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14.2 三角形全等的判定（课时4）
课题 14.2 三角形全等的判定（课时4） 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：理解尺规作图的基本原理；2.逻辑推理：掌握用SSS和SAS判定定理进行作图的方法；3.直观想象：通过作图深化对全等判定的理解；4.数学建模：应用作图解决平行线问题。
教学重点 尺规作图的基本步骤与方法、作图原理的理解。突破策略：通过分步演示与学生动手操作相结合。
教学难点 作图题的思路分析与作图语言的规范表述。突破策略：先画草图再确定作法步骤。
一、情境导入
【知识点】尺规作图工具回顾：
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆规进行几何作图。
直尺的作用：只能用来画直线（连点成线），不能用来测量长度。
圆规的作用：量取相等长度的线段，以定点为圆心、定长为半径画弧或圆。
解题技巧：解题技巧：尺规作图中的直尺只能用来连接两点画直线，不能用来测量长度；圆规可以量取已知线段的长度，也可以以定点为圆心、定长为半径画弧。
设计意图：通过工具回顾，激活学生已有经验，为后续作图原理的理解奠定基础。
教师引导：上节课我们学习了三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS，这节课我们将利用这些判定定理来解决一个实际问题——如何用尺规作出符合特定要求的几何图形？
设计意图：设置问题悬念，激发学生的探究欲望，实现从理论到应用的过渡。
二、探究新知
（一）作一个角等于已知角
【知识点】利用SSS判定定理作一个角等于已知角：
已知角α，求作一个角，使它与已知角α相等。
分析思路：要作一个角等于已知角，可以利用全等三角形的性质。若能构造两个全等三角形，使已知角和所求角分别为这两个全等三角形的对应角，则这两个角相等。
设计意图：引导学生从全等三角形的对应角相等这一性质出发思考问题，培养学生逆向思维能力。
作图步骤：
第一步：以已知角α的顶点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交角α的两边于点A、B。
第二步：画一条射线O′A′，以O′为圆心，OA长为半径画弧，交射线O′A′于点B′。
第三步：以B′为圆心，AB长为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于点A′。
第四步：过点A′画射线O′C′，则∠A′O′B′就是所求作的角。
设计意图：分步演示作图过程，确保每个学生都能跟上操作节奏，降低认知负荷。
证明：连接AB、A′B′，由作图可知OA=O′A′，OB=O′B′，AB=A′B′，所以
（SSS），因此对应角相等，即
设计意图：通过严谨的证明，让学生理解作图背后的数学原理，而不仅仅是机械模仿步骤。
算理讲解：算理讲解：作一个角等于已知角的核心原理是利用SSS判定定理构造全等三角形。当三边对应相等时，两个三角形全等，其对应角必然相等。
设计意图：揭示作图方法的数学本质，帮助学生建立知识之间的联系，形成结构化认知。
【过渡语】掌握了作一个角等于已知角的方法后，我们来思考一个更复杂的问题：如何利用这个技能过直线外一点作已知直线的平行线呢？
设计意图：通过过渡语自然引入下一个探究主题，保持课堂思维的连贯性。
（二）过直线外一点作直线的平行线
【知识点】利用同位角相等（或内错角相等）过直线外一点作平行线：
已知：直线AB及直线AB外一点P。
求作：过点P作直线CD，使CD∥AB。
设计意图：明确已知条件和所求目标，训练学生规范表述几何问题的能力。
分析思路：根据平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行。因此，只需过点P作一条直线，使它与任意一条截线所成的同位角等于已知角即可。
设计意图：引导学生将平行线问题转化为角相等问题，体会转化与化归的数学思想。
作图步骤：
第一步：过点P任作一条直线EF，交AB于点Q。
第二步：以点Q为顶点，利用（一）中的方法，在点P处作一个角∠MPN，使∠MPN=∠PQB（同位角）。
第三步：延长NP至点D，则直线CD即为所求作的平行线。
设计意图：将新技能（作等角）与旧知识（平行线判定）相结合，培养学生综合运用知识的能力。
证明：由作图可知∠MPN=∠PQB，这两个角是同位角，根据"同位角相等，两直线平行"的判定定理，可得
设计意图：强调每一步都要有依据，培养学生言之有据的数学表达习惯。
知识拓展：知识拓展：除了利用同位角相等作平行线外，也可以利用内错角相等或同旁内角互补来作平行线。请同学们课后尝试用这两种方法完成作图。
设计意图：通过拓展延伸，满足不同层次学生的学习需求，促进个性化发展。
【过渡语】前面我们利用SSS判定定理解决了作等角和作平行线的问题，那么如果已知两边及夹角，能否作出唯一的三角形呢？
设计意图：承上启下，从已知角的问题自然过渡到已知边角作三角形的问题。
（三）已知两边及夹角作三角形
【知识点】利用SAS判定定理已知两边及夹角作三角形：
已知：线段a、b及角α。
求作：△ABC，使AB=a，AC=b，∠BAC=α。
设计意图：明确问题要素，训练学生从文字描述中提取几何信息的能力。
分析思路：根据SAS判定定理，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。因此，先作出夹角，再在角的两边上分别截取已知线段即可。
设计意图：引导学生先进行思路分析，再动手操作，避免盲目尝试，提高作图效率。
作图步骤：
第一步：作∠DAE=∠α（利用前面学过的作等角方法）。
第二步：在射线AD上截取AB=a。
第三步：在射线AE上截取AC=b。
第四步：连接BC，则△ABC即为所求作的三角形。
设计意图：将复杂的作图任务分解为若干简单步骤，体现化难为易的教学策略。
原理说明：由作图可知AB=a，AC=b，∠BAC=α。根据SAS判定定理，这样作出的三角形是唯一确定的。即给定两边及夹角，有且只有一个三角形满足条件。
设计意图：强调三角形的唯一性，为后续学习三角形的稳定性做铺垫。
概念辨析：概念辨析：SSS作图与SAS作图的区别：SSS作图需要已知三条边的长度，通过构造全等三角形来实现目标；SAS作图需要已知两边长度及夹角大小，先作角再截边。两者的共同点都是利用三角形全等的判定定理。
设计意图：通过对比分析，帮助学生辨析不同作图方法的本质联系与区别，深化理解。
【过渡语】通过上述三个探究活动，我们掌握了基本的尺规作图方法。接下来，让我们通过几道典型例题来检验和巩固所学知识。
设计意图：从探究活动过渡到例题讲解，实现知识从理解到应用的升华。
三、例题精讲
例1 综合作图题
【知识点】作图题的分析方法与规范表述：
题目：已知∠AOB，请用尺规作图作出∠AOB的平分线。
设计意图：选择具有代表性的综合题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
分析：要作角的平分线，可利用SSS构造全等三角形。在角的两边上截取等长线段，再连接形成两个全等三角形，其公共边即为角平分线。
设计意图：示范作图题的分析过程，教会学生"先分析、后操作"的解题策略。
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
（2）分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
（3）画射线OC，则射线OC即为∠AOB的平分线。
设计意图：强调"大于 MN"这一关键条件，帮助学生理解其几何意义，避免操作失误。
易错提示：易错提示：在第（2）步中，必须以大于 MN的长度为半径画弧，否则两弧不会相交；半径也不能过大，否则交点会偏离角内部。
设计意图：提前预警常见错误，降低学生操作失败的概率，增强学习信心。
【过渡语】通过例题精讲，我们掌握了作图题的分析方法。现在请同学们独立完成以下检测题，检验自己的学习效果。
设计意图：自然过渡到课堂检测环节，给予学生充分的练习机会，巩固所学内容。
四、当堂检测
【知识点】当堂检测与即时反馈：
1.在下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是( )
A. B. C. D.
解析：A.根据同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故不符合题意；
B.根据内错角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故不符合题意；
C.根据同旁内角相等，不能判定直线a平行于直线b，故符合题意；
D.根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，故不符合题意；故选：C.
2.如图，已知与上的点C，点A，现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接.下列结论不能由上述操作结果得出的是( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可得：，，
，故B正确，不符合题意；
，，故A错误，符合题意；C正确，不符合题意；
，故D正确，不符合题意；故选：A.
3.综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使.图1～图3是其作图过程.
(1)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N.
(2)以点N为圆心，以长为半径画弧，与(1)中的弧交于点P，作射线.
(3)以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接.
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是( ).
A. B. C. D.
解析：由作图可得：，，，
在和中，，∴，故选：B.
4.如图，点C在的边上，用尺规作出了.以下是打乱的作图过程：
①作射线，则.
②以C为圆心，长为半径画弧，交于点M.
③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D.
④以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F.
则正确的作图顺序是( )
A. B. C. D.
解析：根据作一个角等于已知角的过程可知：
④以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F.
②以C为圆心，长为半径画弧，交于点M.
③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D.
①作射线，则.
故选：C.
5.如图，已知△ABC，利用直尺和圆规作△ABD，使∠BAD＝∠BAC，AD＝AC（点 D 与点 C 在 AB 的不同侧）.
作法：如图所示.
(1) 以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AC，
AB 于点 E，F；
(2) 以点 F 为圆心，EF 为半径作弧，与上一步作的弧相交于点 G，作射线 AG；
(3) 以点 A 为圆心，AC 为半径作弧，交射线 AG 于点 D，连接 BD，
则△ABD 就是所求作的三角形.
解题技巧：解题技巧：解答作图选择题时，一要明确作图原理（依据哪个全等判定定理），二要熟悉作图步骤的先后顺序，三要注意关键条件（如"大于"）的作用。
设计意图：总结解题方法，帮助学生形成系统的解题策略，提升解题能力。
【过渡语】检测题已经完成了，同学们可以对照答案进行自我评价。有疑惑的地方可以小组讨论或向老师提问。
设计意图：鼓励学生自主评价和合作交流，培养反思能力和合作精神。
五、课堂小结
【知识点】本节课知识梳理：
1. 尺规作图的工具：无刻度直尺和圆规。
2. 作一个角等于已知角：依据SSS判定定理，通过构造全等三角形实现。
3. 过直线外一点作平行线：利用同位角相等（或内错角相等），实质是作等角的应用。
4. 已知两边及夹角作三角形：依据SAS判定定理，先作角再截边。
5. 作图题的分析方法：先画草图分析，再确定作法步骤，最后规范表述。
设计意图：系统梳理本节课知识要点，帮助学生构建完整的知识结构图。
数学思想方法总结：
（1）转化思想：将作角问题转化为构造全等三角形问题。
（2）化归思想：将平行线问题转化为角相等问题。
（3）数形结合：通过尺规作图将代数条件（边长、角度）转化为几何图形。
设计意图：提炼数学思想方法，提升学生的数学素养，实现从知识到能力的跨越。
【过渡语】课堂小结帮助我们梳理了本节课的主要内容。课后请同学们完成以下作业，进一步巩固所学知识。
设计意图：以作业布置结束新课学习，实现课堂学习与课后巩固的有效衔接。
六、布置作业
基础作业：
1. 用尺规作图：作一个角等于已知角∠ABC，并写出作法。
2. 已知线段a=5cm，b=4cm，∠α=60°，用尺规作△ABC，使AB=5cm，∠A=60°，AC=4cm。
3. 过直线l外一点P，用尺规作直线CD∥l。
设计意图：基础作业面向全体学生，巩固基本作图技能，确保人人过关。
拓展作业：
4. 思考：已知三边作三角形的依据是什么？请尝试写出作图步骤。
5. 探究：除了本节课学习的作图方法外，你还能想到哪些利用全等判定定理的作图问题？
设计意图：拓展作业为学有余力的学生提供挑战机会，促进分层发展和个性成长。
★ 重点强调：重点强调：作图题必须保留作图痕迹，作法书写要规范、简洁、有据。
设计意图：强调作图规范，培养学生严谨的数学学习习惯和科学态度。

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