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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 3.3.2 垂径定理(2)
课型：新授课 设计时间： 2026 年 8 月 12 日
学习核心内容 垂径定理推论的深化理解与辨析； 垂径定理综合应用（弦、半径、弦心距的复杂计算、简单证明）； 垂径定理在实际问题中的建模应用； 4. 圆中辅助线（作弦心距）的添加方法。
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1. 熟练掌握垂径定理及其推论，能灵活运用 “半径 - 半弦 - 弦心距” 模型解决综合计算、证明与实际问题，掌握圆中作弦心距的辅助线技巧。 2. 经历 “辨析 — 建模 — 综合应用” 过程，提升几何建模、逻辑推理和知识迁移能力。 3. 感受垂径定理的应用价值，培养严谨的解题习惯和数学应用意识。 1. 能准确辨析垂径定理推论的易错点，熟练运用核心模型，达成知识目标； 2. 能独立完成综合计算、简单证明及实际应用题，规范添加辅助线，达成能力目标； 3. 主动参与小组讨论，清晰表达解题思路，达成情感目标。
学习过程设计
环节一：引入新课 一、复习旧知，情境导入 回顾旧知：垂径定理内容、推论、核心公式 。 易错辨析：判断 “平分弦的直径垂直于弦”“垂直于弦的直线平分弦” 是否正确，说明理由。 引出课题：本节课深化垂径定理，解决综合与实际问题。 教师提问： 【想一想】垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 符号语言： ∵CD是直径，CD⊥AB， ∴AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD 【思考】若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分AB，你能得到什么结论？ 平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？ 若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分弧AB，你又能得到什么结论？ 平分弧的直径一定垂直于弧所对的弦吗？ 设计意图：垂径定理推论的深化理解与辨析。 环节二：新知探究 教师出示课本问题： 已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP. 求证：CD⊥AB，. 证明：连结OA，OB，则AO=BO， ∴△AOB是等腰三角形. ∵ AP=BP，∴CD⊥AB, ∴(垂直于弦的直径平分弦所对的弧). 【总结归纳】 定理 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 符号语言： ∵CD是直径，AP=BP， ∴CD⊥AB，. 已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，. 求证：CD⊥AB，AP=BP. 证明：当时，将图形沿直径CD所在的直线对折，则重合. 所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂直平分弦AB. 【总结归纳】 定理 2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 符号语言： ∵CD是直径，， ∴CD⊥AB，AP=BP. 【拓展提高】 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 【知识拓展】 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说. 如果在下列五个条件中: CD是直径, CD⊥AB, AM=BM, = = 只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论. 环节三：典例精析 例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m). 解：弧AB表示桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交弧AB于点D. ∵C是弧AB的中点, ∴OC就是拱高. ∴AD=0.5×37.02=18.51, OD=OC-DC=（R-7.23）. 在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31. 答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m. 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列命题中，正确的是(　　) A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦中点的直线必经过圆心 C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦 D．弦的垂线平分弦所对的弧 选做题： 2.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD的高度为________m. 【综合拓展类作业】 3.某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？ 环节五：课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 垂径定理推论：弦非直径是关键条件； 辅助线：遇弦作弦心距，构直角三角形； 3. 解题思路：分类讨论（平行弦、水面位置）、建模转化。
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.有下列四个条件：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四个条件组成的命题中，是假命题的是(　　) A．①② ③④ B．①③ ②④ C．①④ ②③ D．②③ ①④ 选做题： 2.如图， 在⊙O中，AB是⊙O的直径，弧AC=弧CD=弧BD，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小值是______． 【综合拓展类作业】 3.如图，在直径为130mm的圆形铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长. 4.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，求该脸盆所在圆的半径. 参考答案： 课堂练习： C 2. 2 3.解：如图所示：连结OA，作OC⊥AB， 假设一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧 道，此时OC=3-2=1， 在直角△AOC中， AC=， 所以AB=2OC= ＜2.3， 故一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车 不能顺利通过这个隧道. 作业内容： B 2. 8 3. 56 4.解：如图，设脸盆所在圆的圆心为点O，连结OA，OC，OC与AB交于点D. 设⊙O的半径为r cm. 易知OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝20 cm，∠ADO＝90°. 在Rt△AOD中，∵OA2＝OD2＋AD2， ∴r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25， 即该脸盆所在圆的半径为25 cm.
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计： 板书设计3.3 垂径定理（第 2 课时） 一、推论辨析 平分弦（非直径）的直径⊥弦 易错：弦为直径时不成立 二、辅助线：作弦心距 模型： 三、典型例题 1. 平行弦距离：分类讨论 2. 证明：OE=OF 3. 实际问题：水管、拱桥建模
教学反思： 本节课通过“实验--观察--猜想--合作交流--证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力。因此，掌握垂径定理的逆定理对学生更好地认识现实世界，建立空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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