资源简介

4.探索规律
【课时目标】
1.通过探索活动，发现"圆的半径（直径）变化与周长、面积变化"的规律及"周长相等时圆、正方形、长方形面积大小"的规律。
2.在探索中发展合情推理能力、数据分析观念和初步的函数变化观念。
3.体验数学探究的乐趣，增强学习数学的信心。
【教学重点】探索并表达"半径变化与周长、面积变化"的规律。
【教学难点】理解"面积扩大倍数=半径扩大倍数的平方"；从数据中归纳规律并用数学语言表述。
【教学过程】
【教学课时】1课时
导入新课
师：我们学过圆的面积和周长。如果圆的半径发生变化，它的周长和面积会怎样变化呢？这里面藏着什么规律？今天我们就来做一回"小数学家"，探索其中的规律。板书课题：
探索规律。
环节一：探索"半径变化与周长、面积变化"的规律
师：请完成出示的表格（π取3.14），观察数据，说说你发现了什么。
学生活动：计算填表（C=2πr：6.28、12.56、18.84、25.12；S=πr ：3.14、12.56、28.26、50.24）。
师引导观察：半径从1→2（扩大2倍），周长怎样？（扩大2倍）面积怎样？（从3.14→12.56，扩大4倍=2 。）半径从1→3（扩大3倍），面积扩大几倍？（9倍=3 。）
师归纳：半径扩大n倍，直径和周长也扩大n倍，面积扩大n 倍。这是圆的重要规律。
[设计意图]在"计算—填表—观察—归纳"中自主发现半径变化与周长、面积变化的倍数规律。
环节二：探索"周长相等时图形面积大小"的规律
师：周长相等的一个圆、一个正方形、一个长方形，谁的面积最大？请举例验证（设周长均为12.56）。
学生活动：分组计算比较。
圆：r=12.56÷(2×3.14)=2，S=3.14×4=12.56；
正方形：边长=12.56÷4=3.14，S=3.14×3.14≈9.86；
长方形：取长4、宽2.28（周长12.56），S=4×2.28=9.12（长、宽越接近面积越大，正方形是长方形中面积最大的）。
师归纳：周长相等时，面积：圆＞正方形＞长方形（圆面积最大）。
[设计意图]在举例验证中探索"周长相等时图形面积大小关系"，发展合情推理与数据分析观念。
环节三：探索"外接圆与内接正方形面积关系"的规律（拓展）
师：在一个圆内画一个最大正方形（内接正方形），在圆外画一个最小正方形（外切正方形，边长=2r），三者面积有什么关系？
学生活动（视学情）：设r=1，S圆=π≈3.14，S内接正方形=2（两个三角形），S外切正方形=4。观察比值4∶π∶2。
师：这个比值4∶π∶2是一个固定关系（外切正方形面积∶圆面积∶内接正方形面积≈4∶3.14∶2）。
[设计意图]在拓展探究中感受圆与正方形的面积固定比值关系，渗透比例思想。
环节四：规律应用与巩固
学生独立完成课堂练习，运用所发现的规律解题。
师重点讲评"半径扩大与面积扩大倍数"的规律题。
[设计意图]在练习中内化规律，形成运用规律解决问题的能力。
环节五：课堂小结与作业
师：这节课我们探索了哪些规律？（半径扩大n倍→周长扩大n倍、面积扩大n 倍；周长相等时圆面积最大。）
布置课后作业（延伸探究）。
[设计意图]梳理探索所得规律，激发持续探究兴趣。
【板书设计】
探索规律
规律一：半径扩大n倍 → 直径、周长扩大n倍；面积扩大n 倍。
（如r扩大3倍，面积扩大9倍。）
规律二：周长相等时，面积：圆 ＞ 正方形 ＞ 长方形（圆面积最大）。
规律三（拓展）：外切正方形面积∶圆面积∶内接正方形面积 = 4∶π∶2。
【课堂练习】
一、填空题
一个圆的半径扩大2倍，它的周长扩大（　　）倍，面积扩大（　　）倍。
一个圆的半径扩大4倍，它的面积扩大（　　）倍。
周长相等时，（　　）的面积最大，（　　）的面积最小。（填"圆""正方形"或"长方形"。）
二、判断题
圆的半径扩大3倍，它的面积也扩大3倍。（　　）
周长相等的正方形和圆，圆的面积更大。（　　）
三、选择题
两个圆的半径比是2∶3，它们的面积比是（　　）。
A.2∶3　B.4∶9　C.9∶4
四、解决问题
一个圆的半径是2厘米，另一个圆的半径是6厘米，大圆面积是小圆面积的几倍？
一个圆的半径扩大5倍，它的周长和面积各有什么变化？
[课堂练习参考答案]一、1.2，4　2.16　3.圆，长方形
二、1.×（扩大9倍）　2.√
三、1.B（面积比=半径比的平方=4∶9）
四、1.半径比6∶2=3∶1，面积比=9∶1，大圆面积是小圆面积的9倍。　2.周长扩大5倍，面积扩大25倍（5 ）。
【课后作业】
一、变式练习
一个圆的直径扩大3倍，它的周长扩大（　　）倍，面积扩大（　　）倍。
两个圆的半径比是3∶5，它们的周长比是（　　），面积比是（　　）。
二、对比练习
判断：① 大圆的面积一定比小圆的面积大。（　　）② 两个圆的周长相等，它们的面积也一定相等。（　　）
比一比：半径为r的圆，若半径增加1厘米，面积增加多少？（用含r的式子表示：π(r+1) -πr =π(2r+1)。）
三、生活情境题
用一根长31.4分米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，谁的面积大？大多少？（π取3.14）
爷爷用16.84米长的篱笆靠墙围一个半圆形的鸡舍（直径靠墙），这个鸡舍的面积大约是多少平方米？（π取3.14，提示：半圆弧长=πr=16.84，先求r。）
四、思维拓展题
探究：一个圆的半径从r增加到r+a，它的面积增加多少？（用含r、a的式子表示并化简：π(r+a) -πr =π(2ra+a )。）
用列表法探索：当圆半径r=1、2、3、4、5时，面积S的增量（相邻两项之差）有什么规律？（S增量依次为：9.42、15.7、21.98、28.26……相邻增量之间相差约6.28=2π，即增量构成公差为2π的等差数列。）
[课后作业参考答案]一、1.周长扩大3倍，面积扩大9倍。　2.周长比3∶5，面积比9∶25。
二、3.① √　② √。　4.增加π(2r+1)。
三、5.圆：r=31.4÷3.14÷2=5分米，S=3.14×25=78.5平方分米；正方形：边长=31.4÷4=7.85分米，S=7.85 ≈61.62平方分米；圆面积大，大78.5-61.62≈16.88平方分米。　6.πr=16.84，r=16.84÷3.14≈5.36米；半圆面积=πr ÷2=3.14×5.36 ÷2≈45.1平方米。
四、7.增加π(2ra+a )。　8.r=1→S=3.14；r=2→12.56（增9.42）；r=3→28.26（增15.7）；r=4→50.24（增21.98）；r=5→78.5（增28.26）。增量依次多约6.28（=2π），即增量成公差为2π的等差数列。
1

展开更多......

收起↑