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分层作业
1.2.1有理数的概念
目 录
A组 巩固过关
基础常考5大题型
题型01 判断是否为有理数 题型04 有理数的分类
题型02 有理数概念辨析 题型05 有理数的综合解答
题型03 0的意义
B组 能力进阶
C组 思维拔高
判断是否为有理数
1．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】解：是整数，是有理数；
是分数，是有理数；
是整数，是有理数；
中是无限不循环小数，因此是无理数；
是有限小数，是有理数；
，是有限小数，是有理数；
（每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。
综上，有理数共有个．
2．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】根据有理数的定义逐个判断六个数即可得到结果．
【详解】解：∵整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数，
逐个判断得：
是分数，是有理数；
是无限不循环小数，不是有理数；
是整数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是无限循环小数，是有理数.
故有理数共5个，故选C．
3．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）在数中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据整数和分数统称有理数，无限循环小数属于有理数．
【详解】解：是分数，属于有理数；
是无限不循环小数，不属于有理数；
是无限不循环小数，不属于有理数；
是无限循环小数，可化为分数，属于有理数；
则有理数共有2个．
4．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列一组数：，，，，0，，2025，则下列说法正确的是（ ）
A．有理数有6个 B．是正数，不是分数
C．非正数有3个 D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了有理数、正数、分数、非正数的定义，理解其定义是解题的关键．
根据相关知识点逐一判断各选项的正误．
【详解】解：A：整数和分数统称有理数，题目中的7个数均为有理数，故该选项不合题意；
B：10.1是有限小数，属于分数，故该选项不合题意；
C：非正数包含0和负数，则有，，，共3个，故该选项符合题意．
故选：C．
5．（24-25七年级上·河南开封·期末）在，这些数中，有理数有__________个．
【答案】8
【分析】本题主要考查了有理数的知识，依据有理数的定义，区分所给数中的有理数与无理数，再统计有理数的个数，有理数包含整数和分数，分数涵盖有限小数、无限循环小数，无理数为无限不循环小数．
【详解】解：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，分数包括有限小数、无限循环小数，无理数是无限不循环小数，
对所给数逐一判断：
在，这些数中，
是分数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
2021是正整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
可化为，是有限小数，属于有理数；
0.67是有限小数，属于有理数；
属于无理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
是负整数，属于有理数；
是无限循环小数，属于有理数．
综上所述，有理数共有8个．
故答案为：8．
有理数概念辨析
6．（25-26七年级上·云南昆明·期末）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数
C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的分类与定义．
根据有理数的相关概念逐一判断选项正误．
【详解】解：有理数分为正有理数、0和负有理数，A选项错误；
整数分为正整数、0和负整数，B选项错误；
有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数，C选项正确；
0是有理数，D选项错误；
故选：C．
7．（25-26六年级上·山东泰安·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误；
② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误；
③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误；
④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确；
综上，错误的说法共有个．
8．（24-25七年级上·四川达州·期末）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（ ）个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可．
【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误；
②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误；
③非负数就是正数和0，原说法错误；
④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确．
综上，正确的结论共有1个．
9．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（　　）
A．0既不是整数也不是分数 B．整数和分数统称有理数
C．一个数的绝对值一定是正数 D．绝对值等于它本身的数是,0和1
【答案】B
【分析】本题考查有理数的定义与绝对值的性质，根据相关基础概念逐一判断选项即可．
【详解】解：0是整数，故A选项说法错误；
有理数的定义为整数和分数统称有理数，故 B选项说法正确；
的绝对值是0，0不是正数，故C选项说法错误；
所有非负数的绝对值都等于它本身，故D选项说法错误．
综上，选B．
10．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________．
【答案】①⑤/⑤①
【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果．
【详解】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确；
②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误；
③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0，
∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误；
④0是偶数，也是自然数，原说法错误；
⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确
0的意义
11．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（ ）
A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界”
【答案】C
【详解】解：不同场景中0有不同含义：
A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意；
B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意；
C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意；
D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意．
12．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（ ）个
小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点．
小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读．
小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小．
小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0．
A．2 B．3 C．4
【答案】B
【分析】根据0的意义、整数读数规则、小数性质、除法与分数、比的相关知识逐个判断即可．
【详解】解：小红的表述：0既可以表示没有，也可作为测量的起点（如直尺的0刻度），还是正负数的分界点，该表述正确；
小明的表述：根据整数读数规则，每级末尾的0都不读，该表述正确；
小丽的表述：只有小数末尾的0去掉才不改变数的大小，整数末尾的0去掉会改变数的大小（如10去掉末尾的0变为1，大小改变），故该表述错误；
小刚的表述：除法中除数为0无意义，分数的分母相当于除法的除数，比的后项也相当于除法的除数，因此分数的分母、比的后项都不能为0，该表述正确；
综上，正确的表述共有3个，选项B符合题意．
13．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）___________既不是正数，也不是负数，但它是整数．
【答案】0
【分析】本题主要考查有理数的分类，属于基础知识．
根据有理数的分类可求解．
【详解】解：0既不是正数，也不是负数，但它是整数．
故答案为：0．
14．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是_____．
【答案】数轴上的原点（答案不唯一）
【分析】本题主要考查“0”的意义，熟练掌握“0”的意义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解．
【详解】解：有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是表示数轴上的原点；
故答案为数轴上的原点（答案不唯一）．
15．下列对“0”的说法正确的个数是________
①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数．
【答案】2
【分析】本题考查了正数和负数、0的意义等知识点，掌握零的意义是解题的关键．
根据0的意义逐项判断即可解答．
【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确；
②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误；
③0可以表示特定的意义，如，故③正确；
④0既不是正数，也不是负数，故④错误，
综上所述：正确的有①③，共2个．
故答案为：2．
有理数的分类
16．（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨．
(1)正有理数集合；｛____________________…｝
(2)负有理数集合：｛____________________…｝
(3)整数集合：｛____________________…｝
【答案】(1)①，④，⑦，⑨
(2)②，③，⑥
(3)①，③，⑤
【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可．
【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数，
因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝.
（2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝；
（3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝．
17．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）将下列各数填入对应集合：
，，，，，，，，，
整数集合：｛　　　…｝
分数集合：｛　　　…｝
正数集合：｛　　　…｝
负数集合：｛　　　…｝
【答案】，，，，；，，，，；，，，，；，，，
【分析】根据整数，分数，正数，负数的定义，把各数填入相应的集合里面即可．
【详解】解：整数集合：｛，，，，…｝
分数集合：｛，，，，…｝
正数集合：｛，，，，…｝
负数集合：｛，，，…｝
18．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）将下列各数填入适当的括号内：
，
正数集合：{ }
整数集合：{ }
负有理数集合：{ }
正分数集合：{ }
【答案】
正数集合：
整数集合：
负有理数集合：
正分数集合：
【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可．
【详解】略
19．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶
．
正数：{_____________________________}；
负分数∶ {____________________________________}
负整数：{______________________}；
整数∶ {____________________________________}
【答案】；；；
【分析】根据有理数的分类解答即可．
【详解】解：正数：{}；
负分数∶ {}；
负整数：{}；
整数∶ {}．
20．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，．
(1)正数集合：{ ...}；
(2)整数集合：{ ...}；
(3)负分数集合：{ ...}．
【答案】(1)8.5，0.3，12，
(2)0，12，
(3)，，
【分析】根据正数、整数、负分数的定义，对给出的数逐一判断，归类填入对应集合即可，大于0的数为正数，整数包含正整数、0、负整数，小于0的分数为负分数，有限小数属于分数.
【详解】（1）解：大于0的数是正数，因此正数集合为{8.5，0.3，12，，…}；
（2）解：整数包含正整数、0、负整数，因此整数集合为{0，12，，…}；
（3）解：小于0的分数是负分数，因此负分数集合为{，，，…}．
21．（25-26七年级上·福建泉州·期末）把下列各数填在相应的括号里
，，，，，，，，
整数集合：
分数集合：
有理数集合：
非负整数集合：
【答案】整数集合：；分数集合：；有理数集合：；非负整数集合：
【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数分类的定义逐项分析即可
【详解】解：整数集合：；
分数集合：；
有理数集合：；
非负整数集合：
22．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合．
(1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______；
(2)请将下列各数填入图中适当的区域内．
，，，，，，，，，
【答案】(1)，，正整数
(2)见解析
【分析】本题考查了有理数的分类，掌握相关概念是解题的关键．
（1）根据整数分为正整数和负整数和零，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数，进行作答即可；
（2）根据有理数的分类逐个判断进行填写即可．
【详解】（1）解：是整数，应填在区域；
是正有理数，应填在区域；
区域表示的有理数是正整数；
故答案为：，，正整数；
（2）解：将各数填入适当的区域如图所示：
有理数的综合解答
23．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成．
(1)算筹所表示的数是 ．
(2)请用算筹表示下列各数：
(3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个）
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】此题考查数字的表示，理解题意是解题的关键．
（1）根据图形的表示进行解答即可；
（2）结合（1）根据图形的表示进行解答即可；
（3）根据图形的表示进行解答即可．
【详解】（1）
解：算筹所表示的数是3875．
故答案为：3875；
（2）
解：用算筹表示下列各数：
（3）解：用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个）
24．读完下面这段话，回答问题
我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁．
(1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？
(2)你能将这些数字进行分类吗？
(3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了数字的分类（计数、测量、标号与排序）、整数与分数的概念，以及数在实际生活中的应用，熟练掌握数字的分类方法和整数、分数的定义是解题的关键．
（1）先从题干描述中逐一提取出现的所有数字，再根据计数、测量、标号与排序的定义，对每个数字的用途进行判断和归类．
（2）依据整数和分数的数学定义，对提取出的所有数字进行整数与分数的划分．
（3）结合实际生活中的具体数学问题，举例说明仅用整数和分数无法满足需求，从而论证数系需要扩展．
【详解】（1）解：老师刚才描述中出现了：、、、、、、，
计数的有50，测量的有、、、、13岁、，没有属于标号与排序的数字；
（2）解：按整数和分数分类：整数有、、、，分数有、、．
（3）解：仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面积时，发现圆周率但圆周率的值并不能由两个整数相除而得；又如求边长为的正方形对角线长时，求得的也不是整数和分数．
25．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？
(3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？
【答案】(1)正数；
(2)B、D；
(3)正数，A．
【分析】本题考查了数字规律问题，找出题中数字排列规律是解题的关键．
（1）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案；
（2）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案；
（3）因为，根据规律，即得答案．
【详解】（1）解：由数字排列规律可知：A是正数，B是负数，C是正数，D是负数．每4个数一循环，
所以在A处的数是正数；
（2）解：由（1）可知，负数排在B，D的位置上；
（3）解：，
根据（1）中数字排列规律可知，第2 028个数是正数，排在对应A的位置上．
26．黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数．
【答案】1
【详解】本题考查有理数的定义，分类，正确区分整数，分数以及熟记正分数和负分数的定义是解题的关键．根据正数、负数，以及正整数和负整数的定义可以解答本题．
【解答】解：因为10个有理数中有6个整数，
所以分数个，
因为正分数的个数与负分数的个数相等，
所以有2个负分数，2个正分数，因为负数的个数不超过3个，所以负数共 3个，还有一个是0，
∴负整数共1个．
1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）在，，，，，中，非负数有（）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查非负数的概念，解题思路是先明确非负数的定义，非负数指大于或等于的数，包括和正数．再逐个判断给出的数，统计符合要求的数的个数即可．
【详解】解： ，，二者为负数，不符合要求．
，，，，四个数均满足大于或等于，属于非负数．
非负数共有个．
2．（25-26七年级上·广东广州·期末）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（ ）
A．，0不是正数
B．，0.41，0，3.14是正数
C．，，0.41，，0，3.14是有理数
D．，是负数
【答案】B
【分析】根据有理数的分类解答即可．
【详解】解：B选项中 0不是正数．
3．（25-26七年级上·广东珠海·期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．正有理数、负有理数统称为有理数
B．非负数就是正数
C．正有理数、负有理数和零统称为有理数
D．有理数包括小数和分数
【答案】C
【分析】有理数是分数和整数的统称，有理数分为正有理数，负有理数和零，非负数是大于或等于零的数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、正有理数，负有理数和零统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、非负数是正数或者零，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、正有理数、负有理数和零统称为有理数，原说法正确，故此选项符合题意；
D、有理数包括整数和分数，原说法错误，故此选项不符合题意；
4．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错
【答案】C
【分析】本题考查了正负数的定义，0的意义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据有理数的定义判断甲和乙的说法是否正确．
【详解】解：∵负数是指小于0的数，
∴甲的说法正确；
∵0既不是正数也不是负数，
∴乙的说法正确．
∴甲、乙均对，
故选：C．
5．（25-26七年级上·福建莆田·期中）下列说法正确的是（ ）
A．海拔表示没有海拔
B．有绝对值最大的有理数
C．整式是四次单项式
D．从莆田到厦门的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系
【答案】D
【分析】本题考查海拔概念、有理数绝对值、单项式次数及反比例关系的判断，需根据初中数学知识逐一分析选项，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、海拔表示海平面基准，并非“没有海拔”，故A错误；
B、有理数的绝对值可无限增大（如整数无限大），无最大值，故B错误；
C、单项式中，变量的指数为3，次数为3（为常数），不是四次，故C错误；
D、路程一定时，时间与平均速度满足，故成反比例关系，故D正确；
故选：D．
6．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）下面对生活中数据的估计，最合适的是（ ）
A．一瓶矿泉水约为500毫升 B．七年级学生1000米跑合格成绩为60秒
C．一张数学试卷的面积约为20平方米 D．一本七年级数学教科书的质量约为15克
【答案】A
【分析】本题主要考查了数学常识，熟练掌握一些基本的数学常识是解题关键．根据生活经验、对长度单位、容积单位、质量单位和时间单位和数据的大小的认识，对各个选项进行分析，找出最合理的即可．
【详解】解：A、一瓶矿泉水约为500毫升，则此项合适，符合题意；
B、七年级学生1000米跑合格成绩约为180秒，则此项不合适，不符合题意；
C、一张数学试卷的面积约为20平方分米，则此项不合适，不符合题意；
D、一本七年级数学教科书的质量约为350克，则此项不合适，不符合题意；
故选：A．
7．将下列各数填在相应的集合内.
5，，，，0，2010，，6.2，.
正数集合{ …}；负数集合{ …}；
自然数集合{ …}；整数集合{ …}；
分数集合{ …}；负分数集合{ …}；
非负数集合{ …}；非正整数集合{ …}；
【答案】5，，2010，6.2；，，，；5，0，2010；5，，0，2010，，；，，6.2；；5，，0，2010，6.2；，0，，
【分析】根据有理数的分类进行判断即可．
【详解】解：正数集合{5，，2010，6.2，…}；负数集合{，，，，…}；
自然数集合{5，0，2010，…}；整数集合{5，，0，2010，，，…}；
分数集合{，，6.2，…}；负分数集合{，…}；
非负数集合{5，，0，2010，6.2，…}；非正整数集合{，0，，，…}.
故答案为：5，，2010，6.2；，，-35，-1；5，0，2010；5，，0，2010，，；，，6.2；；5，，0，2010，6.2；，0，，．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．
8．（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为________．
【答案】
【分析】根据正整数的概念知所给数中，，为正整数，得到；根据非负数的概念知所给数中0.23，，0，，为非负数，得到，代入求值即可．
【详解】解：，0.23，，0，，，，，
正整数有：，，，即，
非负数有：中0.23，，0，，，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键．
9．（25-26七年级上·江西景德镇·期中）将下列各数填入相应的框内：①；②；③（循环）；④；⑤；⑥；⑦；⑧．（填入下面框内，填序号）
（1） （2）
【答案】见解析
【分析】根据有理数的分类填写即可求解．
【详解】解：（1）整数有②；④；⑥，⑧．正整数有⑧，正数有③（循环）；⑦；⑧．
（2）分数有①；③（循环）；⑤；⑦；负的分数有①；负数有①；④；⑤；⑥；
（1） （2）
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
1．（25-26七年级上·福建南平·期末）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ）
A．都是整数 B．都不是整数
C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数
【答案】C
【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题与抽屉原理，分析整数的奇偶性并运用抽屉原理是解题的关键．
通过，b，的奇偶性进行分类讨论：①若，b，全为奇数或全为偶数；②若，b，既有奇数又有偶数，则必有两个数同为奇数或同为偶数；以此证明无论，b，的奇偶如何组合，代数式，，中至少有一个是整数，即可判断．
【详解】解：∵，b，是整数，
∴分两种情况讨论：
①若，b，全为奇数或全为偶数，则，，均为偶数，
∴，，均为整数.
②若，b，既有奇数又有偶数，根据抽屉原理，必有两个数同为奇数或同为偶数，
设这两数为和，则为偶数，
∴为整数，即三个代数式中至少有一个为整数；
综上，，，中至少有一个是整数．
故选：C．
2．（2025·贵州贵阳·二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（ ）
A．6037 B． C．637 D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解．
【详解】解：个位上的数上有斜线，
这个数是负数，
是横式，不能表示百位数，
表示千位上的数，百位上的数为0，
根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为．
故选B．
3．（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键．
分别用列举法确定为整数的的值，然后取公共部分即可解答．
【详解】解：∵为整数时，
∴可取；
∵为整数时，
∴可取，
∴当为整数时，可取值为共两个．
故选C．
4．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法中，其中错误的有____________个
①0是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤不仅是有理数，而且是分数；
⑥带“”号的数一定是负数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
【答案】6/六
【分析】本题考查了正负数的定义以及有理数的分类，熟练掌握相关概念和有理数分类解题关键．正数比0大，0比负数大；有理数的分类有两种，第一种是整数和分数，第二种是正有理数，0，负有理数．根据正负数的定义以及有理数的分类进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：负整数小于0，故0不是最小的整数，说法①错误；
有理数包括正数、负数和0，故说法②错误；
正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故说法③错误；
非负数就是0和正数，故说法④错误；
不是有理数，故说法⑤错误；
如不是负数，带“”号的数不一定是负数，说法⑥错误；
无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故说法⑦正确；
正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，说法⑧正确．
综上所述，错误的有①②③④⑤⑥．
故答案为：6．分层作业
1.2.1有理数的概念
目 录
A组 巩固过关
基础常考5大题型
题型01 判断是否为有理数 题型04 有理数的分类
题型02 有理数概念辨析 题型05 有理数的综合解答
题型03 0的意义
B组 能力进阶
C组 思维拔高
判断是否为有理数
1．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在，，，，，这六个数中，有理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）在数中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列一组数：，，，，0，，2025，则下列说法正确的是（ ）
A．有理数有6个 B．是正数，不是分数
C．非正数有3个 D．以上都不对
5．（24-25七年级上·河南开封·期末）在，这些数中，有理数有__________个．
有理数概念辨析
6．（25-26七年级上·云南昆明·期末）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数
C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数
7．（25-26六年级上·山东泰安·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（24-25七年级上·四川达州·期末）下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（ ）个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（　　）
A．0既不是整数也不是分数 B．整数和分数统称有理数
C．一个数的绝对值一定是正数 D．绝对值等于它本身的数是,0和1
10．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________．
0的意义
11．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（ ）
A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界”
12．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（ ）个
小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点．
小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读．
小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小．
小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0．
A．2 B．3 C．4
13．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）___________既不是正数，也不是负数，但它是整数．
14．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是_____．
15．下列对“0”的说法正确的个数是________
①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数．
有理数的分类
16．（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨．
(1)正有理数集合；｛____________________…｝
(2)负有理数集合：｛____________________…｝
(3)整数集合：｛____________________…｝
17．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）将下列各数填入对应集合：
，，，，，，，，，
整数集合：｛　　　…｝
分数集合：｛　　　…｝
正数集合：｛　　　…｝
负数集合：｛　　　…｝
18．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）将下列各数填入适当的括号内：
，
正数集合：{ }
整数集合：{ }
负有理数集合：{ }
正分数集合：{ }
19．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）把下列各数分别填在相应的大括号里，将各数用逗号分开∶
．
正数：{_____________________________}；
负分数∶ {____________________________________}
负整数：{______________________}；
整数∶ {____________________________________}
20．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，．
(1)正数集合：{ ...}；
(2)整数集合：{ ...}；
(3)负分数集合：{ ...}．
21．（25-26七年级上·福建泉州·期末）把下列各数填在相应的括号里
，，，，，，，，
整数集合：
分数集合：
有理数集合：
非负整数集合：
22．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合．
(1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______；
(2)请将下列各数填入图中适当的区域内．
，，，，，，，，，
有理数的综合解答
23．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成．
(1)算筹所表示的数是 ．
(2)请用算筹表示下列各数：
(3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个）
24．读完下面这段话，回答问题
我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁．
(1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？
(2)你能将这些数字进行分类吗？
(3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明．
25．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？
(3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？
26．黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”．请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数．
1．（25-26七年级上·河南南阳·期末）在，，，，，中，非负数有（）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2．（25-26七年级上·广东广州·期末）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（ ）
A．，0不是正数
B．，0.41，0，3.14是正数
C．，，0.41，，0，3.14是有理数
D．，是负数
3．（25-26七年级上·广东珠海·期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．正有理数、负有理数统称为有理数
B．非负数就是正数
C．正有理数、负有理数和零统称为有理数
D．有理数包括小数和分数
4．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）学习有理数后，甲、乙两名同学对负数有了新的认识，甲：负数比0小；乙：0不是负数．这两名同学的说法，正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错
5．（25-26七年级上·福建莆田·期中）下列说法正确的是（ ）
A．海拔表示没有海拔
B．有绝对值最大的有理数
C．整式是四次单项式
D．从莆田到厦门的路程一定，行驶的时间与平均速度成反比例关系
6．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）下面对生活中数据的估计，最合适的是（ ）
A．一瓶矿泉水约为500毫升 B．七年级学生1000米跑合格成绩为60秒
C．一张数学试卷的面积约为20平方米 D．一本七年级数学教科书的质量约为15克
7．将下列各数填在相应的集合内.
5，，，，0，2010，，6.2，.
正数集合{ …}；负数集合{ …}；
自然数集合{ …}；整数集合{ …}；
分数集合{ …}；负分数集合{ …}；
非负数集合{ …}；非正整数集合{ …}；
8．（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为________．
9．（25-26七年级上·江西景德镇·期中）将下列各数填入相应的框内：①；②；③（循环）；④；⑤；⑥；⑦；⑧．（填入下面框内，填序号）
（1） （2）
1．（25-26七年级上·福建南平·期末）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ）
A．都是整数 B．都不是整数
C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数
2．（2025·贵州贵阳·二模）我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（ ）
A．6037 B． C．637 D．
3．（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法中，其中错误的有____________个
①0是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤不仅是有理数，而且是分数；
⑥带“”号的数一定是负数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．

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