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重难点专题 有理数综合应用
模块一、 正负和负数
重难点一、用正负数表示具有相反意义的量
具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，
二是它们都是数量。用正负数表示相反意义的量时，先规定其中一个量为正，则另一个与之相反的量为负。
1．（2025年云南二模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上 记作 ，则冷冻室的温度零下 记作（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】D
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行作答即可．
【详解】解：冰箱保鲜室的温度零上 记作 ，则冷冻室的温度零下 记作 ，故选：D．
2．（25-26七年级·全国·课后作业）如果规定木材公司购进木材为正，售出木材为负，那么，该公司购进木材 可记作______，售出木材 可记作______．
【答案】；
【分析】本题考查正负数的实际意义．根据规定，购进记为正，则售出记为负．
【详解】解：购进木材 记作 ，售出木材 记作 ．故答案为：；．
3．（25-26七年级·全国·课后作业）如果规定铅球的质量高于标准质量的部分为正，低于标准质量的部分为负，那么，甲铅球高于标准质量 可记作______，乙铅球低于标准质量 可记作______．
【答案】；
【分析】本题考查正负数的应用．根据高于标准质量记为正，低于标准质量记为负解答．
【详解】解：甲铅球高于标准质量 记作 ，乙铅球低于标准质量 记作 ．故答案为：；．
4．（25-26七年级·全国·课后作业）下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？
(1) 在知识竞赛中，得20分和扣10分．
(2) 一座水库蓄水量增加 和减少 ．
(3) 一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客．
(4) 长方形的周长是 和面积是 ．
【答案】(1) 具有相反意义，得20分记为 分，扣10分记为 分
(2) 具有相反意义，增加 记为 ，减少 记为
(3) 具有相反意义，下去10名记为 名，上来8名记为 名
(4) 无相反意义
【分析】本题考查相反意义的量的判断．根据相反意义的量必须是同类量且意义相反进行判断．
【详解】解：(1) 得20分与扣10分，意义相反且都是分数，故具有相反意义．
(2) 增加与减少，意义相反且都是水量，故具有相反意义．
(3) 下去与上来，意义相反且都是人数，故具有相反意义．
(4) 周长与面积是不同类量，不具有相反意义．
5．（25-26七年级·全国·课后作业）（1）如果升降机下降 记作 ，那么上升 记作什么？
（2）如果 元表示在银行存入40000元，那么 元表示什么？
（3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量 记作 ，那么低于标准质量 记作什么？
【答案】（1）；（2）在银行取出3000元；（3）
【分析】本题考查相反意义的量．根据相反意义的量的定义求解即可．
【详解】解：（1）上升与下降意义相反， 上升 记作 ．
（2）存入与取出意义相反， 元表示在银行取出3000元．
（3）超过与低于意义相反， 低于标准质量 记作 ．
重难点二、正负数的实际应用
正负数在实际生活中常用于表示误差范围、增减变化、方向位置等．解题关键是明
确"基准"（标准量）和"方向"（正负规定），将实际问题转化为数学表达式．常见题型：质量检测、海拔高度、温度变化、涨跌情况等．
1．（25-26七年级·全国·课后作业）某食品包装袋上标有"净含量 "，则下列食品中合格的是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】B
【分析】本题考查正负数的实际应用． 表示标准质量为 ，允许误差 ，即合格范围为 ．
【详解】解：，， 合格范围为 ． 在此范围内，故选B．
2．（25-26七年级·全国·课后作业）某地某天中午的气温为 ，傍晚下降了 ，则傍晚的气温为______．
【答案】
【分析】本题考查正负数的实际应用．下降用减法计算．
【详解】解：， 傍晚的气温为 ．
3．（25-26七年级·全国·课后作业）一次数学测验，以90分为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负．小明的成绩记作 分，则小明的实际成绩是______分；小红的成绩记作 分，则她的实际成绩是______分．
【答案】；
【分析】本题考查正负数的实际应用．以90分为基准，超过记为正，不足记为负．
【详解】解：小明的实际成绩：（分）；小红的实际成绩：（分）．
4．（25-26七年级·全国·课后作业）某登山队攀登一座山峰，每登高 ，气温变化 ．某时刻山脚的温度为 ，山顶的温度为 ，则山脚到山顶的高度差为______．
【答案】
【分析】本题考查正负数的实际应用．温度变化总量除以每百米变化量，再乘以100．
【详解】解：温度变化：，，（）．故答案为：．
5．（25-26七年级·全国·课后作业）某公司一周内每天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负，单位：万元）：，，，，，，．该公司这一周总的盈亏情况如何？
【答案】盈利 万元
【分析】本题考查正负数的实际应用．将所有数据相加，若结果为正则盈利，为负则亏损．
【详解】解：
（万元）．
该公司这一周盈利 万元．
模块二、 有理数概念
重难点一、理解0既不是正数也不是负数
0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点．0不仅可以表示"没有"，还可以表示"基准"（如 0摄氏度、海拔0米）和"起点"（如数轴上的原点）．0是整数，也是偶数．
1．（24-25七年级·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字"0"的知识时，说得正确的有（ ）个
小红：0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点．
小明：读数时，每级末尾不管有几个0，都不读．
小丽：因为 ，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小．
小刚：除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0．
A．2　　　　B．3　　　　C．4
【答案】B
【分析】根据0的意义、整数读数规则、小数性质、除法与分数等相关知识逐个判断．
【详解】解：小红的表述正确；小明的表述正确；小丽的表述错误（整数末尾的0去掉会改变数的大小）；小刚的表述正确．故正确的共有3个，选B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．一个数不是正数就是负数　　　　B．0是最小的正数
C． 一定是负数　　　　　　　　D．若规定收入为正，则支出200元应记作 元
【答案】D
【分析】本题考查有理数的分类和正负数的意义．
【详解】解：A．0既不是正数也不是负数，故错误；B．0不是正数，故错误；C． 的符号不确定，故错误；D．收入为正，则支出为负，正确．故选D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．带有""号的数是负数　　　　B． 表示没有温度
C．0是最小的正数　　　　　　　D．0既不是正数，也不是负数
【答案】D
【分析】本题考查有理数的相关知识．
【详解】解：A．带有""号的数不一定是负数，如 ，故错误；B． 表示温度为0，不是没有温度，故错误；C．没有最小的正数，故错误；D．0既不是正数也不是负数，正确．故选D．
4．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带""的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（ ）
A．②④　　　　B．①④　　　　C．①③④　　　　D．①②④
【答案】B
【分析】根据正负数的定义进行判断．
【详解】解：①正数前加上负号就是负数，正确；②不是正数的数就是负数，错误，0不是正数也不是负数；③只有带""的数才是正数，错误，如5不带""也是正数；④0既不是正数也不是负数，正确．故选B．
5．下列对0的描述中，错误的是（ ）
A．0是偶数　　　　B．0是自然数
C．0既可以是正数，也可以是负数　　　　D．0不是正数
【答案】C
【分析】本题考查0的性质．
【详解】解：0是偶数，也是自然数，0既不是正数也不是负数．故C错误，符合题意．故选C．
重难点二、有理数的分类，特别是带有“非”有理数的分类
做有理数分类题，特别是带"非"字的题目要理解"非"字其实就是"不"，关键三步：先化简、再明确"非"字的范围、最后逐个判断．"非负数"包括正数和0，"非正数"包括负数和0，"非负整数"包括正整数和0．切记不要漏掉0！
1．在数 ，0，，2024，，3.14中，非负数的个数是（ ）
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【答案】D
【分析】非负数包括正数和0．
【详解】解：非负数有0，，2024，3.14，共4个．故选D．
2．在 ，2，0，， 中，非负整数有（ ）
A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个
【答案】C
【分析】非负整数即零和正整数．
【详解】解：非负整数有2，0，共2个．故选C．
3．下列各数：8.5，，0.25，，0，，，6，，其中非负有理数有（ ）
A．2个　　　　B．3个　　　　C．4个　　　　D．5个
【答案】C
【分析】非负有理数是大于等于0的有理数．
【详解】解：非负有理数有8.5，0.25，，0，6，，共6个．故选C．
4．有下列各数：3，，，5.6，0，，15，．其中非正数有（ ）
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
【答案】D
【分析】非正数包括负数和0．
【详解】解：非正数有 ，，0，，共4个．故选D．
5．（24-25七年级·广东广州·阶段检测）将下列各数填入相应的括号里：
，，0，8，，0.7，，，．
非负分数集合{ ____________ }；整数集合{ ____________ }；
有理数集合{ ____________ }；非正整数集合{ ____________ }．
【答案】非负分数集合；整数集合；
有理数集合；非正整数集合
【分析】根据有理数分类逐一判断即可．
【详解】解：非负分数即大于等于0的分数，有 ，0.7，；整数有0，8，；所有数都是有理数；非正整数即负整数和0，有0，．
模块三、 数轴
重难点一、数轴两点距离公式
数轴上两点间的距离公式：若点 、 分别表示数 、，则 ．已知距离求
点表示的数时，要分两种情况（左侧和右侧）讨论，即"左减右加"
1．数轴上到5对应的点的距离为3个单位长度的点表示的有理数为______．
【答案】2或8
【分析】分所求点在5的左侧和右侧两种情况讨论．
【详解】解：左侧：；右侧：．故答案为：2或8．
2．若点A是数轴上表示 的点，将点A先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点B，则点B在数轴上表示的数为______．
【答案】
【分析】根据数轴上点的平移规律：左减右加．
【详解】解：．故答案为：．
3．数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是______．
【答案】
【分析】根据平移规律依次计算．
【详解】解：点B：，点C：．故答案为：．
4．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为______厘米．
【答案】3或2
【分析】长度为 的线段盖住 或 个整点，分端点是否与整点重合两种情况．
【详解】解：盖住3个整点，则火柴棒长度为3厘米或2厘米．故答案为：3或2．
5．（25-26七年级·陕西安康·阶段检测）数轴上点A表示的数是 ，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么 秒后，点A表示的数是______（用含有 的代数式表示）．
【答案】 或
【分析】分向右运动和向左运动两种情况．
【详解】解：向右运动时，点A表示的数为 ；向左运动时，点A表示的数为 ．故答案为： 或 ．
重难点二 利用数轴化简绝对值
利用数轴化简绝对值的关键步骤：
①根据数轴判断各数的正负和大小关系；
②判断绝对值内式子的正负；
③根据"正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数"去掉绝对值符号；
④合并同类项．注意数轴上的点从左到右表示的数依次增大．
有理数 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，
化简：．
【答案】
【分析】由数轴可知 ，，，，，．
【详解】解：原式 ．
已知 、、 在数轴上的位置如图所示，
化简：．
【答案】
【分析】由数轴可知 ，，，，，．
【详解】解：原式 ．
有理数 、 在数轴上的位置如图所示，
化简：．
【答案】
【分析】由数轴可知 ，且 ，，．
【详解】解：原式 ．
4．有理数，在数轴上的位置如图所示：
(1)判断 ， 0， ， ．（填“”或“”或“”
(2)化简： ．
【答案】(1)；；；
(2)
【分析】（1）根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，绝对值的定义，有理数的加法、减法法则判断即可；
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值化简即可．
【详解】（1）解：（1）根据数轴得：，，
∴，，，，
故答案为：；；；
（2）∵，，
∴，
故答案为：．
5．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且，化简．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减．先判断，，，然后化简绝对值，再合并同类项即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
=
．
重难点三、数轴上点的平移
数轴上点的平移遵循"左减右加"的规律：点 P 表示的数为 x，向左平移 m 个单位
后表示的数为 x-m，向右平移 m 个单位后表示的数为 x+m。
1．数轴上点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，则终点表示的数为______．
【答案】
【分析】根据"左减右加"计算．
【详解】解：．故答案为：．
2．数轴上点A表示的数是，点B在点A的右侧，且 ，则点B表示的数为______．
【答案】
【分析】点B在点A右侧，用加法．
【详解】解：．故答案为：．
3．数轴上点A表示的数是3，点B表示的数是，将点A向______移动______个单位长度可以得到点B．
【答案】左；5
【分析】计算两点之间的距离．
【详解】解：， 将点A向左移动5个单位长度得到点B．故答案为：左；5．
4．（25-26七年级·全国·课后作业）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行2个单位长度，再向左爬行5个单位长度，此时蚂蚁所在的位置表示的数是______．
【答案】
【分析】根据"左减右加"计算．
【详解】解：．故答案为：．
5．（25-26七年级·陕西安康·阶段检测）数轴上点A表示的数是3，点B表示的数是 ，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，则 秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______．
【答案】；
【分析】点P向左运动，用减法；点Q向右运动，用加法．
【详解】解：点P：；点Q：．故答案为：；．
重难点四、数轴上整点覆盖问题
数轴上表示整数的点为整点．长度为 n（n 为正整数）的线段，若端点恰好与整点重合，
则盖住 n+1 个整点；若端点不与整点重合，则盖住 n 个整点．解题时需分两种情况讨论．
1．数轴上表示 与 的两点之间，表示整数的点有______个．
【答案】6
【分析】在 与 之间的整数为 ，，0，1，2，3，共6个．
【详解】解： 与 之间的整数有 ，，0，1，2，3，共6个．故答案为：6．
2．数轴上表示与 的两点之间（包括端点），表示整数的点有______个．
【答案】7
【分析】在 与之间（包括端点）的整数为 ，，，，0，1，2，共7个．
【详解】解：共7个．故答案为：7．
3．在数轴上，长度为 的线段最多能盖住______个整点．
【答案】2026
【分析】当线段端点与整点重合时，盖住整点最多．
【详解】解：长度为 的线段，端点与整点重合时，盖住 个整点．故答案为：2026．
4．数轴的单位长度为1，若在数轴上画出一条长为 的线段，则这条线段最少能盖住______个整点．
【答案】2026
【分析】当线段端点不与整点重合时，盖住整点最少．
【详解】解：长度为 的线段，端点不与整点重合时，盖住 个整点．故答案为：2026．
5．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度为 ，若在这个数轴上随意画出一条长为 的线段，则这条线段盖住的整点个数为______．
【答案】2024或2025
【分析】分端点是否与整点重合两种情况讨论．
【详解】解：若端点与整点重合，盖住 个；若端点不与整点重合，盖住 个．故答案为：2024或2025．
重难点五、 数轴上的规律探究
数轴上的规律探究题通常涉及图形的周期性翻转、滚动等运动．解题关键是找出运动周期，
用总数除以周期，根据余数确定最终位置．常见题型：正多边形在数轴上的翻转、圆在数轴上的滚动等
1．如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴 所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数 将与圆周上的哪个数字重合（ ）
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
【答案】C
【分析】每滚动一周为一个周期，周期为4．
【详解】解：， 与数字2重合．故选C．
2．三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点 、 对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点 对应的数是1，则翻转2025次后，点 对应的数是（ ）
A．不对应任何数　　　B．2023　　　C．2024　　　D．2025
【答案】A
【分析】每3次翻转为一个循环组，，余数为0，点 不在数轴上．
【详解】解：， 翻转2025次后，点 不在数轴上．故选A．
3．如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．D点 D．E点
【答案】B
【分析】本题主要考查了数轴，根据题意可得，翻转后数轴上1，2，3，4，5，6对应的点为根据，根据规律进行判定即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1，2，3，4，5，6对应的点为……
则，
所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是B．
故答案为：B．
正方形 在数轴上的位置如图所示，
点 、 对应的数分别为 和 ，若正
方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（ ）
A．点 　　　　B．点 　　　　C．点 　　　　D．点
【答案】C
【分析】每4次翻转为一个循环组，，余数为0，对应点 ．
【详解】解：， 与2024对应的点是点 ．故选C．
5．在数轴上，一只电子跳蚤从原点出发，第1次向右跳1个单位，第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，，按此规律跳了2025次后，它所在的位置表示的数是______．
【答案】
【分析】奇数步向右，偶数步向左，每两次移动后位置向左移动1个单位．
【详解】解：第1次：1，第2次：，第3次：2，第4次：，，第 次：，第 次：．， 所在位置为 ．故答案为：．
模块四、 相反数
重难点一、相反数和等于0，
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．核心性质：互为相
反数的两个数的和为0，即若 a、b 互为相反数，则 a+b=0．利用这一性质可以列方程求解未知数的值
1．若 ， 互为相反数，则 ______．
【答案】3
【分析】由相反数的性质可知 ，代入计算即可．
【详解】解：，．故答案为：3．
2．若点 和点 表示的数互为相反数，则原点是点______．
【答案】C
【分析】互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点．
【详解】解： 与 相距6个单位长度， 原点在 的中点处，即点 ．
3．已知 与 的和为2， 与 互为相反数，若 ，则 ______．
【答案】3
【分析】由 与 互为相反数且 ，得 ，再由 得 ．
【详解】解： 与 互为相反数，，．，．故答案为：3．
4．若 、 互为相反数，则 ______．
【答案】2025
【分析】由相反数的定义得 ，代入计算即可．
【详解】解：，．故答案为：2025．
5．如果式子 与式子 的值互为相反数，那么 的值是（ ）
A．　　　　B．0　　　　C．　　　　D．1
【答案】C
【分析】根据相反数的定义，两个式子的和为0，列方程求解．
【详解】解：，，．故选C．
重难点二、多重符号的化简
多重符号化简的法则：奇负偶正——化简结果的符号由负号（"-"号）的个数决定，
负号个数为奇数时结果为负，为偶数时结果为正．正号可以全部省略，不影响结果．化简时可以从内
向外逐层去括号，也可以直接数负号的个数．
1．化简： 的结果为______．
【答案】
【分析】正号可以直接省略，负号保留．
【详解】解：．故答案为：．
2．化简： 的结果为______．
【答案】
【分析】一个负号，取相反数．
【详解】解：．故答案为：．
3．化简： 的结果为______．
【答案】
【分析】共有3个负号，奇数个，结果为负．
【详解】解：．故答案为：．
4．化简： 的结果为______．
【答案】
【分析】先算绝对值，再取相反数．
【详解】解：．故答案为：．
5．化简： 的结果为______．
【答案】
【分析】先算绝对值 ，再逐层去括号．
【详解】解：．故答案为：．
重难点三、理解-a不一定是负数
字母 a 可以表示任意有理数，-a 的符号取决于 a 本身的符号：当 a>0 时，
-a 是负数；当 a=0 时，-a=0；当 a<0 时，-a 是正数．因此，不能简单认为 -a 一定是负数，需分类讨
论．
1．下列说法中正确的是（ ）
A． 一定是负数　　　　B． 一定是负数
C． 一定不是负数　　　　D． 一定是负数
【答案】C
【分析】根据绝对值的非负性和符号规律判断．
【详解】解：A． 不一定是负数，当 时 ，故错误；B．，不一定是负数，故错误；C．，一定不是负数，故正确；D．，当 时是负数，当 时是正数，故错误．故选C．
2．若 是正数，则 是______数；若 是负数，则 是______数．
【答案】负；正
【分析】根据相反数的定义判断．
【详解】解：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数．故答案为：负；正．
3．若 是有理数，则 表示（ ）
A．负数　　　　B．正数　　　　C． 的相反数　　　　D．0
【答案】C
【分析】 表示 的相反数，不一定是负数．
【详解】解： 表示的相反数，故选C．
4．若是负数，则是______数；若是正数，则是______数．
【答案】正；负
【分析】与互为相反数，符号相反．
【详解】解：若是负数，则是正数；若是正数，则 是负数．故答案为：正；负．
5．若 是有理数，则与 的大小关系是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．以上都有可能
【答案】D
【分析】分 ，， 三种情况讨论．
【详解】解：当 时，；当 时，；当 时，．故选D．
模块五、 绝对值
重难点一、求一个数的绝对值
绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．即 ．绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数
1．若 ，则 ______．
【答案】
【分析】绝对值等于7的数有两个，互为相反数．
【详解】解：．故答案为：．
2．若 ，则 ______．
【答案】
【分析】先计算 ，再求绝对值等于2的数．
【详解】解：，．故答案为：．
3．数轴上 点到原点的距离是3， 点到原点的距离是4，则线段 ______．
【答案】1或7
【分析】分 、 在原点同侧和异侧两种情况讨论．
【详解】解：同侧时 ；异侧时 ．故答案为：1或7．
4．若 ，，且 ，则 的值为______．
【答案】8或18
【分析】先确定 、 的可能取值，再结合 筛选．
【详解】解：，，，．，，．
当 ， 时，；当 ， 时，．故答案为：8或18．
5．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）若，，则的值是______．
【答案】1或5或11
【分析】本题考查了乘方，绝对值．根据绝对值和平方根的定义，确定x和y的可能值，分别代入表达式计算绝对值，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴当时，则，
∴当时，则，
∴当时，则，
∴当时，则，
因此，的值可能为1或5或11，
故答案为：1或5或11
重难点二、理解绝对值的几何意义
绝对值的几何意义： 表示数轴上表示数 的点到原点的距离； 表示数轴上表示数 与 的两点之间的距离．利用绝对值的几何意义可以直观地解决最值问题： 的最小值为 ，此时 在 与 之间（包括端点）
1． 的最小值是______．
【答案】12
【分析】该式表示数 到1、3、5、7、9的距离之和，当 时距离之和最小．
【详解】解：当 时，原式 ．故答案为：12．
2． 的最小值为______，此时 的取值范围是______．
【答案】2；
【分析】 表示数 到1和3的距离之和，当 在1和3之间时距离之和最小，为 ．
【详解】解：最小值为2，此时 ．
3． 的最小值为______．
【答案】5
【分析】 表示数 到2和 的距离之和，当 在 和2之间时距离之和最小，为 ．
【详解】解：最小值为5．故答案为：5．
4．若 ，则整数 的值有______个．
【答案】7
【分析】 表示数 到2和 的距离之和，最小值为 ，当 在 和2之间时取最小值，此时 ，整数 有 ，，，，0，1，2，共7个．
【详解】解：共7个．故答案为：7．
5．式子 的最小值为______．
【答案】25
【分析】当 取中间数5或6时，距离之和最小．
【详解】解：当 时，原式 ；
当 时，原式 ．故答案为：25．
重难点三、绝对值非负性
绝对值的非负性：，即任何数的绝对值都是非负数．几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．常见的非负数有：绝对值、平方数（）、算术平方根（，）．利用非负性可以列方程求解未知数的值．
1．若 的最小值为______， 的最小值为______．
【答案】0；3
【分析】根据绝对值的非负性求解．
【详解】解：， 最小值为0；，，最小值为3．故答案为：0；3．
2．若 ，则 ______．
【答案】13
【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．
【详解】解：，，且和为0，
，，解得 ，．．故答案为：13．
3．若 ，则 的值为______．
【答案】5
【分析】根据非负数的性质求出 、 的值，再代入计算．
【详解】解：，，且和为0，
，，解得 ，．
．故答案为：5．
4．若 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据非负数的性质，每个绝对值都为0．
【详解】解：，，，且和为0，
，，，解得 ，，．
．故答案为：．
5．如果 ，那么 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据绝对值的性质，当 时，．
【详解】解：，．故答案为：．
模块六、 有理数比较大小
重难点一、有理数比较大小的通用法则：数轴比较法，法则比较法
有理数大小比较的三种方法：
①数轴比较法——数轴上右边的数总比左边的数大；
②法则比较法——正数>0>负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
③先化简再比较——有绝对值或多重符号的先化简，统一形式后再比较大小．
在 ，，0， 这四个数中，最小的数是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．0　　　　D．
【答案】A
【分析】正数大于0，负数小于0，两个负数比较，绝对值大的反而小．
【详解】解：，．故选A．
2．下列各数中，比 小的数是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．0　　　　D．5
【答案】A
【分析】两个负数比较，绝对值大的反而小．
【详解】解：，．故选A．
3．小明买了4袋标准质量为450克的食品，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）：，，，．其中最重的是（ ）
A．第一袋　　　　B．第二袋　　　　C．第三袋　　　　D．第四袋
【答案】A
【分析】实际质量等于标准质量加上检测结果，检测结果越大越重．
【详解】解：， 第一袋最重．故选A．
4．比较 ，，1 的大小，下列判断正确的是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】A
【分析】正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小．
【详解】解：，．故选A．
5．比较大小：______（请用""""""填写）．
【答案】
【分析】先化简，再比较．
【详解】解：， 两者相等．故答案为：．重难点专题 有理数综合应用
模块一、 正负和负数
重难点一、用正负数表示具有相反意义的量
具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，
二是它们都是数量。用正负数表示相反意义的量时，先规定其中一个量为正，则另一个与之相反的量为负。
1．（2025年云南二模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上 记作 ，则冷冻室的温度零下 记作（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2．（25-26七年级·全国·课后作业）如果规定木材公司购进木材为正，售出木材为负，那么，该公司购进木材 可记作______，售出木材 可记作______．
3．（25-26七年级·全国·课后作业）如果规定铅球的质量高于标准质量的部分为正，低于标准质量的部分为负，那么，甲铅球高于标准质量 可记作______，乙铅球低于标准质量 可记作______．
4．（25-26七年级·全国·课后作业）下面哪对量是具有相反意义的量？如何用正负数来表示它们？
(1) 在知识竞赛中，得20分和扣10分．
(2) 一座水库蓄水量增加 和减少 ．
(3) 一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客．
(4) 长方形的周长是 和面积是 ．
5．（25-26七年级·全国·课后作业）（1）如果升降机下降 记作 ，那么上升 记作什么？
（2）如果 元表示在银行存入40000元，那么 元表示什么？
（3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量 记作 ，那么低于标准质量 记作什么？
重难点二、正负数的实际应用
正负数在实际生活中常用于表示误差范围、增减变化、方向位置等．解题关键是明
确"基准"（标准量）和"方向"（正负规定），将实际问题转化为数学表达式．常见题型：质量检测、海拔高度、温度变化、涨跌情况等．
1．（25-26七年级·全国·课后作业）某食品包装袋上标有"净含量 "，则下列食品中合格的是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2．（25-26七年级·全国·课后作业）某地某天中午的气温为 ，傍晚下降了 ，则傍晚的气温为______．
3．（25-26七年级·全国·课后作业）一次数学测验，以90分为标准，超过的部分记为正，不足的部分记为负．小明的成绩记作 分，则小明的实际成绩是______分；小红的成绩记作 分，则她的实际成绩是______分．
4．（25-26七年级·全国·课后作业）某登山队攀登一座山峰，每登高 ，气温变化 ．某时刻山脚的温度为 ，山顶的温度为 ，则山脚到山顶的高度差为______．
5．（25-26七年级·全国·课后作业）某公司一周内每天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负，单位：万元）：，，，，，，．该公司这一周总的盈亏情况如何？
模块二、 有理数概念
重难点一、理解0既不是正数也不是负数
0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点．0不仅可以表示"没有"，还可以表示"基准"（如 0摄氏度、海拔0米）和"起点"（如数轴上的原点）．0是整数，也是偶数．
1．（24-25七年级·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字"0"的知识时，说得正确的有（ ）个
小红：0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点．
小明：读数时，每级末尾不管有几个0，都不读．
小丽：因为 ，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小．
小刚：除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0．
A．2　　　　B．3　　　　C．4
2．下列说法正确的是（ ）
A．一个数不是正数就是负数　　　　B．0是最小的正数
C． 一定是负数　　　　　　　　D．若规定收入为正，则支出200元应记作 元
3．下列说法中正确的是（ ）
A．带有""号的数是负数　　　　B． 表示没有温度
C．0是最小的正数　　　　　　　D．0既不是正数，也不是负数
4．下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带""的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（ ）
A．②④　　　　B．①④　　　　C．①③④　　　　D．①②④
5．下列对0的描述中，错误的是（ ）
A．0是偶数　　　　B．0是自然数
C．0既可以是正数，也可以是负数　　　　D．0不是正数
重难点二、有理数的分类，特别是带有“非”有理数的分类
做有理数分类题，特别是带"非"字的题目要理解"非"字其实就是"不"，关键三步：先化简、再明确"非"字的范围、最后逐个判断．"非负数"包括正数和0，"非正数"包括负数和0，"非负整数"包括正整数和0．切记不要漏掉0！
1．在数 ，0，，2024，，3.14中，非负数的个数是（ ）
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
2．在 ，2，0，， 中，非负整数有（ ）
A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个
3．下列各数：8.5，，0.25，，0，，，6，，其中非负有理数有（ ）
A．2个　　　　B．3个　　　　C．4个　　　　D．5个
4．有下列各数：3，，，5.6，0，，15，．其中非正数有（ ）
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
5．（24-25七年级·广东广州·阶段检测）将下列各数填入相应的括号里：
，，0，8，，0.7，，，．
非负分数集合{ ____________ }；整数集合{ ____________ }；
有理数集合{ ____________ }；非正整数集合{ ____________ }．
模块三、 数轴
重难点一、数轴两点距离公式
数轴上两点间的距离公式：若点 、 分别表示数 、，则 ．已知距离求
点表示的数时，要分两种情况（左侧和右侧）讨论，即"左减右加"
1．数轴上到5对应的点的距离为3个单位长度的点表示的有理数为______．
2．若点A是数轴上表示 的点，将点A先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点B，则点B在数轴上表示的数为______．
3．数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是______．
4．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为______厘米．
5．（25-26七年级·陕西安康·阶段检测）数轴上点A表示的数是 ，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么 秒后，点A表示的数是______（用含有 的代数式表示）．
重难点二 利用数轴化简绝对值
利用数轴化简绝对值的关键步骤：
①根据数轴判断各数的正负和大小关系；
②判断绝对值内式子的正负；
③根据"正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数"去掉绝对值符号；
④合并同类项．注意数轴上的点从左到右表示的数依次增大．
有理数 、 在数轴上的位置如图所示，且 ，
化简：．
已知 、、 在数轴上的位置如图所示，
化简：．
有理数 、 在数轴上的位置如图所示，
化简：．
4．有理数，在数轴上的位置如图所示：
(1)判断 ， 0， ， ．（填“”或“”或“”
(2)化简： ．
5．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且，化简．
重难点三、数轴上点的平移
数轴上点的平移遵循"左减右加"的规律：点 P 表示的数为 x，向左平移 m 个单位
后表示的数为 x-m，向右平移 m 个单位后表示的数为 x+m。
1．数轴上点A表示的数是，将点A向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，则终点表示的数为______．
2．数轴上点A表示的数是，点B在点A的右侧，且 ，则点B表示的数为______．
3．数轴上点A表示的数是3，点B表示的数是，将点A向______移动______个单位长度可以得到点B．
4．（25-26七年级·全国·课后作业）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行2个单位长度，再向左爬行5个单位长度，此时蚂蚁所在的位置表示的数是______．
5．（25-26七年级·陕西安康·阶段检测）数轴上点A表示的数是3，点B表示的数是 ，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，则 秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______．
重难点四、数轴上整点覆盖问题
数轴上表示整数的点为整点．长度为 n（n 为正整数）的线段，若端点恰好与整点重合，
则盖住 n+1 个整点；若端点不与整点重合，则盖住 n 个整点．解题时需分两种情况讨论．
1．数轴上表示 与 的两点之间，表示整数的点有______个．
2．数轴上表示与 的两点之间（包括端点），表示整数的点有______个．
3．在数轴上，长度为 的线段最多能盖住______个整点．
4．数轴的单位长度为1，若在数轴上画出一条长为 的线段，则这条线段最少能盖住______个整点．
5．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度为 ，若在这个数轴上随意画出一条长为 的线段，则这条线段盖住的整点个数为______．
重难点五、 数轴上的规律探究
数轴上的规律探究题通常涉及图形的周期性翻转、滚动等运动．解题关键是找出运动周期，
用总数除以周期，根据余数确定最终位置．常见题型：正多边形在数轴上的翻转、圆在数轴上的滚动等
1．如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴 所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数 将与圆周上的哪个数字重合（ ）
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点 、 对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点 对应的数是1，则翻转2025次后，点 对应的数是（ ）
A．不对应任何数　　　B．2023　　　C．2024　　　D．2025
3．如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．D点 D．E点
正方形 在数轴上的位置如图所示，
点 、 对应的数分别为 和 ，若正
方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（ ）
A．点 　　　　B．点 　　　　C．点 　　　　D．点
5．在数轴上，一只电子跳蚤从原点出发，第1次向右跳1个单位，第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，，按此规律跳了2025次后，它所在的位置表示的数是______．
模块四、 相反数
重难点一、相反数和等于0，
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．核心性质：互为相
反数的两个数的和为0，即若 a、b 互为相反数，则 a+b=0．利用这一性质可以列方程求解未知数的值
1．若 ， 互为相反数，则 ______．
2．若点 和点 表示的数互为相反数，则原点是点______．
3．已知 与 的和为2， 与 互为相反数，若 ，则 ______．
4．若 、 互为相反数，则 ______．
5．如果式子 与式子 的值互为相反数，那么 的值是（ ）
A．　　　　B．0　　　　C．　　　　D．1
重难点二、多重符号的化简
多重符号化简的法则：奇负偶正——化简结果的符号由负号（"-"号）的个数决定，
负号个数为奇数时结果为负，为偶数时结果为正．正号可以全部省略，不影响结果．化简时可以从内
向外逐层去括号，也可以直接数负号的个数．
1．化简： 的结果为______．
2．化简： 的结果为______．
3．化简： 的结果为______．
4．化简： 的结果为______．
5．化简： 的结果为______．
重难点三、理解-a不一定是负数
字母 a 可以表示任意有理数，-a 的符号取决于 a 本身的符号：当 a>0 时，
-a 是负数；当 a=0 时，-a=0；当 a<0 时，-a 是正数．因此，不能简单认为 -a 一定是负数，需分类讨
论．
1．下列说法中正确的是（ ）
A． 一定是负数　　　　B． 一定是负数
C． 一定不是负数　　　　D． 一定是负数
2．若 是正数，则 是______数；若 是负数，则 是______数．
3．若 是有理数，则 表示（ ）
A．负数　　　　B．正数　　　　C． 的相反数　　　　D．0
4．若是负数，则是______数；若是正数，则是______数．
5．若 是有理数，则与 的大小关系是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．以上都有可能
模块五、 绝对值
重难点一、求一个数的绝对值
绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．即 ．绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数
1．若 ，则 ______．
2．若 ，则 ______．
3．数轴上 点到原点的距离是3， 点到原点的距离是4，则线段 ______．
4．若 ，，且 ，则 的值为______．
5．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）若，，则的值是______．
重难点二、理解绝对值的几何意义
绝对值的几何意义： 表示数轴上表示数 的点到原点的距离； 表示数轴上表示数 与 的两点之间的距离．利用绝对值的几何意义可以直观地解决最值问题： 的最小值为 ，此时 在 与 之间（包括端点）
1． 的最小值是______．
2． 的最小值为______，此时 的取值范围是______．
3． 的最小值为______．
4．若 ，则整数 的值有______个．
5．式子 的最小值为______．
重难点三、绝对值非负性
绝对值的非负性：，即任何数的绝对值都是非负数．几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．常见的非负数有：绝对值、平方数（）、算术平方根（，）．利用非负性可以列方程求解未知数的值．
1．若 的最小值为______， 的最小值为______．
2．若 ，则 ______．
3．若 ，则 的值为______．
4．若 ，则 ______．
5．如果 ，那么 的取值范围是______．
模块六、 有理数比较大小
重难点一、有理数比较大小的通用法则：数轴比较法，法则比较法
有理数大小比较的三种方法：
①数轴比较法——数轴上右边的数总比左边的数大；
②法则比较法——正数>0>负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
③先化简再比较——有绝对值或多重符号的先化简，统一形式后再比较大小．
1．在 ，，0， 这四个数中，最小的数是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．0　　　　D．
2．下列各数中，比 小的数是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．0　　　　D．5
3．小明买了4袋标准质量为450克的食品，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）：，，，．其中最重的是（ ）
A．第一袋　　　　B．第二袋　　　　C．第三袋　　　　D．第四袋
4．比较 ，，1 的大小，下列判断正确的是（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
5．比较大小：______（请用""""""填写）．

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