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专题02 绝对值综合题（8题型突破·举一反三）
题型01 绝对值非负性求值（月考选择填空必考）
题型02 数轴位置型绝对值化简（期中高频解答题）
题型03 零点分段法化简多绝对值（中档核心难点）
题型04 绝对值方程求解（期中必考分类讨论）
题型05 绝对值几何意义求最值（期末培优重点）
题型06 绝对值与代数式范围综合（高频易错题）
题型07 绝对值新定义阅读创新题（期中特色题型）
题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点（期末大题压轴）
▌题型01 绝对值非负性求值（月考选择填空必考）
任意有理数的绝对值恒大于等于0，即。
核心结论：若若干个非负数的和为0，则每一个非负数必须单独为0。
常见组合：、，均满足。
非负数和为0 → 各项均为0 → 联立方程求字母 → 代入代数式计算。
【典例1-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，，且，则（ ）
A．3 B．7 C． D．3或7
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
当时，；
当时，；
故选：D．
【典例1-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）若，则的值为 ___
【答案】16
【详解】解：∵， 、，
∴ 且 ，
∴，．
∴．
故答案为：16．
【典例1-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）若与互为相反数，则______．
【答案】
【详解】解：由题意得：．
∵，，
所以且，
解得：，，
则，
所以．
故答案为：．
【变式1-1】（25-26七年级上·全国·期中）若 与 互为相反数，则的值为（ ）
A．23 B．27 C．8 D．24
【答案】B
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
∴，
∵且，
∴ 且
解得 ，，
故，
故选：B．
【变式1-2】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）若x，y满足，则的值是（ ）
A．1 B． C．2025 D．
【答案】B
【详解】解： x，y满足，
，，
，，
，，
，
故选：B．
【变式1-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（ ）．
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【详解】解：∵，且左边各项非负，
，
，
代入方程得，
两边减去得，
，
且，
∴，
．
故答案为：A．
▌题型02 数轴位置型绝对值化简（期中高频解答题）
速记口诀：正数是本身，负数是相反数，0的绝对值是0
关键提醒：此处不代表负数，仅表示的相反数，正负由的取值决定。
三步解题法
1. 定符号：根据数轴大小关系，判断每个绝对值内式子的正负；
2. 去绝对值：依据代数定义去掉绝对值符号；
3. 化最简：去括号、合并同类项，得出最终结果。
【典例2】（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．
化简：．
【答案】
【详解】解：根据在数轴上的位置得：且，
∴，，，
∴
【变式2-1】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）有理数在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等．
(1)用“”“”或“”填空： ______，_______， ______；
(2)计算：．
【详解】（1）解：∵表示数的点、数的点在原点两侧，且与原点的距离相等，
∴数与数互为相反数，
∴，
又由数轴可得，，，
∴，，
故答案为：，，；
（2）解：由数轴可知，，
∴，
又∵，
∴．
【变式2-2】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且．
(1)用“＜”，“＝”，“＞”填空：_____，_____，_____，_____0；
(2)化简：．
【详解】（1）解：观察数轴，得，，
∴，，，
∵
∴，
∴，
（2）解：
．
【变式2-3】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示．
(1)化简：；
(2)若，互为相反数，，互为倒数，有理数在数轴上对应的点到原点的距离等于，求的值．
【详解】（1）解：由数轴得，，，，
∴；
（2）解：∵ ，互为相反数，，互为倒数，有理数在数轴上对应的点到原点的距离等于，
∴，，，
∴当，，时，，
当，，时，，
∴的值为或．
▌题型03 零点分段法化简多绝对值（中档核心难点）
四步标准流程
1. 求零点：令每个绝对值内代数式=0，求出未知数的零点；
2. 排区间：将零点从小到大排序，分割出互不重叠的数轴区间；
3. 判正负：在每个区间内，判断绝对值内式子的正负；
4. 分化简：逐段去绝对值化简，汇总所有区间结果。
【典例3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．
从而化简代数式可分以下3种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)化简时，先确定零点值分别为___________和___________．
(2)仿照上面的做法，化简．
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
故答案为：；
（2）解：由题意，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
综上，．
【变式3-1】（23-24七年级上·广西梧州·期中）综合与实践：
【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程．
【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下：
解：令和，分别求得，．
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式．
综上讨论，原式．
【问题解决】通过以上探究，解决以下问题：
(1)求出和的零点值；
(2)化简代数式．
【详解】（1）解：令，
解得：，，
∴和的零点值为，4；
（2）解：令，
解得：，，
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
综上所述，原式．
【变式3-2】（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题．
我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.
如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
；
；
．
从而化简代数式可分以下种情况：
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
综上讨论，.
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出和的零点值；
(2)化简．
【详解】（1）解：令和，
解得，，
和的零点值分别为、；
（2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和，
当时，；
当时，；
当时，；
综上，．
【变式3-3】（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料．
我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式
时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况：
当时，原式；当时，原式；
当时，原式；
，通过以上阅读，解决问题：
(1)直接写出的零点值是 ；
(2)化简；
(3)直接写出代数式的化简结果
【详解】（1）解：令，解得，
因此的零点值是．
（2）解：令和，
解得和．
这两个值将实数轴分为三个区间：．
当时，，
原式．
当时，，
原式．
当时，，
原式．
（3）解：令，解得．因此分成四个区间：．
当时，，
原式．
当时，，但，
原式．
当时，，
原式．
当时，此时所有表达式非负，
原式．
▌题型04 绝对值方程求解（期中必考分类讨论）
基础模型解题规则
针对一元一次绝对值方程 ：
1. ：方程有两个不相等的解， 或 ；
2. ：方程有唯一解，；
3. ：方程无解（绝对值恒非负，无法等于负数）。
进阶典例（多绝对值方程）
解方程：
解：零点为，分三段讨论：
① 当时，原式，解得（符合区间范围，有效）
② 当时，原式，方程无解
③ 当时，原式，解得（符合区间范围，有效）
综上，方程的解为或。
【典例4-1】（25-26七年级上·全国·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______．
【答案】0或
【详解】解：方程为，
绝对值零点为和，将数轴分为三个区间讨论：
当时，，，方程化为，
整理得，解得，不符合题意，舍去；
当时，，，方程化为，
整理得，解得，符合题意；
当时，，，方程化为，
整理得，解得，符合题意；
故方程为或．
从形的角度，设数轴上点P对应x，点A对应，点B对应，，即点到点距离的2倍，
∴方程的几何意义为：，
当时，方程为，解得(舍去)；
当时，方程为，解得；
当时，方程为，解得；
故答案为：0或．
【典例4-2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请你找出所有符合条件的整数，使得．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴或，
即或，
∴或；
（3）解：∵表示到和的距离和，且与在数轴上的距离为，
∴在到之间（含和）．
∴符合条件的整数为：，，，，，．
【变式4-1】（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的序号是_______．
①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或；
②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z；
③适合的整数x的值有7个
④如果定义，当，，时，的值为．
【答案】②③④
【详解】解：①∵，
∴，
∵，
∴a、b、c两个为正一个为负，
当a、b、c两个为正一个为负时，不防设，
∴；
综上，则的值为，即①错误；
②∵，
∴都加2023得：，即，
∴最小的数是w，最大的数是z，即②正确；
③适合的整数x，为范围内的整数，即，共7个，即③正确；
④当时，
∴a、b异号，
又∵，
∴负数的绝对值大于正数得绝对值，
又∵，
∴，
∴，
根据，
∴，故④正确．
故答案为：②③④．
【变式4-2】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题．
经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：
(1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离．
(2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．
【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离；
故答案为：，；
（2）解：表示数轴上有理数x所对应的点到3所对应的点之间的距离；
表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离；
故答案为：，．
（3）解：表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4，
∵到2之间的距离为4，
∴x在到2之间，
∴这样的整数x有，，0，1，2．
【变式4-3】（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7；
一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为；
运用：
(1)若，则a的值为________；
(2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________．
(3)若代数式，求a的值．
【详解】（1）解：表示数轴上a与2的距离为3，
∴这样的a值为或5，
故答案为：或5；
（2）解：∵数轴上表示数a的点位于与2之间，
∴
，
故答案为：；
（3）解：，
当时，
，
解得：；
当时，
，不符合题意；
当时，
，
解得：；
综上：a的值为或7．
▌题型05 绝对值几何意义求最值（期末培优重点）
的几何意义：数轴上表示数的点与数的点之间的线段距离。
通用距离公式：数轴上任意两点、，两点距离 （距离恒为非负数）。
三大万能固定模型（直接套用，无需推导）
模型1：两绝对值和
最小值：，取等条件：，无最大值。
模型2：三绝对值和
最小值：，取等条件：（取中间零点）。
模型3：两绝对值差
最大值：，最小值：。
【典例5-1】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知有理数满足，则的最大值是_____．
【答案】4
【详解】解：，
表示求到的距离的和，
的最小值为，
，，
表示求到的距离之和，
的最小值为，
，
的最小值为10，
，
当时，的最大值为，
故答案为：4．
【典例5-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）．
(1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ；
(2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ；
(3)求的最小值．
【详解】（1）解：∵，
∴数轴上表示和的两点之间的距离是，
∵，
∴或，
∴或，
故答案为：，或．
（2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和，
当点在点和点之间时取得最小值，
的最小值是，
∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和，
当点在中间点处时取得最小值，
∴当时,的最小值是．
故答案为：，，．
（3）解：，共个数，中间两个数为和，
根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，
当时，
，
∴的最小值为．
【典例5-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题：
(1)若，则________；
(2)的最小值为________；
的最小值为________；
(3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费．
【详解】（1）解：，
或，
或1．
故答案为：5或1．
（2）解：表示数轴上到与到8的距离之和，
当在与8之间时，取最小值，最小值为；
表示数轴上到、到2与到的距离之和，
当时，，此时和最小．
故答案为：11；5．
（3）解：以天府广场O为原点，天府广场向右的方向为正方向，建立数轴，则A、B、C三个补给站对应的数字为，5，9，如图，
设物资存放处对应的数字为，配送成本费为元，
，
当时，，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，（元），取得最小值，
物资存放处设在A、B之间时，能使单次配送成本最低，最低的配送成本费为20元．
【变式5-1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________．
【答案】5或9
【详解】解：由，，
∴b是a和c的中点，，，
由，得
，即，
设x表示点E的数，
当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有，
①当点E在点A的左侧时，如图
，
②当点E在点C的右侧时，如图
，
③当点E在点C上时，如图
，
④当点E在点A上时，如图
，
⑤当点E在之间时，如图
，
⑥当点E在之间时，如图
⑦当点E在之间（包括点C，D）时，如图
，
∴的最小值为5．
当点D在点A的左侧时，同理可得，
当点E在之间时，取得最小值，如图
∴．
综上所述，的最小值为5或9．
【变式5-2】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题：
(1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______；
(2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值；
(3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是，
∴A，B两点之间的距离是；
（2）解：∵，
∴或，
∴或，
在数轴上标记x所在的位置如图所示：
（3）解：当时，，
当时，，此时，
当时，，
∴当时，的值最大，最大值为．
【变式5-3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题：
(1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离；
(2)请你结合数轴探究：
①的最小值是_____；
②的最小值为______；
(3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？
【详解】（1）解：表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
故答案为：，3；
（2）解：①可理解为在数轴上对应的点分别到3和所对应的点的距离之和，3和之间的距离为，
当时，的最小，
则的最小值是5；
故答案为：5；
②表示在数轴上x对应的点分别与、、在数轴上所对应的点之间的距离之和，
当时，最小，在这个范围内，当时，最小，此时最小，
∴的最小值是8；
故答案为：8；
（3）解：以市民广场O为原点，A、B、C分别为、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x，
∴总运输和包装成本为，
由（2）知当时，总成本能取到最小值，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∴当时，最小，即当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是20元/千份．
【变式5-4】（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题：
【初步应用】
（1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______；
②若，则______；
【深入探究】
（2）求的最小值．以下是小明的解答过程：
解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离．
当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，．
∴，即．
当点P在线段上，即时，如图②，此时．
即，
当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，．
∴，即．
∴当时，有最小值，最小值为5．
请根据小明的解答过程，完成下列问题：
求式子的最小值．
【解决问题】
（3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？
【详解】解：（1）①由条件可知距离是．
故答案为：5．
②表示数轴上表示a的点到5的距离为3，
∴或，
解得：或，
故答案为：8或2．
（2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离．
当点P在点A的左边，即时，此时，，．
∴，即；
当点P与点A重合时，，即；
当点P在线段上，即时，此时，．
∴，即；
当点P与点B重合时，，即；
当点P在线段上，即时，此时，．
∴，即；
当点P与点C重合时，，即；
当点P在点C的右边时，即时，此时，，．
∴，即．
∴当时，有最小值，最小值为5．
故答案为：5．
（3）设会议地点应设在第x层，
由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为，
可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5，
∴当时，有最小，
又∵x为正整数，
∴当或时有最小．
故答案为：会议地点应设在第4或5层．
▌题型06 绝对值与代数式范围综合（高频易错题）
已知两个数的绝对值，结合两数大小、正负、相反数等限制条件，求解代数式的值，核心易错点为未分类讨论、漏解、未验根。
【典例6-1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）已知且．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【详解】（1）解：且，
，，
，
，，
当时，；
当时，；
（2）解：，
，或，，
当，时，
；
当，时，
，
的值为6或．
【典例6-2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知、互为相反数，、互为倒数，的倒数是它本身，
(1)直接写出、、的值．
(2)求的值．
【详解】（1）解：∵、互为相反数，、互为倒数，的倒数是它本身，
∴，，或．
（2）解：把，，代入可得：
；
把，，代入可得：
．
综上，的值为或．
【典例6-3】（25-26七年级上·北京通州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】．
【提出问题】
两个不为0的有理数，满足，同号，求的值．
【解决问题】
解：由、同号且都不为可知、有两种可能：①、都是正数：②、都是负数．
①若、都是正数，即，，有及，则；
②若、都是负数，即，，有及，；
所以的值为2或．
【探究】
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知且，且，则_____．
(2)两个不为0的有理数，满足，求的值．
(3)若，则_____．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴当时，，
当时，，
故答案为或；
（2）解：∵，
∴异号，
∵当时，，
当时，，
∴；
（3）解：∵，
∴三个数皆为正或一正两负，
当三个数皆为正时，
当三个数一正两负时，
∴或.
【变式6-1】（25-26七年级上·贵州安顺·期中）已知，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
（2）由|可知，即，找出满足条件的和组合，再计算的值。
【详解】（1），，
或，或；
，
当，时，；
当，时，；
（2），
，即，
当，时，，成立，；
当，，，成立，．
的值为或．
【变式6-2】（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）（1）已知两个有理数满足且，求的值．
（2）若a ，b互为相反数，且， c，d互为倒数，，求的值．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
（2）∵a ，b互为相反数，且， c，d互为倒数，，
∴，，，
∴，，
．
【变式6-3】（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
【知识背景】
当时，；当时，；当时，．
【解决问题】
（1）当时，_____；当时，_____；
（2）若两个有理数a，b的值满足，则_____；
【探究拓展】
（3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值．
【详解】解：（1）当时，，当时，，
故答案为：1，；
（2）∵两个有理数a，b的值满足，
∴a、b同号，即，或，，
∴当，时，，
当，时，，
故答案为：2或；
（3），
∴a、b、c全为负数或两正一负．
①当a、b、c全为负数时， ，
∴；
②当a、b、c为两正一负时，若，
，
若，，
若，，
综上所述，原式的值为或0．
【变式6-4】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题：
(1)__________，__________；
(2)__________（），__________（其中，）．
(3)若，试求的所有可能的值．
【详解】（1）解：，，
故答案为：．
（2）解：当时，，
当时，，
当，时，，
当，时，，
故，的值为或．
（3）解：①当，，时，，
②当中有一个字母小于时，，
③当中有两个字母小于时，，
④当三个字母都小于时，，
综上所述，的所有可能的值．
▌题型07 绝对值新定义阅读创新题（期中特色题型）
题干自定义“相伴点”“折线数轴”“绝对距离”等陌生概念，题型新颖、文字量大，但核心考点仍为绝对值几何意义与距离公式。
【典例7-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）规定，，例如，，下列结论正确的是（ ）
（1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（1）（4） D．（1）（3）（4）
【答案】C
【详解】解：结论（1）：由得，因绝对值非负，故，，代入，故结论成立；
结论（2）：当时，，而，二者不等，故结论不成立；
结论（3）：由得，解得时（另一解矛盾），存在，满足，故结论不成立；
结论（4）：，分三段讨论：当时为；当时为；当时为，则最小值为，故结论成立；
故选：C．
【典例7-2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________
①若，则；②；③若a，b异号，则或；
④对于任意有理数，总有；
【答案】①③
【详解】解：对于结论①：若，则．
由于绝对值非负性，故且，
即且，
解得，
因此结论①正确．
对于结论②：．
当时，，因此结论②错误．
对于结论③：若 a，b 异号．
当时，；
当时，；
当时，．
因此或，
综上，结论③正确．
对于结论④：取，
则，
而，两者不相等，因此结论④错误．
故答案为：①③．
【变式7-1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）规定：，例如：，，下列结论：（1）能使成立的的值为1和；（2）若，则；
（3）若，则；（4）式子的最小值是2．
其中正确的是（ ）
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4）
【答案】B
【详解】解：∵，
∴或，
解得：或，故（1）正确；
∵，，，
∴，，
∴
，故（2）正确；
∵，
∴，
∴且，
解得：，，
∴，故（3）正确；
∵，
∴表示数轴上表示x的点到表示和表示3的点的距离的和，
∵时，数轴上表示x的点到表示和表示3的点的距离的和最小，
∴的最小值为，故（4）错误，
综上所述：正确的结论有（1）（2）（3），
故选：B．
【变式7-2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义：表示有理数到离它最近的整数的距离，如，，．
①__________，②若，则有_________种可能的值．
【答案】
【详解】解：①或，
故答案为：；
②设，相当于，则
设的小数部分为，
当时，，此时，
∴或或或
解得：或或或或或或
当时，，
∴或或或
解得：或（舍去）或或或或或（舍去）
则或或或
综上所述，可能为，共种可能的值．
故答案为：．
【变式7-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为____________；的最小值为______________．（用含的式子表示）
【答案】 1
【详解】解：和关于1的“单位数”，
，
当都小于等于1时，可得，
可得，
当都大于1时，可得，
可得，
当时，由于，
可得，此时和都取最小值时，相加最小，值为，
同理当时，相加最小值为1，
故有最小值1；
由题意可知：，
同理可得的最小值为3；
同理可得的最小值为7，
同理可得的最小值；
同理可得的最小值；
；
同理可得的最小值；
的最小值：．
故答案为：1；．
【变式7-4】（24-25七年级上·北京丰台·期末）给出一种数的表示方法：设数，其中的值只能取0或1，则称数a为n位本原数．例如，当时，2位本原数a可以表示为四个数．现定义两个n位本原数的加法运算：设，那么有．
（1）若，则_______；
（2）若d，e均是3位本原数，设，且，则3位本原数_______．
【答案】 或
【详解】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：．
（2）设，其中、、为或，即、、均不大于，
∵，
∴
，
∴，
则，，或，
∴或．
故答案为：或 ．
【变式7-5】（2025七年级上·全国·专题练习）定义一种新运算“”，对任意两数x，y，当时，；当时，．
(1)当时， 求的值；
(2)当 时，求的值；
(3)当时， 求y的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
（3）解：∵，
当， 即时，，
∴或，
∴或，
当， 即时，，
∴或，
∴ (舍去) 或，
∴y的值为或或3．
▌题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点（期末大题压轴）
通用建模解题四步法（满分标准）
1. 设参：设运动时间为秒，用含的式子表示所有动点对应的数；
2. 列式：用绝对值公式表示两点运动后的距离；
3. 求解：根据题干等量关系列绝对值方程，分类讨论求解；
4. 验根：舍去不符合实际意义的解（时间、位置不合理的解）。
【典例8-1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，两点在数轴上分别表示有理数，且，点O为原点，点C在数轴上两点之间，且．
(1)直接写出__________，__________，点C所对应的数是__________；
(2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且，
∴点C所对应的数是2，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
经过秒，点P与点Q表示的数分别是和，
∴，
解得或．
【典例8-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足．
(1)______；______；
(2)动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度．
①运动几秒时，点与点距离个单位长度；
②动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，设运动时间为秒，请问，是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值．
【详解】（1）解：，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得，，
即或，
解得：或，
答：运动秒或秒时，点与点距离个单位长度；
②存在，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，，，
，
时，，
当时，为定值．
答：存在，的值为，这个定值为．
【典例8-3】（25-26七年级上·江西赣州·期中）已知：b是最小的正整数；且a、b满足，请回答问题：
(1)请直接写出a、b、c的值： ； ；
(2)数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A，B，C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，回答下列问题：
①经过1秒后，求出点A与点C之间的距离．
②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【详解】（1）解：由b是最小的正整数，可得，
∵，且，
∴，
∴；
故答案为；1；4；
（2）解：①由题意得：经过1秒后，点A表示的数为；点C表示的数为；
∴点A与点C之间的距离；
②的值不会随着时间t的变化而改变，理由如下：
由题意得：t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为；
∴，，
∴．
【变式8-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向右运动；设运动时间为t秒．
(1)，两点对应的数分别为______，______，，两点的距离为______；
(2)点运动2秒后，与原点O的距离为______个单位长度；
(3)①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________；
②求出P、Q同时向右运动几秒时，点与点表示的数互为相反数；
(4)请直接写出运动几秒后，点与点两点相距3个单位长度．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，
则，两点的距离为，
故答案为：，3，9；
（2）解：由题意知，点运动2秒后，
则与原点O的距离为0个单位长度，
故答案为：0；
（3）解：①因为点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，
所以点P表示的数是；
因为点Q从点B同时出发，以1个单位/秒的速度向右运动，
所以点Q表示的数，
故答案为：，；
②点与点表示的数互为相反数，则，
解得；
（4）解：当点在点前面，则，解得；
当点在点后面，则，解得；
则运动3秒或6秒后，点与点两点相距3个单位长度．
【变式8-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．
(1)写出数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点P表示的数为 （用含t的式子表示）；
(2)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？
(3)在（2）的前提下，式子的值不随时间t的变化而变化，求m的值．
【详解】（1）解：，
，，
，，
点A表示的数为，点B表示的数为12，点P表示的数为，
故答案为：，12，．
（2）解：，
由点P、Q两点到点A的距离相等，得，
，
解得：或8；
（3）点Q表示的数为，点M表示的数为．
则，，
，
∵式子的值不随时间t的变化而变化，
∴，
∴．
【变式8-3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足．
(1)______，______；
(2)线段在直线上运动，且点在点的右边，长为个单位长度，、分别是、的中点，判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果有变化，请说明理由；
(3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，点运动多少秒时，、两点相距个单位长度？
【详解】（1）解：，
，，
，；
故答案为：，；
（2）解：的长度不发生变化，理由如下：
设表示的数为，则表示的数为，
表示的数为，表示的数为，、分别是、的中点，
表示的数为，表示的数为，
；
的长度不发生变化，其值为11；
（3）解：设点运动秒时，、两点相距个单位长度，
根据题意得，表示的数为，表示的数为，
，
即或，
解得或，
点运动秒或秒时，、两点相距个单位长度．
【变式8-4】（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足．
(1)　　，　　．
(2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长；
②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【详解】（1）解：，且，
，且，
解得，
故答案为：；
（2）解：①如图所示：
是线段的中点，是线段的中点，
，，
，
；
②是定值；理由如下：
点与点重合时，如图所示：
由①知，，
点是线段的中点，
，
，，
将线段放在数轴上，使点与原点重合，设运动时间为，如图所示：
令点表示的数为，
点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，线段以个单位长度/秒的速度向左运动，
点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
点与点相遇秒后与点相遇，
当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则，
解得；
当点与点相遇时，两个点表示的数相同，则，
解得；
，
解得，
点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
点表示的数为，
在整个运动过程中，，，
则，
即在整个运动过程中，为定值．
【变式8-5】（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C．
(1)则 ， ．
(2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
(3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值．
【详解】（1）解：已知，
，
，
．
故答案为：10，18；
（2）解：由（1）可知，，
设运动时间为t秒，
则，
，
∴的值不会随着时间t的变化而改变，为；
（3）解：由（1）可知，，，，
，
设点P运动的路程为y，
当时，，此时点P表示的数为，
当时，，此时点P表示的数为，
设点Q运动的路程为，
当时，，此时点Q表示的数为，
当时，，此时点表示的数为，
当时，，此时点表示的数为，
∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位，
即，
情况1：，，，
则，即，
∴或，
解得，（舍去）；
情况2：，，，
则，即，
解得或，
即（符合），（舍去）；
情况3：，，，
则，即，
解得或，
即（舍去），（舍去）；
情况4：，，，
则，即，
∴或，即（舍去），（符合），
综上，当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．专题02 绝对值综合题（8题型突破·举一反三）
题型01 绝对值非负性求值（月考选择填空必考）
题型02 数轴位置型绝对值化简（期中高频解答题）
题型03 零点分段法化简多绝对值（中档核心难点）
题型04 绝对值方程求解（期中必考分类讨论）
题型05 绝对值几何意义求最值（期末培优重点）
题型06 绝对值与代数式范围综合（高频易错题）
题型07 绝对值新定义阅读创新题（期中特色题型）
题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点（期末大题压轴）
▌题型01 绝对值非负性求值（月考选择填空必考）
任意有理数的绝对值恒大于等于0，即。
核心结论：若若干个非负数的和为0，则每一个非负数必须单独为0。
常见组合：、，均满足。
非负数和为0 → 各项均为0 → 联立方程求字母 → 代入代数式计算。
【典例1-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，，且，则（ ）
A．3 B．7 C． D．3或7
【典例1-2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）若，则的值为 ___
【典例1-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）若与互为相反数，则______．
【变式1-1】（25-26七年级上·全国·期中）若 与 互为相反数，则的值为（ ）
A．23 B．27 C．8 D．24
【变式1-2】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）若x，y满足，则的值是（ ）
A．1 B． C．2025 D．
【变式1-3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（ ）．
A．2 B． C．1 D．
▌题型02 数轴位置型绝对值化简（期中高频解答题）
速记口诀：正数是本身，负数是相反数，0的绝对值是0
关键提醒：此处不代表负数，仅表示的相反数，正负由的取值决定。
三步解题法
1. 定符号：根据数轴大小关系，判断每个绝对值内式子的正负；
2. 去绝对值：依据代数定义去掉绝对值符号；
3. 化最简：去括号、合并同类项，得出最终结果。
【典例2】（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．
化简：．
【变式2-1】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）有理数在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等．
(1)用“”“”或“”填空： ______，_______， ______；
(2)计算：．
【变式2-2】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且．
(1)用“＜”，“＝”，“＞”填空：_____，_____，_____，_____0；
(2)化简：．
【变式2-3】（25-26七年级上·河南平顶山·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示．
(1)化简：；
(2)若，互为相反数，，互为倒数，有理数在数轴上对应的点到原点的距离等于，求的值．
▌题型03 零点分段法化简多绝对值（中档核心难点）
四步标准流程
1. 求零点：令每个绝对值内代数式=0，求出未知数的零点；
2. 排区间：将零点从小到大排序，分割出互不重叠的数轴区间；
3. 判正负：在每个区间内，判断绝对值内式子的正负；
4. 分化简：逐段去绝对值化简，汇总所有区间结果。
【典例3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．
从而化简代数式可分以下3种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)化简时，先确定零点值分别为___________和___________．
(2)仿照上面的做法，化简．
【变式3-1】（23-24七年级上·广西梧州·期中）综合与实践：
【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程．
【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下：
解：令和，分别求得，．
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式．
综上讨论，原式．
【问题解决】通过以上探究，解决以下问题：
(1)求出和的零点值；
(2)化简代数式．
【变式3-2】（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题．
我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.
如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
；
；
．
从而化简代数式可分以下种情况：
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
综上讨论，.
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出和的零点值；
(2)化简．
【变式3-3】（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料．
我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式
时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况：
当时，原式；当时，原式；
当时，原式；
，通过以上阅读，解决问题：
(1)直接写出的零点值是 ；
(2)化简；
(3)直接写出代数式的化简结果
▌题型04 绝对值方程求解（期中必考分类讨论）
基础模型解题规则
针对一元一次绝对值方程 ：
1. ：方程有两个不相等的解， 或 ；
2. ：方程有唯一解，；
3. ：方程无解（绝对值恒非负，无法等于负数）。
进阶典例（多绝对值方程）
解方程：
解：零点为，分三段讨论：
① 当时，原式，解得（符合区间范围，有效）
② 当时，原式，方程无解
③ 当时，原式，解得（符合区间范围，有效）
综上，方程的解为或。
【典例4-1】（25-26七年级上·全国·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______．
【典例4-2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请你找出所有符合条件的整数，使得．
【变式4-1】（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的序号是_______．
①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或；
②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z；
③适合的整数x的值有7个
④如果定义，当，，时，的值为．
【变式4-2】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题．
经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：
(1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离．
(2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．
【变式4-3】（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7；
一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为；
运用：
(1)若，则a的值为________；
(2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________．
(3)若代数式，求a的值．
▌题型05 绝对值几何意义求最值（期末培优重点）
的几何意义：数轴上表示数的点与数的点之间的线段距离。
通用距离公式：数轴上任意两点、，两点距离 （距离恒为非负数）。
三大万能固定模型（直接套用，无需推导）
模型1：两绝对值和
最小值：，取等条件：，无最大值。
模型2：三绝对值和
最小值：，取等条件：（取中间零点）。
模型3：两绝对值差
最大值：，最小值：。
【典例5-1】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知有理数满足，则的最大值是_____．
【典例5-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）．
(1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ；
(2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ；
(3)求的最小值．
【典例5-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．利用数轴解决以下问题：
(1)若，则________；
(2)的最小值为________；
的最小值为________；
(3)10月26日，2025年成都马拉松鸣枪开跑！这场被誉为“最具烟火气”的城市赛事，以穿越宽窄巷子、锦里古街的人文赛道闻名全国．在某一段经过天府广场O的笔直跑道，跑道上有A、B、C三个补给站，分别位于天府广场左侧，右侧和右侧．为了能够减轻工作人员负担，组委会使用了无人机配合工作人员从赛道旁某物资存放处分别向A、B、C三个补给站进行货物配送．工作人员只配送A补给站，无人机配送B、C补给站．工作人员配送成本为2元/公里，无人机配送成本1元/公里，请问，物资存放处设在何处能使单次配送成本最低，并求出最低的配送成本费．
【变式5-1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________．
【变式5-2】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题：
(1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______；
(2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值；
(3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
【变式5-3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题：
(1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离；
(2)请你结合数轴探究：
①的最小值是_____；
②的最小值为______；
(3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？
【变式5-4】（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题：
【初步应用】
（1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______；
②若，则______；
【深入探究】
（2）求的最小值．以下是小明的解答过程：
解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离．
当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，．
∴，即．
当点P在线段上，即时，如图②，此时．
即，
当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，．
∴，即．
∴当时，有最小值，最小值为5．
请根据小明的解答过程，完成下列问题：
求式子的最小值．
【解决问题】
某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？
▌题型06 绝对值与代数式范围综合（高频易错题）
已知两个数的绝对值，结合两数大小、正负、相反数等限制条件，求解代数式的值，核心易错点为未分类讨论、漏解、未验根。
【典例6-1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）已知且．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【典例6-2】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知、互为相反数，、互为倒数，的倒数是它本身，
(1)直接写出、、的值．
(2)求的值．
【典例6-3】（25-26七年级上·北京通州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】．
【提出问题】
两个不为0的有理数，满足，同号，求的值．
【解决问题】
解：由、同号且都不为可知、有两种可能：①、都是正数：②、都是负数．
①若、都是正数，即，，有及，则；
②若、都是负数，即，，有及，；
所以的值为2或．
【探究】
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知且，且，则_____．
(2)两个不为0的有理数，满足，求的值．
(3)若，则_____．
【变式6-1】（25-26七年级上·贵州安顺·期中）已知，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【变式6-2】（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）（1）已知两个有理数满足且，求的值．
（2）若a ，b互为相反数，且， c，d互为倒数，，求的值．
【变式6-3】（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
【知识背景】
当时，；当时，；当时，．
【解决问题】
（1）当时，_____；当时，_____；
（2）若两个有理数a，b的值满足，则_____；
【探究拓展】
（3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值．
【变式6-4】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题：
(1)__________，__________；
(2)__________（），__________（其中，）．
(3)若，试求的所有可能的值．
▌题型07 绝对值新定义阅读创新题（期中特色题型）
题干自定义“相伴点”“折线数轴”“绝对距离”等陌生概念，题型新颖、文字量大，但核心考点仍为绝对值几何意义与距离公式。
【典例7-1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）规定，，例如，，下列结论正确的是（ ）
（1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（1）（4） D．（1）（3）（4）
【典例7-2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________
①若，则；②；③若a，b异号，则或；
④对于任意有理数，总有；
【变式7-1】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）规定：，例如：，，下列结论：（1）能使成立的的值为1和；（2）若，则；
（3）若，则；（4）式子的最小值是2．
其中正确的是（ ）
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4）
【变式7-2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义：表示有理数到离它最近的整数的距离，如，，．
①__________，②若，则有_________种可能的值．
【变式7-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为____________；的最小值为______________．（用含的式子表示）
【变式7-4】（24-25七年级上·北京丰台·期末）给出一种数的表示方法：设数，其中的值只能取0或1，则称数a为n位本原数．例如，当时，2位本原数a可以表示为四个数．现定义两个n位本原数的加法运算：设，那么有．
（1）若，则_______；
（2）若d，e均是3位本原数，设，且，则3位本原数_______．
【变式7-5】（2025七年级上·全国·专题练习）定义一种新运算“”，对任意两数x，y，当时，；当时，．
(1)当时， 求的值；
(2)当 时，求的值；
(3)当时， 求y的值．
▌题型08 压轴专题——绝对值+数轴动点（期末大题压轴）
通用建模解题四步法（满分标准）
1. 设参：设运动时间为秒，用含的式子表示所有动点对应的数；
2. 列式：用绝对值公式表示两点运动后的距离；
3. 求解：根据题干等量关系列绝对值方程，分类讨论求解；
4. 验根：舍去不符合实际意义的解（时间、位置不合理的解）。
【典例8-1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，两点在数轴上分别表示有理数，且，点O为原点，点C在数轴上两点之间，且．
(1)直接写出__________，__________，点C所对应的数是__________；
(2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值；
【典例8-2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足．
(1)______；______；
(2)动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度．
①运动几秒时，点与点距离个单位长度；
②动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，设运动时间为秒，请问，是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值．
【典例8-3】（25-26七年级上·江西赣州·期中）已知：b是最小的正整数；且a、b满足，请回答问题：
(1)请直接写出a、b、c的值： ； ；
(2)数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A，B，C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，回答下列问题：
①经过1秒后，求出点A与点C之间的距离．
②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【变式8-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向右运动；设运动时间为t秒．
(1)，两点对应的数分别为______，______，，两点的距离为______；
(2)点运动2秒后，与原点O的距离为______个单位长度；
(3)①用含t的式子分别表示P、Q两点表示的数：P是__________；Q是____________；
②求出P、Q同时向右运动几秒时，点与点表示的数互为相反数；
(4)请直接写出运动几秒后，点与点两点相距3个单位长度．
【变式8-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．
(1)写出数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点P表示的数为 （用含t的式子表示）；
(2)动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？
(3)在（2）的前提下，式子的值不随时间t的变化而变化，求m的值．
【变式8-3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足．
(1)______，______；
(2)线段在直线上运动，且点在点的右边，长为个单位长度，、分别是、的中点，判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果有变化，请说明理由；
(3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，点运动多少秒时，、两点相距个单位长度？
【变式8-4】（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且，满足．
(1)　　，　　．
(2)点与点重合时，线段以个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图，点在线段上，若是线段的中点，是线段的中点，求线段的长；
②是直线上点左侧一点，线段运动的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度向右运动，点是线段的中点，若点与点相遇秒后与点相遇．试探索整个运动过程中，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【变式8-5】（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C．
(1)则 ， ．
(2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
(3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值．

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