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14.1 全等三角形及其性质
课题 14.1 全等三角形及其性质 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：理解全等形与全等三角形的定义；2.逻辑推理：掌握全等三角形的性质；3.直观想象：识别平移、翻折、旋转变换后的全等形；4.数学运算：运用对应元素相等解决问题。
教学重点 全等三角形的定义、性质及对应元素的识别。突破策略：通过具体图形操作和对比，理解全等的本质。
教学难点 对应元素的准确识别与应用。突破策略：通过“字母顺序法”、“图形特征法”和“位置关系法”多维度帮助学生掌握。
一、情境导入
生活中有很多形状、大小相同的图形的形象。铺设地面的方砖、钢架桥中的三角形结构、足球比赛的场地等，都能在其中找到形状、大小相同的图形。
形状、大小相同的图形是全等形。本章我们以全等三角形为例研究全等形，重点学习全等三角形的性质和判定三角形全等的方法。
在本章推理论证将发挥更大的作用。我们将通过证明三角形全等来证明线段相等或角相等，利用全等三角形证明角的平分线的性质。
特点：都是由形状、大小相同的图形构成的。
【过渡语】认识了生活中的全等形后，我们通过动手操作来理解全等的本质。
设计意图：通过生活中的全等实例引入，激发学生的学习兴趣，建立数学与生活的联系。
二、探究新知
1. 全等形的定义
把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下纸板。
问题1：裁下的纸板与三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？
答：完全一样，能够完全重合。
问题2：翻动笔记本，把每页纸看作一个图形，那么这些图形有什么样的特点呢？
答：能够完全重合。
【知识点】全等形的定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫作全等形。
概念辨析：概念辨析：（1）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形的位置无关。（2）全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定是全等形，因为二者的形状不一定相同。
设计意图：通过动手操作帮助学生直观理解"完全重合"是全等的本质特征。
【过渡语】了解了全等形的定义后，我们专门来研究全等三角形。
全等三角形的定义
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．
能够完全重合的两个图形叫作全等形．
【知识点】全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。
如和能够完全重合，则称它们全等。
设计意图：通过图形展示帮助学生建立全等三角形的直观印象。
【过渡语】三角形经过变换后，是否仍然全等？
3. 全等变换
思考：在图（1）中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF。
在图（2）中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC。
在图（3）中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE。
各图中的两个三角形全等吗？
答：都全等。
【知识点】全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
解题技巧：解题技巧：判断两个三角形是否全等，关键看它们能否通过平移、翻折、旋转后完全重合，而不是看它们的位置关系。
设计意图：通过三种变换的展示，帮助学生理解全等与位置无关，只与形状和大小有关。
【过渡语】了解了全等变换后，我们来学习全等三角形的符号表示和对应元素。
4. 全等三角形的对应元素
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
例如，若和全等，记作。
对应顶点：A与D，B与E，C与F。
对应边：AB与DE，BC与EF，AC与DF。
对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
概念辨析：概念辨析：对应元素的确定方法：①字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角；②图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角；③位置关系法：公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边；对应角的对边为对应边，两条对应边所夹的角是对应角。
【知识点】对应元素识别：全等三角形的对应顶点、对应边、对应角是一一对应的。书写全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上。
设计意图：通过多种方法帮助学生准确识别对应元素，为后续性质应用奠定基础。
【过渡语】掌握了对应元素后，我们来探究全等三角形的重要性质。
5. 全等三角形的性质
思考：全等三角形的对应边和对应角有什么关系？
由于两个三角形能够完全重合，所以：
【知识点】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
若，则：
对应边：，，
对应角：，，
周长：
面积：
算理讲解：算理讲解：全等三角形的性质来源于"完全重合"的定义。既然两个三角形能完全重合，那么重合的边必然长度相等，重合的角必然度数相等。这是全等三角形最核心的性质，也是后续证明线段相等、角相等的重要工具。
设计意图：通过性质的推导，帮助学生理解全等三角形性质的来源及其应用价值。
【过渡语】掌握了全等三角形的性质后，我们通过例题来应用这些知识。
三、例题精讲
例题1：利用性质求边长
已知，，，，求的周长。
审题分析
已知两个三角形全等，且△ABC的三边长，要求△DEF的周长。利用全等三角形对应边相等的性质。
解题过程
∵
∴，，
∴，，
∴
方法总结
已知全等三角形的一边长，求对应边的长，直接利用"对应边相等"的性质。
变式训练
已知，，，求。
解：∵，∴∠C=∠F。由∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=180°-50°-60°=70°，∴∠F=70°。
例题2：识别对应元素
如图，，指出对应顶点、对应边和对应角。
解题过程
对应顶点：A与D，B与B（公共顶点），C与C（公共顶点）。
对应边：AB与DB，BC与BC（公共边），AC与DC。
对应角：，，
解题技巧：解题技巧：识别对应元素时，注意公共顶点和公共边。翻折变换中，折痕上的点为公共顶点，折痕为公共边。
【知识点】公共元素识别：当两个全等三角形有公共顶点或公共边时，这些公共元素本身就是对应元素。
设计意图：通过例题帮助学生巩固对应元素的识别方法，特别是公共元素的处理。
【过渡语】通过例题掌握了性质应用后，下面进行巩固练习。
四、巩固练习
练习1：选择题
下列各组图形中，是全等形的是( )
A. B. C. D.
答案与解析
答案：B。
练习2：选择题
下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是( )
A. B. C. D.
答案与解析
答案：C。
练习3：选择题
如图，点在一条直线上，，，则的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案与解析
答案：C。
练习4：选择题
如图，，下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
答案与解析
答案：D。
练习5：选择题
如图，，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案与解析
答案：D。
练习6：
如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F.
(1)求的长；
(2)求的度数.
答案与解析
解析：(1)∵，，，
，，；
(2)∵，
，，
∵B，C，D共线，
，
，
，.
练习7：综合应用
已知，AB=8，BC=10，AC=12，∠A=50°，∠B=60°。求△DEF的三边长和三个角的度数。
答案与解析
解：∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=8，EF=BC=10，DF=AC=12。∠D=∠A=50°，∠E=∠B=60°，∠F=∠C=180°-50°-60°=70°。
五、课堂小结
1. 全等形与全等三角形
能够完全重合的两个图形叫作全等形；能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。
2. 全等变换
平移、翻折、旋转前后的图形全等。
3. 符号表示
，注意对应顶点的字母写在对应位置上。
4. 全等三角形的性质
对应边相等：，，。
对应角相等：，，。
周长相等：；面积相等：。
★ 重点强调：重点强调：①全等只与形状和大小有关，与位置无关；②书写全等时对应顶点字母要对齐；③对应边相等、对应角相等是证明线段相等和角相等的重要工具；④公共边、公共角、对顶角是识别对应元素的重要线索。
设计意图：通过课堂小结，帮助学生系统梳理全等三角形的定义、性质和应用。
六、教学反思
亮点：从生活中的全等实例引入，贴近学生生活；通过动手操作（裁纸板）帮助学生理解"完全重合"的本质；平移、翻折、旋转三种变换的展示帮助学生理解全等与位置无关；例题设计层次分明，覆盖了性质应用和对应元素识别。
改进方向：部分学生在识别对应元素时仍有困难，需要增加更多练习；性质应用中可以引入更多证明题，为后续学习判定方法做铺垫。

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