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北师大版六年级数学上册讲义
第三单元3.5花坛的周长（6个考点）（讲义）
考点1：圆的周长公式与环形小路的概念理解
【核心知识】
1.圆的周长公式：已知半径，周长；已知直径，周长。小学阶段计算时通常取近似值3.14。
2.环形小路的概念：在圆形物体四周修建环形小路，小路的宽度 = 外圆半径 - 内圆半径，即。
3.易错点：路宽是半径的增加量，不是直径的增加量；直径的总增加量是路宽的2倍。
【方法点拨】
1.审题时先圈出“路宽×米”，明确它对应半径的增量。
2.求外圆直径时，左右两侧各增加一个路宽，总增量为。
3.基础题可以先求外半径，再代入周长公式计算总周长。
【典型例题】
例：一个圆形喷水池的半径是6米，在它周围修1米宽的鹅卵石步道。步道外侧大圆的半径和周长分别是多少？
【分析】
本题是环形小路的基础题。步道宽度就是外圆半径比内圆半径增加的长度。已知内圆半径和路宽，直接相加得到外圆半径，再代入圆的周长公式计算即可。注意周长公式选择C = 2πr。
【详解】
外圆半径 = 内圆半径 + 路宽 = 6 + 1 = 7（米）
外圆周长 = 2 × 3.14 × 7 = 43.96（米）
【答案】
步道外侧大圆的半径是7米，周长是43.96米。
【对应练习】
1.圆形花坛半径4米，周围修1米宽小路，外圆半径是（ ）米。
【分析】
外圆半径等于内圆半径（花坛半径）加上小路宽度。
【详解】
4 + 1 = 5（米）
【答案】
5
2.圆形草坪直径10米，四周加2米宽花带，外圆直径是（ ）米。
【分析】
路宽是半径的增加量，直径的增加量是路宽的2倍。已知内圆直径和路宽，外圆直径 = 内圆直径 + 路宽×2。
【详解】
外圆直径 = 10 + 2×2 = 14（米）
【答案】
14
3.判断：圆形周围修3米宽的路，直径就增加3米。（ ）
【分析】
路宽是半径的增加量。直径增加量 = 路宽×2 = 3×2 = 6米，而不是3米。
【详解】
直径增加量 = 3×2 = 6（米），所以“直径增加3米”是错误的。
【答案】
×
4.环形跑道内圈半径25米，跑道宽2米，外圈半径是多少米？
【分析】
跑道宽度就是外圈半径比内圈半径增加的长度。直接用内圈半径加跑道宽度。
【详解】
外圈半径 = 25 + 2 = 27（米）
【答案】
27米
5.圆形水池周长31.4米，周围修1米宽的水泥路，水泥路外侧的周长是多少米？
【分析】
已知内圆周长，先求出内圆半径；再计算外圆半径（内圆半径+路宽）；最后求外圆周长。
【详解】
内圆半径 = 31.4 ÷ 3.14 ÷ 2 = 5（米）
外圆半径 = 5 + 1 = 6（米）
外圆周长 = 2 × 3.14 × 6 = 37.68（米）
【答案】
37.68米
6.一个圆的半径增加2分米，它的直径增加多少分米？
【分析】
直径 = 半径×2，半径增加a，直径增加2a。
【详解】
直径增加量 = 2×2 = 4（分米）
【答案】
4分米
考点2：假设法探究半径变化对周长的影响
【核心知识】
1.假设法：当题目没有给出原始半径的具体数值时，可以假设2-3组不同的原始半径，分别计算变化前后的周长，再求差值，通过多组数据验证规律。
2.探究结论：半径增加相同长度时，周长的增加量是固定的，与原来圆的半径大小无关。
3.数学意义：从特殊例子出发归纳普遍规律，是数学探究的常用方法。
【方法点拨】
1.假设的半径尽量选简单整数，方便计算，比如2米、5米、10米。
2.每组都按“原周长→新半径→新周长→求差值”的步骤计算。
3.多组结果一致时，才能归纳出普遍规律。
【典型例题】
例：用假设法验证：圆的半径增加2米，周长的增加量和原半径无关。
【分析】
本题需要用假设法，即选取两个不同的原始半径，分别计算周长增加了多少，通过比较得出结论。假设的半径应简单易算。
【详解】
假设圆①半径为1米：
原周长 = 2 × 3.14 × 1 = 6.28（米）
新半径 = 1 + 2 = 3（米）
新周长 = 2 × 3.14 × 3 = 18.84（米）
周长增加 = 18.84 - 6.28 = 12.56（米）
假设圆②半径为5米：
原周长 = 2 × 3.14 × 5 = 31.4（米）
新半径 = 5 + 2 = 7（米）
新周长 = 2 × 3.14 × 7 = 43.96（米）
周长增加 = 43.96 - 31.4 = 12.56（米）
两组数据中，半径增加2米，周长都增加12.56米，与原来半径的大小无关。
【答案】
半径增加2米，周长增加12.56米，与原来半径无关。
【对应练习】
1.判断：通过2组不同半径计算，半径增加1米周长都增加6.28米，就能说明这个规律永远成立。（ ）
【分析】
2组数据只能作为归纳的初步证据，但不能证明“永远成立”。数学上的严格证明需要用到字母推导（考点3）。题目问的是“能否说明永远成立”，答案是否定的。
【详解】
两组数据只是特例，不能代表所有情况。
【答案】
×
2.假设圆的半径分别是2厘米和5厘米，分别计算半径增加1厘米后的周长增量，写出你的发现。
【分析】
按要求用假设法分别计算两组数据的周长增量，再比较。
【详解】
半径2厘米时：
原周长 = 2×3.14×2 = 12.56（厘米）
新半径 = 3厘米，新周长 = 2×3.14×3 = 18.84（厘米）
增量 = 18.84 - 12.56 = 6.28（厘米）
半径5厘米时：
原周长 = 2×3.14×5 = 31.4（厘米）
新半径 = 6厘米，新周长 = 2×3.14×6 = 37.68（厘米）
增量 = 37.68 - 31.4 = 6.28（厘米）
发现：半径都增加1厘米，周长增量相同，都是6.28厘米，与原来的半径大小无关。
【答案】
发现：半径增加1厘米，周长都增加6.28厘米，与原来半径无关。
3.小明说“圆越大，半径增加1米，周长增加得越多”，请用假设法判断他的说法是否正确。
【分析】
用假设法选取一大一小两个圆，分别计算半径增加1米后的周长增量，进行比较。
【详解】
假设小圆半径1米：
原周长 = 2×3.14×1 = 6.28（米）
新半径 = 2米，新周长 = 2×3.14×2 = 12.56（米）
增量 = 12.56 - 6.28 = 6.28（米）
假设大圆半径10米：
原周长 = 2×3.14×10 = 62.8（米）
新半径 = 11米，新周长 = 2×3.14×11 = 69.08（米）
增量 = 69.08 - 62.8 = 6.28（米）
两个圆半径增加1米，周长增加量一样，都是6.28米。
【答案】
小明的说法不正确。半径增加1米，周长增加量都是6.28米，与原半径大小无关。
4.要验证“直径增加3厘米，周长增加9.42厘米”，请写出两组假设验证的过程。
【分析】
假设两个不同的直径（或半径），分别增加3厘米直径，计算周长增量。
【详解】
验证组1：设原直径4厘米（半径2厘米）
原周长 = 3.14×4 = 12.56（厘米）
新直径 = 4+3=7厘米，新周长 = 3.14×7 = 21.98（厘米）
增量 = 21.98 - 12.56 = 9.42（厘米）
验证组2：设原直径10厘米（半径5厘米）
原周长 = 3.14×10 = 31.4（厘米）
新直径 = 10+3=13厘米，新周长 = 3.14×13 = 40.82（厘米）
增量 = 40.82 - 31.4 = 9.42（厘米）
【答案】
两组验证都表明直径增加3厘米，周长增加9.42厘米。
5.探究：圆的半径扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的几倍？用假设法验证。
【分析】
注意“扩大到原来的2倍”不同于“增加”。假设具体半径计算原周长和新周长，再求倍数。
【详解】
假设原半径 = 3米：
原周长 = 2×3.14×3 = 18.84（米）
新半径 = 3×2 = 6（米）
新周长 = 2×3.14×6 = 37.68（米）
37.68 ÷ 18.84 = 2
假设原半径 = 5米：
原周长 = 2×3.14×5 = 31.4（米）
新半径 = 5×2 = 10（米）
新周长 = 2×3.14×10 = 62.8（米）
62.8 ÷ 31.4 = 2
【答案】
圆的半径扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍。
6.假设正方形边长分别是4厘米和9厘米，边长增加2厘米，周长增量分别是多少？你有什么发现？
【分析】
正方形周长=4×边长。用假设法计算两种情况的周长增量，再归纳。
【详解】
边长4厘米时：
原周长 = 4×4 = 16（厘米）
新边长 = 4+2=6（厘米），新周长 = 4×6=24（厘米）
增量 = 24-16=8（厘米）
边长9厘米时：
原周长 = 4×9 = 36（厘米）
新边长 = 9+2=11（厘米），新周长 = 4×11=44（厘米）
增量 = 44-36=8（厘米）
发现：正方形边长增加2厘米，周长增量都是8厘米，与原边长无关。
【答案】
增量都是8厘米。发现：正方形边长增加相同长度，周长增加量也固定，与原边长无关。
考点3：字母推导周长增量规律与易错辨析
【核心知识】
1.标准推导过程：
设原半径为，半径增加量为
原周长，新周长
周长增量
2.结论：化简后原半径被消去，严格证明周长增量只与半径增加量有关，与原半径无关。
3.常见错误：运用乘法分配律时漏乘，例如错误展开，忽略了1也要乘。
【方法点拨】
1.推导时先明确字母的含义，再分别表示变化前后的周长。
2.利用乘法分配律展开后再相减化简，观察哪些量被消去。
3.判断错误解法时，对照乘法分配律检查每一项是否都乘了公因数。
【典型例题】
例：下面是两位同学计算“半径增加1米的周长增量”的过程，请判断对错并改正错误的。
甲：（米）
乙：（米）
【分析】
主要考察乘法分配律的运用。甲正确地将2π分别乘r和1；乙错误，漏乘了2π，只加了1。
【详解】
甲的过程正确。
乙的错误在于：2π(r+1) 应展开为 2πr + 2π×1 = 2πr + 2π，而不是 2πr + 1。
乙正确应为：2π(r+1) - 2πr = 2πr + 2π - 2πr = 2π（米）
【答案】
甲对；乙错，正确结果应为2π米。
【对应练习】
1.设圆的半径为，半径增加3，周长增量用字母表示是（ ）。
【分析】
套用周长增量公式：ΔC = 2π × 半径增加量。
【详解】
ΔC = 2π × 3 = 6π
【答案】
6π
2.判断：用字母推导的结论，只适用于半径是整数的圆。（ ）
【分析】
字母推导具有一般性，r可以代表任意正数（整数、小数、分数均可）。
【详解】
字母推导的结论对任意半径都成立。
【答案】
×
3.找出下面推导的错误并改正：
半径增加，，所以周长增加。
【分析】
错误在于没有将m乘以前面的系数2π。2π(r+m)展开应为2πr + 2πm。
【详解】
正确推导：
2π(r + m) - 2πr = 2πr + 2πm - 2πr = 2πm
【答案】
错误：漏乘2π。改正：周长增加2πm。
4.用字母证明：两个圆的半径差为，它们的周长差就是。
【分析】
设大圆半径为R，小圆半径为r，已知R - r = k，分别表示周长后相减。
【详解】
大圆周长 = 2πR，小圆周长 = 2πr
周长差 = 2πR - 2πr = 2π(R - r) = 2πk
【答案】
证明如上，周长差为2πk。
5.设内圆半径为，环形路宽为，外圆周长用字母表示是（ ）。
【分析】
外圆半径 = r + w，再代入周长公式。
【详解】
外圆周长 = 2π(r + w)
【答案】
2π(r + w)
6.用字母推导：圆的直径增加，周长增加多少？
【分析】
直径增加b，半径增加 b/2。周长增量 = 2π × (b/2) = πb。也可直接从C=πd推导。
【详解】
原直径d，新直径d+b
原周长 = πd，新周长 = π(d+b)
增量 = π(d+b) - πd = πb
【答案】
周长增加πb。
考点4：圆周长增量规律的直接应用
【核心知识】
1.核心结论：圆的半径增加，周长就增加。
2.拓展结论：圆的直径增加，周长就增加。
3.应用场景：求环形内外周长差、半径变化后的周长增量，都可以直接用公式计算，无需分别求总周长。
【方法点拨】
1.只问“周长增加多少” “内外周长差多少”，直接用“半径增量”计算。
2.注意区分是半径增加还是直径增加，对应选择公式。
3.多个圆比较周长差，直接比较半径差即可，不用分别计算总周长。
【典型例题】
例：一个圆的半径增加4厘米，它的周长会增加多少厘米？
【分析】
直接使用周长增量公式：ΔC = 2π × 半径增加量。
【详解】
ΔC = 2 × 3.14 × 4 = 25.12（厘米）
【答案】
25.12厘米
【对应练习】
1.圆的半径增加5分米，周长增加（ ）分米。
【分析】
直接应用ΔC = 2π × 半径增量。
【详解】
2 × 3.14 × 5 = 31.4（分米）
【答案】
31.4
2.圆的直径增加6米，周长增加（ ）米。
【分析】
直径增加量对应周长增量公式：ΔC = π × 直径增量。
【详解】
3.14 × 6 = 18.84（米）
【答案】
18.84
3.两个圆的半径相差3厘米，它们的周长相差（ ）厘米。
【分析】
周长差 = 2π × 半径差。
【详解】
2 × 3.14 × 3 = 18.84（厘米）
【答案】
18.84
4.判断：大圆半径增加2米和小圆半径增加2米，周长增加的长度不一样。（ ）
【分析】
无论大圆还是小圆，半径增加2米，周长都增加2π×2=4π米，增加量相同。
【详解】
大圆增量 = 2×3.14×2 = 12.56米；小圆增量同样为12.56米。
【答案】
×
5.圆形花坛周围修2米宽的小路，小路外侧周长比花坛周长长多少米？
【分析】
路宽即半径增加量，外侧周长与花坛周长的差 = 2π × 路宽。
【详解】
2 × 3.14 × 2 = 12.56（米）
【答案】
12.56米
6.大圆半径比小圆半径大5分米，大圆周长比小圆周长长多少分米？
【分析】
周长差 = 2π × 半径差。
【详解】
2 × 3.14 × 5 = 31.4（分米）
【答案】
31.4分米
7.圆的半径从5厘米增加到8厘米，周长增加了多少厘米？
【分析】
半径增加了3厘米（8-5=3），应用ΔC = 2π × 半径增量。
【详解】
半径增量 = 8 - 5 = 3（厘米）
周长增量 = 2 × 3.14 × 3 = 18.84（厘米）
【答案】
18.84厘米
考点5：正方形四周扩边的周长变化（对比拓展）
【核心知识】
1.正方形四周均匀加宽（四周各向外延伸），新正方形边长 = 原边长 + 。
2.周长增量：。
3.对比结论：正方形四周加宽固定宽度，周长增量也与原边长无关，只由加宽宽度决定；和圆形规律本质一致。
【方法点拨】
1.四周加宽时，边长在左右、上下各增加一个宽度，总增加，不要只加1个。
2.对比圆形和正方形，总结共性：图形四周均匀加宽固定宽度，周长增量都只和宽度有关。
【典型例题】
例：正方形草坪四周修2米宽的步道，步道外侧的周长比草坪周长多多少米？
【分析】
正方形四周加宽w，边长增加2w，周长增加8w。这里w=2米。
【详解】
周长增量 = 8 × 2 = 16（米）
【答案】
16米
【对应练习】
1.正方形广场四周加宽3米，周长增加（ ）米。
【分析】
正方形四周加宽w，周长增加8w。
【详解】
8 × 3 = 24（米）
【答案】
24
2.正方形画四周镶1分米宽的边框，边框外沿周长比画的周长多（ ）分米。
【分析】
边框宽度即加宽宽度，周长增量 = 8 × 宽度。
【详解】
8 × 1 = 8（分米）
【答案】
8
3.判断：正方形边长增加5米，周长增加20米，和原来的边长无关。（ ）
【分析】
边长增加a，周长增加4a（注意这里是“边长增加”，不是“四周加宽”），4×5=20米，且与原来边长无关。
【详解】
增量 = 4×5 = 20米，与原来边长无关。
【答案】
√
4.两个正方形的边长相差4厘米，它们的周长相差多少厘米？
【分析】
周长差 = 4 × 边长差。
【详解】
4 × 4 = 16（厘米）
【答案】
16厘米
5.正方形菜地周长32米，四周向外扩展1米，扩展后的周长是多少米？
【分析】
先求原边长，再求扩展后的边长（原边长+2×1），最后求新周长。或直接用周长增量法：原周长+8×扩展宽度。
【详解】
原边长 = 32 ÷ 4 = 8（米）
新边长 = 8 + 2×1 = 10（米）
新周长 = 4 × 10 = 40（米）
（或直接32 + 8×1 = 40米）
【答案】
40米
6.圆形和正方形四周都加宽1米，谁的周长增加得多？多多少？（取）
【分析】
圆形加宽1米，周长增量 = 2π×1 = 2π ≈ 6.28米；正方形四周加宽1米，周长增量 = 8×1 = 8米。比较两者。
【详解】
圆形增量 = 2 × 3.14 × 1 = 6.28（米）
正方形增量 = 8 × 1 = 8（米）
8 - 6.28 = 1.72（米）
【答案】
正方形增加得多，多1.72米。
考点6：周长变化的逆向计算与实际应用
【核心知识】
1.逆向问题：已知周长的增加量，反求半径增加的长度（路宽、跑道宽）。
2.圆形逆向公式：半径增加量 = 周长增量 ，即。
3.实际场景：环形跑道起跑线提前量、环形路宽计算等，本质都是周长差的逆向应用。
【方法点拨】
1.先根据图形类型，对应选择逆向公式。
2.计算完成后，可以正向代入验算，验证结果是否正确。
3.跑道问题中，直道长度相同，周长差全部来自弯道，弯道合为一个整圆，周长差就是半径差对应的圆周长差。
【典型例题】
例：环形跑道外圈比内圈周长长18.84米，跑道的宽度是多少米？
【分析】
外圈比内圈周长长，即周长差 = 2π × 跑道宽。已知周长差，反求跑道宽 = 周长差 ÷ (2π)。
【详解】
跑道宽 = 18.84 ÷ (2 × 3.14) = 18.84 ÷ 6.28 = 3（米）
【答案】
3米
【对应练习】
1.圆的周长增加12.56厘米，半径增加（ ）厘米。
【分析】
半径增量 = 周长增量 ÷ (2π)。
【详解】
12.56 ÷ (2 × 3.14) = 12.56 ÷ 6.28 = 2（厘米）
【答案】
2
2.圆的周长增加31.4米，直径增加（ ）米。
【分析】
直径增量 = 周长增量 ÷ π。
【详解】
31.4 ÷ 3.14 = 10（米）
【答案】
10
3.正方形周长增加24分米，边长增加（ ）分米。
【分析】
正方形周长增量 = 4 × 边长增量，所以边长增量 = 周长增量 ÷ 4。
【详解】
24 ÷ 4 = 6（分米）
【答案】
6
4.圆形花坛周围修环形小路，外侧周长比花坛多25.12米，小路宽多少米？
【分析】
环形小路宽度即半径增加量，宽度 = 周长差 ÷ (2π)。
【详解】
25.12 ÷ (2 × 3.14) = 25.12 ÷ 6.28 = 4（米）
【答案】
4米
5.400米跑道每条宽1.2米，相邻跑道起跑线要提前多少米？（弯道合为整圆）
【分析】
跑道宽即半径差。相邻跑道周长差 = 2π × 跑道宽。起跑线提前量就是这个周长差。
【详解】
提前量 = 2 × 3.14 × 1.2 = 7.536（米）
【答案】
7.536米
6.一个圆的周长从25.12厘米增加到50.24厘米，半径增加了多少厘米？
【分析】
先求周长增量，再反求半径增量。或分别求半径再作差。
【详解】
周长增量 = 50.24 - 25.12 = 25.12（厘米）
半径增量 = 25.12 ÷ (2 × 3.14) = 25.12 ÷ 6.28 = 4（厘米）
【答案】
4厘米
7.正方形四周加宽后周长增加32米，加宽的宽度是多少米？
【分析】
正方形四周加宽w，周长增加8w，所以加宽宽度 = 周长增量 ÷ 8。
【详解】
32 ÷ 8 = 4（米）
【答案】
4米北师大版六年级数学上册讲义
第三单元 3.5 花坛的周长（6 个考点）（讲义）
考点 1：圆的周长公式与环形小路的概念理解
【核心知识】
1.圆的周长公式：已知半径 r，周长 C = 2πr；已知直径 d，周长 C =πd。
小学阶段计算时π通常取近似值 3.14。
2.环形小路的概念：在圆形物体四周修建环形小路，小路的宽度 = 外圆半径 -
内圆半径，即外半径 =内半径+路宽。
3.易错点：路宽是半径的增加量，不是直径的增加量；直径的总增加量是路宽
的 2倍。
【方法点拨】
1.审题时先圈出“路宽×米”，明确它对应半径的增量。
2.求外圆直径时，左右两侧各增加一个路宽，总增量为路宽 × 2。
3.基础题可以先求外半径，再代入周长公式计算总周长。
【典型例题】
例：一个圆形喷水池的半径是 6米，在它周围修 1米宽的鹅卵石步道。步道外
侧大圆的半径和周长分别是多少？
【分析】
本题是环形小路的基础题。步道宽度就是外圆半径比内圆半径增加的长度。已
知内圆半径和路宽，直接相加得到外圆半径，再代入圆的周长公式计算即可。
注意周长公式选择 C = 2πr。
【详解】
外圆半径 =内圆半径 +路宽 = 6 + 1 = 7（米）
外圆周长 = 2 × 3.14 × 7 = 43.96（米）
【答案】
步道外侧大圆的半径是 7米，周长是 43.96米。
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北师大版六年级数学上册讲义
【对应练习】
1.圆形花坛半径 4米，周围修 1米宽小路，外圆半径是（ ）米。
【分析】
外圆半径等于内圆半径（花坛半径）加上小路宽度。
【详解】
4 + 1 = 5（米）
【答案】
5
2.圆形草坪直径 10米，四周加 2米宽花带，外圆直径是（ ）米。
【分析】
路宽是半径的增加量，直径的增加量是路宽的 2倍。已知内圆直径和路宽，外
圆直径 =内圆直径 +路宽×2。
【详解】
外圆直径 = 10 + 2×2 = 14（米）
【答案】
14
3.判断：圆形周围修 3米宽的路，直径就增加 3米。（ ）
【分析】
路宽是半径的增加量。直径增加量 =路宽×2 = 3×2 = 6米，而不是 3米。
【详解】
直径增加量 = 3×2 = 6（米），所以“直径增加 3米”是错误的。
【答案】
×
4.环形跑道内圈半径 25米，跑道宽 2米，外圈半径是多少米？
【分析】
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北师大版六年级数学上册讲义
跑道宽度就是外圈半径比内圈半径增加的长度。直接用内圈半径加跑道宽度。
【详解】
外圈半径 = 25 + 2 = 27（米）
【答案】
27米
5.圆形水池周长 31.4米，周围修 1米宽的水泥路，水泥路外侧的周长是多少
米？
【分析】
已知内圆周长，先求出内圆半径；再计算外圆半径（内圆半径+路宽）；最后求
外圆周长。
【详解】
内圆半径 = 31.4 ÷ 3.14 ÷ 2 = 5（米）
外圆半径 = 5 + 1 = 6（米）
外圆周长 = 2 × 3.14 × 6 = 37.68（米）
【答案】
37.68米
6.一个圆的半径增加 2分米，它的直径增加多少分米？
【分析】
直径 =半径×2，半径增加 a，直径增加 2a。
【详解】
直径增加量 = 2×2 = 4（分米）
【答案】
4分米
考点 2：假设法探究半径变化对周长的影响
【核心知识】
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北师大版六年级数学上册讲义
1.假设法：当题目没有给出原始半径的具体数值时，可以假设 2-3组不同的原
始半径，分别计算变化前后的周长，再求差值，通过多组数据验证规律。
2.探究结论：半径增加相同长度时，周长的增加量是固定的，与原来圆的半径
大小无关。
3.数学意义：从特殊例子出发归纳普遍规律，是数学探究的常用方法。
【方法点拨】
1.假设的半径尽量选简单整数，方便计算，比如 2米、5米、10米。
2.每组都按“原周长→新半径→新周长→求差值”的步骤计算。
3.多组结果一致时，才能归纳出普遍规律。
【典型例题】
例：用假设法验证：圆的半径增加 2米，周长的增加量和原半径无关。
【分析】
本题需要用假设法，即选取两个不同的原始半径，分别计算周长增加了多少，
通过比较得出结论。假设的半径应简单易算。
【详解】
假设圆①半径为 1米：
原周长 = 2 × 3.14 × 1 = 6.28（米）
新半径 = 1 + 2 = 3（米）
新周长 = 2 × 3.14 × 3 = 18.84（米）
周长增加 = 18.84 - 6.28 = 12.56（米）
假设圆②半径为 5米：
原周长 = 2 × 3.14 × 5 = 31.4（米）
新半径 = 5 + 2 = 7（米）
新周长 = 2 × 3.14 × 7 = 43.96（米）
周长增加 = 43.96 - 31.4 = 12.56（米）
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北师大版六年级数学上册讲义
两组数据中，半径增加 2米，周长都增加 12.56米，与原来半径的大小无关。
【答案】
半径增加 2米，周长增加 12.56米，与原来半径无关。
【对应练习】
1.判断：通过 2组不同半径计算，半径增加 1米周长都增加 6.28米，就能说明
这个规律永远成立。（ ）
【分析】
2组数据只能作为归纳的初步证据，但不能证明“永远成立”。数学上的严格证
明需要用到字母推导（考点 3）。题目问的是“能否说明永远成立”，答案是否
定的。
【详解】
两组数据只是特例，不能代表所有情况。
【答案】
×
2.假设圆的半径分别是 2厘米和 5厘米，分别计算半径增加 1厘米后的周长增
量，写出你的发现。
【分析】
按要求用假设法分别计算两组数据的周长增量，再比较。
【详解】
半径 2厘米时：
原周长 = 2×3.14×2 = 12.56（厘米）
新半径 = 3厘米，新周长 = 2×3.14×3 = 18.84（厘米）
增量 = 18.84 - 12.56 = 6.28（厘米）
半径 5厘米时：
原周长 = 2×3.14×5 = 31.4（厘米）
新半径 = 6厘米，新周长 = 2×3.14×6 = 37.68（厘米）
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北师大版六年级数学上册讲义
增量 = 37.68 - 31.4 = 6.28（厘米）
发现：半径都增加 1厘米，周长增量相同，都是 6.28厘米，与原来的半径大小
无关。
【答案】
发现：半径增加 1厘米，周长都增加 6.28厘米，与原来半径无关。
3.小明说“圆越大，半径增加 1米，周长增加得越多”，请用假设法判断他的
说法是否正确。
【分析】
用假设法选取一大一小两个圆，分别计算半径增加 1米后的周长增量，进行比
较。
【详解】
假设小圆半径 1米：
原周长 = 2×3.14×1 = 6.28（米）
新半径 = 2米，新周长 = 2×3.14×2 = 12.56（米）
增量 = 12.56 - 6.28 = 6.28（米）
假设大圆半径 10米：
原周长 = 2×3.14×10 = 62.8（米）
新半径 = 11米，新周长 = 2×3.14×11 = 69.08（米）
增量 = 69.08 - 62.8 = 6.28（米）
两个圆半径增加 1米，周长增加量一样，都是 6.28米。
【答案】
小明的说法不正确。半径增加 1米，周长增加量都是 6.28米，与原半径大小无
关。
4.要验证“直径增加 3厘米，周长增加 9.42厘米”，请写出两组假设验证的过
程。
【分析】
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北师大版六年级数学上册讲义
假设两个不同的直径（或半径），分别增加 3厘米直径，计算周长增量。
【详解】
验证组 1：设原直径 4厘米（半径 2厘米）
原周长 = 3.14×4 = 12.56（厘米）
新直径 = 4+3=7厘米，新周长 = 3.14×7 = 21.98（厘米）
增量 = 21.98 - 12.56 = 9.42（厘米）
验证组 2：设原直径 10厘米（半径 5厘米）
原周长 = 3.14×10 = 31.4（厘米）
新直径 = 10+3=13厘米，新周长 = 3.14×13 = 40.82（厘米）
增量 = 40.82 - 31.4 = 9.42（厘米）
【答案】
两组验证都表明直径增加 3厘米，周长增加 9.42厘米。
5.探究：圆的半径扩大到原来的 2倍，周长扩大到原来的几倍？用假设法验证。
【分析】
注意“扩大到原来的 2倍”不同于“增加”。假设具体半径计算原周长和新周
长，再求倍数。
【详解】
假设原半径 = 3米：
原周长 = 2×3.14×3 = 18.84（米）
新半径 = 3×2 = 6（米）
新周长 = 2×3.14×6 = 37.68（米）
37.68 ÷ 18.84 = 2
假设原半径 = 5米：
原周长 = 2×3.14×5 = 31.4（米）
新半径 = 5×2 = 10（米）
新周长 = 2×3.14×10 = 62.8（米）
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北师大版六年级数学上册讲义
62.8 ÷ 31.4 = 2
【答案】
圆的半径扩大到原来的 2倍，周长也扩大到原来的 2倍。
6.假设正方形边长分别是 4厘米和 9厘米，边长增加 2厘米，周长增量分别是
多少？你有什么发现？
【分析】
正方形周长=4×边长。用假设法计算两种情况的周长增量，再归纳。
【详解】
边长 4厘米时：
原周长 = 4×4 = 16（厘米）
新边长 = 4+2=6（厘米），新周长 = 4×6=24（厘米）
增量 = 24-16=8（厘米）
边长 9厘米时：
原周长 = 4×9 = 36（厘米）
新边长 = 9+2=11（厘米），新周长 = 4×11=44（厘米）
增量 = 44-36=8（厘米）
发现：正方形边长增加 2厘米，周长增量都是 8厘米，与原边长无关。
【答案】
增量都是 8厘米。发现：正方形边长增加相同长度，周长增加量也固定，与原
边长无关。
考点 3：字母推导周长增量规律与易错辨析
【核心知识】
1.标准推导过程：
设原半径为 r，半径增加量为 a
原周长C1 = 2πr，新周长C2 = 2π(r + a)
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周长增量ΔC = 2π(r + a) 2πr = 2πr + 2πa 2πr = 2πa
2.结论：化简后原半径 r 被消去，严格证明周长增量只与半径增加量 a 有关，
与原半径 r 无关。
3.常见错误：运用乘法分配律时漏乘，例如错误展开 2π(r + 1) = 2πr + 1，
忽略了 1也要乘 2π。
【方法点拨】
1.推导时先明确字母的含义，再分别表示变化前后的周长。
2.利用乘法分配律展开后再相减化简，观察哪些量被消去。
3.判断错误解法时，对照乘法分配律检查每一项是否都乘了公因数。
【典型例题】
例：下面是两位同学计算“半径增加 1米的周长增量”的过程，请判断对错并
改正错误的。
甲：2π(r + 1) 2πr = 2πr + 2π 2πr = 2π（米）
乙：2π(r + 1) 2πr = 2πr + 1 2πr = 1（米）
【分析】
主要考察乘法分配律的运用。甲正确地将 2π分别乘 r和 1；乙错误，漏乘了 2
π，只加了 1。
【详解】
甲的过程正确。
乙的错误在于：2π(r+1)应展开为 2πr + 2π×1 = 2πr + 2π，而不是 2πr + 1。
乙正确应为：2π(r+1) - 2πr = 2πr + 2π - 2πr = 2π（米）
【答案】
甲对；乙错，正确结果应为 2π米。
【对应练习】
1.设圆的半径为 r，半径增加 3，周长增量用字母表示是（ ）。
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【分析】
套用周长增量公式：ΔC = 2π ×半径增加量。
【详解】
ΔC = 2π × 3 = 6π
【答案】
6π
2.判断：用字母推导的结论，只适用于半径是整数的圆。（ ）
【分析】
字母推导具有一般性，r可以代表任意正数（整数、小数、分数均可）。
【详解】
字母推导的结论对任意半径都成立。
【答案】
×
3.找出下面推导的错误并改正：
半径增加m，2πr +m 2πr = m，所以周长增加m。
【分析】
错误在于没有将 m乘以前面的系数 2π。2π(r+m)展开应为 2πr + 2πm。
【详解】
正确推导：
2π(r + m) - 2πr = 2πr + 2πm - 2πr = 2πm
【答案】
错误：漏乘 2π。改正：周长增加 2πm。
4.用字母证明：两个圆的半径差为 k，它们的周长差就是 2πk。
【分析】
设大圆半径为 R，小圆半径为 r，已知 R - r = k，分别表示周长后相减。
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北师大版六年级数学上册讲义
【详解】
大圆周长 = 2πR，小圆周长 = 2πr
周长差 = 2πR - 2πr = 2π(R - r) = 2πk
【答案】
证明如上，周长差为 2πk。
5.设内圆半径为 r，环形路宽为w，外圆周长用字母表示是（ ）。
【分析】
外圆半径 = r + w，再代入周长公式。
【详解】
外圆周长 = 2π(r + w)
【答案】
2π(r + w)
6.用字母推导：圆的直径增加 b，周长增加多少？
【分析】
直径增加 b，半径增加 b/2。周长增量 = 2π × (b/2) =πb。也可直接从 C=πd推
导。
【详解】
原直径 d，新直径 d+b
原周长 =πd，新周长 = π(d+b)
增量 = π(d+b) - πd = πb
【答案】
周长增加πb。
考点 4：圆周长增量规律的直接应用
【核心知识】
1.核心结论：圆的半径增加 a，周长就增加 2πa。
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2.拓展结论：圆的直径增加 a，周长就增加πa。
3.应用场景：求环形内外周长差、半径变化后的周长增量，都可以直接用公式
计算，无需分别求总周长。
【方法点拨】
1.只问“周长增加多少” “内外周长差多少”，直接用“2π ×半径增量”计算。
2.注意区分是半径增加还是直径增加，对应选择公式。
3.多个圆比较周长差，直接比较半径差即可，不用分别计算总周长。
【典型例题】
例：一个圆的半径增加 4厘米，它的周长会增加多少厘米？
【分析】
直接使用周长增量公式：ΔC = 2π ×半径增加量。
【详解】
ΔC = 2 × 3.14 × 4 = 25.12（厘米）
【答案】
25.12厘米
【对应练习】
1.圆的半径增加 5分米，周长增加（ ）分米。
【分析】
直接应用ΔC = 2π ×半径增量。
【详解】
2 × 3.14 × 5 = 31.4（分米）
【答案】
31.4
2.圆的直径增加 6米，周长增加（ ）米。
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【分析】
直径增加量对应周长增量公式：ΔC = π ×直径增量。
【详解】
3.14 × 6 = 18.84（米）
【答案】
18.84
3.两个圆的半径相差 3厘米，它们的周长相差（ ）厘米。
【分析】
周长差 = 2π ×半径差。
【详解】
2 × 3.14 × 3 = 18.84（厘米）
【答案】
18.84
4.判断：大圆半径增加 2米和小圆半径增加 2米，周长增加的长度不一样。（
）
【分析】
无论大圆还是小圆，半径增加 2米，周长都增加 2π×2=4π米，增加量相同。
【详解】
大圆增量 = 2×3.14×2 = 12.56米；小圆增量同样为 12.56米。
【答案】
×
5.圆形花坛周围修 2米宽的小路，小路外侧周长比花坛周长长多少米？
【分析】
路宽即半径增加量，外侧周长与花坛周长的差 = 2π ×路宽。
【详解】
第 13页 共 20页
北师大版六年级数学上册讲义
2 × 3.14 × 2 = 12.56（米）
【答案】
12.56米
6.大圆半径比小圆半径大 5分米，大圆周长比小圆周长长多少分米？
【分析】
周长差 = 2π ×半径差。
【详解】
2 × 3.14 × 5 = 31.4（分米）
【答案】
31.4分米
7.圆的半径从 5厘米增加到 8厘米，周长增加了多少厘米？
【分析】
半径增加了 3厘米（8-5=3），应用ΔC = 2π ×半径增量。
【详解】
半径增量 = 8 - 5 = 3（厘米）
周长增量 = 2 × 3.14 × 3 = 18.84（厘米）
【答案】
18.84厘米
考点 5：正方形四周扩边的周长变化（对比拓展）
【核心知识】
1.正方形四周均匀加宽w（四周各向外延伸w），新正方形边长 = 原边长 +
2w。
2.周长增量：4 × (原边长+ 2w) 4 ×原边长 = 8w。
3.对比结论：正方形四周加宽固定宽度，周长增量也与原边长无关，只由加宽
宽度决定；和圆形规律本质一致。
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北师大版六年级数学上册讲义
【方法点拨】
1.四周加宽时，边长在左右、上下各增加一个宽度，总增加 2w，不要只加 1个
w。
2.对比圆形和正方形，总结共性：图形四周均匀加宽固定宽度，周长增量都只
和宽度有关。
【典型例题】
例：正方形草坪四周修 2米宽的步道，步道外侧的周长比草坪周长多多少米？
【分析】
正方形四周加宽 w，边长增加 2w，周长增加 8w。这里 w=2米。
【详解】
周长增量 = 8 × 2 = 16（米）
【答案】
16米
【对应练习】
1.正方形广场四周加宽 3米，周长增加（ ）米。
【分析】
正方形四周加宽 w，周长增加 8w。
【详解】
8 × 3 = 24（米）
【答案】
24
2.正方形画四周镶 1分米宽的边框，边框外沿周长比画的周长多（ ）分米。
【分析】
边框宽度即加宽宽度，周长增量 = 8 ×宽度。
【详解】
第 15页 共 20页
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8 × 1 = 8（分米）
【答案】
8
3.判断：正方形边长增加 5米，周长增加 20米，和原来的边长无关。（ ）
【分析】
边长增加 a，周长增加 4a（注意这里是“边长增加”，不是“四周加宽”），4
×5=20米，且与原来边长无关。
【详解】
增量 = 4×5 = 20米，与原来边长无关。
【答案】
√
4.两个正方形的边长相差 4厘米，它们的周长相差多少厘米？
【分析】
周长差 = 4 ×边长差。
【详解】
4 × 4 = 16（厘米）
【答案】
16厘米
5.正方形菜地周长 32米，四周向外扩展 1米，扩展后的周长是多少米？
【分析】
先求原边长，再求扩展后的边长（原边长+2×1），最后求新周长。或直接用周
长增量法：原周长+8×扩展宽度。
【详解】
原边长 = 32 ÷ 4 = 8（米）
新边长 = 8 + 2×1 = 10（米）
第 16页 共 20页
北师大版六年级数学上册讲义
新周长 = 4 × 10 = 40（米）
（或直接 32 + 8×1 = 40米）
【答案】
40米
6.圆形和正方形四周都加宽 1米，谁的周长增加得多？多多少？（π取 3.14）
【分析】
圆形加宽 1米，周长增量 = 2π×1 = 2π ≈ 6.28米；正方形四周加宽 1米，周长增
量 = 8×1 = 8米。比较两者。
【详解】
圆形增量 = 2 × 3.14 × 1 = 6.28（米）
正方形增量 = 8 × 1 = 8（米）
8 - 6.28 = 1.72（米）
【答案】
正方形增加得多，多 1.72米。
考点 6：周长变化的逆向计算与实际应用
【核心知识】
1.逆向问题：已知周长的增加量，反求半径增加的长度（路宽、跑道宽）。
2.圆形逆向公式：半径增加量 = 周长增量 ÷ (2π)，即Δr =ΔC÷ 2π。
3.实际场景：环形跑道起跑线提前量、环形路宽计算等，本质都是周长差的逆
向应用。
【方法点拨】
1.先根据图形类型，对应选择逆向公式。
2.计算完成后，可以正向代入验算，验证结果是否正确。
3.跑道问题中，直道长度相同，周长差全部来自弯道，弯道合为一个整圆，周
长差就是半径差对应的圆周长差。
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【典型例题】
例：环形跑道外圈比内圈周长长 18.84米，跑道的宽度是多少米？
【分析】
外圈比内圈周长长，即周长差 = 2π ×跑道宽。已知周长差，反求跑道宽 =周长
差 ÷ (2π)。
【详解】
跑道宽 = 18.84 ÷ (2 × 3.14) = 18.84 ÷ 6.28 = 3（米）
【答案】
3米
【对应练习】
1.圆的周长增加 12.56厘米，半径增加（ ）厘米。
【分析】
半径增量 =周长增量 ÷ (2π)。
【详解】
12.56 ÷ (2 × 3.14) = 12.56 ÷ 6.28 = 2（厘米）
【答案】
2
2.圆的周长增加 31.4米，直径增加（ ）米。
【分析】
直径增量 =周长增量 ÷ π。
【详解】
31.4 ÷ 3.14 = 10（米）
【答案】
10
3.正方形周长增加 24分米，边长增加（ ）分米。
第 18页 共 20页
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【分析】
正方形周长增量 = 4 ×边长增量，所以边长增量 =周长增量 ÷ 4。
【详解】
24 ÷ 4 = 6（分米）
【答案】
6
4.圆形花坛周围修环形小路，外侧周长比花坛多 25.12米，小路宽多少米？
【分析】
环形小路宽度即半径增加量，宽度 =周长差 ÷ (2π)。
【详解】
25.12 ÷ (2 × 3.14) = 25.12 ÷ 6.28 = 4（米）
【答案】
4米
5.400米跑道每条宽 1.2米，相邻跑道起跑线要提前多少米？（弯道合为整圆）
【分析】
跑道宽即半径差。相邻跑道周长差 = 2π ×跑道宽。起跑线提前量就是这个周长
差。
【详解】
提前量 = 2 × 3.14 × 1.2 = 7.536（米）
【答案】
7.536米
6.一个圆的周长从 25.12厘米增加到 50.24厘米，半径增加了多少厘米？
【分析】
先求周长增量，再反求半径增量。或分别求半径再作差。
【详解】
第 19页 共 20页
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周长增量 = 50.24 - 25.12 = 25.12（厘米）
半径增量 = 25.12 ÷ (2 × 3.14) = 25.12 ÷ 6.28 = 4（厘米）
【答案】
4厘米
7.正方形四周加宽后周长增加 32米，加宽的宽度是多少米？
【分析】
正方形四周加宽 w，周长增加 8w，所以加宽宽度 =周长增量 ÷ 8。
【详解】
32 ÷ 8 = 4（米）
【答案】
4米
第 20页 共 20页北师大版六年级数学上册讲义
第三单元3.5花坛的周长（6个考点）（讲义）
考点1：圆的周长公式与环形小路的概念理解
【核心知识】
1.圆的周长公式：已知半径，周长；已知直径，周长。小学阶段计算时通常取近似值3.14。
2.环形小路的概念：在圆形物体四周修建环形小路，小路的宽度 = 外圆半径 - 内圆半径，即。
3.易错点：路宽是半径的增加量，不是直径的增加量；直径的总增加量是路宽的2倍。
【方法点拨】
1.审题时先圈出“路宽×米”，明确它对应半径的增量。
2.求外圆直径时，左右两侧各增加一个路宽，总增量为。
3.基础题可以先求外半径，再代入周长公式计算总周长。
【典型例题】
例：一个圆形喷水池的半径是6米，在它周围修1米宽的鹅卵石步道。步道外侧大圆的半径和周长分别是多少？
【对应练习】
1.圆形花坛半径4米，周围修1米宽小路，外圆半径是（ ）米。
2.圆形草坪直径10米，四周加2米宽花带，外圆直径是（ ）米。
3.判断：圆形周围修3米宽的路，直径就增加3米。（ ）
4.环形跑道内圈半径25米，跑道宽2米，外圈半径是多少米？
5.圆形水池周长31.4米，周围修1米宽的水泥路，水泥路外侧的周长是多少米？
6.一个圆的半径增加2分米，它的直径增加多少分米？
考点2：假设法探究半径变化对周长的影响
【核心知识】
1.假设法：当题目没有给出原始半径的具体数值时，可以假设2-3组不同的原始半径，分别计算变化前后的周长，再求差值，通过多组数据验证规律。
2.探究结论：半径增加相同长度时，周长的增加量是固定的，与原来圆的半径大小无关。
3.数学意义：从特殊例子出发归纳普遍规律，是数学探究的常用方法。
【方法点拨】
1.假设的半径尽量选简单整数，方便计算，比如2米、5米、10米。
2.每组都按“原周长→新半径→新周长→求差值”的步骤计算。
3.多组结果一致时，才能归纳出普遍规律。
【典型例题】
例：用假设法验证：圆的半径增加2米，周长的增加量和原半径无关。
【对应练习】
1.判断：通过2组不同半径计算，半径增加1米周长都增加6.28米，就能说明这个规律永远成立。（ ）
2.假设圆的半径分别是2厘米和5厘米，分别计算半径增加1厘米后的周长增量，写出你的发现。
3.小明说“圆越大，半径增加1米，周长增加得越多”，请用假设法判断他的说法是否正确。
4.要验证“直径增加3厘米，周长增加9.42厘米”，请写出两组假设验证的过程。
5.探究：圆的半径扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的几倍？用假设法验证。
6.假设正方形边长分别是4厘米和9厘米，边长增加2厘米，周长增量分别是多少？你有什么发现？
考点3：字母推导周长增量规律与易错辨析
【核心知识】
1.标准推导过程：
设原半径为，半径增加量为
原周长，新周长
周长增量
2.结论：化简后原半径被消去，严格证明周长增量只与半径增加量有关，与原半径无关。
3.常见错误：运用乘法分配律时漏乘，例如错误展开，忽略了1也要乘。
【方法点拨】
1.推导时先明确字母的含义，再分别表示变化前后的周长。
2.利用乘法分配律展开后再相减化简，观察哪些量被消去。
3.判断错误解法时，对照乘法分配律检查每一项是否都乘了公因数。
【典型例题】
例：下面是两位同学计算“半径增加1米的周长增量”的过程，请判断对错并改正错误的。
甲：（米）
乙：（米）
【对应练习】
1.设圆的半径为，半径增加3，周长增量用字母表示是（ ）。
2.判断：用字母推导的结论，只适用于半径是整数的圆。（ ）
3.找出下面推导的错误并改正：
半径增加，，所以周长增加。
4.用字母证明：两个圆的半径差为，它们的周长差就是。
5.设内圆半径为，环形路宽为，外圆周长用字母表示是（ ）。
6.用字母推导：圆的直径增加，周长增加多少？
考点4：圆周长增量规律的直接应用
【核心知识】
1.核心结论：圆的半径增加，周长就增加。
2.拓展结论：圆的直径增加，周长就增加。
3.应用场景：求环形内外周长差、半径变化后的周长增量，都可以直接用公式计算，无需分别求总周长。
【方法点拨】
1.只问“周长增加多少” “内外周长差多少”，直接用“半径增量”计算。
2.注意区分是半径增加还是直径增加，对应选择公式。
3.多个圆比较周长差，直接比较半径差即可，不用分别计算总周长。
【典型例题】
例：一个圆的半径增加4厘米，它的周长会增加多少厘米？
【对应练习】
1.圆的半径增加5分米，周长增加（ ）分米。
2.圆的直径增加6米，周长增加（ ）米。
3.两个圆的半径相差3厘米，它们的周长相差（ ）厘米。
4.判断：大圆半径增加2米和小圆半径增加2米，周长增加的长度不一样。（ ）
5.圆形花坛周围修2米宽的小路，小路外侧周长比花坛周长长多少米？
6.大圆半径比小圆半径大5分米，大圆周长比小圆周长长多少分米？
7.圆的半径从5厘米增加到8厘米，周长增加了多少厘米？
考点5：正方形四周扩边的周长变化（对比拓展）
【核心知识】
1.正方形四周均匀加宽（四周各向外延伸），新正方形边长 = 原边长 + 。
2.周长增量：。
3.对比结论：正方形四周加宽固定宽度，周长增量也与原边长无关，只由加宽宽度决定；和圆形规律本质一致。
【方法点拨】
1.四周加宽时，边长在左右、上下各增加一个宽度，总增加，不要只加1个。
2.对比圆形和正方形，总结共性：图形四周均匀加宽固定宽度，周长增量都只和宽度有关。
【典型例题】
例：正方形草坪四周修2米宽的步道，步道外侧的周长比草坪周长多多少米？
【对应练习】
1.正方形广场四周加宽3米，周长增加（ ）米。
2.正方形画四周镶1分米宽的边框，边框外沿周长比画的周长多（ ）分米。
3.判断：正方形边长增加5米，周长增加20米，和原来的边长无关。（ ）
4.两个正方形的边长相差4厘米，它们的周长相差多少厘米？
5.正方形菜地周长32米，四周向外扩展1米，扩展后的周长是多少米？
6.圆形和正方形四周都加宽1米，谁的周长增加得多？多多少？（取）
考点6：周长变化的逆向计算与实际应用
【核心知识】
1.逆向问题：已知周长的增加量，反求半径增加的长度（路宽、跑道宽）。
2.圆形逆向公式：半径增加量 = 周长增量 ，即。
3.实际场景：环形跑道起跑线提前量、环形路宽计算等，本质都是周长差的逆向应用。
【方法点拨】
1.先根据图形类型，对应选择逆向公式。
2.计算完成后，可以正向代入验算，验证结果是否正确。
3.跑道问题中，直道长度相同，周长差全部来自弯道，弯道合为一个整圆，周长差就是半径差对应的圆周长差。
【典型例题】
例：环形跑道外圈比内圈周长长18.84米，跑道的宽度是多少米？
【对应练习】
1.圆的周长增加12.56厘米，半径增加（ ）厘米。
2.圆的周长增加31.4米，直径增加（ ）米。
3.正方形周长增加24分米，边长增加（ ）分米。
4.圆形花坛周围修环形小路，外侧周长比花坛多25.12米，小路宽多少米？
5.400米跑道每条宽1.2米，相邻跑道起跑线要提前多少米？（弯道合为整圆）
6.一个圆的周长从25.12厘米增加到50.24厘米，半径增加了多少厘米？
7.正方形四周加宽后周长增加32米，加宽的宽度是多少米？北师大版六年级数学上册讲义
第三单元 3.5 花坛的周长（6 个考点）（讲义）
考点 1：圆的周长公式与环形小路的概念理解
【核心知识】
1.圆的周长公式：已知半径 r，周长 C = 2πr；已知直径 d，周长 C =πd。
小学阶段计算时π通常取近似值 3.14。
2.环形小路的概念：在圆形物体四周修建环形小路，小路的宽度 = 外圆半径 -
内圆半径，即外半径 =内半径+路宽。
3.易错点：路宽是半径的增加量，不是直径的增加量；直径的总增加量是路宽
的 2倍。
【方法点拨】
1.审题时先圈出“路宽×米”，明确它对应半径的增量。
2.求外圆直径时，左右两侧各增加一个路宽，总增量为路宽 × 2。
3.基础题可以先求外半径，再代入周长公式计算总周长。
【典型例题】
例：一个圆形喷水池的半径是 6米，在它周围修 1米宽的鹅卵石步道。步道外
侧大圆的半径和周长分别是多少？
【对应练习】
1.圆形花坛半径 4米，周围修 1米宽小路，外圆半径是（ ）米。
2.圆形草坪直径 10米，四周加 2米宽花带，外圆直径是（ ）米。
3.判断：圆形周围修 3米宽的路，直径就增加 3米。（ ）
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4.环形跑道内圈半径 25米，跑道宽 2米，外圈半径是多少米？
5.圆形水池周长 31.4米，周围修 1米宽的水泥路，水泥路外侧的周长是多少
米？
6.一个圆的半径增加 2分米，它的直径增加多少分米？
考点 2：假设法探究半径变化对周长的影响
【核心知识】
1.假设法：当题目没有给出原始半径的具体数值时，可以假设 2-3组不同的原
始半径，分别计算变化前后的周长，再求差值，通过多组数据验证规律。
2.探究结论：半径增加相同长度时，周长的增加量是固定的，与原来圆的半径
大小无关。
3.数学意义：从特殊例子出发归纳普遍规律，是数学探究的常用方法。
【方法点拨】
1.假设的半径尽量选简单整数，方便计算，比如 2米、5米、10米。
2.每组都按“原周长→新半径→新周长→求差值”的步骤计算。
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3.多组结果一致时，才能归纳出普遍规律。
【典型例题】
例：用假设法验证：圆的半径增加 2米，周长的增加量和原半径无关。
【对应练习】
1.判断：通过 2组不同半径计算，半径增加 1米周长都增加 6.28米，就能说明
这个规律永远成立。（ ）
2.假设圆的半径分别是 2厘米和 5厘米，分别计算半径增加 1厘米后的周长增
量，写出你的发现。
3.小明说“圆越大，半径增加 1米，周长增加得越多”，请用假设法判断他的
说法是否正确。
4.要验证“直径增加 3厘米，周长增加 9.42厘米”，请写出两组假设验证的过
程。
5.探究：圆的半径扩大到原来的 2倍，周长扩大到原来的几倍？用假设法验证。
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6.假设正方形边长分别是 4厘米和 9厘米，边长增加 2厘米，周长增量分别是
多少？你有什么发现？
考点 3：字母推导周长增量规律与易错辨析
【核心知识】
1.标准推导过程：
设原半径为 r，半径增加量为 a
原周长C1 = 2πr，新周长C2 = 2π(r + a)
周长增量ΔC = 2π(r + a) 2πr = 2πr + 2πa 2πr = 2πa
2.结论：化简后原半径 r 被消去，严格证明周长增量只与半径增加量 a 有关，
与原半径 r 无关。
3.常见错误：运用乘法分配律时漏乘，例如错误展开 2π(r + 1) = 2πr + 1，
忽略了 1也要乘 2π。
【方法点拨】
1.推导时先明确字母的含义，再分别表示变化前后的周长。
2.利用乘法分配律展开后再相减化简，观察哪些量被消去。
3.判断错误解法时，对照乘法分配律检查每一项是否都乘了公因数。
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【典型例题】
例：下面是两位同学计算“半径增加 1米的周长增量”的过程，请判断对错并
改正错误的。
甲：2π(r + 1) 2πr = 2πr + 2π 2πr = 2π（米）
乙：2π(r + 1) 2πr = 2πr + 1 2πr = 1（米）
【对应练习】
1.设圆的半径为 r，半径增加 3，周长增量用字母表示是（ ）。
2.判断：用字母推导的结论，只适用于半径是整数的圆。（ ）
3.找出下面推导的错误并改正：
半径增加m，2πr +m 2πr = m，所以周长增加m。
4.用字母证明：两个圆的半径差为 k，它们的周长差就是 2πk。
5.设内圆半径为 r，环形路宽为w，外圆周长用字母表示是（ ）。
6.用字母推导：圆的直径增加 b，周长增加多少？
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考点 4：圆周长增量规律的直接应用
【核心知识】
1.核心结论：圆的半径增加 a，周长就增加 2πa。
2.拓展结论：圆的直径增加 a，周长就增加πa。
3.应用场景：求环形内外周长差、半径变化后的周长增量，都可以直接用公式
计算，无需分别求总周长。
【方法点拨】
1.只问“周长增加多少” “内外周长差多少”，直接用“2π ×半径增量”计算。
2.注意区分是半径增加还是直径增加，对应选择公式。
3.多个圆比较周长差，直接比较半径差即可，不用分别计算总周长。
【典型例题】
例：一个圆的半径增加 4厘米，它的周长会增加多少厘米？
【对应练习】
1.圆的半径增加 5分米，周长增加（ ）分米。
2.圆的直径增加 6米，周长增加（ ）米。
3.两个圆的半径相差 3厘米，它们的周长相差（ ）厘米。
4.判断：大圆半径增加 2米和小圆半径增加 2米，周长增加的长度不一样。（
）
5.圆形花坛周围修 2米宽的小路，小路外侧周长比花坛周长长多少米？
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6.大圆半径比小圆半径大 5分米，大圆周长比小圆周长长多少分米？
7.圆的半径从 5厘米增加到 8厘米，周长增加了多少厘米？
考点 5：正方形四周扩边的周长变化（对比拓展）
【核心知识】
1.正方形四周均匀加宽w（四周各向外延伸w），新正方形边长 = 原边长 +
2w。
2.周长增量：4 × (原边长+ 2w) 4 ×原边长 = 8w。
3.对比结论：正方形四周加宽固定宽度，周长增量也与原边长无关，只由加宽
宽度决定；和圆形规律本质一致。
【方法点拨】
1.四周加宽时，边长在左右、上下各增加一个宽度，总增加 2w，不要只加 1个
w。
2.对比圆形和正方形，总结共性：图形四周均匀加宽固定宽度，周长增量都只
和宽度有关。
【典型例题】
例：正方形草坪四周修 2米宽的步道，步道外侧的周长比草坪周长多多少米？
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北师大版六年级数学上册讲义
【对应练习】
1.正方形广场四周加宽 3米，周长增加（ ）米。
2.正方形画四周镶 1分米宽的边框，边框外沿周长比画的周长多（ ）分米。
3.判断：正方形边长增加 5米，周长增加 20米，和原来的边长无关。（ ）
4.两个正方形的边长相差 4厘米，它们的周长相差多少厘米？
5.正方形菜地周长 32米，四周向外扩展 1米，扩展后的周长是多少米？
6.圆形和正方形四周都加宽 1米，谁的周长增加得多？多多少？（π取 3.14）
考点 6：周长变化的逆向计算与实际应用
【核心知识】
1.逆向问题：已知周长的增加量，反求半径增加的长度（路宽、跑道宽）。
2.圆形逆向公式：半径增加量 = 周长增量 ÷ (2π)，即Δr =ΔC÷ 2π。
3.实际场景：环形跑道起跑线提前量、环形路宽计算等，本质都是周长差的逆
向应用。
【方法点拨】
1.先根据图形类型，对应选择逆向公式。
2.计算完成后，可以正向代入验算，验证结果是否正确。
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3.跑道问题中，直道长度相同，周长差全部来自弯道，弯道合为一个整圆，周
长差就是半径差对应的圆周长差。
【典型例题】
例：环形跑道外圈比内圈周长长 18.84米，跑道的宽度是多少米？
【对应练习】
1.圆的周长增加 12.56厘米，半径增加（ ）厘米。
2.圆的周长增加 31.4米，直径增加（ ）米。
3.正方形周长增加 24分米，边长增加（ ）分米。
4.圆形花坛周围修环形小路，外侧周长比花坛多 25.12米，小路宽多少米？
5.400米跑道每条宽 1.2米，相邻跑道起跑线要提前多少米？（弯道合为整圆）
6.一个圆的周长从 25.12厘米增加到 50.24厘米，半径增加了多少厘米？
7.正方形四周加宽后周长增加 32米，加宽的宽度是多少米？
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