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14.2 三角形全等的判定（课时1）
课题 14.2 三角形全等的判定（课时1） 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：理解SAS判定定理的推导过程；2.逻辑推理：掌握用SAS证明三角形全等的规范格式；3.数学建模：能运用SAS判定证明线段、角相等；4.直观想象：通过画图探究理解判定条件的最小性。
教学重点 SAS判定定理的理解与应用。突破策略：通过对比探究，理解两边一夹角的确定性。
教学难点 SSA不能判定全等的理解。突破策略：通过反例演示，让学生直观感受边角边的不确定性。
一、情境导入
【知识点】全等三角形回顾：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。
即：若，则，，；，，。
性质和判定是几何研究的主要内容。上一节学习了全等三角形的性质，知道了全等三角形的对应边相等、对应角相等。反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？
我们将从构成三角形的元素——边、角的关系出发，研究三角形全等的判定方法。
【过渡语】全等三角形有六个对应元素相等，能否用更少的条件来判定呢？让我们从少到多逐步探究。
设计意图：通过回顾全等三角形的定义和性质，引发学生思考判定条件的最小化问题，激发探究兴趣。
二、探究新知
1. 全等条件的简化思路
根据全等三角形的定义，如果与满足三条边分别相等，三个角分别相等：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
上述六个条件中，有些条件是相关的。能否在这六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？
解题技巧：解题技巧：从六个条件逐步减少，按照"一个条件→两个条件→三个条件"的顺序探究，体现由简到繁、由特殊到一般的数学思想。
【知识点】探究思路：按照条件由少到多的顺序进行研究，通过画图验证各种情况是否能保证三角形全等。
设计意图：引导学生体会"最小条件集"的数学思想，培养分类讨论的意识。
【过渡语】先从最少的条件开始，看看一个条件能否判定全等。
2. 探究1：只给一个条件
只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
①只给一条边：如给定边长5cm，可以画出无数个形状不同的三角形（等腰、不等腰、直角等）。
②只给一个角：如给定角30°，可以画出无数个大小不同的三角形。
结论：只给一个条件，画出的三角形不一定全等。
易错提示：易错提示：给定一条边或一个角，只能确定三角形的一个元素，无法固定三角形的形状和大小。画图时要注意"形状"和"大小"两个维度。
【知识点】一个条件不够：仅给定一条边或一个角，不能唯一确定三角形的形状和大小，因此不能判定全等。
设计意图：通过动手画图，让学生直观感受一个条件不足以确定三角形。
【过渡语】一个条件不够，那么两个条件呢？
3. 探究1：只给两个条件
只给两个条件画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
两个条件有三种情况：(1)一边一角；(2)两个角；(3)两边。
①一边一角（一角和它的邻边）：如给定40°角和5cm邻边，可以画出多个不同的三角形。
②一边一角（一角和它的对边）：如给定30°角和对边，三角形的形状仍不确定。
③两个角：如给定30°和50°，三角形形状确定但大小不确定（相似但不全等）。
④两个边：如给定4cm和6cm，夹角不确定，可画出不同的三角形。
结论：只给两个条件，画出的三角形不一定全等。
概念辨析：概念辨析：两个角确定形状（相似），但不确定大小；两边确定两条边长，但夹角不确定导致形状可变。关键是理解"形状+大小"同时确定才能全等。
【知识点】两个条件不够：无论是一边一角、两个角还是两边，都不能同时确定三角形的形状和大小，因此不能判定全等。
设计意图：通过分类讨论三种情况，培养学生的逻辑思维和分类意识。
【过渡语】两个条件仍不够，那么三个条件呢？让我们探究两边及其夹角的情况。
4. 探究2：两边和它们的夹角（SAS）
满足六个条件中的三个，我们分情况进行讨论。先研究"两边和它们的夹角"的情况。
如图，由∠A′=∠A可知，如果使点A′与点A重合，并且使射线A′B′与射线AB重合，那么射线A′C′与射线AC重合。
由于A′B′=AB，所以点B′与点B重合；由于A′C′=AC，所以点C′与点C重合。
因此，△A′B′C′与△ABC完全重合，即两个三角形全等。
算理讲解：算理讲解：SAS判定的本质是通过"夹角"固定了两边的相对位置。夹角确定后，两边的另一端点位置被唯一确定，从而三角形的三个顶点都被固定，因此三角形的大小和形状完全确定。
【知识点】SAS判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成"边角边"或"SAS"）。
符号语言：在和中，
AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
∴ （SAS）
设计意图：通过尺规作图或几何画板演示，让学生直观理解SAS判定的几何原理。
【过渡语】掌握了SAS判定定理后，我们通过例题学习如何规范书写证明过程。
三、例题精讲
例题1：用SAS判定全等
已知：和中，AB=DE=2.5cm，BC=EF=3cm，∠ABC=∠DEF=40°。
求证：
证明过程
在和中，
AB=DE （已知）
∠ABC=∠DEF （已知）
BC=EF （已知）
∴ （SAS）
方法总结
用SAS判定全等的步骤：①找两组对应边相等；②找这两组边的夹角相等；③按"边→角→边"顺序写出三个条件；④得出结论。
解题技巧：解题技巧：书写证明时，对应顶点要写在对应位置上。SAS格式要求"边→夹角→边"，注意必须是夹角而非对角。
设计意图：通过规范证明格式的示范，培养学生严谨的几何表达能力。
例题2：证明线段相等
已知：在△BAD和△CAE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE。
求证：BD=CE。
分析
要证BD=CE，可尝试证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形对应边相等得出结论。
证明过程
∵ ∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即 ∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中，
AB=AC （已知）
∠BAD=∠CAE （已证）
AD=AE （已知）
∴ △BAD≌△CAE（SAS）
∴ BD=CE（全等三角形对应边相等）
★ 重点强调：重点强调：本题的关键是通过"等角减等角"得到∠BAD=∠CAE，构造SAS所需的夹角条件。AB既是△ABC的边又是△ABD的边，称为公共边。
方法总结
证明线段相等的思路：①将线段放入两个三角形中；②证明这两个三角形全等；③利用全等三角形对应边相等得出结论。
设计意图：通过例题展示如何利用SAS证明线段相等，渗透"全等工具"的转化思想。
【过渡语】SAS判定要求两边及其夹角，那么两边及其中一边的对角呢？
5. 思考：SSA能否判定全等？
我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
问题：如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
答案：不一定全等。
反例：如图，在△ABC和△ABD中，AB=AB（公共边），AC=AD，∠B=∠B（公共角），但△ABC与△ABD不全等。
易错提示：易错提示：SSA（边边角）不能判定全等！因为给定的角不是夹角时，第三边的位置不确定，可能形成两个不同的三角形（一个锐角三角形、一个钝角三角形）。这是SAS判定中最容易出错的地方。
【知识点】SSA不能判定全等：两边及其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等。必须是"两边及其夹角"（SAS）才能判定。
设计意图：通过反例让学生直观理解SSA的不确定性，强化对SAS条件的准确理解。
【过渡语】明确了SAS判定和SSA的误区后，我们通过练习巩固所学。
四、巩固练习
练习1：选择题
如图，在中，，，若，则AD的长是( )
A.2 B.4 C.3 D.8
答案与解析
解析：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故选：B.
练习2：选择题
如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，O是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两条腿落地点B，C之间的距离是( )
A. B. C. D.
答案与解析
解析：∵和的长度相等，O是它们的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，故选：A.
练习3：选择题
如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则( )
A. B. C. D.
答案与解析
解析：如图，
由图可知：，，，
∴，∴，
∵，
∴；故选C.
练习4：
如图，，，，求证：
答案与解析
证明：，
，
，
在和中，
，
.
练习5：
已知：如图，在中，，BE、CD是中线.求证：.
答案与解析
证明：、是中线，
，，
，，
在和中，，
，.
练习6：证明题
已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。
求证：△ABF≌△DCE。
答案与解析
证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，AB=DC，∠B=∠C，BF=CE，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
练习7：证明题
已知：如图，AB∥CD，AB=CD。
求证：△ABC≌△CDA。
答案与解析
证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△CDA中，AB=CD，∠BAC=∠DCA，AC=CA（公共边），∴△ABC≌△CDA（SAS）。
练习8：辨析题
判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）两边和一角对应相等的两个三角形全等。（ ）
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（ ）
（3）SSA可以判定两个三角形全等。（ ）
（4）有两边对应相等，且第三边上的高也相等的两个三角形全等。（ ）
答案与解析
（1）×，必须是夹角。（2）√，SAS判定定理。（3）×，SSA不能判定全等。（4）×，可能一个锐角三角形、一个钝角三角形。
练习9：综合应用
已知：如图，AO=CO，BO=DO。
求证：AB=CD。
答案与解析
证明：在△ABO和△CDO中，AO=CO，∠AOB=∠COD（对顶角相等），BO=DO，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB=CD。
练习10：开放探究
在△ABC和△DEF中，已知AB=DE=5cm，BC=EF=4cm。请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，并说明理由。
答案与解析
补充条件：∠B=∠E。理由：两边及其夹角对应相等（SAS）。
或补充条件：AC=DF=3cm。理由：三边对应相等（SSS，后续学习）。
五、课堂小结
1. 探究过程
一个条件（不够）→两个条件（不够）→三个条件（SAS可以）。体现了从特殊到一般的数学思想。
2. SAS判定定理
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（边角边/SAS）。
书写格式：边→夹角→边，注意对应顶点写在对应位置。
3. 重要提醒
SSA（边边角）不能判定全等！必须是两边及其夹角。
4. 证明思路
要证线段相等或角相等，可通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决。
★ 重点强调：重点强调：①SAS必须是"夹角"而非"对角"；②证明格式要规范，对应顶点对齐；③SSA不能判定全等，谨防错误。
设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理判定方法的探究过程和核心要点。
六、教学反思
亮点：从条件由少到多的探究过程，体现了数学研究的思维方法；通过反例说明SSA不能判定全等，帮助学生深刻理解SAS条件的必要性；例题设计从直接判定到证明线段相等，层次分明。
改进方向：学生容易混淆"夹角"和"对角"，可增加更多画图辨析环节；证明格式的规范性需要更多练习巩固。

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