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知识点梳理
知识点梳理01：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
知识点梳理02：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
　　　 图（1）中，所以．
　　　　　
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
　　　　 　　图（2）中，所以．
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以．
知识点梳理03：勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理与其逆定理的区别与联系：
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。
联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。
典例精讲
【类型1勾股定理】
【例题1】（2026春 合肥校级月考）在△ABC中，∠A＝90°，若AB＝1，BC＝2，则AC的长为（　　）
B．2 C． D．2.5
【例题2】（2026春 东莞市校级月考）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，第三边长是（　　）
A．5 B． C．7 D．5或
【例题3】（2026春 徐闻县期中）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（2026春 泸州期末）已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的斜边为（　　）
A．5 B．5或 C．4 D．4或5
【变式2】（2026秋 同步）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°．
（1）若BC＝6，AC＝8，则AB＝　 　 ；
（2）若AB＝25，AC＝15，则BC＝　 　 ；
（3）若BC：AC＝3：4，AB＝20，则BC＝　 　 ，AC＝　 　 ．
【变式3】已知，如图∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，AD＝13，则求BD的长度．
【类型2 勾股定理的证明】
【例题1】（2026春 南充校级期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，小正方形的边长为b﹣a，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
（1）将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（△ABC≌△CDE，∠B＝∠D＝90°），使BC和CD在一条直线上，连接AE．请用a，b，c分别表示出梯形ABDE，△ABC，△CDE，△ACE的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：a2+b2＝c2．
【方法迁移】
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝6，AC＝7，BC＝8，设CD＝x，求x的值．
【例题2】（2026春 红河州期末）如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、100分别为所在正方形的面积，则图中字母A所表示的正方形的面积为（　　）
A．8 B．4 C．64 D．36
【例题3】（2025秋 新华区期末）如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为b，较短直角边为a，则（a+b）2的值是（　　）
A．36 B．25 C．19 D．4
【变式1】（2026春 神木市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（　　）
A．
B．
C．4ab+（b﹣a）2＝c2
D．a2+ab+a×（b﹣a）＝c2
【变式2】（2026春 庐阳区校级期中）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为（　　）
A．5 B．12 C．7 D．9
【变式3】（2026秋 同步）如图所示的图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形ABCD的面积为121，四边形EFGH的面积为49，用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y）．给出下列结论：①x2+y2＝121；②x﹣y＝7；③（x+y）2＝160；④2xy+49＝121．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③
【变式3】（2026春 庐江县期末）综合与实践
“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．
如图三幅图中均可证明勾股定理，请你选择期中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程．
【类型3 勾股定理的逆定理】
【例题1】（2026春 罗平县期末）若△ABC三边长a，b，c满足（a﹣5）2+|b﹣12|0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【例题2】（2026春 榆阳区期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中∠ABC的度数应为90°．连接AC，现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，∠ACD＝90°．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即∠ABC的度数是否为90°）．
【变式1】（2026春 鼓楼区校级期末）在△ABC的三边a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝m+n，．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）是否同时存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝2ab？若存在，求a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
【变式2】（2026春 梅州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD，若BC＝20，CD＝16，BD＝12．
（1）判断△BCD的形状，并说明理由；
（2）求△ADC的面积．
【类型4 勾股定理的应用】
【例题1】（2026春 凯里市校级月考）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面4米，树的顶端离树根3米，则这棵树在折断之前的高度是（　　）
A．7米 B．8米 C．9米 D．10米
【例题2】（2026春 阿克陶县期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【例题3】（2026春 北辰区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为　 　 ．
【例题4】（2024春 西华县期中）如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC边的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长为（　　）
B． C． D．5
【例题5】（2026春 广州校级期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距27km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝24km，CB＝15km，现要在铁路AB上建设一个特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？
【例题6】（2026春 无为市期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为（　　）
A．2 B． C． D．2
【例题7】（2026春 南充期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏东30°的方向行30海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距40海里的点B处，若A、B两地相距50海里，则渔船从港口O出发的方向为　 　 ．
【例题8】5（2024秋 七星关区校级期中）如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是10m，高是15m，一只壁虎在距底面3m的点A处，油罐上底面与点A相对的点C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点C处捕食，它爬行的最短路程为多少米？
【例题9】（2025秋 青浦区校级期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝10dm，BC＝5dm，AD＝15dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【变式1】（2026春 海珠区校级期中）如图，一棵大树在此次强台风中在距地面6m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为8m，则这棵大树在折断前的高度为（　　）
A．16m B．17m C．19m D．20m
【变式2】（2025秋 宿州期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　）尺．
A．26 B．24 C．13 D．12
【变式3】（2026春 北流市期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离A′D为1.5m，则小巷的宽为（　　）
A．2m B．2.4m C．2.7m D．2.8m
【变式4】（2025秋 锡林郭勒盟期末）如图的三角板纸片中，AB＝11cm，BC＝6cm，AC＝8cm，沿过点A的直线折叠这个三角形使点C落在AB边上的点E处，折痕为AD，则△BED的周长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式5】（2026春 西和县校级期末）某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出行．如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建火车站，设AE＝xkm，求AE，BE的长．
【变式6】（2026春 界首市期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求BC边上的高．
【变式7】（2026春 中山市校级期中）如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距10km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距　 　 km．
【变式8】（2026春 牧野区校级月考）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？
【变式9】（2026春 新城区期末）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250m范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？
1．（2026春 凯里市校级月考）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13
2．（2026春 广安区期末）满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　）
A．BC＝2，AC＝3，AB＝4 B．BC＝2，AC＝3，AB＝3
C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．（2025秋 临西县期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2026春 阿荣旗期末）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A．1012 B．2024 C．2025 D．2026
5．（2026春 江岸区校级月考）如图，Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（　　）
A．24 B．10π C． D．48
6．（2026春 奈曼旗期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：
如图，延长MN交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形ABCDE的面积S： 方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF，△CDF拼成，则S＝②． 方法二：将五边形ABCDE看成是由③，正方形CDNG，△AME，△DEN拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理．
则下列说法错误的是（　　）
A．①代表BC
B．②代表c2+ab
C．③代表正方形AFDE
D．④代表c2+ab＝a2+b2+ab
7．（2025春 田家庵区期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝8，沿过点A的直线折叠，使点B落在BC边上的点D处，再次折叠，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，则AE的长度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2024秋 渭南期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点D为AB上一点，将△BCD沿CD所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在CA的延长线上，则AD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．
9．（2025 新华区校级开学）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法，将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则△ADC′的面积为（　　）
A．6 B．9 C．10 D．12
10．（2024秋 巴彦县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC边上的一点，AD＝BD，AE⊥BD于点E，若AE＝3，，则线段BD的长为 　 　 ．
11．（2025秋 扬州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ADE沿DE翻折与△BDE重合，若AC＝6，BC＝3．则CD的长为 　 　 ．
12．（2025秋 安宁区校级期末）如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
13．（2026秋 同步）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的有　 　 （填序号）．
①∠A：∠B：∠C＝13：5：12；
②a：b：c＝5：4：3；
③a2+b2＝c2；
④∠A＝90°﹣∠B；
⑤∠A+∠B＝∠C．
14．（2026春 宜宾期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝10cm，AD＝3cm，CD＝15cm．点P是线段AB上一点，且AP＝4cm，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为　 　 秒时，△DPQ为直角三角形．
15．（2026春 顺城区校级期末）.某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°．
（1）求B、D之间的距离；
（2）求四边形ABCD的面积．
16．（2026春 福清市期末）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，∠CBA＝90°，AB＝12米，BC＝9米，CD＝20米，AD＝25米．
（1）求A、C之间的距离．
（2）求这块四边形空地的面积．
17．（2026春 荣县月考）勾股定理是证明方法最多的数学定理之一．如图，是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2＝c2．
18．（2026春 雨花区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．
（1）若∠A＝44°，求∠DBC的度数；
（2）若CD＝1，BC，求BD、AB的长．
19．（2026春 马鞍山期末）如图，点O在△ABC的内部，且∠AOC＝90°，AO＝3，CO＝4，AB＝12，BC＝13．
（1）求AC的长．
（2）求证：△ABC是直角三角形．
20．（2026春 鲤城区校级期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AG是△ABC的高，交BC于点G．已知：DE＝3，AB＝6，BC＝8．
（1）求DF的长；
（2）求AG的长．
21．（2026春 伊金霍洛旗期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为12cm，高为16cm．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部．
（1）当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要　 　 cm；
（2）如图②，老师新买的一根长为25cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为hcm，你能求出h的取值范围吗？
22．（2026春 牧野区校级月考）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处（CA⊥AB于点A）拉船靠岸，开始时绳子BC的长度是AC的3倍．
（1）求B处的游船到岸边AC的距离（即AB的长）；（结果保留根号）
（2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号）
23．（2026春 红谷滩区校级期末）教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．
（1）如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端会沿墙AO下滑多少米？求出梯子会沿墙AO下滑的距离AC的长度；
解决问题：
（2）如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB，货架顶部安装一个高5m的装卸平台AC，现需对该平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触到装卸平台底部A点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？请通过计算说明．
24．（2026春 荔湾区校级期中）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7cm，且与摆锤在最低点时的水平距离为BC＝10cm．
（1）图2中CD＝　 　 cm；
（2）求钟摆AD的长度．
参考答案
典例精讲
【类型1勾股定理】
【例题1】
选：A．
【例题2】
选：D．
【例题3】
选C．
【变式1】
选：D．
【变式2】
解：（1）
答案为：10；
（2）
答案为：20；
（3）
答案为：12，16．
【变式3】
解：在Rt△ACB中，AB5．
在Rt△ABD中，BD12．
【类型2 勾股定理的证明】
【例题1】
（1）证明：∵∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，
∴∠ECD+∠CED＝90°，∠ACB＝∠CED，
∴∠ECD+∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣（∠ECD+∠ACB）＝90°，
∴，，，，
观察图形可知：S梯形ABDE＝S△ABC+S△CDE+S△ACE，
∴，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝6，AC＝7，BC＝8，设CD＝x，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝62﹣（8﹣x）2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝72﹣x2，
∴62﹣（8﹣x）2＝72﹣x2，
∴，
即x的值为．
【例题2】
选：D．
【例题3】
选：B．
【变式1】
选：A．
【变式2】
选：B．
【变式3】
选：C．
【变式3】
选择图2完成证明．
证明：首先观察图2的整体结构：它是边长为a+b的大正方形，
内部由4个全等的直角边为a、b，
斜边为c的直角三角形，和1个边长为c的小正方形拼接组成．
根据正方形面积公式，边长为a+b的大正方形面积为：，
将完全平方展开后可得：，
把大正方形拆分为4个直角三角形和1个小正方形分别计算面积再求和，
单个直角三角形的面积为，
4个直角三角形的总面积为，
中间小正方形的边长为直角三角形的斜边C，
面积为c2，
因此拆分后的总面积为：，
两种方法计算的是同一个大正方形的面积，
因此两个面积表达式相等：a2+2ab+b2＝2ab+c2，
等式两边同时减去公共项2ab，
即可得到：a2+b2＝c2．
【类型3 勾股定理的逆定理】
【例题1】
选：C．
【例题2】
【解答】解：该零件符合标准；理由如下：
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝12cm，AD＝13cm，
由勾股定理，得：AC2＝AD2﹣CD2＝132﹣122＝25，
在△ABC中，AB2+BC2＝32+42＝25＝AC2，
∴三角形ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
∴该零件符合标准．
【变式1】
解：（1）∵a＝m﹣n（m＞n＞0），b＝m+n，c＝2，
∴（m﹣n）2+（2）2＝m2+n2﹣2mn+4mn＝（m+n）2，
∴a2+c2＝b2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）不存在，理由：
由（1）知a2+c2＝b2，即c2＝b2﹣a2，
假设存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝2ab，
∴b2﹣a2＝2ab，
∴a2+2ab﹣b2＝0，
∴ab±b＝（﹣1±）b，
∵b是正整数，﹣1±是无理数，
∴（﹣1±）b是无理数，即a是无理数，与题意不符，
∴不能同时存在a，b，c（a，b，c均为正整数）使得c2＝2ab．
【变式2】
解：（1）△BCD是直角三角形，理由如下：
∵BC＝20，CD＝16，BD＝12，
∴122+162＝202，
即BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形；
（2）∵BC＝20，CD＝16，BD＝12，
∴122+162＝202，
即BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△ADC中，CD＝16，AC＝AB＝AD+BD，
根据勾股定理得，CD2+AD2＝AC2，
即162+AD2＝（AD+12）2，
解得，
因此，
答：△ADC的面积为．
【类型4 勾股定理的应用】
【例题1】
选：C．
【例题2】
选：D．
【例题3】
答案为：22．
【例题4】
选：C
【例题5】
答：E站应建在离A站7km处．
【例题6】
选：D．
【例题7】
答案为：南偏东60°．
【例题8】
答：它爬行的最短路线长为13m．
【例题9】
该车符合安全标准．
【变式1】
选：A．
【变式2】
选：D．
【变式3】
选：C．
【变式4】
选：B．
【变式5】
解：∵AE＝xkm，
∴BE＝（100﹣x）km，
由勾股定理得：CE2＝AC2+AE2，DE2＝BD2+BE2，
根据题意得，CE＝DE，
∴AC2+AE2＝BD2+BE2，
∴202+x2＝（100﹣x）2+602，
解得：x＝66，
∴100﹣x＝34，
∴AE＝66km，BE＝34km．
【变式6】
解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB，AC2，BC5，
∴AB2+AC2＝25＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°；
（2）如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，
∴S△ABCAC ABBC AD，
∵AB，AC＝2，BC＝5，
∴AD＝2，
即BC边上的高为2．
【变式7】
答案为：．
【变式8】（2026春 牧野区校级月考）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？
根据题意，如图所示，路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B，BC，CA剪开，得图1，AB′2＝AB2+BB′2＝（4+2）2+82＝100；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D，D′A′，A′A剪开，得图2，AB′2＝AC2+B′C＝42+（8+2）2＝16+100＝116；
（3）沿AD，DD′，D′B′，B′C′，C′A′，A′A剪开，得图3，AB′2＝AD2+B′D2＝22+（4+8）2＝4+144＝148．
综上所述，最短路径应为图1所示，所以AB′2＝100，即AB′＝10dm，因此最短路程是10dm．
【变式9】
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
在直角△ABC中，BC＝400m，AC＝300m，∠ACB＝90°，
则由勾股定理，得，
∵，即，
∴CD＝240m，
∵240m＜250m，
∴公路AB段有危险，需要暂时封锁．
1．
选：A．
2．
选：C．
3．
选：D．
4．
选：D．
5．
选：A．
6．
选：C．
7．
选：B．
8．
选：D．
9．
选：A．
10．
答案为：．
11．
答案为：．
12．
选：C．
13．
答案为：②③④⑤．
14．
答案为：11或．
15．
解：（1）连接BD，
∵∠A＝90°，
∴
＝5（m），
故B、D之间的距离为5m；
（2）∵52+122＝132，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
∴四边形ABCD的面积AB ADBC BD
4×312×5
＝36（m2）．
16．
解：（1）如图，连接AC，
，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2＝122+92＝152，
∴A、C之间的距离＝15米；
（2）CD2＝202，AD2＝252，
∵152+202＝252，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴种植草皮的面积为：（平方米），
∴种植草皮的面积为96平方米．
17．
证明：根据梯形的面积可得，，
整理得，
∴a2+b2＝c2．
18．
解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，
∴，
∵BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∴∠DBC＝∠ADB﹣∠C＝22°；
（2）∵在Rt△DBC中，，
∴，
设AB＝AC＝x，则AD＝AC﹣CD＝x﹣1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，
∴x2＝（x﹣1）2+32，
解得x＝5，
∴AB＝5．
19．
（1）解：在Rt△AOC中，AO＝3，CO＝4，
由勾股定理得．
（2）证明：∵AC＝5，AB＝12，BC＝13，
∴AC2+AB2＝52+122＝169，BC2＝132＝169，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
20．
解：（1）∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，BD平分∠ABC，且DE＝3，
∴DF＝DE＝3；
（2）∵，
，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝9+12＝21，
又∵AG是△ABC的高，
∴，
即，
解得．
21．
（1）
答案为：18；
（2）当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长h＝25﹣16＝9（cm）；
由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为20（cm），
露在杯子外面的长h＝25﹣20＝5（cm）；
∴如果设其露在杯子外面的长为hcm，则5cm≤h≤9cm．
22．
解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝4米，BC＝3AC＝12米
∴AB8（米），
答：B处的游船到岸边AC的距离为8米；
（2）∵作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，
∴CD＝12﹣1×7＝5（米），
在Rt△ACD中，
∴AD3（米），
∴BD＝AB﹣AD＝（83）米．
答：游船向岸边移动的距离为（83）米．
23．
解：（1）由题意可得，AB＝CD＝2.5m，BO＝0.7m，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：
∵梯子底端沿OB向外移动0.8m，
∴OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5（m），
在直角三角形COD中，由勾股定理得：，
∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）．
答：梯子会沿墙AO下滑的距离AC的长度为0.4m；
（2）叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点．理由如下：
过点D作DE⊥AB于点E，
由题意可得，CD′＝AD＝25m，AB＝17m，AC＝5m，
∵叉车高2m，
∴BE＝2m，
∴AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m），
∴ED20（m），
∵CE＝AE+AC＝15+5＝20（m），
∴ED′15（m），
∴DD′＝ED﹣ED′＝20﹣15＝5（m），
∴叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点．
24．
解：（1）由题意可知：CE＝BF＝7cm，
∴CD＝CE﹣DE＝7﹣5＝2（cm），
故答案为：2；
（2）设AB＝AD＝xcm，依题意得：BC＝10cm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣2）cm，
在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即（x﹣2）2+102＝x2，
解得：x＝26，
答：钟摆AD的长为26cm．

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