资源简介

分层作业
1.2.4 绝对值
目 录
A组 巩固过关
基础常考9大题型
题型01 求一个数的绝对值 题型06 利用绝对值的几何意义求最值
题型02 绝对值与数轴 题型07 绝对值的实际应用
题型03 利用绝对值在数轴上比较大小 题型08 绝对值的综合解答
题型04 利用绝对值求字母的值 题型09 绝对值的几何意义解答题压轴
题型05 利用绝对值的非负性求值
B组 能力进阶
C组 思维拔高
拓展 链接中考
求一个数的绝对值
1．（2026·湖南长沙·三模）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查绝对值的基本性质，根据“负数的绝对值等于它的相反数”即可求解．
【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，又，
∴．
2．（2026·安徽合肥·三模）等于（ ）
A．2027 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：．
3．（25-26七年级上·四川南充·期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意；
选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意；
选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意；
选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意．
4．（2026·陕西渭南·二模）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：．
绝对值与数轴
5．（2026·山东淄博·一模）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】A
【分析】根据绝对值的几何意义，离原点越远的点表示的数的绝对值越大，由各点到原点的距离进行判断即可．
【详解】解：观察数轴可知：点M到原点的距离最远，
∴所表示的数的绝对值最大的点是点M．
6．（2026·山东东营·二模）如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（ ）
A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8
【答案】B
【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案．
【详解】解：根据数轴可得：，
∴，
∴可能是1.7．
7．（2026·山西太原·三模）点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可．
【详解】解：观察数轴可知：点P到原点的距离为3，
∴到原点的距离为3．
∴到原点的距离与到原点的距离相等的点是点P．
8．（2026·山东威海·模拟预测）如图，数轴上各点表示的数，绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值表示这个数到原点的距离，即可解题．
【详解】解：由图可知到原点的距离最大，
∴数轴上各点表示的数中绝对值最大的是点．
9．（25-26七年级上·福建福州·期中）实数、、、在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可．
【详解】解：根据图示，可得，，，，
所以这四个数中，绝对值最大的是．
10．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了数轴、用数轴表示有理数等知识点，确定点B表示的数是解题的关键．
由图可得，再由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，，即可得出点B所表示的数为，即可求出点A表示的数．
【详解】解：由点A、B在数轴上的位置可知，，
又∵由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，，
∴点B所表示的数为，
∴点A表示的数是．
故答案为：．
利用绝对值在数轴上比较大小
11．（25-26七年级·全国·暑假作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据数轴可得，且
∴．
12．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知、是有理数，，，且，用数轴上的点来表示，，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的性质及数轴上点的表示，关键是根据绝对值的性质确定、的符号以及它们到原点的距离关系．首先，根据且，可判断出是负数，即在原点左侧；根据且，可判断出是正数，即在原点右侧；再由可知，到原点的距离大于到原点的距离，据此对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵，且，
∴，即表示的点在原点左侧；
∵，且，
∴，即表示的点在原点右侧；
又∵，
∴表示的点到原点的距离大于表示的点到原点的距离．
A、B选项中在原点左侧，与矛盾，错误；
C选项中在原点左侧，在原点右侧，且到原点的距离大于到原点的距离，符合所有条件，正确；
D选项中到原点的距离小于到原点的距离，与矛盾，错误．
故选：C．
13．（25-26七年级上·福建福州·期末）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数轴，求一个数的绝对值，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想．
利用绝对值和相反数求出各值，然后在数轴上表示出各点，利用数轴比较大小即可．
【详解】解：由数轴可得，
在数轴上表示出如下：
∴，
故选：B．
14．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）数轴上表示数a、b的点如图所示．把a、、b、按照从小到大的顺序排列，则正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数和绝对值的意义，根据相反数的意义将，在数轴上表示出来，进而比较大小．
【详解】解：将，在数轴上表示出来，如图，
由数轴上的点表示的数右边的比左边的大，得．
故选：D．
15．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据绝对值的性质可得，，，据此进行判断即可得．
【详解】解：由数轴可知，，，
∴，，则选项C错误；
∴，则选项A错误，选项B正确；
∵，，
∴，则选项D错误；
故选：B．
利用绝对值求字母的值
16．（25-26六年级上·上海青浦·期末）如果，且，那么_________．
【答案】3
【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解，再结合条件筛选符合的解．
【详解】解：由，得或，
解得或，
因为，
所以．
故答案为：3．
17．（25-26七年级上·广西南宁·期末）若，，，则的值为______．
【答案】
或
【分析】本题主要考查了绝对值的意义、求代数式的值，由绝对值的意义可知，，再结合的条件，可知，或，，分别计算的值．
【详解】解： ，，
，，
，
，或，，
当，时，
可得：，
当，时，
可得：．
故答案为：或．
18．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期中）若，且，则_________．
【答案】或
【分析】本题考查绝对值，有理数的乘方运算，有理数的加法运算，根据绝对值的意义，有理数的乘方和加法法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴或；
故答案为：或．
19．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，且，则的值为_____．
【答案】或
【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的运算法则．
根据绝对值的定义，确定a和b的可能取值，结合的条件进行筛选，得到满足条件的两种组合，分别计算的值．
【详解】解：由，
得或，或．
因为，
所以：当时，，或当时，，
当，时，；
当，时，；
因此，的值为或．
故答案为：或．
20．（24-25七年级上·北京·期中）已知：，且，则_______．
【答案】7或
【分析】此题考查了绝对值的性质和有理数的加减运算，根据条件正确确定x和y的值是解题关键．
根据绝对值的意义，可得x和y的可能值，再由可知x与y异号，从而确定x和y的取值组合，进而求解即可．
【详解】解：∵，
∴或；
∵，
∴或．
又∵，
∴x与y异号．
当时，，则；
当时，，则．
故的值为7或．
故答案为：7或．
21．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知，，，则等于__________．
【答案】5或1
【分析】本题考查的是绝对值的含义，求解代数式的值，根据绝对值的性质，由，，可得，．再根据，可得．从而确定x和y的值，进而求出的值．
【详解】解：∵，，
∴，．
∵，
∴，即．
当，时，，不符合题意，舍去，
当时，或．
当，时，；
当，时，．
∴的值为5或1．
故答案为：5或1．
22．（1）若，则______， _______．
（2）若，则_____， _____．
【答案】 0 0 6 0
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴
∴．
利用绝对值的非负性求值
23．（25-26七年级上·四川内江·期末）若 ，则的值为___________．
【答案】1
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求代数式的值．根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项均为零，由此可求出x和y的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵ 且，
∴ ，
∴，
解得，
∴ ．
故答案为：1．
24．（25-26六年级上·上海·期末）已知，则_________，_________．
【答案】 1 /
【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，且，
∴，
解得，
解得，
故答案为：．
25．已知，则__________．
【答案】9
【分析】本题考查的是非负数的性质，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值均为零，从而求出和的值，再计算的值．
【详解】解：∵，
∴ 且，
解得：，．
则．
故答案为：9
26．若，则的值为_____________
【答案】6
【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分都为零，求出 x， y，z的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵，，，且，
∴，，，
∴，，，
解得：，，，
∴．
故答案为：6．
27．已知 ，
(1)求的值．
(2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数．
【答案】(1)5
(2)画图见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为，
则，
当时，，；
当时，，方程无解；
当时，，；
∴到a、b两数距离之和为4的数为或．
利用绝对值的几何意义求最值
28．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离．
【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离，
∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，
当时，有最小值，为．
29．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________．
【答案】8
【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值．
式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值．
【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离，
∴式子表示的是一个数到和的距离的和，
∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小，
和间的距离为，
的最小值为，
故答案为：．
30．（25-26七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）．
（1）求___；
（2）的最小值是___．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可；
（2）根据绝对值的几何意义，分成、、三种情况分别讨论即可．
【详解】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离，
∴，
故答案为：．
（2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和，
当时，则，，
∴
∵，
∴；
当时，则，，
∴；
当时，则，，
∴，
∵，
∴；
∴的最小值为，
故答案为：．
31．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______．
【答案】或1/1或
【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解．
【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即．
已知最小值为3，因此，
即或，
解得或．
故答案为或1．
32．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）由绝对值的定义可知表示数轴上表示数的点到原点的距离，表示数轴上表示数的点到1的距离，根据以上信息可求出方程的解为____________．
【答案】或
【分析】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上点的距离），解题的关键是根据绝对值的几何意义，分区间去掉绝对值符号求解方程．
根据绝对值的几何意义， 分、、三个区间去掉绝对值符号， 分别解方程， 舍去无解的区间， 得到方程的解．
【详解】解：表示数轴上表示数的点到2和的距离之和为10．
当时， 方程化为，
解得；
当时， 距离和为，
无解；
当时， 方程化为，
解得．
故答案为：或
绝对值的实际应用
33．（24-25七年级上·山西临汾·期末）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表：
试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
超过或不足长度/mm
(1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？
(2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由．
【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧
(2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析
【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键．
（1）根据相反数的定义即可得到答案；
（2）根据绝对值的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧
（2）解：最接近规格的是⑦号试管．
理由：，，，，．
因为，所以最接近规格的是⑦号试管．
34．（25-26七年级上·全国·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：
篮球编号 1 2 3 4 5
与标准质量的差/
(1)几号篮球最接近标准质量？
(2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？
【答案】(1)3号篮球最接近标准质量
(2)的篮球的质量好一些
【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键．
（1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近；
（2）利用绝对值比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴3号篮球最接近标准质量．
（2）解：∵，
∴结果为的篮球的质量好一些．
35．（25-26七年级上·山西临汾·期中）已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下：
序号 1 2 3 4 5
直径长度/mm
(1)试指出哪件样品的大小最符合要求
(2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品
【答案】(1)第4件样品最符合标准
(2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品
【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解；
（2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品．
本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴第4件样品的大小最符合要求；
（2）解：∵，，
∴第1，2，4件样品是正品；
∵，，
∴第3件样品为次品；
∵，
∴第5件样品为废品．
36．（25-26七年级上·全国·期末）某仓库一周进出货物的吨数记录如下（“+”表示进库，“-”表示出库）：．
(1)经过这一周，仓库里的货物是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？
(2)如果进出货物的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？
【答案】(1)仓库的货物减少了，减少了32吨
(2)这一周要付1340元装卸费
【分析】此题考查了有理数的运算的应用，正负数的应用，理解题意是解题关键．
（1）把记录的结果相加求和，根据结果的符号求解即可；
（2）用这7天货物进出库的总吨数乘以每吨装卸费10元进行求解．
【详解】（1）解：
因此，仓库的货物减少了，减少了32吨；
（2）解：
，
（元），
因此，这一周要付1340元装卸费．
37．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．单位：．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
(1)在第几次记录时距A地最远？
(2)若汽车行驶每千米耗油0.3升，问从A地出发，检修结束后再回到A地共耗油多少升？
【答案】(1)第五次
(2)10.2升
【分析】本题考查了有理数的加法、正数和负数的实际应用及绝对值的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则、正负数的意义、绝对值的意义，即可解决问题．
（1）分别写出各次记录时距离A地的距离，然后判断即可；
（2）把所有行驶记录的绝对值相加再加上回到A地的1千米的和，乘以0.3计算即可得解．
【详解】（1）解：第一次距A地千米；
第二次：千米；
第三次：千米；
第四次：千米；
第五次：千米；
第六次：千米；
第七次：千米．
∴第五次记录时离A地最远；
（2）解：从出发到收工汽车行驶的总路程：
（），
从出发到回到A地共耗油：（升）．
答：从出发到收工共耗油10.2升．
38．尊师重教是我国的传统美德．在教师节这天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师．规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程（单位：）如下：，，，，，
(1)小王接送教师这天出租车的总行程是多少千米？
(2)若出租车每千米耗油，则小王接送教师这天共耗油多少升？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加法与乘法的实际应用．
（1）把记录数据的绝对值相加即可得到答案．
（2）由总路程乘以单位耗油量即可得到答案．
【详解】（1）解：
答：小王接送教师这天出租车的总行程是
（2）解：
答：小王接送教师这天共耗油
绝对值的综合解答
39．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是．
(1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________；
(2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来．
2.5，，，．
【答案】(1)；4；
(2)，
【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数；
（2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可．
【详解】（1）略
（2）略
40．（25-26七年级上·全国·期中）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题：
(1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ；
(2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数．
【答案】(1)；
(2)5；点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为．
【分析】本题考查数轴、相反数、绝对值，解答关键是确定原点的位置．
（1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等确定原点位置求解即可；
（2）同（1）方法确定原点位置，再根据各点的位置即可求解．
【详解】（1）解：∵点A、B表示的数是互为相反数，
∴原点为线段的中点，
∵点C在原点左边一格位置，
∴点C表示的数是，
故答案为：；
（2）解：∵点B、E表示的数是互为相反数，
∴原点为线段中点，即为点C，
点D距离点C5个单位，
∴点D表示的数的绝对值为5；
此时点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为．
故答案为：5．
41．（25-26七年级上·甘肃定西·期末）已知a是最大的负整数，b、c满足，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
(1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，点C表示的数为______．
(2)若动点P以每秒3个单位长度从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q以每秒1个单位长度同时从点B出发沿数轴负方向运动．设运动时间为t秒时，点P，点Q之间的距离为3，求点P、C两点之间的距离．
【答案】(1)；3；
(2)或
【分析】本题考查负整数，绝对值和平方的非负性，两点间的距离．
（1）由最大负整数的定义求出a，根据绝对值和平方的非负性求出b，c，即可解答；
（2）当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P与点Q的距离为3得到，求解得到t的值，从而得到点P所表示的数，再根据两点间距离公式即可求解．
【详解】（1）解：∵a是最大的负整数，
∴．
∵，，且，
∴，，
∴，，
∴点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为．
故答案为：；3；．
（2）解：当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵点P，点Q之间的距离为3，
∴，
解得或，
当时，点P表示的数，
∴点P、C两点之间的距离为；
当时，点P表示的数，
∴点P、C两点之间的距离为；
综上所述，点P、C两点之间的距离为或．
42．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上点表示的数分别为，其中，是最大的负整数，满足，
(1)求的值；
(2)若将点向左移动个单位长度后与点的距离为2，求的值．
【答案】(1)或1
(2)的值为8或12或14或18
【分析】本题主要考查了绝对值、有理数乘方、数轴上两点之间的距离等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）根据绝对值、有理数乘方、负数的性质即可解答；
（2）由（1）可得或1，然后分和两种情况，分别根据点向左移动个单位长度后与点的距离为2，列绝对值方程求解即可．
【详解】（1）解：，
是最大的负整数，
，
，
或，
或．
或1．
（2）解：点向左移动个单位长度后与点的距离为2，
，即，
当时，，即，
或，
或；
当时，，即，
或，
或．
综上，的值为8或12或14或18．
43．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题：
(1)点，，表示的数分别为 ， ， ；
(2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ；
(3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ；
(4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ．
【答案】(1)，，
(2)，，
(3)5
(4)或
【分析】本题考查了数轴上的点，相反数的定义．
（1）直接根据数轴作答即可；
（2）直接根据相反数的定义作答即可；
（3）先求出点所表示的数，再求其相反数即可；
（4）先求出点所表示的数，再求其绝对值即可．
【详解】（1）解：点，，表示的数分别为，，；
故答案为：，，；
（2）解：点，，表示的数的相反数分别为，，；
故答案为：，，；
（3）解：将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是；
故答案为：；
（4）解：将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是．
将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是．
故答案为：或．
绝对值的几何意义解答题压轴
44．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ；
(2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ；
(3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ；
【答案】(1)，
(2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1
(3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或
【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可．
【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8；
（2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，
若，则或；
（3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或．
45．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题：
【初步应用】
（1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______；
②若，则______；
【深入探究】
（2）求的最小值．以下是小明的解答过程：
解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离．
当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，．
∴，即．
当点P在线段上，即时，如图②，此时．
即，
当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，．
∴，即．
∴当时，有最小值，最小值为5．
请根据小明的解答过程，完成下列问题：
求式子的最小值．
【解决问题】
（3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？
【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层
【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案；
②根据绝对值几何意义解答即可；
（2）根据绝对值几何意义分类讨论即可；
（3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可．
【详解】解：（1）①由条件可知距离是．
故答案为：5．
②表示数轴上表示a的点到5的距离为3，
∴或，
解得：或，
故答案为：8或2．
（2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离．
当点P在点A的左边，即时，此时，，．
∴，即；
当点P与点A重合时，，即；
当点P在线段上，即时，此时，．
∴，即；
当点P与点B重合时，，即；
当点P在线段上，即时，此时，．
∴，即；
当点P与点C重合时，，即；
当点P在点C的右边时，即时，此时，，．
∴，即．
∴当时，有最小值，最小值为5．
故答案为：5．
（3）设会议地点应设在第x层，
由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为，
可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5，
∴当时，有最小，
又∵x为正整数，
∴当或时有最小．
故答案为：会议地点应设在第4或5层．
46．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题：
(1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______；
(2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值；
(3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或，图见解析
(3)当时，的值最大，最大值为
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果；
（2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可；
（3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可．
【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是，
∴A，B两点之间的距离是；
（2）解：∵，
∴或，
∴或，
在数轴上标记x所在的位置如图所示：
（3）解：当时，，
当时，，此时，
当时，，
∴当时，的值最大，最大值为．
47．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ；
（2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ；
（3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值；
（4）对于任意有理数x，则的最小值是 ．
【答案】（1）2（2）或2；（3）7；（4）3
【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据数轴上两点间距离公式解答即可；
（3）由绝对值的几何意义可知式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，进而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解；
（4）由绝对值的几何意义可知式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，当表示x的点位于3和6之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解．
【详解】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，
由题意得，，
故答案为：2；
（2）由题意得，，
即，
解得或，
故答案为：或2；
（3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），
∵，
∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，
当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为，
即的值为7；
（4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，
当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小，
此时最小值为，
故答案为：3．
48．阅读下列材料并解决问题：
数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)与3的距离是_________；
(2)式子的最小值是多少？
(3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小．
【答案】(1)5
(2)5
(3)到之间（包括，两点）
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想．
（1）根据题意，直接列式计算即可；
（2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案；
（3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：5．
（2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，
数轴如下，
∴当时，式子取得最小值，最小值为．
（3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．
当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．
那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小．
故答案为：到之间（包括，两点）．
1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，
∴ ．
2．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（ ）
A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定
【答案】B
【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系．
【详解】解：∵，
又∵，且a是负数，
∴，
∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确．
3．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，在不完整的数轴上，从左到右的点，，，分别表示有理数，，，，，．若，则绝对值最大的数对应的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的应用，数形结合并找出原点的位置是解题的关键．
由题意可得原点在，之间，则绝对值最大的是点表示的数．
【详解】由数轴得，，
又，
，．
原点在，之间．
，，
，，，．
最大．
∴绝对值最大的数对应的点是点A．
故选：A．
4．（25-26七年级上·全国·期末）若，，且m，n异号，则的值为（　　）．
A．7或 B．3或 C．或7 D．3或
【答案】D
【分析】本题考查绝对值和有理数的加法，
根据绝对值的意义，m和n各有两种取值，但需满足异号条件，故只有两种组合，分别计算和即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∵，
∴或，
又∵ m 和n 异号，
∴ 当时，，则，
当时，，则，
∴的值为 3 或 ．
故选：D．
5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、c，且，，则下列结论中①；②；③；④中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
根据图示，可得，结合已知条件，，据此逐项判定即可．
【详解】解：由题意可知，，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
∴正确的有3个；
故选：C．
6．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层．
【答案】2
【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题．
会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可．
【详解】解：设会议地点在第层，
则总距离，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
可知当时，总距离最短，
故会议地点应设在第2层．
故答案为：2．
7．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）已知、、在数轴上的位置如图所示，化简______．
【答案】0
【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号、化简绝对值、整式的加减运算等，解题的关键是根据a、b、c在数轴上的位置得出，．根据a、b、c在数轴上的位置判断出，得出，，去绝对值，再合并同类项即可．
【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知：，
∴，，
∴
．
故答案为：0．
8．（2025七年级上·全国·专题练习）已知两个非零有理数x，y满足，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值，根据条件方程，分析和 的值只能为1或，且它们的和为零，说明两者符号相反，从而推断x和y的符号关系，进而计算出的值，即可作答．
【详解】解：∵，
∴和互为相反数．
当，则，
即，
∴，
∴；
当，则，
即，
∴，
∴；
故答案为：
9．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3．
(1)_____，_____．
(2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来．
【答案】(1)2，
(2)数轴见解析，
【分析】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值；
（2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可．
【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3，
∴，；
（2）解：，，，
在数轴上表示各数，如图：
用“”连接各数为：．
10．（2025七年级上·全国·专题练习）某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下(单位：：，，，，，，，．
(1)收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？
(2)若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程；
(3)在A地东侧处有一个广告牌，小队在这次的检修中有　　次经过这个广告牌．
【答案】(1)收工时，小队在A地正东方，距离A地
(2)总路程为
(3)2
【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加减运算的实际应用，绝对值的意义，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）将从A地出发到收工时行走记录相加，根据计算的结果和题中规定的正方向即可确定出检修小队在A地的哪一边以及距离A地的距离；
（2）把记录的数的绝对值相加，求出总路程即可．
（3）求出每次离A地的距离，判断即可．
【详解】（1）解：将从A地出发到收工时行走记录相加：
（），
答：收工时，小队在A地正东方，距离A地；
（2）解：若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地总路程为：
（），
答：总路程为；
（3）解：第一次离A地正西，
，第二次离A地正东，
，第三次离A地正东，
，第四次离A地正东，第一次经过这个广告牌；
，第五次离A地正东，
，第六次离A地正东，
，第七次离A地正东，
，第八次离A地正东，第二次经过这个广告牌．
故共2次经过这个广告牌．
故答案为：2．
11．（25-26七年级上·山西晋中·期末）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
幸福中心 【概念理解】定义：在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． 【问题解决】 （1）若点A表示的数是，则点A的“幸福点”点C表示的数是________； （2）已知点M表示的数是m，点N表示的数是n，且，．若点C为点M，N的“幸福中心”，求出点C表示的数．
【答案】（1）或2；（2）点表示的数是或
【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点间的距离，解绝对值方程，熟练掌握解方程是解题的关键．
（1）设点C表示的数是，根据题意，得，解绝对值方程即可；
（2）设点C表示的数是，根据题意，得，解绝对值方程即可．
【详解】解：（1）设点C表示的数是，根据题意，得，
故或，
解得或，
故答案为：或2；
（2）解：设点C表示的数是，由题意得，点表示的数是，点表示的数是2，
由点C为点M，N的“幸福中心”，得，
故，
当时，化简，得，
解得，此时点表示的数为，
当时，化简，得，
解得，此时点表示的数为，
当时，化简得，此时不成立，
综上所述，点表示的数是或．
1．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了代数式、数轴和绝对值，运用数轴的性质和绝对值的性质是关键．①③根据数轴列代数式，进行加减判断即可；②④根据绝对值判断即可．
【详解】解：设相邻两点间的距离为．
若，则，
，
，
解得：．
．
故①说法正确；
若，
数的绝对值从到先大后小，
原点在中点的右边，中点的左边．
故②的说法不符合题意；
设对应，则对应，对应，
若，
即
点是原点．
故③说法正确；
若原点在，之间并且临近点时，有．
故④的说法不符合题意．
综上，正确的说法有①③．
故选：B．
2．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则为负数 B．一定是正数
C．若，则 D．若，则是正数
【答案】B
【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键．
根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可．
【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误；
B．由，则，故一定是正数，B正确；
C．由时，或，故不一定相等，C错误；
D．例如，，但，故不一定是正数，D错误．
故选B．
3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）若，，且，则的值是（ ）
A．或2 B．或12 C．或 D．12或2
【答案】D
【分析】本题考查了求代数式的值、绝对值，由，得到，，由得到，进而得到且，再分2种情况讨论即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴且，
当，时，；
当，时，；
∴综上，的值是12或2．
故选：D．
4．（2022七年级上·重庆涪陵·竞赛）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________．
【答案】
【分析】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可．
【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，
∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小，
那么当时，，
∴式子的最小值是．
5．（25-26七年级上·四川乐山·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为．
（1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______；
（2）若，则x的值为_______．
【答案】 5 或3
【分析】此题考查了绝对值的几何意义，注意分类讨论是解题的关键．
（1）根据题干公式即可解答；
（2）表示到的距离，表示到的距离，分类讨论，即或，分别求得的值即可．
【详解】（1）解：M、N两点间的距离为；
故答案为：；
（2）解：表示到的距离，表示到的距离，
当在左边，即时，
；
当在右边，即时，
；
故答案为：或．
6．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若，且，则的值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的性质，数轴上两点距离公式，正确求出b的值是解题的关键．先根据题意得到，再结合已知条件求出，则．
【详解】解：由题意得，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
7．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知、在数轴上分别表示、
(1)对照数轴填写下表：
6 2
4 0 4
、两点的距离 2 6 0
(2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______．
(3)如果的和最小时，整数有______．
(4)当为______时，代数式的最小值是7．
(5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；
【答案】(1)；；
(2)；
(3)；
(4)或；
(5)有最大值和最小值
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析．
（1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离；
（2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系；
（3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可；
（4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值；
（5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值．
【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为；
当，时，、两点的距离为；
故答案为：；；
（2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：；
（3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：；
（4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，
当在这两点之间时，距离之和最小，
最小值为，
则或，解得或；
故答案为：或；
（5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离．
①当点在的左侧，
，，
；
②当点在与之间（包含端点），
，，
，
此时；
③当点在的右侧，
，，
．
综上，式子有最值，最大值为，最小值为．
8．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．

(1)求，的值；
(2)，两点相距多少个单位长度？
(3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数；
(4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或；
(4)．
【分析】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键．
（）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得；
（）根据数轴上两点间的距离公式即可得；
（）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可；
（）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，且由数轴可知，，
∴，；
（2）解：，
∴，两点相距个单位长度；
（3）解：设点表示的数为，
∴，，
∵点到点的距离是点到点的距离的，
∴，
∴或，
解得：或，
∴点表示的数为或；
（4）解：
，
所以操作次后，点表示的数为．
1．（2026·甘肃武威·中考真题）2026的绝对值是（ ）
A．2026 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可得．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
2．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先由数轴得，，且，再逐项分析即可．
【详解】解：由数轴得，，且
∴，，
故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，
故选：D．
3．（2025·安徽·中考真题）计算：________．
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．分层作业
1.2.4 绝对值
目 录
A组 巩固过关
基础常考9大题型
题型01 求一个数的绝对值 题型06 利用绝对值的几何意义求最值
题型02 绝对值与数轴 题型07 绝对值的实际应用
题型03 利用绝对值在数轴上比较大小 题型08 绝对值的综合解答
题型04 利用绝对值求字母的值 题型09 绝对值的几何意义解答题压轴
题型05 利用绝对值的非负性求值
B组 能力进阶
C组 思维拔高
拓展 链接中考
求一个数的绝对值
1．（2026·湖南长沙·三模）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·安徽合肥·三模）等于（ ）
A．2027 B． C． D．
3．（25-26七年级上·四川南充·期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
4．（2026·陕西渭南·二模）计算：（ ）
A． B． C． D．
绝对值与数轴
5．（2026·山东淄博·一模）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（）
A．M B．N C．P D．Q
6．（2026·山东东营·二模）如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（ ）
A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8
7．（2026·山西太原·三模）点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·山东威海·模拟预测）如图，数轴上各点表示的数，绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26七年级上·福建福州·期中）实数、、、在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________．
利用绝对值在数轴上比较大小
11．（25-26七年级·全国·暑假作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知、是有理数，，，且，用数轴上的点来表示，，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（25-26七年级上·福建福州·期末）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）数轴上表示数a、b的点如图所示．把a、、b、按照从小到大的顺序排列，则正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
15．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
利用绝对值求字母的值
16．（25-26六年级上·上海青浦·期末）如果，且，那么_________．
17．（25-26七年级上·广西南宁·期末）若，，，则的值为______．
18．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期中）若，且，则_________．
19．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，且，则的值为_____．
20．（24-25七年级上·北京·期中）已知：，且，则_______．
21．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知，，，则等于__________．
22．（1）若，则______， _______．
（2）若，则_____， _____．
利用绝对值的非负性求值
23．（25-26七年级上·四川内江·期末）若 ，则的值为___________．
24．（25-26六年级上·上海·期末）已知，则_________，_________．
25．已知，则__________．
26．若，则的值为_____________
27．已知 ，
(1)求的值．
(2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数．
利用绝对值的几何意义求最值
28．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______．
29．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________．
30．（25-26七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）．
（1）求___；
（2）的最小值是___．
31．（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______．
32．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）由绝对值的定义可知表示数轴上表示数的点到原点的距离，表示数轴上表示数的点到1的距离，根据以上信息可求出方程的解为____________．
绝对值的实际应用
33．（24-25七年级上·山西临汾·期末）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表：
试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
超过或不足长度/mm
(1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？
(2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由．
34．（25-26七年级上·全国·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：
篮球编号 1 2 3 4 5
与标准质量的差/
(1)几号篮球最接近标准质量？
(2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？
35．（25-26七年级上·山西临汾·期中）已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下：
序号 1 2 3 4 5
直径长度/mm
(1)试指出哪件样品的大小最符合要求
(2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品
36．（25-26七年级上·全国·期末）某仓库一周进出货物的吨数记录如下（“+”表示进库，“-”表示出库）：．
(1)经过这一周，仓库里的货物是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？
(2)如果进出货物的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？
37．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．单位：．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
(1)在第几次记录时距A地最远？
(2)若汽车行驶每千米耗油0.3升，问从A地出发，检修结束后再回到A地共耗油多少升？
38．尊师重教是我国的传统美德．在教师节这天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送教师．规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程（单位：）如下：，，，，，
(1)小王接送教师这天出租车的总行程是多少千米？
(2)若出租车每千米耗油，则小王接送教师这天共耗油多少升？
绝对值的综合解答
39．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是．
(1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________；
(2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来．
2.5，，，．
40．（25-26七年级上·全国·期中）如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题：
(1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ；
(2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数．
41．（25-26七年级上·甘肃定西·期末）已知a是最大的负整数，b、c满足，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
(1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，点C表示的数为______．
(2)若动点P以每秒3个单位长度从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q以每秒1个单位长度同时从点B出发沿数轴负方向运动．设运动时间为t秒时，点P，点Q之间的距离为3，求点P、C两点之间的距离．
42．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知数轴上点表示的数分别为，其中，是最大的负整数，满足，
(1)求的值；
(2)若将点向左移动个单位长度后与点的距离为2，求的值．
43．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题：
(1)点，，表示的数分别为 ， ， ；
(2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ；
(3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ；
(4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ．
绝对值的几何意义解答题压轴
44．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ；
(2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ；
(3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ；
45．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题：
【初步应用】
（1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______；
②若，则______；
【深入探究】
（2）求的最小值．以下是小明的解答过程：
解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离．
当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，．
∴，即．
当点P在线段上，即时，如图②，此时．
即，
当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，．
∴，即．
∴当时，有最小值，最小值为5．
请根据小明的解答过程，完成下列问题：
求式子的最小值．
【解决问题】
（3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？
46．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题：
(1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______；
(2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值；
(3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
47．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ；
（2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ；
（3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值；
（4）对于任意有理数x，则的最小值是 ．
48．阅读下列材料并解决问题：
数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)与3的距离是_________；
(2)式子的最小值是多少？
(3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小．
1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（ ）
A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定
3．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，在不完整的数轴上，从左到右的点，，，分别表示有理数，，，，，．若，则绝对值最大的数对应的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．（25-26七年级上·全国·期末）若，，且m，n异号，则的值为（　　）．
A．7或 B．3或 C．或7 D．3或
5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、c，且，，则下列结论中①；②；③；④中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层．
7．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）已知、、在数轴上的位置如图所示，化简______．
8．（2025七年级上·全国·专题练习）已知两个非零有理数x，y满足，则的值为__________．
9．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3．
(1)_____，_____．
(2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来．
10．（2025七年级上·全国·专题练习）某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下(单位：：，，，，，，，．
(1)收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？
(2)若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程；
(3)在A地东侧处有一个广告牌，小队在这次的检修中有　　次经过这个广告牌．
11．（25-26七年级上·山西晋中·期末）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
幸福中心 【概念理解】定义：在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． 【问题解决】 （1）若点A表示的数是，则点A的“幸福点”点C表示的数是________； （2）已知点M表示的数是m，点N表示的数是n，且，．若点C为点M，N的“幸福中心”，求出点C表示的数．
1．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④
2．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则为负数 B．一定是正数
C．若，则 D．若，则是正数
3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）若，，且，则的值是（ ）
A．或2 B．或12 C．或 D．12或2
4．（2022七年级上·重庆涪陵·竞赛）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________．
5．（25-26七年级上·四川乐山·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为．
（1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______；
（2）若，则x的值为_______．
6．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若，且，则的值为________．
7．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知、在数轴上分别表示、
(1)对照数轴填写下表：
6 2
4 0 4
、两点的距离 2 6 0
(2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______．
(3)如果的和最小时，整数有______．
(4)当为______时，代数式的最小值是7．
(5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；
8．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．

(1)求，的值；
(2)，两点相距多少个单位长度？
(3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数；
(4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数．
1．（2026·甘肃武威·中考真题）2026的绝对值是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽·中考真题）计算：________．

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