，等号成立时．
所以函数的最大值是．
故答案为：
5．求函数的最大值．
【答案】
【详解】函数的定义域是，且，根据柯西不等式，
得．
当且仅当时等号成立，即时函数取最大值．
6．已知正实数a，b，c满足.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【分析】
【详解】（1）因为，，
所以有，
当且仅当时取等号，即取等号；
（2）因为，
所以，当且仅当时取等号，
同理，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
于是有，当且仅当时取等号.
7．已知正数，，，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】因为，，是正数，根据柯西不等式，有
，
所以，．
8．设正数，，满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由三维形式的柯西不等式知：
．
，，
当且仅当，即，时，取最小值．
（2）由柯西不等式知：
，
所以．
9．已知x，y，z为正数，证明：
(1)若，则；
(2)若，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）因为，所以，
同理可得，，
所以，故，
当且仅当时等号成立．
（2），
因为，所以，当且仅当时等号成立．
创新提升
1．（多选）函数的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】AB
【详解】由函数可知，
故
当且仅当，即时，取等号，
则，
令，
则，而，
其中为锐角，，
结合，则，
则在上单调递增，在上单调递减，
而，故的最小值为1，
即得，
结合选项可知，符合题意，
故选：AB
2．已知证明：
【答案】证明见解析
【详解】证明：
，
.
3．已知，求的最大值．
【答案】最大值为1
【详解】法一：（三角换元）令，，（，），
，
当且仅当，或者，时等号成立，故最大值为1．
法二：（柯西不等式）
，
当且仅当，或时等号成立．
的最大值为1．/ 让教学更有效
重难点培优03 拓展不等式：柯西、权方和不等式考点梳理
知识精讲·重难聚焦讲技巧 1
知识点01 柯西不等式 1
知识点02 权方和不等式 2
题型深研·通法变式提能力 2
题型1 利用柯西不等式求整式的最值 2
题型2 利用柯西不等式求分式的最值 3
题型3 利用柯西不等式求根式的最值 4
题型4 利用柯西不等式求三角函数式的最值 5
题型5 直接利用权方和不等式求最值 5
题型6 权方和不等式的变形 6
分层进阶·双阶训练验成效 6
巩固过关 6
创新提升 7
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点01 柯西不等式
1、二维形式的柯西不等式是基础常用公式，表达式为，式中均为实数，当且仅当时，不等式取到等号。
2、二维柯西不等式衍生出三类常用变式，每一类都有对应的适用条件与等号成立要求，做题时可根据所求式子结构灵活选用。
第一类变式，式中均为实数，在时取等；
第二类变式，式中均为实数，满足时等号成立；
第三类变式，要求，时取等。
3、柯西不等式可以拓展到组实数的一般形式，公式为，当且仅当存在实数，使得时，等号成立，多用于多变量最值求解。
4、柯西不等式的向量表达形式，，等号成立分为两种情况，一是其中一个向量为零向量，二是两个向量存在实数倍数关系，也就是，该形式常用来结合向量模长、数量积综合出题。
知识点02 权方和不等式
1、权方和不等式二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立），常用来快速处理分式求和最小值问题。
2、权方和不等式能够推广到项通用形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立。
该不等式核心特征十分鲜明，分子未知数的幂次比分母未知数的幂次多1，看到这类分式求和题型，可优先考虑使用权方和简化运算。
题型深研·通法变式提能力
题型1 利用柯西不等式求整式的最值
例1．已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2).
变式1-1．设不等式的解集为，且，.
(1)求的值；
(2)若、、为正实数，且，求的最小值.
变式1-2．已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)若，则；
(2).
变式1-3．已知函数，m∈R，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若+，且，求的最小值.
题型2 利用柯西不等式求分式的最值
例2．(1)已知均为正实数，求证：；
(2)已知，求证：.
变式2-1．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______．
变式2-2．已知函数，且的解集为.
(1)求的值；
(2)若正实数，满足.求的最小值.
变式2-3．已知，，均为正数
(1)求证：；
(2)若，求证：．
题型3 利用柯西不等式求根式的最值
例3．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，当且仅当时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立．
(1)若，求的最小值；
(2)已知，且恒成立，求的取值范围；
(3)求的最大值．
变式3-1．已知：若均为实数，则，当且仅当时等号成立．试运用上述知识，分析以下问题：函数在___________时取最大值___________．
变式3-2．求函数的值域．
变式3-3．已知，则的最小值是_____．
题型4 利用柯西不等式求三角函数式的最值
例4．若α,β为锐角,且
A． B． C． D．
变式4-1．求的最小值．
变式4-2．已知为正数，且满足，求证：．
变式4-3．已知，求证：.
题型5 直接利用权方和不等式求最值
例5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．25
变式5-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
变式5-2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
变式5-3．（1）若，且，则的最小值为________．
（2）已知正实数满足，则的最小值为________．
题型6 权方和不等式的变形
例6．已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式6-1．若锐角满足，则的最小值是_____.
变式6-2．已知正数，，满足，则的最小值为______________
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
2．若，则的最大值为______．
3．已知是一个锐角，那么的最小值是_____.
4．若，满足，则函数的最大值是_____．
5．求函数的最大值．
6．已知正实数a，b，c满足.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
7．已知正数，，，求证：．
8．设正数，，满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
9．已知x，y，z为正数，证明：
(1)若，则；
(2)若，则．
创新提升
1．（多选）函数的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．5
2．已知证明：
3．已知，求的最大值．

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