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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 3.3.1 垂径定理(1)
课型：新授课 设计时间： 2026 年 8 月 11 日
学习核心内容 通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，掌握垂径定理，理解其探索和证明过程，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力.所以它在教材中处于非常重要的位置.
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1.通过实验观察，理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题. 1.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程. 2.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.
学习过程设计
环节一：引入新课 一、复习旧知，情境导入 教师提出问题： 在练习本上画出一个圆 圆是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴. 设计意图： 教师出示问题： 环节二：新知探究 教师出示课本问题： 【小组合作】 请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？ 点C与点D重合，CP与DP重合， ＝，＝． 一般地，圆有下面的性质： 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 你能证明这个性质吗？ CD 是已⊙O 的直径，AB⊥CD 于点 E，连结 AO，BO，则 AO＝BO. 在等腰三角形OAB中，OC⊥AB，得AE=BE. 所以把图沿直径CD对折时，射线EA与射线EB 重合,可知点A与点B重合，则弧AC与弧BC，弧AD与弧BD分别重合，所以弧AC与弧BC，弧AD与弧BD分别相等，记做弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. 这样便证明了垂径定理. 【总结归纳】 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分弦所对的弧。 符号语言： ∵CD是直径，CD⊥AB， ∴AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD 【拓展提高】 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”） 弧的中点： 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. 如图：C是弧AB的中点，D是弧ADB的中点。 【知识拓展】 环节三：典例精析 例1、已知,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点. 分析： 要平分弧AB，只要画垂直于弦AB的直径，而 这条直径应在弦AB的垂直平分线上. 因此，画弦AB的垂直平分线就能把弧AB平分. 作法： 1.连结 AB. 2.作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E. 点E就是所求作的弧AB的中点. 例2、一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离. 解：由题意，OC⊥AB， 由勾股定理，得 答：截面圆圆心O到水面的距离为6. 弦心距 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 例如，图中，OC 的长就是弦 AB 的弦心距. 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，则下列结论错误的是(　　) A．AE＝BE B．EO＝ED C. AD＝BD D. AC＝BC 选做题： 2.如图，已知 AB<是半圆 O的直径，弦 CD//AB， CD=8， AB=10 ，则CD与AB 之间的距离是___. 【综合拓展类作业】 3.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，求桥拱所在圆的半径． 环节五：课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 1.定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 2. 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点. 3. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图（1），筒车边缘装有盛水桶．如图（2），当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O 为圆心，5米为半径的圆，圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦 AB 长8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为( ) A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 选做题： 2.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则木材的直径是_____(1尺＝10寸) 【综合拓展类作业】 3.已知⊙O的半径为25 cm，弦AB＝40 cm，弦CD＝48 cm，AB∥CD. 求两条平行弦AB，CD之间的距离． 参考答案： 课堂练习： B 2. 3 3.解：由题意得CD⊥AB，CD＝8 m， AB＝8 m，∴AD＝DB＝4 m. 如图所示，连结OA. 设OA＝r m， 则OD＝(8－r)m. 在Rt△ODA中，OA2＝AD2＋OD2， 即r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5. ∴桥拱所在圆的半径为5 m . 作业内容： B 2.26寸 3.解：分两种情况讨论． 情况一：如图①，连结OB，OD，过点O作OM⊥AB，垂足为M，OM交CD于点N. ∵OM⊥AB，AB∥CD， ∴BM＝AB＝20 cm，ON⊥CD.∴DN＝CD＝24 cm. ∵⊙O的半径为25 cm，∴OB＝OD＝25 cm. ∴在Rt△OMB和Rt△OND中，根据勾股定理可得OM＝15 cm，ON＝7 cm. ∴MN＝OM－ON＝8 cm. 情况二：如图②，连结OB，OD，过点O作 OM⊥AB，垂足为M，延长MO，交CD于点N. ∵OM⊥AB，AB∥CD，∴BM＝AB＝20 cm， ON⊥CD.∴DN＝CD＝24 cm. ∵⊙O的半径为25 cm，∴OB＝OD＝25 cm. ∴在Rt△OMB和Rt△OND中， 根据勾股定理可得OM＝15 cm，ON＝7 cm. ∴MN＝OM＋ON＝22 cm . 综上可得，两条平行弦AB，CD之间的距离为8 cm 22 cm.
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计：
教学反思： 学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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