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专题03 数轴综合题（8题型突破·举一反三）
题型01 数轴识图与数的大小比较（选择填空必考·夯实根基）
题型02 数轴与绝对值几何意义最值（期中重难点）
题型03 数轴动点（月考压轴必考·核心难点）
题型04 数轴翻折（折叠对称·期中难点）
题型05 数轴动态与代数式综合（期中压轴必考·核心难点）
题型06 数轴动态与整式加减（期中压轴必考·核心难点）
题型07 数轴动态与一元一次方程综合（期末压轴必考·核心难点）
题型08 数轴旋转与动态新定义（期末拓展难题）
▌题型01 数轴识图与数的大小比较（选择填空必考·夯实根基）
1. 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。
2. 数的大小规律：数轴上数满足右大左小，右侧的有理数永远大于左侧有理数。
【典例1-1】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列数轴画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、没有正方向，故A选项不符合题意；
B、没有单位长度，故B选项不符合题意；
C、原点、正方向、单位长度三要素正确，故C选项符合题意；
D、没有原点，正数和负数的位置错，故D选项不符合题意．
故选：C．
【典例1-2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________．
【答案】
【详解】解：由图可得，，且，
∴，
故答案为：．
【典例1-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由数轴可得，
在数轴上表示出如下：
∴，
故选：B．
【典例1-4】（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、c，且，，则下列结论中①；②；③；④中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：由题意可知，，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
∴正确的有3个；
故选：C．
【变式1-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、正方向不对，不符合题意；
B、原点，正方向，单位长度均符合数轴特点，符合题意；
C、没有正方向，单位长度也不对，不符合题意；
D、单位长度不一致，不符合题意；
故选：B ．
【变式1-2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可知，与互为相反数，在数轴上关于原点对称；和互为相反数，在数轴上关于原点对称；
则和的位置如图，
∴．
【变式1-3】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）有理数在数轴上的位置如图所示，且，，，则、、、的大小用小于号连接为_______．
【答案】
【详解】解：由数轴可得，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-4】（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④
【答案】B
【详解】解：设相邻两点间的距离为．
若，则，
，
，
解得：．
．
故①说法正确；
若，
数的绝对值从到先大后小，
原点在中点的右边，中点的左边．
故②的说法不符合题意；
设对应，则对应，对应，
若，
即
点是原点．
故③说法正确；
若原点在，之间并且临近点时，有．
故④的说法不符合题意．
综上，正确的说法有①③．
故选：B．
▌题型02 数轴与绝对值几何意义最值（期中重难点）
核心解题模型（万能结论，直接套用）
1. ：表示动点x到定点a的距离，无最大值，最小值为0；
2. ：当且仅当时，式子取最小值，最小值为；
3. ：当且仅当时，式子取最小值。
【典例2-1】（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，
∴当时，的值最小，为到的距离，即；
∴最小值是1；
故选A．
【典例2-2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________．
【答案】
【详解】解：，
由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离，
当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为，
∴的最小值．
【变式2-1】（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______．
【答案】
【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离，
∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，
当时，有最小值，为．
【变式2-2】我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________．
【答案】
【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，
∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小，
那么当时，，
∴式子的最小值是．
【变式2-3】（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______．
【答案】或1
【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即．
已知最小值为3，因此，
即或，
解得或．
故答案为或1．
▌题型03 数轴动点（月考压轴必考·核心难点）
一、万能解题模板（通用步骤，所有动点题通用）
1. 设时间：设动点运动时间为t秒（默认，负数时间无意义，需舍去）；
2. 表坐标：用含t的代数式表示动点最终对应数：
起点为m，向右运动、速度v：对应数
起点为m，向左运动、速度v：对应数
3. 列方程：根据相遇、距离、中点、对称等条件，结合距离公式、中点公式列方程；
4. 验结果：解方程后舍去负数解，验证结果符合实际运动情况。
【典例3-1】（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：
①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：；
②线段的中点表示的数为；
③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：．
同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．
【问题情境】
如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．
【问题解决】
(1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________；
(2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）；
(3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9，
∴的距离为；
B点与C点的中点D表示的数为；
故答案为：4，5；
（2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，
运动t秒后，点A表示的数为；
故答案为：；
(3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由：
解：三点中不存在一点为另外两点的中点，
当时，
点A表示的数为，
点B表示的数为，
点C表示的数为，
∴，，，
∵，
∴三点中不存在一点为另外两点的中点．
【典例3-2】（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100．
(1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数．
(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？
【详解】（1）解：M点对应的数是；
（2）由数轴，得A、B两点距离为，
∴两只蚂蚁相遇时间为秒，
∴点C对应的数为．
（3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，依题意，得
①蚂蚁P追上蚂蚁Q前，
，
解得，
②蚂蚁P追上蚂蚁Q后，
，
．
答：当它们运动20秒或40秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度．
【典例3-3】（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度；
(1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？
(2)求在数轴上点B所对应的数b；
(3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数；
(4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）．
【详解】（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，2，
；
，
∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的；
（2）∵点B对齐刻度，
∴，
∴，
∴在数轴上点B所对应的数；
（3）∵点A表示的数是，点B表示的数是，
∴
∴
∴点D所对应的数为或；
（4）点B表示的数是，点C表示的数是2，
，
一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处，
点表示的数为，
第二次从点跳动到的中点处，
点表示的数为，
第三次从点跳动到的中点处，
点表示的数为，
第四次从点跳动到的中点处，
点表示的数为，
点表示的数为．
【变式3-1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
(1)直接写出A，B，C三点所表示的数；
(2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动：
①求15秒后动点P与点B之间的距离；
②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位，
∴点表示的数为，再向右移7个单位，
∴点表示的数为，、C两点间距离为，
∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为，
∴点表示的数为，
即A：，B：，C：4；
（2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为，
∵表示的数为4，
∴表示的数为：，又B表示的数为，
∴点P与点B之间的距离为1，
动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，
则，，
当时，
，
当时，
解得，
，
当时，
，
当时，
解得，
，
当时，
，
当时，
解得，
，
所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变．
【典例3-2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为．
(1)求的长；
(2)若，，且，求的长；
(3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）；
(4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系．
【详解】（1）解：；
（2）解：若，，且，
则点P表示的数为：，点Q表示的数为：，
∴；
（3）解：∵点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为，
∴点表示的数为；
∵点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为，
∴点表示的数为；
（4）解：∵点表示的数为：，
∴，
∵点表示的数为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵始终为定值，
∴，
∴．
【典例3-3】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为
(1)则______，______，______；
(2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问：
①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示
②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值；
(3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案．
【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，，
，，，
故答案为：；
（2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动，
运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，
点与点之间的距离为：；
②点以每秒单位长度的速度向右运动，
运动秒后，点表示的数为：，
，
，
的值不会随着时间的变化而改变；
（3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动，
运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，
，，，
当时，，
当时，，
当时，，
随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系．
▌题型04 数轴翻折（折叠对称·期中难点）
1. 若折叠后两点重合，则折叠中心：
2. 已知折叠中心c，求的对称点：
核心本质：折叠对称的两点，到折叠中心的距离相等。
【典例4-1】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究：
(1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合；表示的点与_________表示的点重合；
(2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合：
①设折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________；
②表示的点与_________表示的点重合；
③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b，若折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为4050，求a，b的值．
【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合，
∴数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，
∴数轴上数表示的点与数6表示的点重合；表示的点与2025表示的点重合；
故答案为：6；2025；
（2）解：①∵5表示的点与表示的点重合，
∴数轴上数5表示的点与数表示的点关于数1表示的点对称，
∴C点表示的数是1．
故答案为：1；
②∵折痕C点表示的数是1，
∴表示的点与3表示的点重合；
故答案为：3；
③∵折痕C点表示的数是1，，
∴点A、B到1的距离均为2025，
又∵A在B的左侧，
∴A点表示的数是，B表示的数是．
【典例4-2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为．
(1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____；
(2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点．
①若对折后点与点重合，求此时的值；
②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值．
【详解】（1）解：∵点，，分别对应有理数，1，4，
∴，之间的距离为，，之间的距离为
故答案为：2，3．
（2）①因为对折后点与点重合，，所以．
因为，所以此时的值为1.5．
②由题意知，对折后存在以下三种情况：
（i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等．
因为，所以，
则点表示的数为，可得，
则，所以点表示的数为，
即此时的值为0.75；
（ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间，
点在点之间，且到点的距离相等．
因为，所以，所以，
即点表示的数为，可得，则，
所以点表示的数为，即此时的值为2；
（iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间，
点在点之间，且到点的距离相等．
因为，所以，所以，
即点表示的数为，可得，则，
所以点表示的数为，即此时的值为3.5．
综上，的值为0.75或2或3.5．
【典例4-3】（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面．
(1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合．
(2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与___________表示的点重合；
②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________．
(3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）．
【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合，
对称点为，
折叠的时候折痕过数轴的原点，
表示的点与表示的点重合，
故答案为：；
（2）解：表示的点与表示的点重合，
对称点为，
到对称点的距离是，
与表示的点重合的点表示的数是；
故答案为：；
②解：数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且两点经折叠后重合，
，两点到对称点的距离为，
又对称点所表示的数是，
点表示的数是：，
点表示的数是：，
故答案为：，；
（3）解：数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，
对称点为，
当在对称点右侧时，到对称点的距离为，
则与对称的点表示的数为；
当在对称点左侧时，到对称点的距离为，
则与对称的点表示的数为；
综上所述，与数表示的点重合的点为.
【变式4-1】（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，老师拿出如图1所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求解答下列问题：
(1)老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为，6，．请将这三个数对应的点标在如图2所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点A，B，C表示．
(2)在（1）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度．
(3)①请任选其中的两张卡片，将卡片上的数字相乘，结果记作P，则P的最大值比P的最小值大多少？
②用这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式．
【详解】（1）解：，
点对应，点对应，点对应6，如图所示：
（2）解：以点为折点，将此数轴向右折叠，点落在数轴上的点处，
在数轴上对应数字0，
∵点对应6，
点到点的距离为6个单位长度；
（3）解：①由题意可得P的最大值为：，
最小值为：，
，
即P的最大值比P的最小值大200．
②．（答案不唯一）
【变式4-2】（25-26七年级上·福建泉州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百股好，隔离分家万事休．”在数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
如图1．已知点A，B，C在数轴上表示的数分别是1，，，请结合数轴，解答下面的问题．
(1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________．
(2)在（1）的情况下，若此数轴上E，F两点间的距离为2026（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求E，F两点表示的数．
(3)如图2，在数轴上剪下6个单位长度（从至5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是多少？
【详解】（1）解：根据题意得，对称点对应的数为，
∴与点重合的点表示的数是，
故答案为：；
（2）解：假设点表示的数为，则点表示的数为，
∴，
解得，
∴点表示的数为，则点表示的数为；
（3）解：情况一：从左向右线段比为时，
折痕处对应的点表示的数为；
情况二：从左向右线段比为时，
折痕处对应的点表示的数为；
情况三：从左向右线段比为时，
折痕处对应的点表示的数为；
综上，折痕处对应的点表示的数可能是或2或．
【变式4-3】（25-26七年级上·山东临沂·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，

(1)若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数是________；
(2)若以点B为原点，求A，B，C所对应的数的和；
(3)若C表示的数是4，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的数．
【详解】（1）解：A表示的数是，点A到点B的距离为3，
数轴上点B所表示的数为
故答案为：．
（2）解：点B表示原点，点A在点B的左边，且，点C在点B的右边，且，
点B表示的数为0，点A表示的数为，点C所表示的数为8，
，
点A，B，C所对应的数的和为5．
（3）解：点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，C表示的数是4，
，
点A、B、C分别表示数、、，
将数轴折叠，点A与点C重合，
折痕处表示的数为，
折痕处表示的数到点B的距离为，
，
折叠后与点B重合的点表示的数为1．
【变式4-4】（24-25七年级上·山东滨州·期中）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图．
操作一：
(1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合．
操作二：
(2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题：
①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数．
②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数．
【详解】（1）解：表示1的点与表示的点重合，
折痕经过原点，
表示的点与表示2的点重合．
故答案为：2；
（2）解：表示的点与表示3的点重合，
，
折痕经过表示1的点，
①，
点表示的数为；
②，
．
，两点表示的数分别为，5.5．
【变式4-5】（25-26七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”
操作一：
（1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合；
操作二：
（2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：
①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合；
②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？
【详解】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，
∴对折中心点为原点，
∴表示的点与7表示的点重合；
（2）①由题意，对折中心点为，
；
故对折后6表示的点与数表示的点重合；
②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为，
因为对折中心点所表示的数为2的点，，；
所以、两点表示的数分别为：、．
▌题型05 数轴动态与代数式综合（期中压轴必考·核心难点）
【典例5】数轴的概念最早由法国数学家勒内·笛卡尔在其对数学的研究中系统引入．在此之前，数学家们对“数”的理解多停留在抽象的运算层面，缺乏直观的几何表示数轴的出现，将数与几何图形（直线上的点）紧密结合，开创了“数形结合”的数学思想方法．
如图所示数轴上，点A，B，C分别表示的数字为，4，1．
【知识应用】（1）若数轴上有一点，满足到，两点距离相等，则点表示的数是____；
【初步分析】（2）将数轴折叠后，点与点重合，点与点重合，则点表示的数是______；
【深入探究】（3）①当对折点为点时，与点重合的点表示的数为______；
此时，对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为______；（用代数式表示）
②当对折点为之间任意一点，且它表示的数为时，左侧表示数的点与右侧表示数_____的点重合．（用代数式表示）
【详解】解：（1）∵点到，两点距离相等，
∴点表示的数是，
故答案为：；
（2）∵将数轴折叠后，点与点重合，
∴折叠点表示的数为，
设点表示的数是，
由题意得，解得，
∴点表示的数是，
故答案为：；
（3）①设与点重合的点表示的数为，
由题意得，解得，
∴与点重合的点表示的数为，
对折点左侧一个点表示的数为，则设与它重合的点表示的数为，
由题意得，解得，
∴对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为，
故答案为：；；
②设左侧表示数的点与右侧表示数为，
由题意得，解得，
故答案为：．
【变式5-1】（25-26七年级上·山西晋城·期中）综合与探究
【基础探究】
（1）如图1，已知点，分别为数轴上的两点，点在点的右边，点对应的数是，点对应的数是．点是数轴上和之间的一动点，点对应的数是．
两点之间的距离是___________；两点之间的距离是___________．（用含的代数式表示）
②若，点到，两点的距离相等，则的值为____________．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，点在移动的过程中，点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等，试判断两点之间的距离是不是定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，点和点在，两点之间（点在点的右边，点在点的右边），两点之间的距离是，两点之间的距离是，点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等，求两点之间的距离（用含和的代数式表示）．
【详解】解：（1）①由题意可得，两点之间的距离是；
两点之间的距离是；
故答案为：；
②∵点到，两点的距离相等且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（2）两点之间的距离是定值，
∵点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等，
∴点D为，点E为，
∴两点之间的距离是，两点之间的距离是，
∴两点之间的距离是．
（3），两点之间的距离与，两点之间的距离和是，
∵点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等，
∴两点之间的距离与两点之间的距离和是，
∵两点之间的距离是，
∴两点之间的距离是．
【变式5-2】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】
如图，点、、在数轴上对应的数分别为，，，点、、是数轴上的任意三个点．
【初步探究】
（1）若点到点、的距离相等，则点表示的数为___________；
（2）若点到点、的距离相等，点在点左侧，且点到点的距离为，用含的代数式表示点到点的距离；（化为最简形式）
【拓展提升】
（3）若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，三点同时出发，经过秒时．
①用含的代数式表示代数式点、之间的距离；（化为最简形式）
②若点之间的距离记为，点、之间的距离记为，求的值．
【详解】解：（1）∵点到点、的距离相等，
∴点为中点，故点表示的数为，
故答案为：；
（2）∵点到点、的距离相等，
∴点为中点，故点表示的数为，
∵点在点左侧，且点到点的距离为，
∴点表示的数为，
∴点到点的距离为；
（3）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为，
∴点、之间的距离为；
②由题意得：点表示的数为，
∴点之间的距离，
点、之间的距离，
代入得：
．
【变式5-3】（25-26七年级上·河南新乡·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
(1)若数轴上点A表示的数为1，将点A先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度到点B，则终点B表示的数是______，A，B两点之间的距离是______．
(2)一般地，若点A表示的数为a，将点A先向左移动m（）个单位长度，再向右移动n（）个单位长度到达终点B，则终点B表示的数是______，A，B两点之间的距离是______．（用含m，n的代数式表示）
(3)如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上沿数轴做移动游戏，根据“剪刀、石头、布”的结果进行移动，规则如下：
结果 操作 甲 乙
平局 操作一 向东移动1个单位长度 向西移动1个单位长度
甲胜 操作二 向东移动4个单位长度 向东移动2个单位长度
乙胜 操作三 向西移动2个单位长度 向西移动4个单位长度
若甲负x场，胜y场，平局z场，则试用含x，y，z的代数式分别表示甲、乙最终停留的位置对应的数．
【详解】（1）解：由题意，点表示的数为，
A，B两点之间的距离是；
（2）解：点表示的数为：，
A，B两点之间的距离是；
（3）解：由题意，甲负x场，胜y场，平局z场，则甲向西平移个单位长度，再向东平移个单位长度，再向东平移个单位长度；乙向西移动个单位长度，再向东移动个单位长度，再向西平移个单位长度，
故甲最终停留时对应的数为：；
乙最终停留时对应的数为：．
▌题型06 数轴动态与整式加减综合（期中压轴必考·核心难点）
【典例6-1】（25-26七年级上·贵州毕节·期中）如图1，数轴上点表示的数是，点表示的数是，点到点的距离记为，且的大小可以用数轴上位于右边的点表示的数减去位于左边的点表示的数，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中点位于原点左侧且距离原点3个单位长度，是最大的负整数，是整式的次数．
(1)_______，_______，_______．
(2)若将数轴沿某点向右折叠，使得点与点重合，则点与数______对应的点重合．
(3)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点，分别从点，出发，分别以每秒2个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒．当时，求的值．
【详解】（1）解：∵点位于原点左侧且距离原点3个单位长度，
∴，
∵是最大的负整数，
∴，
∵是整式的次数，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵表示的是数是，表示的数是，表示的数是，
∴当将数轴沿某点向右折叠，使得点与点重合，则折点是点的中点，
∴，
设此时点表示的数为，
∴，
解得，；
（3）解：动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，
∴点表示的数为，
动点，分别从点，出发，分别以每秒2个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动，
∴点表示的数为，点表示的数为，
当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴．
【典例6-2】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为．
(1)___________；___________；___________；
(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为___________；
(3)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为，
①请你用含的代数式表示线段和线段的长；
②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在请说明理由．
【详解】（1）解：∵是最大的负整数，
∴；
∵多项式是关于的二次多项式，一次项系数为，
∴，
∴．
故答案为：，，7；
（2）解：∵将数轴折叠，使得点与点重合，
∴折痕处的数是，
∴与点重合的点所表示的数为．
故答案为：3；
（3）解：①∵后点P表示的数是，点Q表示的数是，
∴，，
②存在，
∵，
∴当，即时，的值为定值，定值为．
【典例6-3】（25-26七年级上·吉林四平·期中）阅读下面的材料：
在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为．线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题．
如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示．
(1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为_______；
(2)若将点向右移动，则移动后的点表示的数为_____（用含的代数式表示）；
(3)若数轴上有一点，且，求点表示的数；
(4)若点以每秒的速度沿数轴向左运动，同时、两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而改变？请说明理由．
【详解】（1）解：A：，即，A表示，
B：，即，B表示，
C：，即，C表示4，
故答案为：；；4；
（2）解：将点A向右移动，则移动后的点表示的数为；
故答案为： ；
（3）解：设D表示的数为d，
，
，
解得：或，
点D表示的数为或3；
故答案为：或3；
(4)的值不会随着的变化而变化，
理由如下：
根据题意得：平移后，cm ，
，
，
的值恒为3，不会随着t的变化而变化．
【典例6-4】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的一次项系数，b是绝对值最小的整数，单项式的次数为c．
(1) ______， ______， ______；
(2)点A 与点 B 之间的距离为_____；
(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动．t分钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则______， ______（用含t的代数式表示）；
(4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
【详解】（1）解：由题意可知：，，，
故答案为：；0；6；
（2）解：点A 与点 B 之间的距离为；
故答案为：；
（3）解：由于点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动，
∴t分钟后，，
由于点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，
∴t分钟后，；
故答案为：；；
（4）解：的值不随着时间t的变化而改变，理由如下：
所以的值不随着时间t的变化而改变，其值为．
【典例6-5】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】
在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度．
【初步探究】
（1）点表示的数是________，点表示的数为________；
（2）若点是数轴上的点，且点到点的距离为6，求点表示的数及，两点之间的距离；
【深度拓展】
（3）若点是数轴上的点，点到点与点到点的距离相等．若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，经过秒，求，两点之间的距离．（用含的代数式表示）
【详解】解：（1）∵点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度，
∴点表示的数是，点表示的数为2；
故答案为：，2．
（2）当点在点左侧时，点表示的数为，
此时，两点间的距离为；
当点在点右侧时，点表示的数为，
此时，两点间的距离为．
综上所述，当点表示的数为时，，两点间的距离为8；当点表示的数为8时，，两点间的距离为20．
（3）因为点到，两点的距离相等，
所以点表示的数为．
因为点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，
所以经过秒后点表示的数为，点表示的数为．
所以，两点之间的距离为．
【典例6-6】（25-26七年级上·山东枣庄·期中）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，并且是多项式的一次项系数，是最小的正整数，单项式的次数为．根据以上信息解决以下问题：
(1)_____，_____，_____；并在数轴上标出点、、的位置；
(2)若将数轴在点处折叠，则点与点____重合（填“能”或“不能”）；
(3)若数轴上、两点之间的距离为10（在的左侧），且、两点在处折叠后互相重合，则、表示的数分别是：：______；：______；
(4)若数轴上，两点间的距离为（点在点左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使点与点重合，则，两点表示的数分别为：_____，：_____．（用含，的式子表示这两个数）
【详解】（1）解：∵是多项式的一次项系数，是最小的正整数，单项式的次数为，
∴，，，
故数轴上标出点、、的位置，
如图所示：
（2）∵将数轴在点处折叠，
∴，，
∴点与点能重合；
故答案为：能．
（3）∵数轴上、两点之间的距离为10（在的左侧），且、两点在处折叠后互相重合，
∴表示的数是：；N表示的数是：；
故答案为：，6．
（4）解：∵数轴上，两点间的距离为（点在点左侧），表示数的点到，两点的距离相等，
∴数到，两点的距离均为，
∴点表示的数为，点表示的数为，
故答案为：，．
【变式6-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）问题背景：如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）．
实践操作：甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表：
局次 第一局 第二局 第三局 第四局
甲的手势 石头 剪刀 布 布
乙的手势 石头 布 石头
（1）从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是_______，________；
（2）第三局结束时黑棋在数轴上的位置所对应的数为_______，此时，黑棋和白棋间的距离为________个单位长度；
（3）若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是___________，在前四局中，数轴上黑棋和白棋间的最小距离为___________个单位长度．
迁移拓展：在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）．
甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下：
①若甲赢，则甲将黑棋向右移动3个单位，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；
②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位，同时乙将白棋向左移动3个单位长度；
③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．
（4）游戏开始时，黑白棋子间的距离表示为___________；若甲赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若乙赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若平局，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；进行若干局后，若，两棋能否正好相遇，直接写出所需的最少局数___________．（不需要说明理由）
【详解】解：（1）第一局平局，则黑棋在数轴上的位置所对应的数为，白棋在数轴上的位置所对应的数为，
故答案为：，；
（2）第二局甲胜，则黑棋在数轴上的位置所对应的数为，白棋在数轴上的位置所对应的数为；第三局甲胜，则黑棋在数轴上的位置所对应的数为，白棋在数轴上的位置所对应的数为，
∴此时黑棋和白旗间的距离为，
故答案为：，；
（3）∵第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，而第三局白棋在数轴上的位置所对应的数为，
∴白棋向左移动2个单位长度，
∴第四局乙胜，
而甲的手势是布，
∴乙第四局的手势是剪刀；
第一局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为；第二局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为；第三局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为；第四局中，数轴上黑棋和白棋间的距离为；
∴在前四局中，数轴上黑棋和白棋间的最小距离为个单位长度，
故答案为：剪刀，5；
（4）游戏开始时，黑白棋子间的距离表示为；若甲赢，则黑棋所在位置表示的数为，白棋所在位置表示的数为；若乙嬴，则黑棋所在位置表示的数为，白棋所在位置表示的数为；若平局，则黑棋所在位置表示的数为，白棋所在位置表示的数为；
由题意得，开始时，
若甲赢，则黑白棋相距，则距离减少2；
若乙赢，则黑白棋相距，则距离减少2；
若平局，则黑白棋相距，则距离减少2；
∴每局中，甲乙之间的距离一定减少2，
∵，
∴两棋能正好相遇，所需的最少局数为，
故答案为：，，，，，，，5．
【变式6-2】（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图1，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，其中，满足，点到原点的距离与点到原点的距离相等．点，之间的距离记为．
(1)，有何数量关系______；
(2)如图2，有一根木棒，在数轴上移动（在的左侧），当移动到与端点重合时，点所对应的数为，则当N移动到线段的中点时，点所对应的数为，求；
(3)在（2）的条件下，若，点在数轴上，，将数轴在点，，各折一下，得到如图3的“折线数轴”．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点，的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，求此时点表示的数．
【详解】（1）解：∵点与点在原点两侧，且点到原点的距离与点到原点的距离相等，
；
（2）解：设，
∵当移动到与端点重合时，点所对应的数为，
∴点所对应的数为，
∵当N移动到线段的中点时，点所对应的数为，
∴线段的中点所对应的数为，
∴线段的中点与点间的距离为，
；
（3）解：∵，，
，
，
，
，
，
∵点到原点的距离与点到原点的距离相等，
，
，
∵点G在数轴上，，
∴，
∴点G对应的数为8．
∵点M从点A出发沿着“折线数轴”运动，初始速度为4个单位长度/秒，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，
∴点M运动到点O用时为（秒），点M从点O到点G用时（秒），
∵点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，初始速度为2个单位长度/秒，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，
∴点N运动到点B用时为（秒），点N从点B到点G用时（秒），
∴当点M到达点G时，点N在上，没有到达点G，
此时M，N在上相距1个单位长度，
∴点M和点N相遇用时（秒），
∴，
∴点M表示的数为．
【变式6-3】（25-26七年级上·山西晋中·期中）综合与探究
【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将“数”与“形”完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．如图①，若数轴上点，表示的数分别为，（），则线段的长（点到点的距离）为，记作．
请用上面材料中的知识，解答下面的问题．
【问题情境】
如图②，一个点从数轴上的原点开始，沿数轴先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点．
【问题探究】
(1)①请在图②中表示出，，三点的位置；
②点到点的距离__________，点到点的距离__________．
(2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点从点出发分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．
①设运动时间为秒，则点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________．（用含的代数式表示）
②在①的条件下，试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【详解】（1）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则、、在数轴的位置如图所示：
②点到点的距离；点到点的距离；
故答案为，；
（2）①点表示的数为：；
点表示的数为：；
点表示的数为：；
②答：不变，
∵，
，
∴，
∴的值不随着时间的变化而变化，值为：．
【变式6-4】（25-26七年级上·重庆·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
(1)直接写出A，B，C三点所表示的数；
(2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为．
①求何时M与Q相距1个单位长度；
②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位到达A点，
∴A点表示的数为，
∵再向右移7个单位到达C点，
∴C点表示的数为，
∴A、C两点间距离为7，
∵将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，
∴B点表示的数为；
（2）解：①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，
∴，
∵M与Q相距1个单位长度，
∴，即或，
解得或，
∴当运动时间为秒或秒时，M与Q相距1个单位长度；
②设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，P点表示的数为，
∴，，
∴当时，
，
当，即时，的值始终保持不变，
此时；
当时，
，
当，即时，的值始终保持不变，
此时；
当时，
，
当，即时，的值始终保持不变，
此时；
∴不存在一个有理数m，使的值始终保持不变．
【变式6-5】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验．轨道架上有三个大小、质量完全相同的小球、、，轨道两端各有一个挡板和，挡板间的距离为，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距，现以轨道所在直线画数轴，球在原点，球表示的数为．解答下列问题：
(1)球表示的数为________，左挡板表示的数为________；
(2)碰撞实验中（小球大小、相撞时间不计），小球做匀速直线运动，当一小球以一速度撞向另一静止小球时，这个小球停留在被撞小球的位置，被撞小球则以同样的速度向前运动，小球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动．假设，两球同时开始运动．运动时间为．
①若球以每秒的速度向左运动，球以每秒的速度向右运动，当、两球相撞时停止运动．令，其中，表示点、之间的距离，表示点、之间的距离．请探究在运动过程中，与的数量关系；
②若球以每秒的速度向左运动，球以每秒的速度向左运动，当、两球第一次相撞时，相撞点在原点左侧．距离原点处，求与的比值．
【详解】（1）解：球在原点，球表示的数为，到左挡板的距离为，
左挡板表示的数为，
挡板间的距离为，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距，
、两球相距，
球表示的数为；
（2）解：①由题意可得：左挡板表示的数为，球表示的数为，A球表示的数为，球表示的数为， 右挡板表示的数为，
、两个小球从出发到碰撞三个小球的路程和为，
，
、两球从出发到相撞所需时间，此时两球停止运动，
球从出发到与球碰撞需要的时间是，球从出发到与右挡板碰撞需要的时间是，
当时，球以每秒的速度向左运动，球以每秒的速度向右运动，
球表示的数，球表示的数，
，，
，
；
当时，球以每秒的速度向左运动，球撞挡板后以每秒的速度向左运动，
球表示的数，球表示的数，
，，
，
；
当时，球撞球后停止运动，球以每秒的速度向左运动，球继续以每秒的速度向左运动，
球表示的数，球表示的数，
，，
，
；
当时，球撞球后停止运动，球以每秒的速度向右运动，球继续以每秒的速度向左运动，
球表示的数，球表示的数，
，，
，
；
综上所述，．
②、两球第一次相撞时，相撞点在原点左侧．距离原点处，
相撞点表示的数为，
当时，
相撞时球的路程为，球的路程为，
设第一次相撞用时为，则，
，即；
当时，
即球向左运动与挡板相撞后向右运动时与球相撞，
相撞点在原点左侧．距离原点处，
相撞时球运动的路程为，球运动的路程是，
设第一次相撞用时为，则，
即；
综上所述，或．
▌题型07 数轴动态与方程综合（期末压轴必考·核心难点）
【典例7-1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）兴化千垛景区以油菜花田闻名，有一条笔直的观光道路，可以视为数轴．在数轴上，点表示景区入口，点、、分别表示三个油菜花田的入口，其对应的数分别为、1、3（单位：千米）．三个花田的油菜籽产量（单位：千公斤）分别为：田2千公斤，田2千公斤，田3千公斤．现计划在道路上设置一个油菜籽收集站，其位置对应的数为．运输成本为每千米每千公斤1元（即每运输1千公斤油菜籽经过1千米距离，成本为1元）
根据以上信息，结合数轴知识，解决以下问题：
【问题探究】
（1）若将数轴折叠，使点与点重合．
①则点与数______表示的点重合；
②若数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数．
【举一反三】
（2）点为数轴上一动点，其对应的数为．
①若点到点、的距离之和为10，求的值；
②若点到点、、的距离之和最小，则______．
【问题解决】
（3）为了降低运输成本，收集站应建在何处（即为多少）才能使总运输成本最低？最低成本是多少？
【详解】解：（1）①∵若将数轴折叠，使点与点重合，
∴线段的中点为，
，
∴点与数表示的点重合；
故答案为：；
②∵数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合，
∴N表示的数为：；M表示的数为：；
（2）①由题意得，，
当时，则，
解得；
当时，，
解得；
当时，，方程无解，舍；
②点到点、、的距离之和表示为，
当时，点到点、、的距离之和大于；
当时，点到点、、的距离之和大于；
当时，点到点、、的距离之和大于；
当时，点到点、、的距离之和等于；
当时，点到点、、的距离之和大于；
当时，点到点、、的距离之和大于；
当时，点到点、、的距离之和大于；
∴当到点、、的距离之和最小时，；
（3）由题意得，总运输成本为，
当时，，
此时成本最低为（元）；
当时，，
此时成本最低为（元）；
当时，；
此时成本均大于元；
当时，，
此时成本最低为（元），
综上：当时，成本最低且为元．
【变式7-1】（24-25七年级上·河南焦作·期中）【问题提出】在学习数轴知识时，数学小组的同学们遇到了这样的问题，请你帮他们解决：
若将数轴折叠，使与表示的点重合．
（1）则表示的点与数________表示的点重合；
【反思生疑】解决这个问题后，有同学提出了这样的问题：既然数轴可以折叠，那可不可以把数轴旋转一下呢？于是，同学们将数轴绕原点旋转，得到了如图的“新数轴”：
又有同学说：一般规定向右为数轴的正方向，但是如果规定“向左”为正方向，也可以帮助我们解决问题．我们就叫这个数轴为“新数轴”吧！
（2）在这个“新数轴”上，________，________，点与点之间的距离为________；
（3）在这个“新数轴”上，若点从出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，经过多少秒，点与点的距离是点与点的距离的倍？此时，点在“新数轴”上对应的数是多少？
【详解】解：（1）设表示的点与数表示的点重合，
则，
解得：，
故答案为：；
（2）由数轴的表示方法得：，，
点与点之间的距离为，
故答案为：，，；
（3）设点的运动时间为秒，
则，
点表示的数为，
点表示的数为，
点表示的数为，
，
，
，
即或，
解得：或，
点在“新数轴”上对应的数是或，
秒时，点表示的数为；秒时，点表示的数为．
【变式7-2】（25-26七年级上·全国·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b．
(1)则 ， ，A、B两点之间的距离为 ．
(2)有一动点P，从点A出发，第一次向左运动1个单位，第二次向右运动2个单位，第三次向左运动3个单位，第四次向右运动4个单位，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数．
(3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出点P的位置表示的数，若不可能，请说明理由．
【详解】（1）解：∵式子M是关于x的二次多项式，
∴三次项系数为0，即，解得；
二次项系数为8，故；
A对应对应8，两点距离为．
故答案为：．
（2）解：P从出发，运动规律：第n次运动位移为“奇）”或“偶）”；
分组计算：…；
共组，每组和为1，总位移为；
P对应的数为．
答：点P所对应的有理数为．
（3）设P对应的数为x，由得．
①当时：
∵，，
∴，解得（符合）；
②当时：
∵，，
∴，解得（符合）；
③当时：
∵，，
∴，解得（不符合，舍去）．
答：点P的位置表示的数为或．
【变式7-3】（23-24七年级上·山东临沂·期中）【问题提出】：在学习数轴知识时，数学小组的同学们遇到了这样的问题，请你帮他们解决：若将数轴折叠，使与表示的点重合．

(1)则表示的点与数 表示的点重合；
(2)若数轴上，两点之间的距离为，且，两点经过上述方法与已知对折点相同折叠后互相重合，求，两点表示的数；
【反思生疑】：解决这个问题后，小强同学提出了这样的问题：既然数轴可以折叠，那可不可以把数轴旋转一下呢？于是，同学们将数轴绕原点旋转，得到了如图2的“新数轴”；
小娜同学说：一般规定向右为数轴的正方向，但是如果规定“向左”为正方向，也可以帮助我们解决问题．我们就叫这个数轴为“新数轴”吧!我来考考大家：
(3)在这个“新数轴”上， ， ，点与点之间的距离为 ；
(4)在这个“新数轴”上，若点从出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，设移动的时间为，则当为多少时，点与点的距离是点与点的距离的倍？此时，点在“新数轴”上对应的数是多少？
【详解】解：（1）解：设和对应的数为x， 则，
解得；
故答案为：；
（2）设表示的数为，
当在的左边时，表示的数为，
则：，
解得：，
，
当在的右边时，表示的数为，
则：，
解得：，
，
答：，两点表示的数和；
（3）在这个“新数轴“上，，，
点与点之间的距离为：，
故答案为：，，；
（4）由题意得：，
解得：或，
当时：，
当时：，
答：点在“新数轴”上对应的数是或．
▌题型08 数轴旋转与动态新定义（期末压轴必考·核心难点）
【典例8-1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1和图2，数轴与交于公共原点O，点M，N在数轴上且表示的数分别为3和，点P 在数轴上，且初始状态下，
(1)如图1，若线段中点为A，求点A在数轴上表示的数；
(2)如图1，若点P在数轴上表示的数是6，将数轴绕点O旋转过程中，当数轴 经过点N时，直接写出点N在数轴上表示的数为多少？
(3)如图2，将绕点O逆时针旋转得到将O绕点O逆时针旋转 得到 其中，在整个旋转过程中，当被数轴或平分时，直接写出所有符合条件的值．
【详解】（1）解：∵线段中点为A，
∴点A在数轴 上表示的数为；
（2）解：∵，
点M在数轴上表示的数为，点P在数轴上表示的数是6，
∴数轴的单位长度是数轴的2倍，
∴点N在数轴上表示的数为或；
（3）解：如图，则被数轴平分时，
这时，，
则，解得：；
如图，被数轴平分时，
，解得：；
如图，当被数轴平分时，
这时，解得：；
综上所述，当被数轴或平分时，值为或或．
【典例8-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”．
(1)若点表示的数是0，则的值为____________；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________；
(3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值．
【详解】（1）解：∵点P表示的数为0，
∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为，
∴点P为点A、B的“5格距点”，
∴ ，
故答案为：5；
（2）∵整点P为点A、B的“5格距点”，
∴ ，即P在线段上，
∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3，
故答案为：，，0，1，2，3；
（3）①当P在之间时，，
∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍，
∴， ，点P表示的数为：，此时；
②当P在点A左边时，，，
点P表示的数为：，此时．
综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时．
【典例8-3】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务．
【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图1），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足．
【素材2】通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如图2所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”．
【任务1】在“灵动数轴”中，_______，________，______；
【任务2】折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数；
【任务3】点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值．
【详解】解：任务1：，
，
，，，
，，．
故答案为：；7；；
任务2：点与点重合，
折痕处对应的数为，
与点重合的点所表示的数为．
任务3：，点表示的数为7，
点表示的数为0，
点从点出发，以1个单位长度秒的速度“上坡”至终点，当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动，
．
点在“阶梯坡面”上运动，，点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动，
．
当时，此时点，都在做上坡运动，
①当点在点下方时，
由题意得：，
，，
，
，
，
．
②当点在点上方时，
由题意得：，
，，
，
，
，
（大于6，不合题意舍去）．
当时，此时点在做上坡运动，点做下坡运动，
由题意得：，，
．
①当点在点下方时，
，
，
，
．
②当点在点上方时，
，
，
，
（小于6，不合题意舍去）．
综上，当点在“阶梯坡面”上运动时，满足，的值为秒或秒．
【变式8-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）操作发现．
操作一：如图1，已知数轴上点、所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点，此时数轴上点所表示的数为4，我们称点是点关于点的映射点；
记作：或；
操作二：如图3，已知点和线段，将点、绕同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，我们称点是点关于线段的映射点；
记作：；如：；
(1)借助图1、图2、图3理解，直接填空：，；________；
(2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示）
(3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，；
①点在运动过程中，线段的长度是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围；
②当点C表示的数是，点B与点D的距离为1时，求a的值．
【详解】（1）解：根据题意得：；
；
根据题意得：．
故答案为：；；；
（2）解：∵，
∴为的中点，
∵A、B两点所表示的数分别是、，
点表示的数为：
，
所以点C所表示的数；
（3）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值；理由如下：
∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，
∴点B表示的数为或，
设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e，
当点B表示的数为时，点B在点A的右侧，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴的中点与的中点是同一个点，
∴，
∴，
∴
；
当点B表示的数为时，点B在点A的左侧，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴的中点与的中点是同一个点，
∴，
∴，
∴
；
点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4．
②设点D表示的数为d，点A表示的数为a，
∵点C表示的数是，，
∴，
∴，
∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，
∴当点B在点A右侧时，点B表示的数为，当点B在点A左侧时，点B表示的数为，
∵B、D两点之间距离刚好为1，
∴或，
∴或，
解得：或或或．
【变式8-2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是．
(1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______；
(2)如果，求出点P表示的数以及b的值；
(3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）∵点P表示数2，
∴，，
对称数组是；
（2）∵，
∴点P表示的数，
∴；
（3）秒后，点P表示的数为，
由，得，
点Q表示的数为，由，
得，
假设存在常数k，使得为定值：
，
要使为定值，则t的系数为0，即，
解得，
此时定值为．
【变式8-3】（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．

(1)【知识呈现】
数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____．
(2)【定义】
一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示：
【初步理解】
①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是_____，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____．
【深入探究】
②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【归纳总结】
③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度．
【详解】（1）解：∵点与点表示的数互为相反数，
∴点B表示的数是1，
根据题意得，点与点之间的距离，
∵点与点的中点为点表示的数，
∴点D表示的数是，
故答案为：1，6，3；
（2）解：①由题可知M和关于原点对称，
∴表示的数是2，
∵点P表示的数为5，
∴，
∵，
∴表示的数是8，
∴线段的长度为，
故答案为：2，8，10；
②的值不变，，理由如下：
依题意知点表示的数是，
若，如图所示，
∵点与点位于点P的两侧，且，
∴，
∴，
∴点表示的数是，
∴；
若，如图所示，
∵点与点位于点P的两侧，且，
∴，
∴，
∴点表示的数是，
∴，
综上所述：；
③∵点M表示的数是m，则一次跳跃点表示的数是，
∵点与点位于点P的两侧，且，即点P是点和点之间的中点，
∵点P表示的数是p，
∴点表示的数是，
∴．
【变式8-4】（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”．
(1)若点P表示的数是0，则n的值为______；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个；
(3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值；
(4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值．
【详解】（1）解：∵点P表示的数为0，
∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为，
∴点P为点A、B的“5格距点”，
∴，
故答案为：5；
（2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”，
∴，即P在线段上，
∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个，
故答案为：6；
（3）解：∵点P到点B的距离为2，
∴点P表示的数为1或5，
①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，
此时；
②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，
此时；
（4）解：①当P在之间时，，
点P表示的数为：，
此时；
②当P在点A左边时，，，
点P表示的数为：，
此时．
综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时．专题03 数轴综合题（8题型突破·举一反三）
题型01 数轴识图与数的大小比较（选择填空必考·夯实根基）
题型02 数轴与绝对值几何意义最值（期中重难点）
题型03 数轴动点（月考压轴必考·核心难点）
题型04 数轴翻折（折叠对称·期中难点）
题型05 数轴动态与代数式综合（期中压轴必考·核心难点）
题型06 数轴动态与整式加减（期中压轴必考·核心难点）
题型07 数轴动态与一元一次方程综合（期末压轴必考·核心难点）
题型08 数轴旋转与动态新定义（期末拓展难题）
▌题型01 数轴识图与数的大小比较（选择填空必考·夯实根基）
1. 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。
2. 数的大小规律：数轴上数满足右大左小，右侧的有理数永远大于左侧有理数。
【典例1-1】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列数轴画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________．
【典例1-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-4】（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别是a、b、c，且，，则下列结论中①；②；③；④中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）有理数在数轴上的位置如图所示，且，，，则、、、的大小用小于号连接为_______．
【变式1-4】（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④
▌题型02 数轴与绝对值几何意义最值（期中重难点）
核心解题模型（万能结论，直接套用）
1. ：表示动点x到定点a的距离，无最大值，最小值为0；
2. ：当且仅当时，式子取最小值，最小值为；
3. ：当且仅当时，式子取最小值。
【典例2-1】（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2-2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________．
【变式2-1】（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______．
【变式2-2】我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________．
【变式2-3】（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______．
▌题型03 数轴动点（月考压轴必考·核心难点）
一、万能解题模板（通用步骤，所有动点题通用）
1. 设时间：设动点运动时间为t秒（默认，负数时间无意义，需舍去）；
2. 表坐标：用含t的代数式表示动点最终对应数：
起点为m，向右运动、速度v：对应数
起点为m，向左运动、速度v：对应数
3. 列方程：根据相遇、距离、中点、对称等条件，结合距离公式、中点公式列方程；
4. 验结果：解方程后舍去负数解，验证结果符合实际运动情况。
【典例3-1】（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：
①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：；
②线段的中点表示的数为；
③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：．
同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．
【问题情境】
如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．
【问题解决】
(1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________；
(2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）；
(3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由．
【典例3-2】（25-26七年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100．
(1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数．
(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？
【典例3-3】（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度；
(1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？
(2)求在数轴上点B所对应的数b；
(3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数；
(4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）．
【变式3-1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
(1)直接写出A，B，C三点所表示的数；
(2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动：
①求15秒后动点P与点B之间的距离；
②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
【典例3-2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为．
(1)求的长；
(2)若，，且，求的长；
(3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）；
(4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系．
【典例3-3】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为
(1)则______，______，______；
(2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问：
①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示
②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值；
由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案．
▌题型04 数轴翻折（折叠对称·期中难点）
1. 若折叠后两点重合，则折叠中心：
2. 已知折叠中心c，求的对称点：
核心本质：折叠对称的两点，到折叠中心的距离相等。
【典例4-1】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究：
(1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合；表示的点与_________表示的点重合；
(2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合：
①设折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________；
②表示的点与_________表示的点重合；
③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b，若折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为4050，求a，b的值．
【典例4-2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为．
(1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____；
(2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点．
①若对折后点与点重合，求此时的值；
②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值．
【典例4-3】（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面．
(1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合．
(2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与___________表示的点重合；
②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________．
(3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）．
【变式4-1】（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，老师拿出如图1所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求解答下列问题：
(1)老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为，6，．请将这三个数对应的点标在如图2所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用点A，B，C表示．
(2)在（1）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度．
(3)①请任选其中的两张卡片，将卡片上的数字相乘，结果记作P，则P的最大值比P的最小值大多少？
②用这四张卡片上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式．
【变式4-2】（25-26七年级上·福建泉州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百股好，隔离分家万事休．”在数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
如图1．已知点A，B，C在数轴上表示的数分别是1，，，请结合数轴，解答下面的问题．
(1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________．
(2)在（1）的情况下，若此数轴上E，F两点间的距离为2026（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求E，F两点表示的数．
(3)如图2，在数轴上剪下6个单位长度（从至5）的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是多少？
【变式4-3】（25-26七年级上·山东临沂·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，

(1)若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数是________；
(2)若以点B为原点，求A，B，C所对应的数的和；
(3)若C表示的数是4，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的数．
【变式4-4】（24-25七年级上·山东滨州·期中）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图．
操作一：
(1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合．
操作二：
(2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题：
①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数．
②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数．
【变式4-5】（25-26七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”
操作一：
（1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合；
操作二：
（2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：
①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合；
②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？
▌题型05 数轴动态与代数式综合（期中压轴必考·核心难点）
【典例5】数轴的概念最早由法国数学家勒内·笛卡尔在其对数学的研究中系统引入．在此之前，数学家们对“数”的理解多停留在抽象的运算层面，缺乏直观的几何表示数轴的出现，将数与几何图形（直线上的点）紧密结合，开创了“数形结合”的数学思想方法．
如图所示数轴上，点A，B，C分别表示的数字为，4，1．
【知识应用】（1）若数轴上有一点，满足到，两点距离相等，则点表示的数是____；
【初步分析】（2）将数轴折叠后，点与点重合，点与点重合，则点表示的数是______；
【深入探究】（3）①当对折点为点时，与点重合的点表示的数为______；
此时，对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为______；（用代数式表示）
②当对折点为之间任意一点，且它表示的数为时，左侧表示数的点与右侧表示数_____的点重合．（用代数式表示）
【变式5-1】（25-26七年级上·山西晋城·期中）综合与探究
【基础探究】
（1）如图1，已知点，分别为数轴上的两点，点在点的右边，点对应的数是，点对应的数是．点是数轴上和之间的一动点，点对应的数是．
两点之间的距离是___________；两点之间的距离是___________．（用含的代数式表示）
②若，点到，两点的距离相等，则的值为____________．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，点在移动的过程中，点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等，试判断两点之间的距离是不是定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，点和点在，两点之间（点在点的右边，点在点的右边），两点之间的距离是，两点之间的距离是，点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等，求两点之间的距离（用含和的代数式表示）．
【变式5-2】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】
如图，点、、在数轴上对应的数分别为，，，点、、是数轴上的任意三个点．
【初步探究】
（1）若点到点、的距离相等，则点表示的数为___________；
（2）若点到点、的距离相等，点在点左侧，且点到点的距离为，用含的代数式表示点到点的距离；（化为最简形式）
【拓展提升】
（3）若点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的负半轴运动，点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向数轴的正半轴运动，三点同时出发，经过秒时．
①用含的代数式表示代数式点、之间的距离；（化为最简形式）
②若点之间的距离记为，点、之间的距离记为，求的值．
【变式5-3】（25-26七年级上·河南新乡·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
(1)若数轴上点A表示的数为1，将点A先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度到点B，则终点B表示的数是______，A，B两点之间的距离是______．
(2)一般地，若点A表示的数为a，将点A先向左移动m（）个单位长度，再向右移动n（）个单位长度到达终点B，则终点B表示的数是______，A，B两点之间的距离是______．（用含m，n的代数式表示）
(3)如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上沿数轴做移动游戏，根据“剪刀、石头、布”的结果进行移动，规则如下：
结果 操作 甲 乙
平局 操作一 向东移动1个单位长度 向西移动1个单位长度
甲胜 操作二 向东移动4个单位长度 向东移动2个单位长度
乙胜 操作三 向西移动2个单位长度 向西移动4个单位长度
若甲负x场，胜y场，平局z场，则试用含x，y，z的代数式分别表示甲、乙最终停留的位置对应的数．
▌题型06 数轴动态与整式加减综合（期中压轴必考·核心难点）
【典例6-1】（25-26七年级上·贵州毕节·期中）如图1，数轴上点表示的数是，点表示的数是，点到点的距离记为，且的大小可以用数轴上位于右边的点表示的数减去位于左边的点表示的数，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中点位于原点左侧且距离原点3个单位长度，是最大的负整数，是整式的次数．
(1)_______，_______，_______．
(2)若将数轴沿某点向右折叠，使得点与点重合，则点与数______对应的点重合．
(3)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点，分别从点，出发，分别以每秒2个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒．当时，求的值．
【典例6-2】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为．
(1)___________；___________；___________；
(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为___________；
(3)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为，
①请你用含的代数式表示线段和线段的长；
②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在请说明理由．
【典例6-3】（25-26七年级上·吉林四平·期中）阅读下面的材料：
在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为．线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题．
如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示．
(1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为_______；
(2)若将点向右移动，则移动后的点表示的数为_____（用含的代数式表示）；
(3)若数轴上有一点，且，求点表示的数；
(4)若点以每秒的速度沿数轴向左运动，同时、两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而改变？请说明理由．
【典例6-4】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的一次项系数，b是绝对值最小的整数，单项式的次数为c．
(1) ______， ______， ______；
(2)点A 与点 B 之间的距离为_____；
(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动．t分钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则______， ______（用含t的代数式表示）；
(4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
【典例6-5】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）【问题背景】
在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点距离原点12个单位长度，点距离原点2个单位长度．
【初步探究】
（1）点表示的数是________，点表示的数为________；
（2）若点是数轴上的点，且点到点的距离为6，求点表示的数及，两点之间的距离；
【深度拓展】
（3）若点是数轴上的点，点到点与点到点的距离相等．若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，经过秒，求，两点之间的距离．（用含的代数式表示）
【典例6-6】（25-26七年级上·山东枣庄·期中）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，并且是多项式的一次项系数，是最小的正整数，单项式的次数为．根据以上信息解决以下问题：
(1)_____，_____，_____；并在数轴上标出点、、的位置；
(2)若将数轴在点处折叠，则点与点____重合（填“能”或“不能”）；
(3)若数轴上、两点之间的距离为10（在的左侧），且、两点在处折叠后互相重合，则、表示的数分别是：：______；：______；
(4)若数轴上，两点间的距离为（点在点左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使点与点重合，则，两点表示的数分别为：_____，：_____．（用含，的式子表示这两个数）
【变式6-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）问题背景：如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）．
实践操作：甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表：
局次 第一局 第二局 第三局 第四局
甲的手势 石头 剪刀 布 布
乙的手势 石头 布 石头
（1）从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是_______，________；
（2）第三局结束时黑棋在数轴上的位置所对应的数为_______，此时，黑棋和白棋间的距离为________个单位长度；
（3）若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是___________，在前四局中，数轴上黑棋和白棋间的最小距离为___________个单位长度．
迁移拓展：在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）．
甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），移动规则如下：
①若甲赢，则甲将黑棋向右移动3个单位，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；
②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位，同时乙将白棋向左移动3个单位长度；
③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．
（4）游戏开始时，黑白棋子间的距离表示为___________；若甲赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若乙赢，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；若平局，则黑棋所在位置表示的数为___________，白棋所在位置表示的数为___________；进行若干局后，若，两棋能否正好相遇，直接写出所需的最少局数___________．（不需要说明理由）
【变式6-2】（25-26七年级上·福建厦门·期中）如图1，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，其中，满足，点到原点的距离与点到原点的距离相等．点，之间的距离记为．
(1)，有何数量关系______；
(2)如图2，有一根木棒，在数轴上移动（在的左侧），当移动到与端点重合时，点所对应的数为，则当N移动到线段的中点时，点所对应的数为，求；
(3)在（2）的条件下，若，点在数轴上，，将数轴在点，，各折一下，得到如图3的“折线数轴”．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点，的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，求此时点表示的数．
【变式6-3】（25-26七年级上·山西晋中·期中）综合与探究
【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将“数”与“形”完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．如图①，若数轴上点，表示的数分别为，（），则线段的长（点到点的距离）为，记作．
请用上面材料中的知识，解答下面的问题．
【问题情境】
如图②，一个点从数轴上的原点开始，沿数轴先向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点．
【问题探究】
(1)①请在图②中表示出，，三点的位置；
②点到点的距离__________，点到点的距离__________．
(2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点从点出发分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．
①设运动时间为秒，则点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________．（用含的代数式表示）
②在①的条件下，试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【变式6-4】（25-26七年级上·重庆·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
(1)直接写出A，B，C三点所表示的数；
(2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为．
①求何时M与Q相距1个单位长度；
②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【变式6-5】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验．轨道架上有三个大小、质量完全相同的小球、、，轨道两端各有一个挡板和，挡板间的距离为，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距，现以轨道所在直线画数轴，球在原点，球表示的数为．解答下列问题：
(1)球表示的数为________，左挡板表示的数为________；
(2)碰撞实验中（小球大小、相撞时间不计），小球做匀速直线运动，当一小球以一速度撞向另一静止小球时，这个小球停留在被撞小球的位置，被撞小球则以同样的速度向前运动，小球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动．假设，两球同时开始运动．运动时间为．
①若球以每秒的速度向左运动，球以每秒的速度向右运动，当、两球相撞时停止运动．令，其中，表示点、之间的距离，表示点、之间的距离．请探究在运动过程中，与的数量关系；
②若球以每秒的速度向左运动，球以每秒的速度向左运动，当、两球第一次相撞时，相撞点在原点左侧．距离原点处，求与的比值．
▌题型07 数轴动态与方程综合（期末压轴必考·核心难点）
【典例7-1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）兴化千垛景区以油菜花田闻名，有一条笔直的观光道路，可以视为数轴．在数轴上，点表示景区入口，点、、分别表示三个油菜花田的入口，其对应的数分别为、1、3（单位：千米）．三个花田的油菜籽产量（单位：千公斤）分别为：田2千公斤，田2千公斤，田3千公斤．现计划在道路上设置一个油菜籽收集站，其位置对应的数为．运输成本为每千米每千公斤1元（即每运输1千公斤油菜籽经过1千米距离，成本为1元）
根据以上信息，结合数轴知识，解决以下问题：
【问题探究】
（1）若将数轴折叠，使点与点重合．
①则点与数______表示的点重合；
②若数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数．
【举一反三】
（2）点为数轴上一动点，其对应的数为．
①若点到点、的距离之和为10，求的值；
②若点到点、、的距离之和最小，则______．
【问题解决】
（3）为了降低运输成本，收集站应建在何处（即为多少）才能使总运输成本最低？最低成本是多少？
【变式7-1】（24-25七年级上·河南焦作·期中）【问题提出】在学习数轴知识时，数学小组的同学们遇到了这样的问题，请你帮他们解决：
若将数轴折叠，使与表示的点重合．
（1）则表示的点与数________表示的点重合；
【反思生疑】解决这个问题后，有同学提出了这样的问题：既然数轴可以折叠，那可不可以把数轴旋转一下呢？于是，同学们将数轴绕原点旋转，得到了如图的“新数轴”：
又有同学说：一般规定向右为数轴的正方向，但是如果规定“向左”为正方向，也可以帮助我们解决问题．我们就叫这个数轴为“新数轴”吧！
（2）在这个“新数轴”上，________，________，点与点之间的距离为________；
（3）在这个“新数轴”上，若点从出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，经过多少秒，点与点的距离是点与点的距离的倍？此时，点在“新数轴”上对应的数是多少？
【变式7-2】（25-26七年级上·全国·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b．
(1)则 ， ，A、B两点之间的距离为 ．
(2)有一动点P，从点A出发，第一次向左运动1个单位，第二次向右运动2个单位，第三次向左运动3个单位，第四次向右运动4个单位，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数．
(3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出点P的位置表示的数，若不可能，请说明理由．
【变式7-3】（23-24七年级上·山东临沂·期中）【问题提出】：在学习数轴知识时，数学小组的同学们遇到了这样的问题，请你帮他们解决：若将数轴折叠，使与表示的点重合．

(1)则表示的点与数 表示的点重合；
(2)若数轴上，两点之间的距离为，且，两点经过上述方法与已知对折点相同折叠后互相重合，求，两点表示的数；
【反思生疑】：解决这个问题后，小强同学提出了这样的问题：既然数轴可以折叠，那可不可以把数轴旋转一下呢？于是，同学们将数轴绕原点旋转，得到了如图2的“新数轴”；
小娜同学说：一般规定向右为数轴的正方向，但是如果规定“向左”为正方向，也可以帮助我们解决问题．我们就叫这个数轴为“新数轴”吧!我来考考大家：
(3)在这个“新数轴”上， ， ，点与点之间的距离为 ；
(4)在这个“新数轴”上，若点从出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，设移动的时间为，则当为多少时，点与点的距离是点与点的距离的倍？此时，点在“新数轴”上对应的数是多少？
▌题型08 数轴旋转与动态新定义（期末压轴必考·核心难点）
【典例8-1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1和图2，数轴与交于公共原点O，点M，N在数轴上且表示的数分别为3和，点P 在数轴上，且初始状态下，
(1)如图1，若线段中点为A，求点A在数轴上表示的数；
(2)如图1，若点P在数轴上表示的数是6，将数轴绕点O旋转过程中，当数轴 经过点N时，直接写出点N在数轴上表示的数为多少？
(3)如图2，将绕点O逆时针旋转得到将O绕点O逆时针旋转 得到 其中，在整个旋转过程中，当被数轴或平分时，直接写出所有符合条件的值．
【典例8-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”．
(1)若点表示的数是0，则的值为____________；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________；
(3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值．
【典例8-3】（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务．
【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图1），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足．
【素材2】通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如图2所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”．
【任务1】在“灵动数轴”中，_______，________，______；
【任务2】折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数；
【任务3】点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值．
【变式8-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）操作发现．
操作一：如图1，已知数轴上点、所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点，此时数轴上点所表示的数为4，我们称点是点关于点的映射点；
记作：或；
操作二：如图3，已知点和线段，将点、绕同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，我们称点是点关于线段的映射点；
记作：；如：；
(1)借助图1、图2、图3理解，直接填空：，；________；
(2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示）
(3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，；
①点在运动过程中，线段的长度是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围；
②当点C表示的数是，点B与点D的距离为1时，求a的值．
【变式8-2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是．
(1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______；
(2)如果，求出点P表示的数以及b的值；
(3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【变式8-3】（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．

(1)【知识呈现】
数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____．
(2)【定义】
一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示：
【初步理解】
①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是_____，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____．
【深入探究】
②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【归纳总结】
③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度．
【变式8-4】（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”．
(1)若点P表示的数是0，则n的值为______；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个；
(3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值；
(4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值．

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