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5.1 任意角和弧度制及三角函数的概念
【课标要求】
1．了解任意角的概念和弧度制的概念；
2．能进行弧度与角度的互化；
3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
夯实 必备知识
【知识梳理】
1.任意角
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向分为________角、________角、________角．
(3)与角α终边相同的角的集合：________________．
2．弧度制
(1)角度制和弧度制
角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制 长度等于________长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角度制和弧度制的互化：________rad，________rad，1 rad＝.
(3)扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为n°(α为其圆心角的弧度数)，则：
扇形的弧长 ________
扇形的面积 ______＝_____
3．三角函数的概念
(1)定义：设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆相交于点，
则________；________，________；
(2)三角函数定义的推广：设点是角α终边上任意一点且不与原点重合，，
则________；________，________．
【注意】三角函数就是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它的函数值不会随着点P在的终边上的位置的改变而改变．
【常用结论】
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．若，则.
【课前自测】
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　)
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关．(　　)
(4)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．(　　)
2．(2020·全国II卷·高考真题)若α为第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
3．(必修第一册P176练习T10改编)如图，分别以等边三角形三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． D．
5．(易错题)已知的终边在直线上．求：
(1)；(2)，．
精研 核心考点
考点1 象限角与终边相同的角
考向1 象限角
例1 (1)【2026·湖南长沙·模拟预测】已知集合，是第一象限角，则元素的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)如果角是第二象限角，那么角可能是第几象限角？（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题技法】
象限角的2种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
(2)转化法：先将已知角化为，，的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
对点训练1 (1)若是第四象限角，则（ ）
A．是第二象限角 B．是第一象限角
C．是第一象限角 D．是第四象限角
(2) 若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（ ）
A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角
C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角
考向2 终边相同的角
例2 (1)如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（ ）
A． B．
C． D．
(2)与角终边相同的角可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解题技法】
求或，所在象限的步骤：
(1)将θ的范围用不等式(含有k，且)表示；
(2)两边同除以n或乘以n；
(3)对k进行讨论，得到或，所在的象限.
对点训练2 (1) 已知，当时，中的一个元素与角终边相同，若取最小正值为，最大负值为，则（ ）
A．－12 B．－10 C．－4 D．4
(2)已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______.
考点2 扇形的弧长、面积公式
例3 (1)【2026·贵州贵阳·模拟预测】如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
(2)已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4．
(i)若该扇形的弧长为4，求的值．
(ⅱ)当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值．
【解题技法】
解有关扇形弧长、面积公式问题的三种策略
对点训练3 (1)【2026·北京·模拟预测】如图，半径为1的圆与直线相切于点，点，同时从点出发，点沿着直线向右、点沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，，与圆交于点，记扇形的面积为，与线段，围成的面积记为，点，运动过程中，下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
(2)已知扇形的圆心角为，半径为r．
(i)若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(ⅱ)若扇形的周长是定值，求扇形的最大面积及此时的值；
(ⅲ)若扇形的面积是定值，求扇形的最小周长及此时的值．
考点3 三角函数定义的应用
考向1 利用三角函数定义求值
例4 (1)【2026·上海黄浦·三模】已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________．
(2)如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是．
(i)求圆心角的弧度数；
(ⅱ)若点的横坐标为，求点的坐标．
【解题技法】
利用三角函数的定义解决问题的策略：
1.已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值.先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；
2.已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；
3.已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
对点训练4 (1)【2026·河北保定·二模】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
(2)如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记，．
(i)若，求；
(ⅱ)分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，记△AOC和△BOD的面积分别为，，若，求．
考向2 三角函数值的符号判断
例5 (1) 函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
(2) 已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）
A． B．2 C． D．3
【解题技法】
三角函数值符号的判断方法
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，就要分类讨论求解.
对点训练5 (1)【2020·山东·高考真题】已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
(2) 设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【教考衔接】
衔接教材
1.在(O为原点)中，，，若，则的面积(　　)
A. B. C. D.
2.设向量，，若是实数，则的最小值为( )
A. B. C.1 D.
教考衔接
点位于标准单位圆上，且对应的任意角为，
拓展可知点满足，则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
变式练1 【2026·天津·高考真题】已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________．
变式练2 【2025·上海·高考真题】已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
课时练5.1 任意角和弧度制及三角函数的概念
【试题部分】
一、单选题
1．【2026·广西·模拟预测】角的终边与单位圆的交点坐标为，则（ ）．
A． B． C．1 D．0
2．已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
3．【2026·河南·模拟预测】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①对②错 D．①错②对
5．【2026·河南开封·模拟预测】已知角的终边上有一点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．【2026·北京海淀·三模】在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．【2026·重庆万州·模拟预测】下列各角中，与终边相反的有（ ）
A． B． C． D．
8．【25-26高一下·江西抚州·期末】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
9．下列结论正确的有（ ）
A．
B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为
C．终边落在射线上的角的集合是
D．
10．【25-26高二下·广东广州·期末】设角，满足，则下列情况可能发生的有（ ）
A．在第一象限，在第一象限 B．在第一象限，在第二象限
C．在第二象限，在第一象限 D．在第二象限，在第二象限
三、填空题
11．如图，在中，，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则________.
12．【2026·北京·三模】若点关于轴对称点为，写出的一个取值为________．
13．已知角的终边过点，且，则________，________
14．【2024·北京·高考真题】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________．
四、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为.
(1)求的表达式，并求的值；
(2)若，求的值.
提素能4道题
1．【2026·江苏无锡·三模】在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．【2026·广东广州·三模】(多选)在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，则（ ）
A． B．的最大值为 C． D．
3．【2025·河南许昌·三模】(多选)如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以Ox为始边，OP为终边，定义．则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象与轴围成封闭图形的面积为
4．【2021·上海·高考真题】已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是___.
第 1 页 共 8 页5.1 任意角和弧度制及三角函数的概念
【课标要求】
1．了解任意角的概念和弧度制的概念；
2．能进行弧度与角度的互化；
3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
夯实 必备知识
【知识梳理】
1.任意角
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向分为________角、________角、________角．
(3)与角α终边相同的角的集合：________________．
2．弧度制
(1)角度制和弧度制
角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制 长度等于________长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角度制和弧度制的互化：________rad，________rad，1 rad＝.
(3)扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为n°(α为其圆心角的弧度数)，则：
扇形的弧长 ________
扇形的面积 ______＝_____
3．三角函数的概念
(1)定义：设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆相交于点，
则________；________，________；
(2)三角函数定义的推广：设点是角α终边上任意一点且不与原点重合，，
则________；________，________．
【注意】三角函数就是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它的函数值不会随着点P在的终边上的位置的改变而改变．
【常用结论】
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．若，则.
【课前自测】
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　)
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关．(　　)
(4)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．(　　)
【答案】(1)×　(2) √　(3) ×　(4) ×
2．(2020·全国II卷·高考真题)若α为第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，，
则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
3．(必修第一册P176练习T10改编)如图，分别以等边三角形三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，扇形的面积，
莱洛三角形的面积为.
5．(易错题)已知的终边在直线上．求：
(1)；(2)，．
【答案】(1)当的终边在第二象限时，，当的终边在第四象限时
(2)，
【详解】（1）由题意得：的终边在直线上，所以的终边在第二象限或第四象限，
当α终边在第二象限时，在终边上取点，则，
所以，
当终边在第四象限时，在终边上取点，则，
所以；
（2）由（1）有：
当α终边在第二象限时，在终边上取点，则，
所以，，
所以，
，
当终边在第四象限时，在终边上取点，则，
所以，，
所以，
，
综上所述，.
精研 核心考点
考点1 象限角与终边相同的角
考向1 象限角
例1 (1)【2026·湖南长沙·模拟预测】已知集合，是第一象限角，则元素的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】集合，是第一象限角，
，该角为第一象限角，为第一象限角，为第二象限角，
则，即元素的个数为3.
(2)如果角是第二象限角，那么角可能是第几象限角？（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABD
【详解】因为角是第二象限角，所以，
所以，
当时，，是第一象限角，A正确；
当时，，是第二象限角，B正确；
当时，，是第四象限角，D正确.
【解题技法】
象限角的2种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
(2)转化法：先将已知角化为，，的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
对点训练1 (1)若是第四象限角，则（ ）
A．是第二象限角 B．是第一象限角
C．是第一象限角 D．是第四象限角
【答案】BC
【详解】因为是第四象限角，所以，
则，所以是第一象限角，故B正确；
而，所以是第三象限角，故A错误；
而，则是第一象限角，故C正确；
而，则是第三象限角，故D错误.
(2) 若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（ ）
A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角
C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角
【答案】B
【详解】当角的终边不在坐标轴上时，，
所以，所以只需，
又因为，要使，
所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限.
考向2 终边相同的角
例2 (1)如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】先将角度转化为弧度，，
所以终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为.
(2)与角终边相同的角可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，角与角的终边相同，
与角终边相同的角可表示为.
【解题技法】
求或，所在象限的步骤：
(1)将θ的范围用不等式(含有k，且)表示；
(2)两边同除以n或乘以n；
(3)对k进行讨论，得到或，所在的象限.
对点训练2 (1) 已知，当时，中的一个元素与角终边相同，若取最小正值为，最大负值为，则（ ）
A．－12 B．－10 C．－4 D．4
【答案】C
【分析】求出与角终边相同的角的集合，根据题意得到，结合特殊值法求解即可.
【详解】与终边相同的角的集合为，
由题意知，，，解得，，
当时，，故的最小整数值为1，此时的最小正值为.
当时，，故的最大整数值为0，此时的最大负值为.
所以.
(2)已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______.
【答案】
【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或，
所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为
.
考点2 扇形的弧长、面积公式
例3 (1)【2026·贵州贵阳·模拟预测】如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，.
中，，，，，
由正弦定理得，解得，
扇形区域面积为.
(2)已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4．
(i)若该扇形的弧长为4，求的值．
(ⅱ)当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值．
【答案】(i)；(ⅱ)当为2时，扇形的周长取最小值，最小值为8
【详解】(i)设扇形所在圆的半径为，则弧长，
扇形的面积，
解得，．
(ⅱ)扇形的面积，即，
则扇形的周长，
当且仅当时，等号成立，此时，
由得，
故当为2时，扇形的周长取最小值，最小值为8．
【解题技法】
解有关扇形弧长、面积公式问题的三种策略
对点训练3 (1)【2026·北京·模拟预测】如图，半径为1的圆与直线相切于点，点，同时从点出发，点沿着直线向右、点沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，，与圆交于点，记扇形的面积为，与线段，围成的面积记为，点，运动过程中，下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出两个图形的面积，结合选项判断即可.
【详解】设运动路程为，，设，
由弧长公式：，
，，
扇形的面积为，所以，即，C正确，D不正确；
因为最大可取，，所以，A不正确；
当取时，,此时，故存在，B不正确.
(2)已知扇形的圆心角为，半径为r．
(i)若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(ⅱ)若扇形的周长是定值，求扇形的最大面积及此时的值；
(ⅲ)若扇形的面积是定值，求扇形的最小周长及此时的值．
【答案】(i)，；(ⅱ)，；(ⅲ)，
【详解】(i)设弧长为，弓形面积为，
，，．
设扇形的面积为，，，
，
，
则．
(ⅱ)由题意可得，则，
得扇形面积，
故当时，取得最大值，
此时．
(ⅲ)由题意可得，则，
得扇形周长，
当且仅当，即时取等号，
即时，取得最小值，
此时．
考点3 三角函数定义的应用
考向1 利用三角函数定义求值
例4 (1)【2026·上海黄浦·三模】已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________．
【答案】
【详解】设，则以为终边的角为，
又，，
所以，
所以点的横坐标为

(2)如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是．
(i)求圆心角的弧度数；
(ⅱ)若点的横坐标为，求点的坐标．
【答案】(i)；(ⅱ)
【详解】(i)记圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，面积为，
则由，且，，解得．
又因为，则．故圆心角的弧度数为．
(ⅱ)因为点的横坐标为，
所以，则，
所以，
则．
所以，．
故点的坐标为．
【解题技法】
利用三角函数的定义解决问题的策略：
1.已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值.先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；
2.已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；
3.已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
对点训练4 (1)【2026·河北保定·二模】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二倍角的正弦公式，结合正弦和余弦的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】当角的终边落在第二象限时，取一点，
则，
所以；
当角的终边落在第四象限时，取一点，
则，
所以，
综上所述：.
(2)如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记，．
(i)若，求；
(ⅱ)分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，记△AOC和△BOD的面积分别为，，若，求．
【答案】(i)；(ⅱ)
【详解】(i)因为，所以．
由题可知，，，，
且，，，．
若，即，则，
所以．
(ⅱ)结合（1），有，
，
又，则，所以．
因为，则，所以，．
考向2 三角函数值的符号判断
例5 (1) 函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知角的终边不在坐标轴上，
当为第一象限角时，函数；
当为第二象限角时，函数；
当为第三象限角时，函数；
当为第四象限角时，函数．
所以函数的值域为．
(2) 已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】根据任意角三角函数的定义求解.
【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以，
解得或或，因为是第二象限角，所以，所以.
【解题技法】
三角函数值符号的判断方法
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，就要分类讨论求解.
对点训练5 (1)【2020·山东·高考真题】已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
(2) 设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角函数的定义可得，故要想求的值需要先求出的值，可由求出的值，进一步求出.
【详解】因为是第二象限角，所以，即．
又，解得（舍去），
所以．
故选：.
【教考衔接】
衔接教材
1.在(O为原点)中，，，若，则的面积(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意可知：，，
因为，可得，，
所以的面积.
2.设向量，，若是实数，则的最小值为( )
A. B. C.1 D.
【答案】B
【详解】设，，，即点在直线上，
则，，，，可得，
可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
教考衔接
点位于标准单位圆上，且对应的任意角为，
拓展可知点满足，则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
变式练1 【2026·天津·高考真题】已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________．
【答案】
【分析】第一空：利用和得出和的值，即可得出结论；
第二空：解法一：将代入得，展开，令，，，代入并整理，得出，即可求出的取值范围.
解法二：设，，，根据可设，进而可得，即可得取值范围.
解法三：不妨设，，， ，，可知点在直线上，且点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可.
【详解】由题意，
，，，
第一空：
当时，，
∴，
∴.
第二空：
解法一：将代入得，
两边平方，得：，
展开：，
代入，，记，
，
令，，，
则原式变为：，
配方得：，
由于 ，，因此 ，
即 ，解得，
，
因此，的取值范围为：.
解法二：因为，，
不妨设，，，则，，
若，设，
则.
解法三：因为，，
不妨设，，，即点在直线上，
且，，
因为，

若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出），
若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上，
则圆在直线和之间，可得，即，
所以的取值范围为.
变式练2 【2025·上海·高考真题】已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
课时练5.1 任意角和弧度制及三角函数的概念
【试题部分】
一、单选题
1．【2026·广西·模拟预测】角的终边与单位圆的交点坐标为，则（ ）．
A． B． C．1 D．0
【答案】C
【详解】因为角的终边与单位圆的交点坐标为，可得，
则.
2．已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【详解】因为，，
所以为第二象限角，即，
所以，
则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.
故选：D.
3．【2026·河南·模拟预测】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，，所以为第四象限角.
因为，又，所以.
4．已知，有下列两个结论：①存在在第一象限，在第三象限；②存在在第二象限，在第四象限；则（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①对②错 D．①错②对
【答案】D
【详解】由诱导公式先化简原式得
对于①，在第一象限时，在第三象限时，不存在，所以①错；
对于②，在第二象限时，在第四象限时，例如，时，，所以②对.
故选：D
5．【2026·河南开封·模拟预测】已知角的终边上有一点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】，，
故角和角的终边相同，故，，
则.
6．【2026·北京海淀·三模】在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若角终边在第二象限，不妨令，此时，，，
取特殊值，则，，，此时，
所以“角终边在第二象限”不能推出“”；
若，
若终边在轴上，；
若终边在轴上，无意义；
所以为象限角，不妨设，
若，则，因，故，得，与条件矛盾，排除；
若，则，
取，则，所以.
所以可能成立；
若，则，，所以不可能成立，排除；
若，则，，所以不可能成立，排除；
因此，由三角函数的周期性得，仅第二象限角中存在，满足.
所以“”“角终边在第二象限”.
所以“角终边在第二象限”是“”的必要不充分条件.
二、多选题
7．【2026·重庆万州·模拟预测】下列各角中，与终边相反的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】依题意，，则角与角终边相同，
与角终边相反的角可以为，
因此与角终边相反的所有角的集合为，
显然，.
8．【25-26高一下·江西抚州·期末】已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】因为，为第二象限角，故，
得，
所以A错，B对，C错，D对.
9．下列结论正确的有（ ）
A．
B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为
C．终边落在射线上的角的集合是
D．
【答案】BD
【详解】对于A，由，得，故 A错误；
对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得，
解得，因此扇形的弧长为，B正确；
对于C，终边落在射线上的角的集合为，故C错误；
对于D，设，则，
所以，故D正确.
故选：BD.
10．【25-26高二下·广东广州·期末】设角，满足，则下列情况可能发生的有（ ）
A．在第一象限，在第一象限 B．在第一象限，在第二象限
C．在第二象限，在第一象限 D．在第二象限，在第二象限
【答案】BCD
【详解】，
令，，即有；
对A：若、都在第一象限，则、，
由可得，
若或，则，不符，
则且，此时，则，亦不符，
故、的正切值不能同为正，故A错误；
对B、C、D：若在第二象限，则，取，
则有，即，解得或；
即存在、，使得在第一象限，在第二象限，
同理，存在、，使得在第二象限，在第一象限，
同理，存在、，使得在第二象限，在第二象限，
故B、C、D正确.
三、填空题
11．如图，在中，，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则________.
【答案】
【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，
在中，，则的面积为，
由题意可得，即，所以.
12．【2026·北京·三模】若点关于轴对称点为，写出的一个取值为________．
【答案】
【详解】与关于轴对称，
所以角与角的终边关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
13．已知角的终边过点，且，则________，________
【答案】
【详解】由三角函数的定义，，.
，.
．
14．【2024·北京·高考真题】在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________．
【答案】/
【详解】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
四、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为.
(1)求的表达式，并求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，；(2)
【详解】（1）由题意知，，，因为为锐角，所以.
因为射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，
所以.
（2）若，则，
因为，所以，
所以.
则.
提素能4道题
1．【2026·江苏无锡·三模】在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，若，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】因为锐角的终边与单位圆交于，角的终边与单位圆交于，
所以，由三角函数的定义知，，，，
因为，
所以，即，
所以，
因为锐角，，
所以，，
所以
，
因为，所以，，
所以，
所以
2．【2026·广东广州·三模】(多选)在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，则（ ）
A． B．的最大值为 C． D．
【答案】AC
【详解】根据三角函数的定义：，，
因此，.
选项A.，正确.
选项B.，最大值为，不是，错误.
选项C.，正确.
选项D.，，
因为，故错误.
3．【2025·河南许昌·三模】(多选)如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以Ox为始边，OP为终边，定义．则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象与轴围成封闭图形的面积为
【答案】BCD
【详解】由题意得
，
化简得，
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于，，
而，
故，
故的图象关于点对称，故C正确，
对于D，，
而
，
故的图象关于点对称，
而，
即关于对称，且设在内与轴围成封闭图形的面积为，
故所求在内与轴围成封闭图形的面积为4A，
当时，，
且，
在上的图象关于点对称，
在的图象与轴围成图形面积等于以为直角边的直角三角形面积，
故，则，故D正确．
故选：BCD．
4．【2021·上海·高考真题】已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是___
【答案】
【详解】在单位圆中分析，由题意，
的终边要落在图中阴影部分区域（其中），
必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，
∴，
∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了），
故存在正整数,使得，即，，同时，∴的最小值为,
故答案为：.
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