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北师大版六年级数学上册讲义
第三单元3.4 日历与百数表中的数量关系（7个考点）（讲义）
考点 1：日历横向相邻数的规律
【核心知识】
1.日历中同一行代表同一周的连续日期，从左到右数字依次增加 1，相邻两个数的差为 1。
2.数量关系：右边的数 = 左边的数 + 1；左边的数 = 右边的数 - 1。
3.同一行连续个数，属于公差为 1 的等差数列，总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2；奇数个连续数时，中间数是这组数的平均数。
【方法点拨】
1.已知单个日期，求左右相邻数，直接做加 1、减 1 计算。
2.已知连续数的和，奇数个时先求中间数，再向两边推导其余数。
3.日历每行最多 7 个数（对应周一到周日），数字不会跨行排列。
【典型例题】
例：日历某一行有连续 3 个日期，中间的数是 12，求这三个数分别是多少。
【分析】 同一行连续三个数，从左到右依次加 1。已知中间数，左边的数减 1，右边的数加 1。
【详解】 中间数是 12，左边 = 12 - 1 = 11，右边 = 12 + 1 = 13。
【答案】 11、12、13
【对应练习】
1.日历中，18 号右边相邻的日期是（ ）号，左边相邻的日期是（ ）号。
【分析】 右边相邻加 1，左边相邻减 1。
【详解】 18 + 1 = 19，18 - 1 = 17。
【答案】 19，17
2.日历同一行中，相邻两个数的差是（ ）。
【分析】 同一行连续日期，后一个总比前一个大 1 天。
【详解】 差为 1。
【答案】 1
3.日历某行连续四个数，第一个是 5，后面三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
【分析】 连续四个数依次加 1。
【详解】 5 + 1 = 6，6 + 1 = 7，7 + 1 = 8。
【答案】 6、7、8
4.判断：日历同一行的三个数，最大的数比最小的数大 2。（ ）
【分析】 同一行连续三个数，如 a、a+1、a+2，最大为 a+2，最小为 a，差为 2。
【详解】 (a+2) - a = 2，说法正确。
【答案】 √
5.日历一行连续 5 个数的和是 35，这五个数中最大的是多少？
【分析】 连续 5 个数的平均数是中间数，中间数 = 总和 ÷ 5。最大数 = 中间数 + 2。
【详解】 中间数 = 35 ÷ 5 = 7，最大数 = 7 + 2 = 9。
【答案】 9
6.日历某行第一个数是 9，这一行第 6 个数是多少？
【分析】 第 6 个数比第 1 个数多 (6-1)=5 个 1，所以加 5。
【详解】 9 + 5 = 14。
【答案】 14
7.日历同一行的三个数，最大数是 27，最小数是多少？
【分析】 同一行连续三个数，最小数 = 最大数 - 2。
【详解】 27 - 2 = 25。
【答案】 25
8.有三个连续日期，和是 24，这三天分别是几号？
【分析】 设中间数为 x，则 (x-1) + x + (x+1) = 3x = 24，求出 x 后，再得前后两天。
【详解】 3x = 24，x = 8。所以三天为 7、8、9。
【答案】 7号、8号、9号
9.日历一行中，第 3 个数是 14，第 7 个数是多少？
【分析】 第 7 个数比第 3 个数多 (7-3)=4 个 1，所以加 4。
【详解】 14 + 4 = 18。
【答案】 18
考点 2：日历纵向相邻数的规律
【核心知识】
1.日历中同一列代表星期几相同的日期，从上到下数字依次增加 7，相邻两个数的差为 7。
2.数量关系：下面的数 = 上面的数 + 7；上面的数 = 下面的数 - 7。
3.原理：一周有 7 天，下一周的同一天，比上一周同一天多 7 天，因此同列数的星期几完全一致。
【方法点拨】
1.已知日期，求下一周同一天直接加 7，求上一周同一天直接减 7。
2.同一列连续数属于公差为 7 的等差数列，可按等差数列求和计算总数。
3.可通过纵向差 7，推算某个日期对应的星期几。
【典型例题】
例：日历中某月 5 号是星期三，下一个星期三是几号？
【分析】 下一个星期三与 5 号相差一周，即 7 天。
【详解】 5 + 7 = 12。
【答案】 12号
【对应练习】
1.日历中，9 号下面相邻的日期是（ ）号，上面相邻的日期是（ ）号。
【分析】 下面加 7，上面减 7。
【详解】 9 + 7 = 16，9 - 7 = 2。
【答案】 16，2
2.日历同一列中，上下相邻两个数的差是（ ）。
【分析】 同一列上下相差一周，即 7 天。
【答案】 7
3.日历某列第一个数是 3，下面三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
【分析】 依次加 7。
【详解】 3 + 7 = 10，10 + 7 = 17，17 + 7 = 24。
【答案】 10、17、24
4.判断：日历同一列的两个数，相差 7 天，星期几相同。（ ）
【分析】 相差 7 天就是整一周，星期几完全相同。
【答案】 √
5.日历某列连续 3 个数的和是 42，中间的数是多少？
【分析】 连续 3 个同列数成等差数列，中间数是平均数。
【详解】 42 ÷ 3 = 14。
【答案】 14
6.16 号是周一，上一个周一是几号？
【分析】 上一个周一比 16 号少 7 天。
【详解】 16 - 7 = 9。
【答案】 9号
7.日历同一列四个数，最下面的数是 30，最上面的数是多少？
【分析】 从上到下依次加 7，最上面比最下面少 3 个 7。
【详解】 30 - 3×7 = 30 - 21 = 9。
【答案】 9
8.某月有 5 个周日，第一个周日是 3 号，最后一个周日是几号？
【分析】 第 5 个周日比第 1 个周日多 (5-1)=4 周，即 4×7=28 天。
【详解】 3 + 28 = 31。
【答案】 31号
9.日历某列第 2 个数是 11，第 5 个数是多少？
【分析】 第 5 个数比第 2 个数多 (5-2)=3 个 7。
【详解】 11 + 3×7 = 11 + 21 = 32。(注：按规律为32，但实际日历日期最多31天，说明该列不存在第5个数，此为纯数列计算)
【答案】 32
考点 3：日历中 2×2 方框的数量关系
【核心知识】
1.在日历中框出 2 行 2 列共 4 个数，设左上角的数为，四个数可表示为：
2.核心规律：对角两个数的和相等，即 。
3.四个数的总和 = ，也等于（左上角数 + 右下角数）× 2。
【方法点拨】
1.已知左上角数，通过 + 1、+7、+8 快速写出另外三个数。
2.已知四个数总和，先除以 2 得到一组对角的和，再通过 “对角和 - 8” 除以 2 求出左上角数。
3.验证规律时，只需计算两组对角的和是否相等即可。
【典型例题】
例：日历的 2×2 方框中，四个数的和是 60，求这四个数分别是多少。
【分析】 设左上角为 a，则四数和 = 4a+16 = 60，解出 a，再得其余数。
【详解】 4a + 16 = 60 → 4a = 44 → a = 11。四个数：11、12、18、19。
【答案】 11、12、18、19
【对应练习】
1.2×2 方框左上角是 7，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
【分析】 右上=7+1，左下=7+7，右下=7+8。
【详解】 7+1=8，7+7=14，7+8=15。
【答案】 8、14、15
2.日历 2×2 方框中，对角两个数的和（ ）。
【分析】 根据规律，对角和相等。
【答案】 相等
3.2×2 方框四个数：8、9、15、16，两组对角和分别是（ ）和（ ）。
【分析】 一组对角：8+16，另一组：9+15。
【详解】 8+16=24，9+15=24。
【答案】 24，24
4.判断：2×2 方框四个数的和，是左上角数的 4 倍。（ ）
【分析】 四数和 = 4a+16，不是 4a，所以错误。
【答案】 ×
5.2×2 方框四个数的和是 44，求左上角的数。
【分析】 根据总和公式 4a+16=44 求解。
【详解】 4a + 16 = 44 → 4a = 28 → a = 7。
【答案】 7
6.2×2 方框右下角的数是 21，求左上角的数。
【分析】 右下角 = 左上角 + 8。
【详解】 左上角 = 21 - 8 = 13。
【答案】 13
7.2×2 方框中，右上角是 13，求四个数的和。
【分析】 右上角 = 左上角 + 1，先求左上角，再用公式 4a+16。
【详解】 a = 13 - 1 = 12，总和 = 4×12 + 16 = 48 + 16 = 64。
【答案】 64
8.四个连续的日期排成 2 行 2 列，和是 52，最大的数是多少？
【分析】 设左上角为 a，总和 = 4a+16 = 52，求出 a，最大数 = a+8。
【详解】 4a + 16 = 52 → 4a = 36 → a = 9，最大数 = 9+8=17。
【答案】 17
9.2×2 方框中，左下角数比右上角数大多少？
【分析】 左下角 = a+7，右上角 = a+1，求差。
【详解】 (a+7) - (a+1) = 6。
【答案】 6
考点 4：日历十字形（5 个数）的数量规律
【核心知识】
1.日历中十字形框住 5 个数，设中间数为，五个数分别为：
上：
左：，中：，右：
下：
2.核心规律：5 个数的总和 = 中间数 × 5，中间数是这 5 个数的平均数。
3.补充规律：上下两数的和 = 中间数 × 2；左右两数的和 = 中间数 × 2。
【方法点拨】
1.已知中间数，直接乘 5 得到 5 个数的总和。
2.已知 5 个数的总和，直接除以 5 得到中间数，再通过 ±1、±7 推出上下左右四个数。
3.可通过 “上下和、左右和是否相等” 验证结果是否正确。
【典型例题】
例：日历十字框 5 个数的和是 105，求中间的数，以及五个数分别是多少。
【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5，再通过 ±1、±7 求上下左右。
【详解】 中间数 = 105 ÷ 5 = 21。上=21-7=14，左=21-1=20，右=21+1=22，下=21+7=28。
【答案】 中间数 21；五个数：14、20、21、22、28
【对应练习】
1.十字框中间数是 15，五个数的和是（ ）。
【分析】 总和 = 中间数 × 5。
【详解】 15 × 5 = 75。
【答案】 75
2.十字框 5 个数的和是 80，中间数是（ ）。
【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5。
【详解】 80 ÷ 5 = 16。
【答案】 16
3.十字框中间数是 18，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
【分析】 上面=中间-7，下面=中间+7。
【详解】 18-7=11，18+7=25。
【答案】 11，25
4.判断：十字框 5 个数的和，是中间数的 5 倍。（ ）
【分析】 根据规律，5a = 5×中间数，正确。
【答案】 √
5.十字框 5 个数，上面是 9，中间数是多少？五个数的和是多少？
【分析】 上面=中间数-7，先求中间数，再求总和。
【详解】 中间数 = 9+7=16，总和 = 16×5=80。
【答案】 中间数 16，总和 80
6.十字框 5 个数，右边是 23，求五个数的和。
【分析】 右边=中间数+1，先求中间数，再求总和。
【详解】 中间数=23-1=22，总和=22×5=110。
【答案】 110
7.十字框 5 个数的和是 75，最大的数是多少？
【分析】 中间数=总和÷5，最大数=中间数+7（即下面的数）。
【详解】 中间数=75÷5=15，最大数=15+7=22。
【答案】 22
8.十字框中间数是，五个数的和用字母表示是（ ）。
【分析】 根据规律，五个数和 = 中间数×5。
【答案】 5a
9.十字框 5 个数，最小的数是 5，最大的数是多少？
【分析】 最小数为上面的数（a-7），先求中间数 a，再求最大数（a+7）。
【详解】 a-7=5 → a=12，最大数=12+7=19。
【答案】 19
考点 5：用字母表示日历中的数与规律推导
【核心知识】
1.选取一个基准数（通常是左上角或中间数），用字母表示，再根据 “横向差 1、纵向差 7”，用含字母的式子表示方框内所有数。
2.通过代数式化简运算，可以验证日历规律的一般性，比如对角和相等、总和与中间数的倍数关系。
3.3×3 方框规律：设中间数为，9 个数的总和 = ，即总和是中间数的 9 倍。
【方法点拨】
1.优先选择中间数或左上角数作为字母基准，简化后续表达式。
2.推导规律时，将对应位置的数相加，化简代数式，对比两边结果是否相等。
3.字母表示的规律具有一般性，可以验证任意符合条件的方框都成立。
【典型例题】
例：用字母表示日历 2×2 方框的左上角数，推导对角和相等的规律。
【分析】 先写出四个数的代数式，再计算两组对角和，比较是否相等。
【详解】 四个数为 a、a+1、a+7、a+8。
一组对角和：a+(a+8)=2a+8；
另一组对角和：(a+1)+(a+7)=2a+8。
两组对角和相等。
【答案】 对角和均为 2a+8，相等。
【对应练习】
1.日历中某数用表示，它左边的数是（ ），右边的数是（ ）。
【分析】 同一行左边减 1，右边加 1。
【答案】 x-1，x+1
2.日历中某数用表示，它上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
【分析】 同一列上面减 7，下面加 7。
【答案】 y-7，y+7
3.用表示十字框中间数，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
【分析】 上面=中间-7，下面=中间+7。
【答案】 a-7，a+7
4.用字母推导：十字框 5 个数的和是中间数的 5 倍。
【分析】 设中间数为 a，写出其余四个数，求和化简。
【详解】 五个数：(a-7)+(a-1)+a+(a+1)+(a+7) = 5a。
【答案】 和为 5a，是中间数的 5 倍
5.3×3 方框中间数是，9 个数的和是（ ）。
【分析】 3×3 方框 9 个数的和 = 中间数×9。
【答案】 9m
6.判断：用字母表示日历数，只能选中间数作为基准。（ ）
【分析】 可以选择任意位置的数作为基准（如左上角、右下角等），不是只能选中间数。
【答案】 ×
7.2×2 方框，设右下角为，左上角的数用表示是（ ）。
【分析】 右下角 = 左上角 + 8，所以左上角 = 右下角 - 8。
【答案】 b-8
8.用字母推导：3×3 方框 9 个数的和是中间数的 9 倍。
【分析】 设中间数为 a，写出 3×3 方框所有数的代数式，求和化简。
【详解】 九个数为：
a-8, a-7, a-6,
a-1, a, a+1,
a+6, a+7, a+8。
和 = (a-8+a-7+a-6)+(a-1+a+a+1)+(a+6+a+7+a+8) = 9a。
【答案】 和为 9a，是中间数的 9 倍
9.日历中连续 3 个数，中间是，三个数的和用字母表示是（ ）。
【分析】 连续三个数为 n-1、n、n+1。
【详解】 (n-1)+n+(n+1) = 3n。
【答案】 3n
10.同一列 3 个数，最上面是，三个数的和用字母表示是（ ）。
【分析】 同一列向下依次加 7，三个数为 a、a+7、a+14。
【详解】 a+(a+7)+(a+14) = 3a+21。
【答案】 3a+21
考点 6：百数表中的数量关系
【核心知识】
1.百数表每行有 10 个数，从左到右依次 + 1；每列有 10 个数，从上到下依次 + 10。
2.2×2 方框规律：对角两个数的和相等；设左上角为，四个数为，对角和均为。
3.十字形 5 个数规律：和 = 中间数 × 5，上下两数相差 10，左右两数相差 1。
4.与日历规律对比：推导逻辑完全一致，区别是日历纵向差 7，百数表纵向差 10。
【方法点拨】
1.牢记百数表横向差 1、纵向差 10，推导方法和日历完全通用。
2.已知和反求数时，先求中间数，再根据差 1、差 10 推出其余数。
【典型例题】
例：百数表中，十字框中间数是 46，求 5 个数的和。
【分析】 百数表十字形规律与日历相同，总和 = 中间数×5。
【详解】 46 × 5 = 230。
【答案】 230
【对应练习】
1.百数表中，35 右边的数是（ ），下面的数是（ ）。
【分析】 右边加 1，下面加 10。
【详解】 35+1=36，35+10=45。
【答案】 36，45
2.百数表同一列，上下相邻两个数的差是（ ）。
【分析】 百数表每行 10 个数，同一列上下差 10。
【答案】 10
3.百数表 2×2 方框左上角是 23，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
【分析】 右上=23+1，左下=23+10，右下=23+11。
【详解】 24、33、34。
【答案】 24、33、34
4.判断：百数表 2×2 方框对角和相等。（ ）
【分析】 设左上角为 a，四数为 a、a+1、a+10、a+11，对角和均为 2a+11，相等。
【答案】 √
5.百数表十字框 5 个数的和是 310，中间数是多少？
【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5。
【详解】 310 ÷ 5 = 62。
【答案】 62
6.百数表中，58 上面的数是多少？左边的数是多少？
【分析】 上面减 10，左边减 1。
【详解】 58-10=48，58-1=57。
【答案】 48，57
7.百数表 2×2 方框四个数的和是 94，求左上角的数。
【分析】 设左上角为 a，四数和 = 4a+22 = 94，解出 a。
【详解】 4a + 22 = 94 → 4a = 72 → a = 18。
【答案】 18
8.百数表 3×3 方框中间数是 55，9 个数的和是多少？
【分析】 3×3 方框 9 个数的和 = 中间数×9。
【详解】 55 × 9 = 495。
【答案】 495
考点 7：日历规律的逆向计算与实际应用
【核心知识】
1.已知方框内数的总和，反求各个数，核心是先求出基准数（中间数、左上角数）。
2.实际日历存在边界：每月天数为 28~31 天，每行固定 7 天，框出的数不能超出当月日期，也不能跨行错位。
3.实际应用：日期推算、星期推算、假期安排等场景，都可以用日历规律解决。
【方法点拨】
1.逆向计算：总和 ÷ 对应倍数 = 基准数，再根据差 1、差 7 推出其他数。
2.判断合理性：算出的数必须符合当月天数，同框的数在日历中必须真实存在。
3.星期推算：先计算两个日期相差的天数，除以 7 看余数，再推算星期几。
【典型例题】
例：某月日历 3×3 方框 9 个数的和是 189，求最中间的数，以及最大的数。
【分析】 3×3 方框 9 个数的和 = 中间数×9，先求中间数，最大数 = 中间数+8。
【详解】 中间数 = 189 ÷ 9 = 21，最大数 = 21 + 8 = 29。
【答案】 中间数 21，最大数 29
【对应练习】
1.某月日历十字框 5 个数和是 120，中间数是（ ）。
【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5。
【详解】 120 ÷ 5 = 24。
【答案】 24
2.2×2 方框四个数和是 68，最大的数是（ ）。
【分析】 设左上角为 a，4a+16=68，求出 a，最大数=a+8。
【详解】 4a+16=68 → 4a=52 → a=13，最大数=13+8=21。
【答案】 21
3.连续 3 天日期和是 27，这三天中最后一天是（ ）号。
【分析】 设中间数为 x，3x=27，x=9，最后一天=x+1。
【详解】 x=9，最后一天=9+1=10。
【答案】 10
4.判断：某月日历中，2×2 方框最小数是 30，这四个数合理存在。（ ）
【分析】 最小数为左上角 a=30，则四个数为 30、31、37、38。37、38 超过每月最大天数 31，不合理。
【答案】 ×
5.3×3 方框 9 个数和是 135，最小的数是多少？
【分析】 中间数=135÷9=15，最小数=中间数-8。
【详解】 15-8=7。
【答案】 7
6.10 号是周四，24 号是周几？
【分析】 先算相差天数，再除以 7 看余数。
【详解】 24-10=14 天，14÷7=2 周，余 0，所以还是周四。
【答案】 周四
7.某月有 4 个完整的星期，这个月最少有多少天？
【分析】 4 个完整星期 = 4×7=28 天，平年 2 月有 28 天，所以最少为 28 天。
【答案】 28天
8.连续 5 个日期的和是 45，这五天中第一天是几号？
【分析】 设第一天为 x，则 5 天和为 x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=5x+10=45，解出 x。
【详解】 5x+10=45 → 5x=35 → x=7。
【答案】 7号北师大版六年级数学上册讲义
第三单元 3.4 日历与百数表中的数量关系（7 个考点）（讲义）
考点 1：日历横向相邻数的规律
【核心知识】
1.日历中同一行代表同一周的连续日期，从左到右数字依次增加 1，相邻两个数
的差为 1。
2.数量关系：右边的数 = 左边的数 + 1；左边的数 = 右边的数 - 1。
3.同一行连续 n 个数，属于公差为 1 的等差数列，总和 =（首项 + 末项）× 项
数 ÷ 2；奇数个连续数时，中间数是这组数的平均数。
【方法点拨】
1.已知单个日期，求左右相邻数，直接做加 1、减 1 计算。
2.已知连续数的和，奇数个时先求中间数，再向两边推导其余数。
3.日历每行最多 7 个数（对应周一到周日），数字不会跨行排列。
【典型例题】
例：日历某一行有连续 3 个日期，中间的数是 12，求这三个数分别是多少。
【分析】 同一行连续三个数，从左到右依次加 1。已知中间数，左边的数减
1，右边的数加 1。
【详解】 中间数是 12，左边 = 12 - 1 = 11，右边 = 12 + 1 = 13。
【答案】 11、12、13
【对应练习】
1.日历中，18 号右边相邻的日期是（ ）号，左边相邻的日期是（ ）号。
【分析】 右边相邻加 1，左边相邻减 1。
【详解】 18 + 1 = 19，18 - 1 = 17。
【答案】 19，17
2.日历同一行中，相邻两个数的差是（ ）。
【分析】 同一行连续日期，后一个总比前一个大 1 天。
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北师大版六年级数学上册讲义
【详解】 差为 1。
【答案】 1
3.日历某行连续四个数，第一个是 5，后面三个数分别是（ ）、（ ）、
（ ）。
【分析】 连续四个数依次加 1。
【详解】 5 + 1 = 6，6 + 1 = 7，7 + 1 = 8。
【答案】 6、7、8
4.判断：日历同一行的三个数，最大的数比最小的数大 2。（ ）
【分析】 同一行连续三个数，如 a、a+1、a+2，最大为 a+2，最小为 a，差为
2。
【详解】 (a+2) - a = 2，说法正确。
【答案】 √
5.日历一行连续 5 个数的和是 35，这五个数中最大的是多少？
【分析】 连续 5 个数的平均数是中间数，中间数 = 总和 ÷ 5。最大数 = 中间数
+ 2。
【详解】 中间数 = 35 ÷ 5 = 7，最大数 = 7 + 2 = 9。
【答案】 9
6.日历某行第一个数是 9，这一行第 6 个数是多少？
【分析】 第 6 个数比第 1 个数多 (6-1)=5 个 1，所以加 5。
【详解】 9 + 5 = 14。
【答案】 14
7.日历同一行的三个数，最大数是 27，最小数是多少？
【分析】 同一行连续三个数，最小数 = 最大数 - 2。
【详解】 27 - 2 = 25。
【答案】 25
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8.有三个连续日期，和是 24，这三天分别是几号？
【分析】 设中间数为 x，则 (x-1) + x + (x+1) = 3x = 24，求出 x 后，再得前后
两天。
【详解】 3x = 24，x = 8。所以三天为 7、8、9。
【答案】 7号、8号、9号
9.日历一行中，第 3 个数是 14，第 7 个数是多少？
【分析】 第 7 个数比第 3 个数多 (7-3)=4 个 1，所以加 4。
【详解】 14 + 4 = 18。
【答案】 18
考点 2：日历纵向相邻数的规律
【核心知识】
1.日历中同一列代表星期几相同的日期，从上到下数字依次增加 7，相邻两个数
的差为 7。
2.数量关系：下面的数 = 上面的数 + 7；上面的数 = 下面的数 - 7。
3.原理：一周有 7 天，下一周的同一天，比上一周同一天多 7 天，因此同列数
的星期几完全一致。
【方法点拨】
1.已知日期，求下一周同一天直接加 7，求上一周同一天直接减 7。
2.同一列连续数属于公差为 7 的等差数列，可按等差数列求和计算总数。
3.可通过纵向差 7，推算某个日期对应的星期几。
【典型例题】
例：日历中某月 5 号是星期三，下一个星期三是几号？
【分析】 下一个星期三与 5 号相差一周，即 7 天。
【详解】 5 + 7 = 12。
【答案】 12号
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【对应练习】
1.日历中，9 号下面相邻的日期是（ ）号，上面相邻的日期是（ ）号。
【分析】 下面加 7，上面减 7。
【详解】 9 + 7 = 16，9 - 7 = 2。
【答案】 16，2
2.日历同一列中，上下相邻两个数的差是（ ）。
【分析】 同一列上下相差一周，即 7 天。
【答案】 7
3.日历某列第一个数是 3，下面三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
【分析】 依次加 7。
【详解】 3 + 7 = 10，10 + 7 = 17，17 + 7 = 24。
【答案】 10、17、24
4.判断：日历同一列的两个数，相差 7 天，星期几相同。（ ）
【分析】 相差 7 天就是整一周，星期几完全相同。
【答案】 √
5.日历某列连续 3 个数的和是 42，中间的数是多少？
【分析】 连续 3 个同列数成等差数列，中间数是平均数。
【详解】 42 ÷ 3 = 14。
【答案】 14
6.16 号是周一，上一个周一是几号？
【分析】 上一个周一比 16 号少 7 天。
【详解】 16 - 7 = 9。
【答案】 9号
7.日历同一列四个数，最下面的数是 30，最上面的数是多少？
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【分析】 从上到下依次加 7，最上面比最下面少 3 个 7。
【详解】 30 - 3×7 = 30 - 21 = 9。
【答案】 9
8.某月有 5 个周日，第一个周日是 3 号，最后一个周日是几号？
【分析】 第 5 个周日比第 1 个周日多 (5-1)=4 周，即 4×7=28 天。
【详解】 3 + 28 = 31。
【答案】 31号
9.日历某列第 2 个数是 11，第 5 个数是多少？
【分析】 第 5 个数比第 2 个数多 (5-2)=3 个 7。
【详解】 11 + 3×7 = 11 + 21 = 32。(注：按规律为 32，但实际日历日期最多
31天，说明该列不存在第 5个数，此为纯数列计算)
【答案】 32
考点 3：日历中 2×2 方框的数量关系
【核心知识】
1.在日历中框出 2 行 2 列共 4 个数，设左上角的数为 a，四个数可表示为：
a a + 1
a + 7 a + 8
2.核心规律：对角两个数的和相等，即 a + (a + 8) = (a + 1) + (a + 7) =
2a + 8。
3.四个数的总和 = 4a + 16，也等于（左上角数 + 右下角数）× 2。
【方法点拨】
1.已知左上角数，通过 + 1、+7、+8 快速写出另外三个数。
2.已知四个数总和，先除以 2 得到一组对角的和，再通过 “对角和 - 8” 除以
2 求出左上角数。
3.验证规律时，只需计算两组对角的和是否相等即可。
【典型例题】
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例：日历的 2×2 方框中，四个数的和是 60，求这四个数分别是多少。
【分析】 设左上角为 a，则四数和 = 4a+16 = 60，解出 a，再得其余数。
【详解】 4a + 16 = 60 → 4a = 44 → a = 11。四个数：11、12、18、19。
【答案】 11、12、18、19
【对应练习】
1.2×2 方框左上角是 7，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
【分析】 右上=7+1，左下=7+7，右下=7+8。
【详解】 7+1=8，7+7=14，7+8=15。
【答案】 8、14、15
2.日历 2×2 方框中，对角两个数的和（ ）。
【分析】 根据规律，对角和相等。
【答案】 相等
3.2×2 方框四个数：8、9、15、16，两组对角和分别是（ ）和（ ）。
【分析】 一组对角：8+16，另一组：9+15。
【详解】 8+16=24，9+15=24。
【答案】 24，24
4.判断：2×2 方框四个数的和，是左上角数的 4 倍。（ ）
【分析】 四数和 = 4a+16，不是 4a，所以错误。
【答案】 ×
5.2×2 方框四个数的和是 44，求左上角的数。
【分析】 根据总和公式 4a+16=44 求解。
【详解】 4a + 16 = 44 → 4a = 28 → a = 7。
【答案】 7
6.2×2 方框右下角的数是 21，求左上角的数。
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【分析】 右下角 = 左上角 + 8。
【详解】 左上角 = 21 - 8 = 13。
【答案】 13
7.2×2 方框中，右上角是 13，求四个数的和。
【分析】 右上角 = 左上角 + 1，先求左上角，再用公式 4a+16。
【详解】 a = 13 - 1 = 12，总和 = 4×12 + 16 = 48 + 16 = 64。
【答案】 64
8.四个连续的日期排成 2 行 2 列，和是 52，最大的数是多少？
【分析】 设左上角为 a，总和 = 4a+16 = 52，求出 a，最大数 = a+8。
【详解】 4a + 16 = 52 → 4a = 36 → a = 9，最大数 = 9+8=17。
【答案】 17
9.2×2 方框中，左下角数比右上角数大多少？
【分析】 左下角 = a+7，右上角 = a+1，求差。
【详解】 (a+7) - (a+1) = 6。
【答案】 6
考点 4：日历十字形（5 个数）的数量规律
【核心知识】
1.日历中十字形框住 5 个数，设中间数为 a，五个数分别为：
上：a 7
左：a 1，中：a，右：a + 1
下：a + 7
2.核心规律：5 个数的总和 = 中间数 × 5，中间数是这 5 个数的平均数。
3.补充规律：上下两数的和 = 中间数 × 2；左右两数的和 = 中间数 × 2。
【方法点拨】
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1.已知中间数，直接乘 5 得到 5 个数的总和。
2.已知 5 个数的总和，直接除以 5 得到中间数，再通过 ±1、±7 推出上下左右
四个数。
3.可通过 “上下和、左右和是否相等” 验证结果是否正确。
【典型例题】
例：日历十字框 5 个数的和是 105，求中间的数，以及五个数分别是多少。
【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5，再通过 ±1、±7 求上下左右。
【详解】 中间数 = 105 ÷ 5 = 21。上=21-7=14，左=21-1=20，右=21+1=22，
下=21+7=28。
【答案】 中间数 21；五个数：14、20、21、22、28
【对应练习】
1.十字框中间数是 15，五个数的和是（ ）。
【分析】 总和 = 中间数 × 5。
【详解】 15 × 5 = 75。
【答案】 75
2.十字框 5 个数的和是 80，中间数是（ ）。
【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5。
【详解】 80 ÷ 5 = 16。
【答案】 16
3.十字框中间数是 18，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
【分析】 上面=中间-7，下面=中间+7。
【详解】 18-7=11，18+7=25。
【答案】 11，25
4.判断：十字框 5 个数的和，是中间数的 5 倍。（ ）
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【分析】 根据规律，5a = 5×中间数，正确。
【答案】 √
5.十字框 5 个数，上面是 9，中间数是多少？五个数的和是多少？
【分析】 上面=中间数-7，先求中间数，再求总和。
【详解】 中间数 = 9+7=16，总和 = 16×5=80。
【答案】 中间数 16，总和 80
6.十字框 5 个数，右边是 23，求五个数的和。
【分析】 右边=中间数+1，先求中间数，再求总和。
【详解】 中间数=23-1=22，总和=22×5=110。
【答案】 110
7.十字框 5 个数的和是 75，最大的数是多少？
【分析】 中间数=总和÷5，最大数=中间数+7（即下面的数）。
【详解】 中间数=75÷5=15，最大数=15+7=22。
【答案】 22
8.十字框中间数是 a，五个数的和用字母表示是（ ）。
【分析】 根据规律，五个数和 = 中间数×5。
【答案】 5a
9.十字框 5 个数，最小的数是 5，最大的数是多少？
【分析】 最小数为上面的数（a-7），先求中间数 a，再求最大数（a+7）。
【详解】 a-7=5 → a=12，最大数=12+7=19。
【答案】 19
考点 5：用字母表示日历中的数与规律推导
【核心知识】
1.选取一个基准数（通常是左上角或中间数），用字母表示，再根据 “横向差
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1、纵向差 7”，用含字母的式子表示方框内所有数。
2.通过代数式化简运算，可以验证日历规律的一般性，比如对角和相等、总和
与中间数的倍数关系。
3.3×3 方框规律：设中间数为 a，9 个数的总和 = 9a，即总和是中间数的 9 倍。
a 8 a 7 a 6
a 1 a a + 1
a + 6 a + 7 a + 8
【方法点拨】
1.优先选择中间数或左上角数作为字母基准，简化后续表达式。
2.推导规律时，将对应位置的数相加，化简代数式，对比两边结果是否相等。
3.字母表示的规律具有一般性，可以验证任意符合条件的方框都成立。
【典型例题】
例：用字母 a 表示日历 2×2 方框的左上角数，推导对角和相等的规律。
【分析】 先写出四个数的代数式，再计算两组对角和，比较是否相等。
【详解】 四个数为 a、a+1、a+7、a+8。
一组对角和：a+(a+8)=2a+8；
另一组对角和：(a+1)+(a+7)=2a+8。
两组对角和相等。
【答案】 对角和均为 2a+8，相等。
【对应练习】
1.日历中某数用 x 表示，它左边的数是（ ），右边的数是（ ）。
【分析】 同一行左边减 1，右边加 1。
【答案】 x-1，x+1
2.日历中某数用 y 表示，它上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
【分析】 同一列上面减 7，下面加 7。
【答案】 y-7，y+7
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3.用 a 表示十字框中间数，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
【分析】 上面=中间-7，下面=中间+7。
【答案】 a-7，a+7
4.用字母推导：十字框 5 个数的和是中间数的 5 倍。
【分析】 设中间数为 a，写出其余四个数，求和化简。
【详解】 五个数：(a-7)+(a-1)+a+(a+1)+(a+7) = 5a。
【答案】 和为 5a，是中间数的 5 倍
5.3×3 方框中间数是m，9 个数的和是（ ）。
【分析】 3×3 方框 9 个数的和 = 中间数×9。
【答案】 9m
6.判断：用字母表示日历数，只能选中间数作为基准。（ ）
【分析】 可以选择任意位置的数作为基准（如左上角、右下角等），不是只能
选中间数。
【答案】 ×
7.2×2 方框，设右下角为 b，左上角的数用 b 表示是（ ）。
【分析】 右下角 = 左上角 + 8，所以左上角 = 右下角 - 8。
【答案】 b-8
8.用字母推导：3×3 方框 9 个数的和是中间数的 9 倍。
【分析】 设中间数为 a，写出 3×3 方框所有数的代数式，求和化简。
【详解】 九个数为：
a-8, a-7, a-6,
a-1, a, a+1,
a+6, a+7, a+8。
和 = (a-8+a-7+a-6)+(a-1+a+a+1)+(a+6+a+7+a+8) = 9a。
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【答案】 和为 9a，是中间数的 9 倍
9.日历中连续 3 个数，中间是 n，三个数的和用字母表示是（ ）。
【分析】 连续三个数为 n-1、n、n+1。
【详解】 (n-1)+n+(n+1) = 3n。
【答案】 3n
10.同一列 3 个数，最上面是 a，三个数的和用字母表示是（ ）。
【分析】 同一列向下依次加 7，三个数为 a、a+7、a+14。
【详解】 a+(a+7)+(a+14) = 3a+21。
【答案】 3a+21
考点 6：百数表中的数量关系
【核心知识】
1.百数表每行有 10 个数，从左到右依次 + 1；每列有 10 个数，从上到下依次 +
10。
2.2×2 方框规律：对角两个数的和相等；设左上角为 a，四个数为 a, a +
1, a + 10, a + 11，对角和均为 2a + 11。
3.十字形 5 个数规律：和 = 中间数 × 5，上下两数相差 10，左右两数相差 1。
4.与日历规律对比：推导逻辑完全一致，区别是日历纵向差 7，百数表纵向差 1
0。
【方法点拨】
1.牢记百数表横向差 1、纵向差 10，推导方法和日历完全通用。
2.已知和反求数时，先求中间数，再根据差 1、差 10 推出其余数。
【典型例题】
例：百数表中，十字框中间数是 46，求 5 个数的和。
【分析】 百数表十字形规律与日历相同，总和 = 中间数×5。
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【详解】 46 × 5 = 230。
【答案】 230
【对应练习】
1.百数表中，35 右边的数是（ ），下面的数是（ ）。
【分析】 右边加 1，下面加 10。
【详解】 35+1=36，35+10=45。
【答案】 36，45
2.百数表同一列，上下相邻两个数的差是（ ）。
【分析】 百数表每行 10 个数，同一列上下差 10。
【答案】 10
3.百数表 2×2 方框左上角是 23，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（
）。
【分析】 右上=23+1，左下=23+10，右下=23+11。
【详解】 24、33、34。
【答案】 24、33、34
4.判断：百数表 2×2 方框对角和相等。（ ）
【分析】 设左上角为 a，四数为 a、a+1、a+10、a+11，对角和均为 2a+11，
相等。
【答案】 √
5.百数表十字框 5 个数的和是 310，中间数是多少？
【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5。
【详解】 310 ÷ 5 = 62。
【答案】 62
6.百数表中，58 上面的数是多少？左边的数是多少？
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【分析】 上面减 10，左边减 1。
【详解】 58-10=48，58-1=57。
【答案】 48，57
7.百数表 2×2 方框四个数的和是 94，求左上角的数。
【分析】 设左上角为 a，四数和 = 4a+22 = 94，解出 a。
【详解】 4a + 22 = 94 → 4a = 72 → a = 18。
【答案】 18
8.百数表 3×3 方框中间数是 55，9 个数的和是多少？
【分析】 3×3 方框 9 个数的和 = 中间数×9。
【详解】 55 × 9 = 495。
【答案】 495
考点 7：日历规律的逆向计算与实际应用
【核心知识】
1.已知方框内数的总和，反求各个数，核心是先求出基准数（中间数、左上角
数）。
2.实际日历存在边界：每月天数为 28~31 天，每行固定 7 天，框出的数不能超
出当月日期，也不能跨行错位。
3.实际应用：日期推算、星期推算、假期安排等场景，都可以用日历规律解决。
【方法点拨】
1.逆向计算：总和 ÷ 对应倍数 = 基准数，再根据差 1、差 7 推出其他数。
2.判断合理性：算出的数必须符合当月天数，同框的数在日历中必须真实存在。
3.星期推算：先计算两个日期相差的天数，除以 7 看余数，再推算星期几。
【典型例题】
例：某月日历 3×3 方框 9 个数的和是 189，求最中间的数，以及最大的数。
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【分析】 3×3 方框 9 个数的和 = 中间数×9，先求中间数，最大数 = 中间数
+8。
【详解】 中间数 = 189 ÷ 9 = 21，最大数 = 21 + 8 = 29。
【答案】 中间数 21，最大数 29
【对应练习】
1.某月日历十字框 5 个数和是 120，中间数是（ ）。
【分析】 中间数 = 总和 ÷ 5。
【详解】 120 ÷ 5 = 24。
【答案】 24
2.2×2 方框四个数和是 68，最大的数是（ ）。
【分析】 设左上角为 a，4a+16=68，求出 a，最大数=a+8。
【详解】 4a+16=68 → 4a=52 → a=13，最大数=13+8=21。
【答案】 21
3.连续 3 天日期和是 27，这三天中最后一天是（ ）号。
【分析】 设中间数为 x，3x=27，x=9，最后一天=x+1。
【详解】 x=9，最后一天=9+1=10。
【答案】 10
4.判断：某月日历中，2×2 方框最小数是 30，这四个数合理存在。（ ）
【分析】 最小数为左上角 a=30，则四个数为 30、31、37、38。37、38 超过
每月最大天数 31，不合理。
【答案】 ×
5.3×3 方框 9 个数和是 135，最小的数是多少？
【分析】 中间数=135÷9=15，最小数=中间数-8。
【详解】 15-8=7。
【答案】 7
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6.10 号是周四，24 号是周几？
【分析】 先算相差天数，再除以 7 看余数。
【详解】 24-10=14 天，14÷7=2 周，余 0，所以还是周四。
【答案】 周四
7.某月有 4 个完整的星期，这个月最少有多少天？
【分析】 4 个完整星期 = 4×7=28 天，平年 2 月有 28 天，所以最少为 28 天。
【答案】 28天
8.连续 5 个日期的和是 45，这五天中第一天是几号？
【分析】 设第一天为 x，则 5 天和为 x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=5x+10=45，
解出 x。
【详解】 5x+10=45 → 5x=35 → x=7。
【答案】 7号
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第三单元3.4 日历与百数表中的数量关系（7个考点）（讲义）
考点 1：日历横向相邻数的规律
【核心知识】
1.日历中同一行代表同一周的连续日期，从左到右数字依次增加 1，相邻两个数的差为 1。
2.数量关系：右边的数 = 左边的数 + 1；左边的数 = 右边的数 - 1。
3.同一行连续个数，属于公差为 1 的等差数列，总和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2；奇数个连续数时，中间数是这组数的平均数。
【方法点拨】
1.已知单个日期，求左右相邻数，直接做加 1、减 1 计算。
2.已知连续数的和，奇数个时先求中间数，再向两边推导其余数。
3.日历每行最多 7 个数（对应周一到周日），数字不会跨行排列。
【典型例题】
例：日历某一行有连续 3 个日期，中间的数是 12，求这三个数分别是多少。
【对应练习】
1.日历中，18 号右边相邻的日期是（ ）号，左边相邻的日期是（ ）号。
2.日历同一行中，相邻两个数的差是（ ）。
3.日历某行连续四个数，第一个是 5，后面三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
4.判断：日历同一行的三个数，最大的数比最小的数大 2。（ ）
5.日历一行连续 5 个数的和是 35，这五个数中最大的是多少？
6.日历某行第一个数是 9，这一行第 6 个数是多少？
7.日历同一行的三个数，最大数是 27，最小数是多少？
8.有三个连续日期，和是 24，这三天分别是几号？
9.日历一行中，第 3 个数是 14，第 7 个数是多少？
考点 2：日历纵向相邻数的规律
【核心知识】
1.日历中同一列代表星期几相同的日期，从上到下数字依次增加 7，相邻两个数的差为 7。
2.数量关系：下面的数 = 上面的数 + 7；上面的数 = 下面的数 - 7。
3.原理：一周有 7 天，下一周的同一天，比上一周同一天多 7 天，因此同列数的星期几完全一致。
【方法点拨】
1.已知日期，求下一周同一天直接加 7，求上一周同一天直接减 7。
2.同一列连续数属于公差为 7 的等差数列，可按等差数列求和计算总数。
3.可通过纵向差 7，推算某个日期对应的星期几。
【典型例题】
例：日历中某月 5 号是星期三，下一个星期三是几号？
【对应练习】
1.日历中，9 号下面相邻的日期是（ ）号，上面相邻的日期是（ ）号。
2.日历同一列中，上下相邻两个数的差是（ ）。
3.日历某列第一个数是 3，下面三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
4.判断：日历同一列的两个数，相差 7 天，星期几相同。（ ）
5.日历某列连续 3 个数的和是 42，中间的数是多少？
6.16 号是周一，上一个周一是几号？
7.日历同一列四个数，最下面的数是 30，最上面的数是多少？
8.某月有 5 个周日，第一个周日是 3 号，最后一个周日是几号？
9.日历某列第 2 个数是 11，第 5 个数是多少？
考点 3：日历中 2×2 方框的数量关系
【核心知识】
1.在日历中框出 2 行 2 列共 4 个数，设左上角的数为，四个数可表示为：
2.核心规律：对角两个数的和相等，即 。
3.四个数的总和 = ，也等于（左上角数 + 右下角数）× 2。
【方法点拨】
1.已知左上角数，通过 + 1、+7、+8 快速写出另外三个数。
2.已知四个数总和，先除以 2 得到一组对角的和，再通过 “对角和 - 8” 除以 2 求出左上角数。
3.验证规律时，只需计算两组对角的和是否相等即可。
【典型例题】
例：日历的 2×2 方框中，四个数的和是 60，求这四个数分别是多少。
【对应练习】
1.2×2 方框左上角是 7，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
2.日历 2×2 方框中，对角两个数的和（ ）。
3.2×2 方框四个数：8、9、15、16，两组对角和分别是（ ）和（ ）。
4.判断：2×2 方框四个数的和，是左上角数的 4 倍。（ ）
5.2×2 方框四个数的和是 44，求左上角的数。
6.2×2 方框右下角的数是 21，求左上角的数。
7.2×2 方框中，右上角是 13，求四个数的和。
8.四个连续的日期排成 2 行 2 列，和是 52，最大的数是多少？
9.2×2 方框中，左下角数比右上角数大多少？
考点 4：日历十字形（5 个数）的数量规律
【核心知识】
1.日历中十字形框住 5 个数，设中间数为，五个数分别为：
上：
左：，中：，右：
下：
2.核心规律：5 个数的总和 = 中间数 × 5，中间数是这 5 个数的平均数。
3.补充规律：上下两数的和 = 中间数 × 2；左右两数的和 = 中间数 × 2。
【方法点拨】
1.已知中间数，直接乘 5 得到 5 个数的总和。
2.已知 5 个数的总和，直接除以 5 得到中间数，再通过 ±1、±7 推出上下左右四个数。
3.可通过 “上下和、左右和是否相等” 验证结果是否正确。
【典型例题】
例：日历十字框 5 个数的和是 105，求中间的数，以及五个数分别是多少。
【对应练习】
1.十字框中间数是 15，五个数的和是（ ）。
2.十字框 5 个数的和是 80，中间数是（ ）。
3.十字框中间数是 18，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
4.判断：十字框 5 个数的和，是中间数的 5 倍。（ ）
5.十字框 5 个数，上面是 9，中间数是多少？五个数的和是多少？
6.十字框 5 个数，右边是 23，求五个数的和。
7.十字框 5 个数的和是 75，最大的数是多少？
8.十字框中间数是，五个数的和用字母表示是（ ）。
9.十字框 5 个数，最小的数是 5，最大的数是多少？
考点 5：用字母表示日历中的数与规律推导
【核心知识】
1.选取一个基准数（通常是左上角或中间数），用字母表示，再根据 “横向差 1、纵向差 7”，用含字母的式子表示方框内所有数。
2.通过代数式化简运算，可以验证日历规律的一般性，比如对角和相等、总和与中间数的倍数关系。
3.3×3 方框规律：设中间数为，9 个数的总和 = ，即总和是中间数的 9 倍。
【方法点拨】
1.优先选择中间数或左上角数作为字母基准，简化后续表达式。
2.推导规律时，将对应位置的数相加，化简代数式，对比两边结果是否相等。
3.字母表示的规律具有一般性，可以验证任意符合条件的方框都成立。
【典型例题】
例：用字母表示日历 2×2 方框的左上角数，推导对角和相等的规律。
【对应练习】
1.日历中某数用表示，它左边的数是（ ），右边的数是（ ）。
2.日历中某数用表示，它上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
3.用表示十字框中间数，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
4.用字母推导：十字框 5 个数的和是中间数的 5 倍。
5.3×3 方框中间数是，9 个数的和是（ ）。
6.判断：用字母表示日历数，只能选中间数作为基准。（ ）
7.2×2 方框，设右下角为，左上角的数用表示是（ ）。
8.用字母推导：3×3 方框 9 个数的和是中间数的 9 倍。
9.日历中连续 3 个数，中间是，三个数的和用字母表示是（ ）。
10.同一列 3 个数，最上面是，三个数的和用字母表示是（ ）。
考点 6：百数表中的数量关系
【核心知识】
1.百数表每行有 10 个数，从左到右依次 + 1；每列有 10 个数，从上到下依次 + 10。
2.2×2 方框规律：对角两个数的和相等；设左上角为，四个数为，对角和均为。
3.十字形 5 个数规律：和 = 中间数 × 5，上下两数相差 10，左右两数相差 1。
4.与日历规律对比：推导逻辑完全一致，区别是日历纵向差 7，百数表纵向差 10。
【方法点拨】
1.牢记百数表横向差 1、纵向差 10，推导方法和日历完全通用。
2.已知和反求数时，先求中间数，再根据差 1、差 10 推出其余数。
【典型例题】
例：百数表中，十字框中间数是 46，求 5 个数的和。
【对应练习】
1.百数表中，35 右边的数是（ ），下面的数是（ ）。
2.百数表同一列，上下相邻两个数的差是（ ）。
3.百数表 2×2 方框左上角是 23，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
4.判断：百数表 2×2 方框对角和相等。（ ）
5.百数表十字框 5 个数的和是 310，中间数是多少？
6.百数表中，58 上面的数是多少？左边的数是多少？
7.百数表 2×2 方框四个数的和是 94，求左上角的数。
8.百数表 3×3 方框中间数是 55，9 个数的和是多少？
考点 7：日历规律的逆向计算与实际应用
【核心知识】
1.已知方框内数的总和，反求各个数，核心是先求出基准数（中间数、左上角数）。
2.实际日历存在边界：每月天数为 28~31 天，每行固定 7 天，框出的数不能超出当月日期，也不能跨行错位。
3.实际应用：日期推算、星期推算、假期安排等场景，都可以用日历规律解决。
【方法点拨】
1.逆向计算：总和 ÷ 对应倍数 = 基准数，再根据差 1、差 7 推出其他数。
2.判断合理性：算出的数必须符合当月天数，同框的数在日历中必须真实存在。
3.星期推算：先计算两个日期相差的天数，除以 7 看余数，再推算星期几。
【典型例题】
例：某月日历 3×3 方框 9 个数的和是 189，求最中间的数，以及最大的数。
【对应练习】
1.某月日历十字框 5 个数和是 120，中间数是（ ）。
2.2×2 方框四个数和是 68，最大的数是（ ）。
3.连续 3 天日期和是 27，这三天中最后一天是（ ）号。
4.判断：某月日历中，2×2 方框最小数是 30，这四个数合理存在。（ ）
5.3×3 方框 9 个数和是 135，最小的数是多少？
6.10 号是周四，24 号是周几？
7.某月有 4 个完整的星期，这个月最少有多少天？
8.连续 5 个日期的和是 45，这五天中第一天是几号？北师大版六年级数学上册讲义
第三单元 3.4 日历与百数表中的数量关系（7 个考点）（讲义）
考点 1：日历横向相邻数的规律
【核心知识】
1.日历中同一行代表同一周的连续日期，从左到右数字依次增加 1，相邻两个数
的差为 1。
2.数量关系：右边的数 = 左边的数 + 1；左边的数 = 右边的数 - 1。
3.同一行连续 n 个数，属于公差为 1 的等差数列，总和 =（首项 + 末项）× 项
数 ÷ 2；奇数个连续数时，中间数是这组数的平均数。
【方法点拨】
1.已知单个日期，求左右相邻数，直接做加 1、减 1 计算。
2.已知连续数的和，奇数个时先求中间数，再向两边推导其余数。
3.日历每行最多 7 个数（对应周一到周日），数字不会跨行排列。
【典型例题】
例：日历某一行有连续 3 个日期，中间的数是 12，求这三个数分别是多少。
【对应练习】
1.日历中，18 号右边相邻的日期是（ ）号，左边相邻的日期是（ ）号。
2.日历同一行中，相邻两个数的差是（ ）。
3.日历某行连续四个数，第一个是 5，后面三个数分别是（ ）、（ ）、
（ ）。
4.判断：日历同一行的三个数，最大的数比最小的数大 2。（ ）
5.日历一行连续 5 个数的和是 35，这五个数中最大的是多少？
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6.日历某行第一个数是 9，这一行第 6 个数是多少？
7.日历同一行的三个数，最大数是 27，最小数是多少？
8.有三个连续日期，和是 24，这三天分别是几号？
9.日历一行中，第 3 个数是 14，第 7 个数是多少？
考点 2：日历纵向相邻数的规律
【核心知识】
1.日历中同一列代表星期几相同的日期，从上到下数字依次增加 7，相邻两个数
的差为 7。
2.数量关系：下面的数 = 上面的数 + 7；上面的数 = 下面的数 - 7。
3.原理：一周有 7 天，下一周的同一天，比上一周同一天多 7 天，因此同列数
的星期几完全一致。
【方法点拨】
1.已知日期，求下一周同一天直接加 7，求上一周同一天直接减 7。
2.同一列连续数属于公差为 7 的等差数列，可按等差数列求和计算总数。
3.可通过纵向差 7，推算某个日期对应的星期几。
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【典型例题】
例：日历中某月 5 号是星期三，下一个星期三是几号？
【对应练习】
1.日历中，9 号下面相邻的日期是（ ）号，上面相邻的日期是（ ）号。
2.日历同一列中，上下相邻两个数的差是（ ）。
3.日历某列第一个数是 3，下面三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
4.判断：日历同一列的两个数，相差 7 天，星期几相同。（ ）
5.日历某列连续 3 个数的和是 42，中间的数是多少？
6.16 号是周一，上一个周一是几号？
7.日历同一列四个数，最下面的数是 30，最上面的数是多少？
8.某月有 5 个周日，第一个周日是 3 号，最后一个周日是几号？
9.日历某列第 2 个数是 11，第 5 个数是多少？
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考点 3：日历中 2×2 方框的数量关系
【核心知识】
1.在日历中框出 2 行 2 列共 4 个数，设左上角的数为 a，四个数可表示为：
a a + 1
a + 7 a + 8
2.核心规律：对角两个数的和相等，即 a + (a + 8) = (a + 1) + (a + 7) =
2a + 8。
3.四个数的总和 = 4a + 16，也等于（左上角数 + 右下角数）× 2。
【方法点拨】
1.已知左上角数，通过 + 1、+7、+8 快速写出另外三个数。
2.已知四个数总和，先除以 2 得到一组对角的和，再通过 “对角和 - 8” 除以
2 求出左上角数。
3.验证规律时，只需计算两组对角的和是否相等即可。
【典型例题】
例：日历的 2×2 方框中，四个数的和是 60，求这四个数分别是多少。
【对应练习】
1.2×2 方框左上角是 7，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
2.日历 2×2 方框中，对角两个数的和（ ）。
3.2×2 方框四个数：8、9、15、16，两组对角和分别是（ ）和（ ）。
4.判断：2×2 方框四个数的和，是左上角数的 4 倍。（ ）
5.2×2 方框四个数的和是 44，求左上角的数。
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6.2×2 方框右下角的数是 21，求左上角的数。
7.2×2 方框中，右上角是 13，求四个数的和。
8.四个连续的日期排成 2 行 2 列，和是 52，最大的数是多少？
9.2×2 方框中，左下角数比右上角数大多少？
考点 4：日历十字形（5 个数）的数量规律
【核心知识】
1.日历中十字形框住 5 个数，设中间数为 a，五个数分别为：
上：a 7
左：a 1，中：a，右：a + 1
下：a + 7
2.核心规律：5 个数的总和 = 中间数 × 5，中间数是这 5 个数的平均数。
3.补充规律：上下两数的和 = 中间数 × 2；左右两数的和 = 中间数 × 2。
【方法点拨】
1.已知中间数，直接乘 5 得到 5 个数的总和。
2.已知 5 个数的总和，直接除以 5 得到中间数，再通过 ±1、±7 推出上下左右
四个数。
3.可通过 “上下和、左右和是否相等” 验证结果是否正确。
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【典型例题】
例：日历十字框 5 个数的和是 105，求中间的数，以及五个数分别是多少。
【对应练习】
1.十字框中间数是 15，五个数的和是（ ）。
2.十字框 5 个数的和是 80，中间数是（ ）。
3.十字框中间数是 18，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
4.判断：十字框 5 个数的和，是中间数的 5 倍。（ ）
5.十字框 5 个数，上面是 9，中间数是多少？五个数的和是多少？
6.十字框 5 个数，右边是 23，求五个数的和。
7.十字框 5 个数的和是 75，最大的数是多少？
8.十字框中间数是 a，五个数的和用字母表示是（ ）。
9.十字框 5 个数，最小的数是 5，最大的数是多少？
考点 5：用字母表示日历中的数与规律推导
【核心知识】
1.选取一个基准数（通常是左上角或中间数），用字母表示，再根据 “横向差
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1、纵向差 7”，用含字母的式子表示方框内所有数。
2.通过代数式化简运算，可以验证日历规律的一般性，比如对角和相等、总和
与中间数的倍数关系。
3.3×3 方框规律：设中间数为 a，9 个数的总和 = 9a，即总和是中间数的 9 倍。
a 8 a 7 a 6
a 1 a a + 1
a + 6 a + 7 a + 8
【方法点拨】
1.优先选择中间数或左上角数作为字母基准，简化后续表达式。
2.推导规律时，将对应位置的数相加，化简代数式，对比两边结果是否相等。
3.字母表示的规律具有一般性，可以验证任意符合条件的方框都成立。
【典型例题】
例：用字母 a 表示日历 2×2 方框的左上角数，推导对角和相等的规律。
【对应练习】
1.日历中某数用 x 表示，它左边的数是（ ），右边的数是（ ）。
2.日历中某数用 y 表示，它上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
3.用 a 表示十字框中间数，上面的数是（ ），下面的数是（ ）。
4.用字母推导：十字框 5 个数的和是中间数的 5 倍。
5.3×3 方框中间数是m，9 个数的和是（ ）。
6.判断：用字母表示日历数，只能选中间数作为基准。（ ）
7.2×2 方框，设右下角为 b，左上角的数用 b 表示是（ ）。
8.用字母推导：3×3 方框 9 个数的和是中间数的 9 倍。
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9.日历中连续 3 个数，中间是 n，三个数的和用字母表示是（ ）。
10.同一列 3 个数，最上面是 a，三个数的和用字母表示是（ ）。
考点 6：百数表中的数量关系
【核心知识】
1.百数表每行有 10 个数，从左到右依次 + 1；每列有 10 个数，从上到下依次 +
10。
2.2×2 方框规律：对角两个数的和相等；设左上角为 a，四个数为 a, a +
1, a + 10, a + 11，对角和均为 2a + 11。
3.十字形 5 个数规律：和 = 中间数 × 5，上下两数相差 10，左右两数相差 1。
4.与日历规律对比：推导逻辑完全一致，区别是日历纵向差 7，百数表纵向差 1
0。
【方法点拨】
1.牢记百数表横向差 1、纵向差 10，推导方法和日历完全通用。
2.已知和反求数时，先求中间数，再根据差 1、差 10 推出其余数。
【典型例题】
例：百数表中，十字框中间数是 46，求 5 个数的和。
【对应练习】
1.百数表中，35 右边的数是（ ），下面的数是（ ）。
2.百数表同一列，上下相邻两个数的差是（ ）。
3.百数表 2×2 方框左上角是 23，另外三个数分别是（ ）、（ ）、（
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）。
4.判断：百数表 2×2 方框对角和相等。（ ）
5.百数表十字框 5 个数的和是 310，中间数是多少？
6.百数表中，58 上面的数是多少？左边的数是多少？
7.百数表 2×2 方框四个数的和是 94，求左上角的数。
8.百数表 3×3 方框中间数是 55，9 个数的和是多少？
考点 7：日历规律的逆向计算与实际应用
【核心知识】
1.已知方框内数的总和，反求各个数，核心是先求出基准数（中间数、左上角
数）。
2.实际日历存在边界：每月天数为 28~31 天，每行固定 7 天，框出的数不能超
出当月日期，也不能跨行错位。
3.实际应用：日期推算、星期推算、假期安排等场景，都可以用日历规律解决。
【方法点拨】
1.逆向计算：总和 ÷ 对应倍数 = 基准数，再根据差 1、差 7 推出其他数。
2.判断合理性：算出的数必须符合当月天数，同框的数在日历中必须真实存在。
3.星期推算：先计算两个日期相差的天数，除以 7 看余数，再推算星期几。
第 9 页 共 10 页
北师大版六年级数学上册讲义
【典型例题】
例：某月日历 3×3 方框 9 个数的和是 189，求最中间的数，以及最大的数。
【对应练习】
1.某月日历十字框 5 个数和是 120，中间数是（ ）。
2.2×2 方框四个数和是 68，最大的数是（ ）。
3.连续 3 天日期和是 27，这三天中最后一天是（ ）号。
4.判断：某月日历中，2×2 方框最小数是 30，这四个数合理存在。（ ）
5.3×3 方框 9 个数和是 135，最小的数是多少？
6.10 号是周四，24 号是周几？
7.某月有 4 个完整的星期，这个月最少有多少天？
8.连续 5 个日期的和是 45，这五天中第一天是几号？
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