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解题大招05 解决不等式问题的四大秘密武器：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万能K法
知识点01 权方和不等式
1．二维形式的权方和不等式
对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．
2．一般形式的权方和不等式
若，，，则，当时等号成立．
知识点02 琴生不等式
1.凹(凸)函数的定义
设连续函数f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点x1，x2，都有f ≤，则称f(x)为[a，b]上的凹函数；
反之，若有f ≥，则称f(x)为[a，b]上的凸函数.
2.琴生不等式
(1)琴生不等式：若f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点x1，x2，…，xn∈[a，b]，有f≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](当且仅当x1=x2=…=xn时取“=”).
(2)加权琴生不等式：若f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意xi∈[a，b]，λi>0(i=1，2，…，n)，=1，有.
说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式.
知识点03 糖水不等式
1.糖水不等式定理
若 , 则一定有
通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜;
糖水不等式的倒数形式:
设 , 则有:
2.对数型糖水不等式
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有
知识点04 万能K法
对给定关于的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于, 然后用表示或表示,代入原式，得到一个关于的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出的范围即可,此方法称之为万能法.
题型01 权方和不等式的应用
(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键. (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式. (3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次.
【典例1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
【答案】B
【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可.
【详解】因为，
因为，所以，，
根据权方和不等式有：，
当且仅当时，即时等号成立.
所以函数的最小值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数详解式变形，从而利用权方和不等式求最值.
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】B
【分析】结合所给权方和不等式计算即可得.
【详解】由，则，，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
2．（2026·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】D
【分析】根据权方和不等式，直接计算即可.
【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立，
又，即，于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为49．
故选：D
3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】B
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，
又，即，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为25.
故选：B
题型02 琴生不等式的应用
琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利用琴生不等式证明或求最值.
【典例2-1】半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是　　　　　　.
【答案】
【详解】 设圆O的内接三角形为．
显然当是锐角或直角三角形时，面积可以取得最大值
（因为若是钝角三角形，可将钝角（不妨设为）所对边以圆心为对称中心作中心对称成为 ．因此， ）．
设，
则 ．
由讨论知可设，而在 上是凸函数.
则由琴生不等式知
所以 ，
当且仅当 是正三角形时，等号成立
【跟踪训练】
1．设x1，x2，…，x2 027>0，且x1+x2+…+x2 027=1，则的最小值为
__________.
【答案】
【详解】构造函数，易证函数 在 上为凹函数．
由琴生不等式，得
即 ．
所以 ，当且仅当 时， 的最小值为．
2．（25-26高一上·四川泸州·期中）某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数．
(1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)试判断在上的凹凸性，并说明理由；
(3)设，，且，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)在上为凹函数，理由见详解；
(3)
【分析】（1）利用单调性化简不等式为，再用恒成立并结合最值求解.
（2）判断函数的凹凸性，再利用凹函数的定义推理证明.
（3）结合（2）判断为凹函数，再利用琴生不等式求的最值.
【详解】（1）函数在上单调递增，
不等式，
依题意，对任意，恒成立，即对任意，恒成立，
而当时，，则；
当，即时，，则，
所以实数的取值范围是.
（2）函数在上为凹函数.
证明如下：
，，
则
，
所以在上为凹函数.
（3）令，由（2）知在上为凹函数，
因此在上为凹函数，
由，得，
由琴生不等式得，
即，
因此，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
题型03 糖水不等式定理的应用
熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误.
【典例3-1】(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】法一：，故B正确；
因为，所以有，故A错误；
，故C正确；
，故D正确．
法二：由糖水不等式的倒数形式， , 则有 ,故B正确；
以下同解法一.
【典例3-2】设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意可知,,
,
利用糖水不等式可知;
又,
又因为,
同理根据糖水不等式,,即,故选：D.
【跟踪训练】
1.(多选题)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( )
A.若，则 B.若，则
C. D.当时，
【答案】ABC
【详解】 由,则.若 , .
若,则，故.
若,则，故.
由题设, 结合不等式性质显然有.故选: ABC.
2.(多选题) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( )
A.若，则
B.
C.若为三条边长，则
D.若为三条边长，则
【答案】BCD
【详解】A. 由糖水不等式得： 时, , 故 A 错误.
B. , 故 B 正确.
C. , 故 C 正确.
D. ,
, 故 D 正确.故选: BCD.
3.已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式”
（1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
（2）利用（1）的结论比较的大小.
【答案】
(i)，证明见详解；(ii）
【详解】因为，，
所以，，，
所以，，
故的范围为，的范围为；
（2）（i），
证明：，
因为，，所以，，
所以，即；
（ii），
所以由（i）中的结论可得，
即
题型04 对数糖水不等式的应用
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
【典例4】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解法一（对数型糖水不等式）
因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 .
所以 , 即 , 选 A.
解法二（普通型糖水不等式）
由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 .
所以 , 即 .
, 即 , 所以 , 即 .
综上, , 选 A.
【跟踪训练】
1．（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数性质知，
，
，
所以，，；
由糖水不等式知：，
所以,所以.
2．（2026·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解法一：，
所以则，
，
所以，所以.
由对数型糖水不等式得：，，
所以则，所以.
3．（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，，
令，，
，
因为，所以，
令，，在上恒成立，在上单调递增，
故，所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，即，
故选：D.
秒解：由对数糖水不等式得，即
题型05 万能K法的应用
设所求最值式为k，联立条件等式整理成一元二次方程. 利用方程有实根，由判别式 Δ≥0建立不等式求解k范围. 适用题型：齐次式最值、二元变量范围、分式型最值、圆锥曲线定值最值. 技巧：优先消元凑二次式，区分正负变量，规避分母为零. 局限：仅适用于可化为一元二次方程题型，复杂多元慎用，常搭配换元简化计算.
【典例5-1】若存在正实数,使得,则实数的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.2
【答案】A
【详解】, ,
, ,
，
解得：①
，
②
由①②可得：
综上：的最大值是.故答案为.
【典例5-2】1.已知实数满足,则的最大值是 .
【答案】
【详解】方法1:令,则,代入原式化简得,
因为存在实数,则,即,
化简得：,解得：,
故的最大值是,故选：C.
方法2:,整理得,
令,其中,
则,
所以,则,即时,取得最大值.
【跟踪训练】
1.若实数满足,则的最大值是（ ）
A.1 B. C. D.2
【答案】B
【详解】方法1(万能法): 令, 则 , 代入得：,
整理可得：,即 . ,得：,
故.
方法2: , .
, .解得：.
故可知的最大值是.故答案为.
2．实数满足,设,则 .
【答案】.
【详解】方法1: 令,则.
, . .
又.
关于的方程在上有解..
.
的最小值为.. .
又.
设. .即.
.
. . .故答案为：.
方法2:令. 整理得：
. 即.
解得：. . .
3．已知实数满足,,则的最大值是 .
【答案】.
【详解】方法 1:令时,.
为实数, ,即,解得：.
方法2:，因为,
所以 , 解得：, 所以的最大值为, 故答案为：.
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解法一：
所以.
解法二：由糖水不等式可得，即a2．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【答案】D
【详解】，因函数在上单调递增，
则，.
，因，则
.
故，
（另：也可用对数糖水不等式直接得到）
综上有.
3．已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】据糖水不等式,所以,
所以,即.故选: B.
4．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
【答案】B
【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可.
【详解】因为，
因为，所以，，
根据权方和不等式有：，
当且仅当时，即时等号成立.
所以函数的最小值为.
故选：B
5．在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值是(　　)
A. B.3 C. D.
【答案】D
【详解】因为在区间上是凸函数，根据琴生不等式可得，
得，当且仅当时等号成立，
即的最大值是 ．
则 ，即，
另一方面，
由均为锐角，则，从而 ．
又 有
综上， ．
6.(多选)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( )
A.若，则 B.若，则
C. D.当时，
【答案】ABC
【详解】 由,则.若 , .
若,则，故.
若,则，故.
由题设, 结合不等式性质显然有.故选: ABC.
7．（2026高三·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用不等式构造定值求解即可.
【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，，
∴
，
则．当且仅当时取等号．
解法二：（均值不等式），，，
所以．
当且仅当时取等号．
解法三：（权方和不等式）．
当且仅当时取等号．
8．（25-26高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ．
【答案】49
【分析】根据题中给的不等式可求得结果.
【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，
所以，
当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49，
9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ．
【答案】8
【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.
【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立，
又，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
10．若正实数满足,则的最小值为 .
【答案】.
【详解】方法1: 正实数 满足 ,
∴，
当且仅当,即时取等号,则的最小值为.
方法2: 令,则带入原式,
整理得,从而, ,
解得：或(舍),故答案为：.
11．已知正实数满足,那么的最大值为 .
【答案】.
【详解】正实数满足，化为，关于的一元二次方程有正实数根，，又，解得.那么的最大值为 .故答案为 .
12．已知实数满足,则的取值范围是 .
【答案】
【详解】设,则. , ,整理得：.
是正实数, ,即,
整理得：, 解得：或 (舍去).故答案为：.
13．设 分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则 的取值范围为
【答案】
【详解】在长方体中有，
注意到
因为，均为锐角，所以 ．
从而，即 ．
同理，
又 在 上为凸函数，由琴生不等式有
则 ，即 ．
另一方面，
由 均为锐角，则 ．从而 ．
又 有
综上， ．
14．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若，证明二维形式的权方和不等式：.
(2)已知，，求的最小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数，满足，求的最大值.
解：由权方和不等式得，
所以的最大值是5.
【答案】(1)证明见详解；
(2)60；
(3)解法不正确，理由见详解.
【详解】（1）证明：
，当且仅当时，等号成立.
因为，所以.
（2）
，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为..
（3）这种解法不正确.
原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立.
由，消去得，因为，所以本方程无实数解，
所以，的最大值不是5.解题大招05 解决不等式问题的四大秘密武器：权方和不等式、琴生不等式、糖水不等式、万能K法
知识点01 权方和不等式
1．二维形式的权方和不等式
对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．
2．一般形式的权方和不等式
若，，，则，当时等号成立．
知识点02 琴生不等式
1.凹(凸)函数的定义
设连续函数f(x)的定义域为[a，b]，对于区间[a，b]内任意两点x1，x2，都有f ≤，则称f(x)为[a，b]上的凹函数；
反之，若有f ≥，则称f(x)为[a，b]上的凸函数.
2.琴生不等式
(1)琴生不等式：若f(x)是区间[a，b]上的凹函数，则对任意的点x1，x2，…，xn∈[a，b]，有f≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)](当且仅当x1=x2=…=xn时取“=”).
(2)加权琴生不等式：若f(x)在[a，b]上为凹函数，则对任意xi∈[a，b]，λi>0(i=1，2，…，n)，=1，有.
说明：以上各不等式反向，即得凸函数的琴生不等式.
知识点03 糖水不等式
1.糖水不等式定理
若 , 则一定有
通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜;
糖水不等式的倒数形式:
设 , 则有:
2.对数型糖水不等式
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有
知识点04 万能K法
对给定关于的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于, 然后用表示或表示,代入原式，得到一个关于的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出的范围即可,此方法称之为万能法.
题型01 权方和不等式的应用
(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键. (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式. (3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次.
【典例1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
2．（2026·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
题型02 琴生不等式的应用
琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利用琴生不等式证明或求最值.
【典例2-1】半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是　　　　　　.
【跟踪训练】
1．设x1，x2，…，x2 027>0，且x1+x2+…+x2 027=1，则的最小值为
__________.
2．（25-26高一上·四川泸州·期中）某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数．
(1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)试判断在上的凹凸性，并说明理由；
(3)设，，且，求的最小值．
题型03 糖水不等式定理的应用
熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误.
【典例3-1】(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【跟踪训练】
1.(多选)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( )
A.若，则 B.若，则
C. D.当时，
2.(多选) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( )
A.若，则
B.
C.若为三条边长，则
D.若为三条边长，则
3.已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式”
（1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
（2）利用（1）的结论比较的大小.
题型04 对数糖水不等式的应用
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
【典例4】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型05 万能K法的应用
设所求最值式为k，联立条件等式整理成一元二次方程. 利用方程有实根，由判别式 Δ≥0建立不等式求解k范围. 适用题型：齐次式最值、二元变量范围、分式型最值、圆锥曲线定值最值. 技巧：优先消元凑二次式，区分正负变量，规避分母为零. 局限：仅适用于可化为一元二次方程题型，复杂多元慎用，常搭配换元简化计算.
【典例5-1】若存在正实数,使得,则实数的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.2
【典例5-2】1.已知实数满足,则的最大值是 .
【跟踪训练】
1.若实数满足,则的最大值是（ ）
A.1 B. C. D.2
2．实数满足,设,则 .
3．已知实数满足,,则的最大值是 .
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
3．已知,则( )
A. B. C. D.
4．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
5．在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值是(　　)
A. B.3 C. D.
6.(多选)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( )
A.若，则 B.若，则
C. D.当时，
7．（2026高三·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ．
8．（25-26高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ．
9．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ．
10．若正实数满足,则的最小值为 .
11．已知正实数满足,那么的最大值为 .
12．已知实数满足,则的取值范围是 .
13．设 分别为长方体的对角线与共顶点的三个侧面所成的角，则 的取值范围为
14．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若，证明二维形式的权方和不等式：.
(2)已知，，求的最小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数，满足，求的最大值.
解：由权方和不等式得，
所以的最大值是5.

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