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14.2 三角形全等的判定（课时3）
课题 14.2 三角形全等的判定（课时3） 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：理解SSS判定定理的本质；2.逻辑推理：掌握用SSS证明三角形全等的方法；3.数学建模：应用SSS证明线段垂直问题；4.直观想象：理解三角形的稳定性。
教学重点 SSS判定定理的理解与应用、三角形稳定性的理解。突破策略：通过尺规作图感受SSS的几何意义。
教学难点 判定方法的选择与综合应用。突破策略：通过对比归纳，帮助学生建立完整的判定方法体系。
一、情境导入
【知识点】全等三角形判定方法回顾：
我们已经学习了三种判定方法：
① SAS（边角边）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。书写顺序：边→角→边。
② ASA（角边角）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。书写顺序：角→边→角。
③ AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。书写顺序：角→角→边。
将图中的两根木条首尾相连拼接成一个角，这两根木条拼的角都一样吗？答案：不一样。
用图中的三根木条能拼出不同形状的三角形吗？答案：不能。
解题技巧：解题技巧：两根木条可以确定一个角的大小，但不能确定三角形的形状；三根木条首尾相连时，三角形的形状和大小完全确定，这就是三角形的稳定性。
【过渡语】三根木条能唯一确定三角形，这启发我们思考：三边分别相等的两个三角形是否全等呢？
学生活动：请同学们拿出课前准备的三根不同长度的木条（或细纸条），尝试拼接三角形。观察：①用同样的三根木条，能拼出几种不同形状的三角形？②与同桌交换木条，若三边长度相同，拼出的三角形是否完全一样？
学生通过动手操作发现：三边长度确定后，只能拼出一种三角形，且与同桌拼出的三角形能够完全重合。
设计意图：通过实物操作引发学生思考，从直观体验过渡到理论探究。
二、探究新知
1. 探究：三边分别相等（SSS）
如图，直观上，AB、BC、CA的大小确定了，的形状、大小也就确定了。
也就是说，在与中，如果A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA，那么。这个判断正确吗？
分析过程
（1）由A′B′=AB可知，如果使点A′与点A重合，点B′在射线AB上，那么点B′与点B重合。另外，使点C′落在直线AB的含有点C的一侧。
（2）由于点C是以点A为圆心、AC为半径的圆和以点B为圆心、BC为半径的圆的交点。点C′是以点A′为圆心、A′C′为半径的圆和以点B′为圆心、B′C′为半径的圆的交点。
（3）所以由A′C′=AC，B′C′=BC可知点C′与点C重合。
（4）的三个顶点与的三个顶点分别重合，与能够完全重合。
∴ 。
教师引导学生思考：为什么两弧的交点唯一确定第三个顶点？因为以A为圆心、AC为半径的圆与以B为圆心、BC为半径的圆最多有两个交点，其中一个在直线AB的另一侧（不含点C的一侧），被我们排除了，因此交点唯一。
算理讲解：算理讲解：SSS判定的本质是"三边唯一确定三角形"。在平面几何中，给定三条线段（满足三角形不等式），以其中一条为底边，另外两条为半径画弧，两弧的交点唯一确定第三个顶点，因此三角形被唯一确定。这是尺规作图"已知三边作三角形"的理论依据。
【知识点】SSS判定定理：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成"边边边"或"SSS"）。
几何语言
如图，在与中，
AB=A′B′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴ （SSS）
设计意图：通过尺规作图的原理分析，帮助学生理解SSS判定的几何本质。
【过渡语】SSS判定定理说明三边确定三角形，这也是三角形具有稳定性的原因。
2. 三角形的稳定性
利用SSS这个基本事实，可以说明三角形具有稳定性。
将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，这个三角形的形状、大小就不变了。
学生活动：请同学们用四根木条钉成一个四边形框架，试着拉动它，观察会发生什么现象？
学生发现：四边形框架容易被拉动变形，而三角形框架不会改变形状。
知识拓展：知识拓展：三角形的稳定性在生活中有广泛应用，如自行车车架、屋顶桁架、高压电线塔、桥梁结构、相机三脚架等。相比之下，四边形不具有稳定性（四根木条可以变形），因此需要通过添加对角线形成三角形来增加稳定性，如伸缩门、升降架等。
【知识点】三角形稳定性：三边确定后，三角形的形状和大小就完全确定了，因此三角形具有稳定性。这是SSS判定定理在实际生活中的体现。
思考：为什么四边形不具有稳定性？因为四边形的四条边确定后，四个角仍然可以变化，形状不唯一。只有在添加一条对角线后，四边形被分成两个三角形，才能固定形状。
设计意图：通过生活实例帮助学生理解三角形稳定性的应用价值。
【过渡语】SSS不仅可以判定全等，还可以作为尺规作图的理论依据。
3. 尺规作图：已知三边作三角形
已知三条线段a，b，c（其中任意两条线段的和大于第三条线段），求作△ABC，使其三边分别为a，b，c。
作法
（1）作线段AB=c；
（2）分别以点A、B为圆心，线段b、a为半径作弧，两弧相交于点C；
（3）连接AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形。
教师演示：教师在黑板上逐步演示作图过程，强调每一步的作图依据和注意事项。
学生活动：学生在练习本上按照步骤作图，教师巡视指导，纠正作图中的常见错误。
解题技巧：解题技巧：作图依据是SSS判定定理。因为AB=c，AC=b，BC=a，三边唯一确定三角形。注意：任意两条线段的和必须大于第三条线段（三角形不等式），否则无法作图。作图时，圆规的张角要准确，画弧要清晰。
【知识点】尺规作图依据：已知三边作三角形的依据是SSS判定定理。作图时，以两个顶点为圆心、两边长为半径画弧，交点即为第三个顶点。
思考：如果三条线段不满足三角形不等式（例如a=1cm，b=2cm，c=5cm），还能作出三角形吗？
答案：不能。因为1+2<5，以A为圆心2cm、B为圆心1cm画弧时，两弧不会相交，无法确定第三个顶点。
设计意图：通过动手作图，让学生体验SSS判定定理的实际应用。
【过渡语】掌握了SSS判定和三角形稳定性后，我们通过例题学习如何应用SSS证明。
4. 例题精讲：用SSS证明垂直
例3：在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架。求证：AD⊥BC。
分析
如果△ABD≌△ACD，那么∠ADB=∠ADC，从而有AD⊥BC。而△ABD与△ACD具备"边边边"的条件。
证明过程
∵ D是BC中点，∴ 。
在与中，
AB=AC （已知）
BD=CD （已证）
AD=AD （公共边）
∴ （SSS）
∴ （全等三角形对应角相等）
又∠ADB+∠ADC=180°（平角定义）
∴ ，即 。
★ 重点强调：重点强调：本题的关键是发现AD是公共边。"公共边"是SSS证明中常用的隐含条件。同时，通过证明两个角相等且互补（和为180°），得出每个角都是90°，这是证明垂直的常用方法。
变式训练
变式：若AB=AC，AD是BC边上的中线，求证：AD平分。
提示：由△ABD≌△ACD（SSS）可得∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC。
拓展：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线"三线合一"。
方法总结
证明垂直的思路：①证明两个三角形全等；②得出对应角相等；③利用平角定义（互补）得出每个角为90°；④得出结论。
证明角平分线的思路：①证明两个三角形全等；②得出对应角相等；③得出角平分线结论。
易错提醒：书写全等证明时，要注意对应顶点的顺序一致。如△ABD≌△ACD，顶点A对应A，B对应C，D对应D。
设计意图：通过例题展示SSS在证明垂直中的应用，渗透"全等→角等→垂直"的转化思路。
【过渡语】掌握了SSS判定后，我们来思考三个角相等能否判定全等。
5. 思考：三个角分别相等的三角形全等吗？
思考：如果两个三角形的三个角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
答案：不一定全等。
反例：等边三角形ABC（边长为2cm）和等边三角形A′B′C′（边长为3cm），它们的三个角都是60°，但边长不同，显然不全等。
教师引导：在黑板上画出两个不同大小的等边三角形，让学生直观感受它们形状相同但大小不同。
学生讨论：三个角相等只能确定三角形的形状，不能确定大小。因此AAA不能作为全等判定方法。
易错提示：易错提示：AAA（三个角分别相等）只能判定三角形相似（形状相同），不能判定全等（大小相同）。因为三个角相等只确定了形状，没有确定大小。
【知识点】AAA不能判定全等：三个角分别相等的两个三角形不一定全等。它们可能相似但不全等。判定全等必须有边的条件。
对比总结：SSA和AAA都不能判定全等。SSA是因为两边及非夹角可能画出两个不同的三角形（"模糊情况"）；AAA是因为只确定形状不确定大小。
设计意图：通过反例帮助学生理解"形状"与"大小"的区别，明确判定全等必须有边的条件。
【过渡语】明确了各种判定方法后，我们来系统归纳三角形全等的判定方法。
6. 归纳：三角形全等的判定方法
【知识点】判定方法体系：
目前学习的判定方法有：
① SSS（边边边）：三边分别相等——能判定全等
② SAS（边角边）：两边和它们的夹角分别相等——能判定全等
③ ASA（角边角）：两角和它们的夹边分别相等——能判定全等
④ AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等——能判定全等
⑤ SSA（边边角）：两边和其中一边的对角相等——不能判定全等
⑥ AAA（角角角）：三个角分别相等——不能判定全等（只能判定相似）
记忆口诀："三边三角六种情，SSS、SAS、ASA、AAS能判定；SSA、AAA不能行。"
学生活动：分组讨论，每组选择一种判定方法，用自己的话解释其含义，并举例说明。
概念辨析：概念辨析：判定两个三角形全等常用的思路方法：已知两边→考虑SSS或SAS；已知两角→考虑ASA或AAS；已知一边一角→根据条件灵活选择。关键是识别已知条件，选择合适的判定方法。
教师强调：证明三角形全等时，书写格式要规范：先写出在哪两个三角形中，再列出三组对应相等的条件，最后写出结论并注明判定依据。
设计意图：通过系统归纳，帮助学生建立完整的判定方法体系。
三、巩固练习
练习1：选择题
如图是尺规作图作一个角等于已知角的示意图，该作法是依据全等三角形的判定定理( )
A. B. C. D.
答案与解析
答案：B。
练习2：选择题
沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录.在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是( )
A. B. C. D.
答案与解析
答案：C。
练习3：选择题
如图，在四边形中，，，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
答案与解析
答案：B。
练习4：
如图所示，，，E，F是上两点，且.
(1)试说明；
(2)请你判断与的位置关系，并说明理由.
答案与解析
解析：(1)证明：∵，∴，
即，
在与中，，∴；
(2)证明：，理由如下，
∵，∴，∴.
练习5：
如图，在中，，点D是的中点，点E在上.
求证：.
答案与解析
解析：点D是的中点，，
在和中，，
，，
在和中，，，.
四、课堂小结
1. SSS判定定理
三边分别相等的两个三角形全等（边边边/SSS）。
几何意义：三边唯一确定一个三角形，这是三角形稳定性的理论基础。
2. 三角形稳定性
三边确定后，三角形的形状和大小完全确定，因此具有稳定性。
应用：自行车车架、屋顶桁架、高压电线塔、桥梁结构等。
3. 尺规作图
已知三边作三角形的依据是SSS判定定理。
关键步骤：作底边→以两端点为圆心画弧→确定第三个顶点→连线。
4. 全等判定方法总结
能判定：SSS、SAS、ASA、AAS；不能判定：SSA、AAA。
选择策略：根据已知条件灵活选择，有边有角优先，三边用SSS，两边夹角用SAS。
★ 重点强调：重点强调：①SSS是"边边边"，注意书写顺序；②三角形稳定性是SSS的实际体现；③AAA只能判定相似，不能判定全等；④证明垂直的常用方法：全等→角等→互补→90°。
设计意图：通过课堂小结，帮助学生建立完整的判定方法体系。
五、教学反思
亮点：从实物操作（木条拼三角形）引入SSS判定，体现了从直观到抽象的认知规律；尺规作图环节让学生动手体验SSS的几何意义；通过反例说明AAA不能判定全等，帮助学生建立完整的判定体系；例题设计展示了SSS在证明垂直中的应用。
学生反馈：大部分学生能够理解SSS判定定理，但在尺规作图时容易忽略"三角形不等式"的前提条件。部分学生在书写全等证明时，对应顶点的顺序容易写错。
改进方向：学生对尺规作图的步骤容易遗漏，需要加强练习；判定方法较多，需要通过对比表格帮助学生区分记忆。建议在下一节课增加书写格式的专项训练。
教学策略调整：对于理解困难的学生，可以通过几何画板等软件动态演示SSS判定的过程；对于书写不规范的学生，可以设计填空式的证明模板，逐步过渡到独立书写。

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