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13.3.2 三角形的外角
课题 13.3.2 三角形的外角 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：理解三角形外角的定义及其性质；2.逻辑推理：掌握外角推论的证明方法；3.数学建模：运用外角性质解决角度计算问题；4.直觉想象：理解外角与内角的关系。
教学重点 三角形外角的性质及其应用。突破策略：通过内角和定理推导外角性质，结合图形理解外角与不相邻内角的关系。
教学难点 外角性质的灵活应用与外角和定理的推导。突破策略：通过多层次例题和变式训练，帮助学生熟练运用外角性质。
一、情境导入
复习回顾：在△ABC中，三个内角分别是什么？它们有什么关系？
内角分别是、和。
关系：。
若把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，那∠ACD是什么角呢？
【过渡语】延长三角形的一边后产生了新的角，这就是我们今天要研究的三角形的外角。
设计意图：通过复习内角和定理并延长一边引入外角概念，建立新旧知识的联系。
二、探究新知
1. 三角形外角的定义
如图，把的一边BC延长，得到。
【知识点】三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。
设计意图：通过图形直观展示外角的形成过程，帮助学生建立外角的几何表象。
【过渡语】了解了外角的定义后，我们来认识外角的相关知识。
2. 三角形外角的相关知识
（1）三角形的外角与和它相邻的内角互为邻补角。当这两个角相等时，三角形是直角三角形；当外角小于与它相邻的内角时，三角形是钝角三角形。
（2）三角形的每一个顶点处都有两个外角，这两个外角相等，是一对对顶角。一个三角形共有六个外角。如图所示，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6均是△ABC的外角。
概念辨析：概念辨析：外角与内角的关系——每个外角与相邻的内角互补（和为180°）；每个顶点处有两个外角（对顶角，相等）；三角形共6个外角，但通常每个顶点取一个，共3个外角。
【知识点】外角的特征：①每个外角与相邻内角互补；②每个顶点有2个外角（对顶角）；③三角形共有6个外角；④外角在三角形外部。
设计意图：通过系统梳理外角的特征，帮助学生全面理解外角的概念。
【过渡语】认识了外角的定义和特征后，我们来探究外角与不相邻内角的关系。
3. 探究：外角与不相邻内角的关系
如图，在中，，，是的一个外角。能由，求出吗？
计算过程
= 130°
所以。
算理讲解：算理讲解：关键思路是将∠ACD=180°-∠ACB中的"180°"替换为内角和"∠A+∠B+∠ACB"，消去∠ACB后得到∠ACD=∠A+∠B。这体现了等量代换的数学思想。
设计意图：通过具体数值计算，帮助学生发现外角与不相邻内角的和相等这一规律。
【过渡语】通过具体数值发现了规律，接下来进行严格证明。
4. 外角性质推论的证明
已知：如图，是的一个外角。
求证：。
证明过程
∵由三角形的内角和定理，
又
∴
=
【知识点】外角性质推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。即在△ABC中，若是外角，则。
设计意图：通过严格推理证明外角性质，培养学生的逻辑推理能力。
【过渡语】证明了这个推论后，我们还能得到什么结论？
5. 外角性质推论2
三角形的内角和定理的另一个推论：
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
符号语言：∵是的一个外角，
∴，。
解题技巧：解题技巧：推论2可由推论1直接推出。因为∠ACD=∠A+∠B，而∠A和∠B都是正数（大于0°），所以∠ACD>∠A且∠ACD>∠B。这为比较角的大小提供了重要工具。
【知识点】外角性质推论2：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。即，。
设计意图：通过推论2的推导，帮助学生理解外角与内角的大小关系。
【过渡语】掌握了外角的两个推论后，我们来了解外角和定理。
6. 三角形外角和定理
三角形的外角和的定义：在三角形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作三角形的外角和。
三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°。
推导过程
∵，，
∴
∴
【知识点】外角和定理：三角形的外角和等于360°，与三角形的形状和大小无关。推导依据：每个外角与相邻内角互补，三个外角+三个内角=540°，而内角和=180°，故外角和=540°-180°=360°。
设计意图：通过推导外角和定理，帮助学生理解外角与内角的互补关系及整体代换思想。
【过渡语】掌握了所有定理和推论后，我们通过例题来应用这些知识。
三、例题精讲
例题1：求外角度数
如图，在中，，求的度数。
审题分析
已知两个内角的度数，要求外角∠ACD。直接利用外角性质推论1：外角等于不相邻两个内角的和。
解题过程
∵是的一个外角
∴
∴
方法总结
已知两个不相邻内角，求外角，直接用"外角=两个不相邻内角之和"。
变式训练
在中，，求外角。
解：。
例题2：求内角度数
在中，外角，求的度数。
审题分析
已知外角度数，要求相邻内角∠C。利用外角等于不相邻两个内角的和，先求∠A+∠B，再用内角和定理求∠C。
解题过程
∵是外角，∴
又∵
∴
方法总结
已知外角求相邻内角，可先用外角性质求不相邻内角之和，再用内角和定理求第三个角。也可利用外角与相邻内角互补直接求。
【知识点】外角性质的应用策略：①已知两内角求外角——直接相加；②已知外角和一内角求另一内角——相减；③已知外角求相邻内角——用互补关系或内角和定理。
例题3：综合应用
解法二：利用外角性质，通过外角等于不相邻两个内角的和来建立角度关系。
解题技巧：解题技巧：当题目中出现三角形外角时，优先考虑使用外角性质。外角性质可以将分散的角集中到一个三角形中，简化计算。
设计意图：通过多种解法对比，帮助学生灵活运用外角性质解决问题。
【过渡语】通过例题掌握了应用方法后，下面进行巩固练习。
四、巩固练习
练习1：选择题
如图，在中，点D是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案与解析
答案：B。利用外角等于不相邻两个内角的和。
练习2：选择题
如图，在中，，平分，，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案与解析
答案：C。利用外角大于不相邻内角的性质判断。
练习3：选择题
如图，在中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
答案与解析
答案：A。综合运用外角性质和内角和定理。
练习4：选择题
如图，和是的两个外角，若，则( )
A. B. C. D.
答案与解析
答案：A。利用外角和定理求解。
练习5：如图，在中，，，平分.求的度数.
答案与解析
答案：利用外角性质求解。
解析：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
练习6：
如图，点D在上，点E在上，，相交于点O.
(1)若，，，求的度数；
(2)试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性.
答案与解析
答案：综合运用外角和内角关系。
解析：(1)，，，
，
；
(2)，证明如下：
是的外角，
.
是的外角，
，.
练习7：求外角
在中，，，求的度数。
答案与解析
解：=130°。
练习8：求内角
在中，外角，求。
答案与解析
解：，。
练习9：求角度关系
在△ABC中，∠A=∠B，外角∠ACD=120°，求三个内角的度数。
答案与解析
解：∵∠ACD=∠A+∠B=120°，且∠A=∠B，∴∠A=∠B=60°。∠C=180°-60°-60°=60°。三个角都是60°，△ABC是等边三角形。
练习10：外角和应用
三角形的三个外角度数之比为2:3:4，求三个外角和每个内角的度数。
答案与解析
解：设三个外角分别为2x°、3x°、4x°。由外角和定理，2x+3x+4x=360°，9x=360°，x=40°。三个外角分别为80°、120°、160°。对应的三个内角分别为100°、60°、20°。
五、课堂小结
1. 外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。
2. 外角性质推论1
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。即。
3. 外角性质推论2
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。即，。
4. 外角和定理
三角形的外角和等于，即。
★ 重点强调：重点强调：①外角与相邻内角互补；②外角=不相邻两内角之和（推论1）；③外角>任一不相邻内角（推论2）；④外角和恒为360°；⑤三角形有6个外角，每个顶点2个（对顶角）。
设计意图：通过课堂小结，帮助学生系统梳理外角的定义、性质和定理。
六、教学反思
亮点：从延长一边引入外角概念，自然流畅；通过具体数值计算发现规律，再严格证明，体现了"实验发现→逻辑证明"的认知过程；例题设计层次分明，覆盖了直接计算、逆向求解和综合应用。
改进方向：外角和定理的推导过程可以让学生更多参与；部分学生在区分"相邻"和"不相邻"内角时有困难，可增加标注练习；推论2的应用场景可以进一步拓展。

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