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解题大招03 巧用基本不等式破解最值的十六大题型
知识点01 一个重要不等式和基本不等式
1.一个重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
2.基本不等式：≤；
基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
简称为“一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．
3.基本不等式的变形：
(1)a＋b≥2，常用于求和的最小值；
(2)ab≤2，常用于求积的最大值；
(3)（沟通两和与两平方和的不等关系式）
(4)（沟通两积与两平方和的不等关系式）
(5)（沟通两积与两和的不等关系式）.
知识点02 均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
知识点03 基本不等式链及基本不等式的推广
1.基本不等式链：≥ ≥≥（其中a,b均为正数）；
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2.基本不等式的推广：
对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，
即 （当且仅当时，等号成立）．
题型01 对勾型
对勾型：，此类代数式的最值往往直接利用基本不等式求得，但要注意能否取到等号.
【典例1】（25-26高三下·云南楚雄·月考）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值是2
B．函数的最小值为4
C．“”是“”的充分不必要条件
D．不等式与有相同的成立条件
【答案】A
【详解】对于A，显然，所以由基本不等式得，
当且仅当，即时取等号，故函数的最小值是2，故A正确；
对于B，由，得，则.
当且仅当，即时，等号成立，显然等号不能成立，故B错误；
对于C，当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，，解得，所以“”是“”的充要条件,故C错误；
对于D，当时，成立；当时，成立，故D错误.
【跟踪训练】
1. （24-25高一上·江西吉安·阶段练习）若，，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【详解】由基本不等式得，
当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为.
故选A.
2．下列函数的最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A. ,当时，，所以最小值为不是2，A错误；
对于B. ，
所以时，
即，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B错误.
对于C. ，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2，C错误；
对于D,，因为，
所以，
当且仅当，即时，有最小值2，满足，D正确；
故选：D.
题型02 添加常数构造对勾型
对于形如,则转化为分母的线性关系:,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值.
【典例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】C
【详解】，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
【跟踪训练】
1．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（ ）
A．2 B．4
C．3 D．6
【答案】C
【详解】，，
，
当且仅当时，即时等号成立，
因此函数最小值为.
2．已知实数，则的（ ）
A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为
【答案】D
【详解】因为，
当且仅当即时取等号；
故最大值为，
故选：D.
题型03 和定求积型
如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是 (简记：和定积最大).
【典例3】（25-26高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（ ）
A．6 B． C．7 D．
【答案】D
【详解】，解得，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D.
【跟踪训练】
1. （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】因为所以，从而．
当且仅当时等号成立.
故选：B
2. （25-26高三上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
【答案】D
【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”.
故选：D.
题型04 积定求和型
如果两个正数a,b之积为定值p，即，那么当且仅当a＝b时，a+b有最小值2(简记：积定和最小).
【典例4】（2026河北沧州高三下联考）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，，可得，
则，
设，则，原式为，
当且仅当时等号成立，
故选：C.
【跟踪训练】
1.（2025·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】由均值不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是2.
故选：B.
2.（2025·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】因为，
所以，，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
题型05 分式型
求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值. 对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数.
【典例5-1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数在上的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】因为，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时函数在上的最小值是2.
故选：C
【典例5-2】（2025·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先换元，再运用基本不等式求解.
【详解】令，则，
所以，
当且仅当等号成立.
故选：B.
【跟踪训练】
1（25-26高二下·云南玉溪·期中）函数的最小值为________.
【答案】3
【详解】，，
由均值不等式，
当且仅当，即时等号成立.
2．（2026·湖南长沙·一模）已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可设等比数列的公比为，
则，当且仅当即时取等号，
故的最小值为.
题型06 根式型
对于根式型的最值问题，主要策略有三： (1)换元法；（2）进根号；（3）平方法.
【典例6-1】函数(的最大值为 .
【答案】
【详解】设（t>0），则.
∴=≤.
当且仅当,即时取“=”号.故当时，.
【典例6-2】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】记，则，求最大值
【跟踪训练】
1．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）函数的最大值为
【答案】1
【详解】∵,∴,∴
当且仅当,即时取“＝”号此时1.
2. （24-25高一上·北京四中月考）若,则的最大值为 .
【答案】6
【详解】.
当且仅当，即时，取等号.此时.
题型07 常数代换型
1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值. 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值．
【典例7-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】D
【详解】两边同时除以，得到，
，
当且仅当，即，时等号成立.
【典例7-2】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，且，
所以，
当且仅当且时等号成立，由得（舍去），
代入，解得，
所以当时，的最小值为.
【跟踪训练】
1．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，
则
，
当且仅当即时等号成立.
2（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【详解】由可知，易知，且，
所以
，
当且仅当时，即时，等号成立，
因此的最小值为3.
题型08 凑配加常数代换型
有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解.
【典例8】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，且，所以，
所以，
当且仅当即、时等号成立．
所以的最小值为.
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·陕西榆林·月考）若，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当时，即时，等号成立，
故选：A．
2.（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件 ，
可知时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D
题型09 有和有积无常数型
这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy,此时只需两边同时除以xy，便可转化为常数代换型求其最值.
【典例9】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知，下列选项错误的是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得，所以，即，
同理可得，则，故A正确；
因为，故，当且仅当时，等号成立，
所以，即，故B正确；
由A可知：，可得，不等式两边同时加上，可得，
又，所以，故C正确；
由可得，
当且仅当时，即时等号成立，所以，故D错误，
故选：D．
【跟踪训练】
1.（2025广东大湾区高三二联）若，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】因为，即，即，
且，则，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
2．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知正实数、满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C．的最小值为 D．存在、满足
【答案】AC
【详解】由正实数、满足得，
又因为，解得，故A选项正确；
由已知条件及得，解得，
当且仅当时，即当时，取等号，故B选项错误；
由已知条件及得，解得，
当且仅当时，即当时，取等号，故C选项正确；
由得，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项错误．
故选：AC．
题型10 有和有积有常数型
这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值．
【典例10】(多选)（25-26高三上·吉林四平·期末）已知，，，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】选项A，因为，所以
由，可得，解得，
又，当且仅当时，等号成立，
而，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，故A正确；
选项B，由，利用基本不等式，
由得，
则，
当且仅当时，等号成立，解得，
即，当且仅当时，等号成立，故B正确；
选项C，，又，
所以，由，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，由配方得，
则，即，
可解得，又，
所以，因为，故D不正确；
故选：ABC.
【跟踪训练】
1．（2025·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．22 B．26 C．28 D．30
【答案】C
【详解】由题得，因为，所以，同理，
将条件变形为，
则，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为28.
故选：C.
2．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9
【答案】D
【详解】因为a，b为正数，且
所以，
即，解得，所以；
当且仅当时取等号，ab的最小值为9.
故选：D.
题型11 多元分式型
对于多元分式型，往往通过构造分母达到分离的目的，常见构造策略有：（1）换元构造；（2）常数代换;(3)配方构造.
【典例11】（2025·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．11 B．9 C．8 D．6
【答案】A
【详解】，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立.
故选：A
【跟踪训练】
1．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】实数，且，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
2．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B．16 C．12 D．
【答案】B
【详解】因为正实数，，满足，
所以
，
因为，是正实数，
所以，当且仅当时取等号，
即当时，，
又因为是正实数，
所以，
所以，当时取等号，
又因为，
当且仅当时取等号，
即，当时取等号，
所以，
因此当，时，的最小值为.
故选：B
题型12 代入消元型
对于涉及给出条件的多元代数式，求其最值的一种常见策略是：利用已知条件将其中一个元用其他元表示，再代入相应代数式，通过消元构造出基本不等式的条件，再求其最值.
【典例12】（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（ ）
A．12 B． C．36 D．
【答案】D
【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值.
【详解】由，得，则，
因为，，所以
当且仅当，时等号成立，
所以的最大值为，
【跟踪训练】
1．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，为正数，且，则，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
则的最大值为.
故选：A
2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】由，则，，，故，
所以，
当且仅当，此时取等号.
题型13 双换元型
双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简．
【典例12】（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为，所以，
令，所以，
因为，所以
当且仅当，即或时等号成立，
所以的最小值为.故选：C.
【跟踪训练】
1．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为
【答案】
【详解】设，则，
当且仅当且，即，时等号成立.
2．（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．26
【答案】BCD
【详解】因为，所以，，所以.
令得，
由，，得，，则.
因为，，当且仅当，时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立.
又，，同时成立，所以，则,
且，时，.
故选：BCD.
题型14 待定系数法型
出现结构形式，通常用待定系数法，再利用基本不等式求解最值问题.
【典例14】为正整数，求的最小值为 .
【答案】4
【详解】由题意知，引入参数k，使之满足
,
当且仅当，且，即时，等号成立，
所以，
故的最小值为4.
【跟踪训练】
1．已知x，y，z为正实数，则的最大值为
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以的最大值为，选C.
题型15 因式分解型
含有这类结构的式子，有时也可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合基本不等式求最值.
【典例15】设，为正实数，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】因为，为正实数，且，
令，，则，则，
当且仅当，即，时取等号
【跟踪训练】
1．已知，，且，则的最小值是________
【答案】7
【详解】方法一：因为，故，解得，
故，当且仅当 ，即，时等号成立．
方法二：因为，则，且，故，
故，当且仅当 ，
即，时等号成立．故选：C．
2．（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【详解】因为正实数满足，即
，所以，即，
当且仅当时等号成立，联立可得，
所以当时，取最大值，，
故选：A
题型16 不少于三个数的均值型（拓展）
基本不等式的推广： 对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即（当且仅当时，等号成立）． 有时可利用此基本不等式求不少于三个数的积或和的最值.
【典例16】（2025高三·全国·竞赛）已知正数满足，则的最小值为_____．
【答案】16
【详解】设，整理可得：，
即，由均值不等式可得：，
当且仅当时，等号成立.
所以，即.
令，则不等式变为，
即，
因为，所以，
所以，即，．
综上所述，的最小值为16，当时取到．
【跟踪训练】
1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设球的半径为，正四棱锥的底面边长为，高为，
因为球的体积为，所以球的半径，
由勾股定理得，，
两式相减得，则，
所以正四棱锥的体积，
所以
，等号成立时，
则该正四棱锥体积的最大值是.
2．（2025高三·全国·竞赛）正实数满足，则的最大值为_____．
【答案】
【详解】，
则，
所以，
于是，
等号成立时.
所以的最大值为.
1．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ）
A．－4 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【详解】由于，故，当且仅当，即时取等号，
故选：B
2 （25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】因为，，
根据基本不等式可得，所以.
当时，取最大值.
故选：A.
3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末），，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，，
则，，即，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以，
所以的取值范围是.
故选：A.
4．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【详解】由，，，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为9.
5．（25-26高三上·重庆·月考）若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为正数满足，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
若不等式恒成立，则，
解得，所以实数的范围是.
故选：C．
6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】由，则，，，故，
所以，
当且仅当，此时取等号.
7．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，不等式恒成立，
即，
，即
，
，
，，
，，
，当且仅当，即时等号成立，
当时，取得最小值为8，
，即，解得.
8．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．6 D．4
【答案】A
【详解】由题意可知，即，则，
由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号，
则，所以，当且仅当，即时取等号，
综上所述，当时，取得最小值.
9．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即，
所以，当且仅当，即时取等号.
10．（25-26高三上·江苏·月考）对于任意的，，恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，，则，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得，
即的最大值为，故选：D.
11．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C．3 D．4
【答案】A
【详解】由题意得，
所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号，
当时，所以的最大值为2.
故选：A.
12．（2026·新疆·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，此时，不合要求，舍去；
当时，，即，不合要求，舍去；
故，，
，解得，
又，故，
又，
令，则，
故，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，当从负数一侧趋向于0时，趋向于，
所以的取值范围为.
故选：C
13．（多选）（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】，
，解得，
指数函数单调递增，
，即，故A正确；
由基本不等式得，
两边平方得，解得，当且仅当时等号成立，故B错误；
，
，
当且仅当时取等号，
，故C正确；
，则，
，
由于函数的图象开口向上，对称轴，
故的最小值为，则，故D正确．
14．(多选)（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知，，，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值是2 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是9
【答案】AC
【详解】由于，，，故，
对于A， ，故取不到2，故A错误；
对于BC， 由，，可得，故，当且仅当，即时取到等号，故，故的最大值是，B正确，的最大值是，C错误；
对于D， ，当且仅当，即时取到等号，故的最小值是9，D正确，
故选：AC
15.已知为正实数，且，则的最大值为
【答案】．
【详解】
2.若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________．
详解　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·2＝3×2．
当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为．
16．（25-26高三上·天津和平·阶段练习）已知，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
17.若实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【详解】由，得，
设，其中.
则，从而，
记，则，
不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为./ 让教学更有效
解题大招03 巧用基本不等式破解最值的十六大题型
知识点01 一个重要不等式和基本不等式
1.一个重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
2.基本不等式：≤；
基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
简称为“一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可．
3.基本不等式的变形：
(1)a＋b≥2，常用于求和的最小值；
(2)ab≤2，常用于求积的最大值；
(3)（沟通两和与两平方和的不等关系式）
(4)（沟通两积与两平方和的不等关系式）
(5)（沟通两积与两和的不等关系式）.
知识点02 均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
知识点03 基本不等式链及基本不等式的推广
1.基本不等式链：≥ ≥≥（其中a,b均为正数）；
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2.基本不等式的推广：
对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，
即 （当且仅当时，等号成立）．
题型01 对勾型
对勾型：，此类代数式的最值往往直接利用基本不等式求得，但要注意能否取到等号.
【典例1】（25-26高三下·云南楚雄·月考）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值是2
B．函数的最小值为4
C．“”是“”的充分不必要条件
D．不等式与有相同的成立条件
【跟踪训练】
1. （24-25高一上·江西吉安·阶段练习）若，，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
2．下列函数的最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
题型02 添加常数构造对勾型
对于形如,则转化为分母的线性关系:,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值.
【典例2】（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
【跟踪训练】
1．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（ ）
A．2 B．4
C．3 D．6
2．已知实数，则的（ ）
A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为
题型03 和定求积型
如果两个正数a,b之和为定值S，即=S，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值是 (简记：和定积最大).
【典例3】（25-26高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（ ）
A．6 B． C．7 D．
【跟踪训练】
1. （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，，，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．8
2. （25-26高三上·浙江绍兴·阶段练习已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
题型04 积定求和型
如果两个正数a,b之积为定值p，即，那么当且仅当a＝b时，a+b有最小值2(简记：积定和最小).
【典例4】（2026河北沧州高三下联考）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1.（2025·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2.（2025·浙江省杭州学军中学高一期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型05 分式型
求分式型函数的最值时，常利用分离常数法和倒数法求解，若分子次数低于分母次数，则常常作商；若分子次数高于分母次数，则往往分离常数，凑成“对勾”型，再利用基本不等式求得最值. 对于一些较为复杂的分式，往往先换元，再考虑作商或分离常数.
【典例5-1】（24-25高二下·江苏·阶段练习）函数在上的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例5-2】（2025·江苏省南京市第十二中学高一阶段练习）已知，函数的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【跟踪训练】
1（25-26高二下·云南玉溪·期中）函数的最小值为________.
2．（2026·湖南长沙·一模）已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
题型06 根式型
对于根式型的最值问题，主要策略有三： (1)换元法；（2）进根号；（3）平方法.
【典例6-1】函数(的最大值为 .
【典例6-2】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，则的最大值为 ．
【跟踪训练】
1．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）函数的最大值为
2. （24-25高一上·北京四中月考）若,则的最大值为 .
题型07 常数代换型
1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值. 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值．
【典例7-1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）设，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【典例7-2】（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
2（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
题型08 凑配加常数代换型
有些题型不能直接用常数代换法求解，但适当配凑后，便可利用常数代换法转化求解.
【典例8】（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·陕西榆林·月考）若，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2.（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
题型09 有和有积无常数型
这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy,此时只需两边同时除以xy，便可转化为常数代换型求其最值.
【典例9】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知，下列选项错误的是（ ）
A．且 B． C． D．
【跟踪训练】
1.（2025广东大湾区高三二联）若，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知正实数、满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C．的最小值为 D．存在、满足
题型10 有和有积有常数型
这类题型往往给出条件式：ax+by=cxy+d，此时往往利用基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值．
【典例10】(多选)（25-26高三上·吉林四平·期末）已知，，，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（2025·云南·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．22 B．26 C．28 D．30
2．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b为正数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为3 B．ab的最小值为3 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9
题型11 多元分式型
对于多元分式型，往往通过构造分母达到分离的目的，常见构造策略有：（1）换元构造；（2）常数代换;(3)配方构造.
【典例11】（2025·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．11 B．9 C．8 D．6
【跟踪训练】
1．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
2．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B．16 C．12 D．
题型12 代入消元型
对于涉及给出条件的多元代数式，求其最值的一种常见策略是：利用已知条件将其中一个元用其他元表示，再代入相应代数式，通过消元构造出基本不等式的条件，再求其最值.
【典例12】（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（ ）
A．12 B． C．36 D．
【跟踪训练】
1．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
题型13 双换元型
双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况． 具体操作如下：如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简．
【典例12】（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【跟踪训练】
1．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知正实数满足且，则的最小值为
2．（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．26
题型14 待定系数法型
出现结构形式，通常用待定系数法，再利用基本不等式求解最值问题.
【典例14】为正整数，求的最小值为 .
【跟踪训练】
1．已知x，y，z为正实数，则的最大值为
A．1 B．2 C． D．
题型15 因式分解型
含有这类结构的式子，有时也可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合基本不等式求最值.
【典例15】设，为正实数，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【跟踪训练】
1．已知，，且，则的最小值是________
2．（25-26高三下·云南昆明·月考）已知正实数满足，则的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
题型16 不少于三个数的均值型（拓展）
基本不等式的推广： 对于 个正数 ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数， 即（当且仅当时，等号成立）． 有时可利用此基本不等式求不少于三个数的积或和的最值.
【典例16】（2025高三·全国·竞赛）已知正数满足，则的最小值为_____．
【跟踪训练】
1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·竞赛）正实数满足，则的最大值为_____．
1．（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ）
A．－4 B．4 C．8 D．16
2 （25-26高三上·青海西宁·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末），，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
5．（25-26高三上·重庆·月考）若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026·江苏南京·三模）已知正数，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．6 D．4
9．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26高三上·江苏·月考）对于任意的，，恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C．3 D．4
12．（2026·新疆·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（多选）（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
14．(多选)（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知，，，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值是2 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是9
15.已知为正实数，且，则的最大值为
16．（25-26高三上·天津和平·阶段练习）已知，则的最小值为 ．
17.若实数满足，则的最大值为 .

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