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14.2 三角形全等的判定（课时5）
课题 14.2 三角形全等的判定（课时5） 课型 新授课
备课人 授课班级
核心素养目标 1.数学抽象：理解直角三角形全等判定的HL定理；2.逻辑推理：掌握用HL判定直角三角形全等的方法；3.直观想象：通过几何证明理解HL判定的本质；4.数学建模：能运用HL判定解决实际问题。
教学重点 HL判定定理的理解与应用。突破策略：通过动手操作与证明相结合。
教学难点 HL判定的探究过程中点A′与点A重合的证明。突破策略：借助垂线段最短与外角性质进行证明。
一、情境导入
【知识点】全等三角形判定方法回顾：
上节课我们学习了四种判定两个一般三角形全等的方法，请同学们回忆并填空。
1. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成"边角边"或"SAS"）。
2. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成"角边角"或"ASA"）。
3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
4. 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成"边边边"或"SSS"）。
设计意图：通过复习回顾，唤醒学生对已学四种判定方法的记忆，为引入直角三角形的特殊判定做准备。
【过渡语】同学们，以上四种判定方法适用于所有三角形。那么对于特殊的三角形——直角三角形，是否还有更简便的判定方法呢？
设计意图：设置认知冲突，激发学生的探究兴趣，自然引出本节课的探究主题。
教师引导：在直角三角形中，已经有一对相等的直角（90°）。请思考：
（1）两个直角三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就可以说明两个三角形全等？
（2）如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
设计意图：通过层层设问，引导学生从特殊到一般进行思考，培养逻辑推理能力。
【知识点】直角三角形全等的已有判定途径：
两直角边分别相等（SAS）；一直角边和它相邻的锐角分别相等（ASA）；一直角边和它相对的锐角分别相等（AAS）；斜边和一锐角分别相等（AAS）。
设计意图：梳理直角三角形已有的全等判定途径，帮助学生建立知识网络。
二、探究新知
（一）HL判定探究
【知识点】探究直角三角形全等的HL判定方法：
探究问题：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，A′B′=AB，B′C′=BC。这两个三角形全等吗？
设计意图：提出明确的探究问题，引导学生动手操作、合作交流，经历知识的形成过程。
探究思路：
由∠C=∠C′=90°可知：
① 点C与点C′重合，并且使射线C′A′与射线CA重合，那么射线C′B′与射线CB重合。
② 由B′C′=BC，可知点B′与点B重合。
设计意图：通过叠合法的思路，引导学生从几何直观出发分析两个直角三角形的位置关系。
核心问题：如何判断点A′与点A是否重合呢？
设计意图：提出关键问题，引发学生深入思考，为后续证明做好铺垫。
讨论：射线CA上点到B的距离关系
为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C、A外的点与点B的连线和边AB的大小关系。
设计意图：通过分类讨论，培养学生严谨的数学思维习惯。
情况一：设点M在直角边AC（不包括端点）上，连接BM。
则有∠BMA>∠C，即∠BMA是钝角。
若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M′，则有AB>BM′>BM。
设计意图：利用外角的性质和垂线段最短原理，证明点在A下方时连线长度小于AB。
依据说明：∠BMA > ∠C（外角的性质）；AB > BM′ > BM（垂线段最短）。
设计意图：强调每一步推理的依据，培养学生言之有据的数学表达习惯。
情况二：设点N在线段CA的延长线上，连接BN。
同理可得BN>AB。
设计意图：通过类比推理，证明点在A上方时连线长度大于AB。
综合结论：在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点有且只有一个。
再由点A′在射线CA上，A′B′=AB，可知点A′与点A重合。
设计意图：通过反证法的思路，严格证明点A′与点A重合，为HL判定提供理论支撑。
算理讲解：算理讲解：在射线CA上，点A下方时连线长度AB。因此只有点A本身到B的距离恰好等于AB。这个唯一性保证了当A′B′=AB时，点A′必与点A重合。
设计意图：揭示HL判定背后的数学原理，帮助学生理解为什么"斜边和一直角边"可以确定直角三角形的形状和大小。
最终结论：
△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合。
△A′B′C′与△ABC能够完全重合。
△A′B′C′△ABC。
设计意图：通过顶点重合推出三角形全等，使学生理解全等的本质是图形的完全重合。
【过渡语】通过上述探究，我们发现：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形确实全等。在今后的学习中，我们将用勾股定理进一步证明这个判定方法。
设计意图：承上启下，既总结了探究结论，又为后续学习埋下伏笔。
（二）HL判定定理
【知识点】直角三角形全等的HL判定定理：
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
设计意图：正式给出HL判定定理，使学生从感性认识上升到理性认识。
几何语言：
如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中：
设计意图：通过规范的几何语言表述，培养学生严谨的数学表达能力。
概念辨析：概念辨析：HL与一般三角形判定方法的区别：HL只适用于直角三角形，是直角三角形的"特权"；而SAS、ASA、AAS、SSS适用于所有三角形。使用HL时，必须明确写出"Rt△"符号，并注明"HL"。
设计意图：通过概念辨析，帮助学生明确HL的适用范围和使用规范，避免滥用。
【过渡语】掌握了HL判定定理后，让我们通过一道典型例题来学习如何运用HL证明直角三角形全等。
设计意图：从定理过渡到应用，实现知识从理解到实践的转化。
三、例题精讲
例6 用HL证明直角三角形全等
【知识点】HL判定定理的综合应用：
题目：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证：BC=AD。
设计意图：选择课本典型例题，示范HL判定定理的标准应用过程。
分析：如果能证明Rt△ABCRt△BAD，就可以得出BC=AD。由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备"斜边、直角边"的条件。
设计意图：示范分析思路，教会学生"要证线段相等，先证三角形全等"的解题策略。
证明：
∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
设计意图：通过完整的证明过程，展示HL判定的书写格式，强调每一步都要有依据。
解题技巧：解题技巧：运用HL判定定理时，要注意以下几点：（1）必须是直角三角形，通常由垂直条件得到；（2）对应相等的边中，一对是斜边，一对是直角边；（3）书写时要注明"Rt△"，结论后标注"HL"。
设计意图：总结解题技巧，帮助学生掌握HL判定的应用要点，提高解题准确率。
【过渡语】通过例题精讲，我们掌握了HL判定定理的应用方法。现在请同学们独立完成以下检测题，检验自己的学习效果。
设计意图：自然过渡到课堂检测环节，给予学生充分的练习机会。
四、当堂检测
【知识点】当堂检测与即时反馈：
1.下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是( )
A.两直角边对应相等 B.斜边、一条直角边对应相等
C.一锐角、一条直角边对应相等 D.两锐角对应相等
解析：A选项：两直角边对应相等，且直角为两边夹角，符合判定定理，能判定两个直角三角形全等.
B选项：斜边、一条直角边对应相等，符合判定定理，能判定两个直角三角形全等.
C选项：一锐角、一条直角边对应相等，结合直角相等，符合或判定定理，能判定两个直角三角形全等.
D选项：两锐角对应相等，无对应边相等的条件，不能判定两个直角三角形全等.
故选：D.
2.如图，于点E，于点F，，则下列结论不一定正确的是( )
A.平分 B.
C. D.
解析：∵于点E，于点F，，
∴，
∴，
∴，，∴平分
∴A、B、C三个选项结论正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明，故D选项结论错误，符合题意；
故选：D.
3.如图，已知，垂足为O，，，则可得到与全等，理由是( )
A.HL B.SAS C.ASA D.SSS
解析：已知，垂足为O，
.
在和中，
.故选A.
4.如图，在中，D，E为边AC上两点，连接BD，BE，过点D作于点F.若，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
解析：，.
在和中，.
∴，，
是的平分线.，，，.故选D.
5.如图，，E是上的一点，且，，
求证：.
解析：∵，∴，
∵，
∴在和中，，
∴.
6.已知，如图，，，于点E，于点F.
(1)求证：；
(2)求证：.
解析：(1)证明：连接，如图所示：
在和中，，
，；
(2)证明：由(1)可知：，
，
，，，
在和中，，
，.
易错提示：易错提示：（1）使用HL判定时，一定要注意是"斜边"和"一直角边"对应相等，而不是任意两边；（2）HL只能用于直角三角形，使用时要先证明三角形是直角三角形（通常由垂直条件得到）；（3）不要把HL与SSS混淆，HL中只需两边相等，因为直角已经隐含了一对相等的角。
设计意图：总结常见错误，帮助学生规避陷阱，提高解题正确率。
【过渡语】检测题已经完成了，同学们可以对照答案进行自我评价。有疑惑的地方可以小组讨论或向老师提问。
设计意图：鼓励学生自主评价和合作交流，培养反思能力和合作精神。
五、课堂小结
【知识点】本节课知识梳理：
1. HL判定定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
2. 前提条件：HL只适用于直角三角形。
3. 使用方法：只需找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）。
4. 几何语言：在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，若∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′，则Rt△ABCRt△A′B′C′（HL）。
设计意图：系统梳理本节课知识要点，帮助学生构建完整的知识结构图。
数学思想方法总结：
（1）特殊与一般思想：从一般三角形的全等判定到直角三角形的特殊判定（HL）。
（2）转化思想：将证明线段相等转化为证明三角形全等。
（3）数形结合：通过几何图形的叠合直观理解全等的本质。
设计意图：提炼数学思想方法，提升学生的数学素养。
【过渡语】课堂小结帮助我们梳理了本节课的主要内容。课后请同学们完成以下作业，进一步巩固所学知识。
设计意图：以作业布置结束新课学习，实现课堂学习与课后巩固的有效衔接。
六、布置作业
1. 思考：HL判定定理能否用勾股定理来证明？请尝试写出证明过程。
2. 探究：直角三角形全等的判定方法有几种？请列表比较各种方法的适用条件和注意事项。
设计意图：拓展作业为学有余力的学生提供挑战机会，促进分层发展。
★ 重点强调：重点强调：使用HL判定时，必须确保是直角三角形，对应相等的边中必须包含斜边和一条直角边。书写时不要忘记注明"Rt△"和"HL"。
设计意图：强调HL的使用规范，培养学生严谨的数学学习习惯。
七、教学反思
1. 本节课通过复习引入，从学生已有的知识经验出发，自然过渡到HL判定的探究，符合学生的认知规律。
2. 在HL判定的探究过程中，通过叠合法的思路，引导学生分析点A′与点A重合的唯一性，帮助学生理解HL判定的本质。
3. 例题的选择具有代表性，涵盖了HL判定的标准应用场景，有助于学生掌握规范的证明书写格式。
4. 当堂检测题目层次分明，既有基础概念题，又有综合应用题，能够满足不同层次学生的学习需求。
5. 需要改进之处：在探究环节可以适当增加学生动手操作的时间，让学生通过画图、剪纸等方式直观感受直角三角形的全等条件。
6. 对于学困生，应加强HL与一般三角形判定方法的对比辨析，避免混淆。
设计意图：及时反思教学得失，为后续教学改进提供依据。

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