资源简介

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第06讲 函数的图像
夯实知识·突破重难·分层提能
考情 分析解读（课标要求 考情解读 备考策略）
知识 归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳）
知识1 函数图像的作法；
知识2 图像的对称性；
知识3 函数图像的应用.
重难 核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接）
考点01 已知解析式画图 方法技巧 如何利用函数图像研究函数性质
考点02 已知解析式选图 考点07 利用图像解不等式
方法技巧 知式选图的方法与技巧 考点08 利用图像处理函数零点问题
考点03 已知函数图像求解析式 方法技巧 如何利用函数图像处理函数零点问题
考点04 已知函数图像辨析系数取值 考点09 利用函数图像求参数范围
考点05 函数图像的变换 考点10 实际生活中的函数图像问题
考点06 利用图像研究函数的性质
拔高 分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战）
考情·分析解读
课标要求
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
考题统计
核心考点 2026 2025 2024
函数图像的变换 北京卷T4
函数图像的选择 天津卷T4 天津卷T3
函数与方程问题 全国I卷T7
函数图像的应用 全国I卷T8
考情解读
函数图像在高考中是高频核心考点，常以选择、填空及解答题形式出现。命题趋势强调数形结合与思维创新，重点考查图像识别、对称性、单调性及零点问题。
备考策略
高三数学备考函数图像，需先熟记基本初等函数的“母图”，掌握平移、对称、伸缩等变换规律。复习中应强化数形结合思想，通过画图分析单调性、零点与最值；同时回归教材例题，深挖命题逻辑，并针对错题进行靶向训练，避免盲目刷题。
知识 归纳梳理
知识1 函数图像的作法
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
必记结论
函数图像的左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
知识2 函数图像的对称性
1. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
2．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
知识3 函数图像的应用
利用函数的图像处理函数零点问题；
利用函数的图像研究函数的性质；
利用函数的图像解不等式；
利用函数的图像求参数范围
重难 核心突破
考点01 已知函数解析式画图像
典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象．
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）分离常数，由反比例函数平移即可画图；
（2）由对数函数图像的平移和翻折即可解题.
【详解】（1）因为，先作出的图象，将其图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，即得的图象，如图所示．
（2）设，其图象可看作由函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到，
而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于轴对称得到，
则图象如图示：
【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可；
（2）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可；
（3）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换及平移变换作图即可.
【详解】（1）先作出的图象，再将横轴下方的图象沿横轴上翻，并去除横轴下方的图象，
如下：
（2）先作出的图象，保留并作关于纵轴对称的图象，如下：
（3）同上先作出，将图象向右平移一个单位得到的图象，
再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得，
如下：
【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）根据图象翻折变换求解即可.
（2）根据图象平移变换求解即可.
（3）首先根据题意得到为偶函数，再根据偶函数的性质画图即可.
【详解】（1）将函数的图象向左平移1个单位长度，
再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数的图象，
如图①所示．
（2）原函数解析式可化为，
故函数图象可由函数的图象向右平移1个单位长度，
再向上平移2个单位长度得到，如图②所示．
（3）因为，且函数为偶函数，
先用描点法作出上的图象，再根据对称性作出上的图象，
最后得函数图象如图③所示．
【考法预测3】分别作出下列函数的图象．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）（2）对绝对值分段讨论即可；（3）利用函数图象的变换，整体加绝对值翻折处理，上不变下翻上.
【详解】（1）（1）设
其图象如图．
（2）当，，；
当，即时，．
所以
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出（如图）．
（3）设，则其图象可由的图象向左平移1个单位，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图．
考点02 已知函数解析选图
典例1．（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值法判断.
【详解】定义域为，且，
故为奇函数，可排除C；
又，可排除A、D；
故函数的大致图象为B.
典例2．（2026高三·全国·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】当时：
直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限.
幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项.
若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C.
若，在递增且“下凸”，无此选项.
当时：
直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项.
幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾.
综上，只有选项C符合条件.
【考法预测1】（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数，因为，由可得且，
故函数的定义域为，排除AC，
当时，，排除D.
【考法预测2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，且定义域为R，
所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项，
并且在y轴右侧，趋近于0时，，故，
故只有选项满足题意.
【考法预测3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，函数的定义域为，关于原点对称，
由，所以为奇函数，排除A；
又，排除C和D.
考点03 已知函数图像求解析式
典例1．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D；
【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点），
选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C.
图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D.
选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）；
时，，，且时，，符合图像左半部分趋势；
时，，，时，符合；
时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征.
【考法预测1】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设图象对应函数为，由图可得奇偶性，结合可判断选项正误.
【详解】设图象对应函数为，由图可得为奇函数，
注意到为偶函数，为奇函数.
则为偶函数，不满足题设，故BC错误；
又由图可得，，则D不满足题意，故选A
【考法预测2】（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确.
【详解】由图象可知：为奇函数；
对于A，，为偶函数，A错误；
对于D，，为偶函数，D错误；
对于BC，不妨设，，
令，解得：；令，解得：或；
则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和，
，，
由图象可知：B错误，C正确.
【考法预测3】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解
【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数；
对于B，是偶函数，不符合，排除B；
对于C， 的定义域不含，不符合，排除C；
对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D；
所以A正确.
考点04 已知函数图像辨析系数取值
典例1．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以，
根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的，
所以，解得.
【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解.
【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，．
当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则．
综上可知，．
故选择：D.
【考法预测2】函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象，确定零点及极值点情况，再结合函数式、导函数式分析判断作答.
【详解】观察图象知，，函数有3个零点，设3个零点为，
于是，当时，，
而此时，因此，
又，
函数有两个极值点，且，即有两个不等实根，
，因此，
所以.
故选：B.
【考法预测3】抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、 函数值、零点个数逐项判断即可.
【详解】抛物线的开口向下，，
抛物线的对称轴为，，，
抛物线与轴相交于正半轴，，，故A错误；
抛物线的对称轴为，，，故B错误；
由图象可知，当时，函数值小于0，即，
故C正确；
抛物线与轴有两个交点，，，故D错误.
故选：C.
考点05 函数图像的变换
典例1．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值.
【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度，
得到函数表达式为，
再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，
得到图象的函数表达式为，
因为图象与重合，所以，
即，解得，.
典例2．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的图象如图所示，那么函数的图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】函数的图象可由先关于轴对称，再向右平移两个单位得到，
结合各选项，可知只有C选项的图象符合．
【考法预测1】（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）
【答案】B
【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误；
对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确；
对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误；
对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误.
【考法预测2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图像变换可得解.
【详解】由图像可知图像上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数的图像，
所以.
故选：A
【考法预测3】（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可得，
则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象，
由题可知函数图象恰好与函数的图象重合，
所以，即，
又且，所以.
考点06应用图像研究函数的性质
典例1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（ ）

A．的定义域是
B．的值域是
C．
D．只与的一个值对应的值的范围是
【答案】B
【详解】由图可知：的定义域是，值域为，故A正确，B错误，
，C正确，
当和时，此时的图像只有一个交点，
故只与的一个值对应的值的范围是,D正确.
【考法预测1】（多选）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（ ）
A．
B．当时，有
C．当时，的最小值为4，则
D．若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零
【答案】ACD
【分析】根据奇偶性可求出函数的解析式，进而可判断A；作出的图象，根据单调性可判断B；根据上的最小值可判断C；根据奇函数图象的对称性可判断D.
【详解】因为是定义域为的奇函数，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，
综上可得，
所以，故A正确；
画出函数的图象，如图，
当时，单调递增，故当时，有，故B错误；
由图象可知，当时，的最小值为4，则，故C正确；
因为函数和均是定义域为的奇函数，
故方程的所有除0外的实数根成对出现，且关于原点对称，
所以所有实数根之和为零，故D正确.
【考法预测2】（多选）设函数，其中表示，，中的最小者，下列说法正确的有（ ）
A． B．对任意的，都有
C．对任意的，有 D．当时，的最大值为1
【答案】ABD
【分析】先分类讨论求得的解析式，再作出函数图象，根据奇偶性的定义及图象性质逐一分析各选项即可.
【详解】因，
当时，，显然，
因，故；
当时，，显然，
由，解得，
则当时，，当时，；
当时，，显然，
由，解得，
则当时，，当时，；
当时，，显然，
因，故.
即.
作出函数的图象如下：
对于：由上函数的解析式易得 ，故正确；
对于，：由图可知，函数的图象关于轴对称，
所以任意的，都有，故正确；错误；
对于：由图知，与在轴右侧的交点横坐标为，
且在和上单调递增，在上单调递减，
而，
因函数的图象关于轴对称，在上都有.
故当时，的最大值为1，故正确.
故选：ABD.
【考法预测3】（多选）（2026·湖北武汉·二模）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【分析】首先利用单调性画出函数的图象，再根据图象，以及函数的单调性判断选项.
【详解】A.时，，时，单调递减，时，单调递增，
所以是的极小值点，故A正确；
如图，画出函数的图象，
B.当，，得或
所以当，，
当，单调递增，由增加到1，
，由1减小到，存在点时，，故B错误；
C.如图，当时，，，，此时，不满足，故C错误；
D.当时，，，此时，
，所以，故D正确.
考点07利用函数图像解不等式
典例1．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数的定义域是，其图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可得或，利用指数函数的单调性与图象可得出原不等式的解集.
【详解】因为函数的定义域为，由可得或，
解不等式组，结合图形可得，得，
解不等式组，结合图形可得，得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：B.
【考法预测1】已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且.
由图象可知，要使，当时，，得；
当时，，得；
当，不等式不成立；
综上，不等式的解集为.
故选：A.
【考法预测2】已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定函数图象，分别确定函数值为正及为负时的取值范围，再求出不等式的解集.
【详解】观察图象，函数满足，当时，，当时，；
函数满足，当时，，当或时，；
由不等式，得，则，
所以原不等式的解集为.
故选：C
【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为________．
【答案】
【分析】结合偶函数的图象，问题转化为或求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以其图象关于轴对称.
结合图象可知，当时，；
当时，.
由得或.
由或；
由.
所以或或.
所以不等式的解集为：.
故答案为：
【考法预测4】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____．

【答案】或
【分析】根据函数图象可知函数是奇函数，因此找到与的交点即可.
【详解】

由图象可知，函数为奇函数，故原不等式，
在同一坐标系中画出函数的函数图象，当时，求解方程得，
结合图象可得在第一象限，
同理，根据图形对称性，可得在第三象限部分，满足条件，
综上所述，解集为或.
故答案为：或.
考点08 利用图像处理函数零点问题
典例1．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值.
【详解】由因式分解得：
即或.
是定义在上的奇函数，则；
由题意知当 时， ，
当 时，，则，
当 时，，则，
以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示：
结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根；
当时，和的图象有2个交点，即有2个根，
结合图象可知其他选项不合题意，
所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根.
典例2．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【详解】点关于原点的对称点为，即时，，
已知函数，
，
当时，，方程图象有两个交点；
当时，，方程图象有1个交点；
综上，图象上关于原点对称的点有3对．
【考法预测1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解.
【详解】由，知函数的一个周期为2．
因为方程等价于．
令，又当时，，
由此作出函数与的图象，
如图所示．因为，，，
所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根．
【考法预测2】（2026·山东·模拟预测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为函数，图象与直线有且只有一个交点，然后利用导数知识研究性质，画出大致图象，据此可得答案.
【详解】定义域为，则有且只有一个零点，
等价于方程在有且只有一个根，
即函数，图象与直线有且只有一个交点.
，，，
则在上单调递减，在上单调递增.
则在时取得极大值，
又时，，，；
时，，，远远大于，.
据此可得大致图象如下：
则由图可得为使函数，图象与直线有且只有一个交点，
【考法预测3】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可.
【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是；
由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是；
由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是．
作出函数图象如图，可知．
考点09 利用函数图像求参数范围
典例1．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，如图所示：
由时，则与矛盾，故A错误；
选项B，如图所示：
由时，则与矛盾，故B错误；
对于C，如图所示：
由时，，但是此时，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
若时，有，则，无法确定，
如图所示：
由，则，即，
由，所以，故D正确.
【考法预测1】若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，可将恒成立问题转化为使直线的图象恒在图象的下方，通过求导得到曲线在原点处的切线斜率，由题意即得参数范围.
【详解】令，作出的图象，如图：
由图象可知，要使恒成立，只需直线的图象恒在图象的下方．
若直线为曲线的切线，则函数在时的解析式为，
由，.
所以的取值范围为．
故选：B.
【考法预测2】若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求得两个函数公切线的斜率，画出函数图象,结合图象可得“隔离直线”的斜率取值范围.
【详解】
由题意和的公共定义域为，结合大致图象可知，
在上，.
设直线，
直线与在上的图象切于点，与在上的图象切于点，
，，则，
则，且，解得，
所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为.
故答案为：.
【考法预测3】已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】首先作出的图象，即可求出在的取值范围，依题意可得，结合图象可得的解集，即可得解.
【详解】因为，则定义域为，
所以的图象是取与图象位于下方的部分，
作出的图象如下所示（实线部分）：
当时，显然在上单调递减，且；
因为，使得关于的不等式成立，
所以，令，解得，
结合图象可得的解集为或，
即实数的取值范围是.
故答案为：
考点10实际问题中的函数图像问题
典例1．在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象.
【详解】由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项．
当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到．
当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则．
当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确.
故选：D.
【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量（千克）随时间（天）变化的函数图像如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
【答案】
【分析】利用待定系数法先求出前10天的解析式，然后令，即可求出12月26日卖出西红柿的数量.
【详解】前10天满足一次函数关系，设为，
将点和点代入函数解析式得，
解得，，所以，
则当时，．
【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V，则函数的大致图像可能是图中的______.
【答案】②
【详解】由题意，水深越深，水的体积越大，排除①，③，
水深由0到时，水深增大时，体积增加的速度越来越快，
水深由到时，水深增大时，体积增加的速度越来越慢，可排除④.
【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）.
(1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产.
（ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润
（ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元
【答案】(1)，
(2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元
【分析】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，，所获利润分别为万元、万元，可设，.过点，将此点代入函数得到，从而得到的表达式，过点，将此点代入函数得到，从而得到的解析式；
（2）（ⅰ）根据和的解析式求出，，从而得到总利润的值；
（ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元.则，.令，，从而得到关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质得到该企业获得的最大利润.
【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，，
所获利润分别为万元、万元.
由题意可设，.
过点，则，则，
过点，则，解得，则，
故..
（2）（ⅰ）由（1）得，.
所以总利润万元.
（ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元.
则，.
令，，则.
所以当时，，此时，.
所以当两种产品分别投入2万元、16万元时，
可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.
拔高 分层集训
基础演练
1．为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位
【答案】A
【分析】化简函数，由函数图象的平移得到答案.
【详解】，
∴将函数的图象上的所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到函数的图象，
故选：A
2．（2026·天津·一模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为.
由知是偶函数，图象关于轴对称，排除B、D；
当时，恒成立，A项不合题意,而C项均符合.
3．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．的单调递减区间为
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的单调递增区间为
【答案】D
【分析】利用函数的图象逐项判断即可.
【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确；
对于B，当时，，B正确；
对于C，当时，，C正确；
对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.
故选：D.
4．（2026·四川成都·二模）已知函数的图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图像，结合函数的性质逐项判断即可求解.
【详解】对于A，的图像是一条直线，故A错误；
对于B， 的定义域为，
又时，，所以，故B错误；
对于C，对数函数在单调递增，满足题意，故C正确，
对于D ，的定义域为，又，
由，，所以，故D错误.
5．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数的图象，数形结合，化简得出，最后求一元二次函数的值域.
【详解】作出函数的图象如图，
不妨设，则，
当时，，解得，
故由图可知，
则，
∵，∴．
故选：A
6．（多选）（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知函数在R上单调递减，则函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为函数在R上单调递减，
所以.
因为，
所以函数是偶函数，它的图象关于纵轴对称，因此选项D不符合；
对于选项A：由函数的图象可知，不符合，故本选项不符合题意；
当时，当时，函数单调递增，且，所以选项B符合；
当时，当时，函数单调递增，且，所以选项C符合.
7．（多选）（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数 的单调递增区间为
B．若函数 无最小值，则 的取值范围为
C．对于任意实数 都存在非零实数 ，使得
D．当 时，若方程 恰有 3 个根，则 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据函数图象得出单调性判断A，应用函数图象结合函数最小值即可求解判断B，应用解析式计算判断C，应用函数图象结合解析式求解参数判断D.
【详解】对于 时， ，由函数的图象知，函数在区间 单调递增，故 A正确；
对于 画出函数的图象，如图所示，
由题意可得，函数 无最小值，则 的取值范围为 ，故 B正确;
对于 C，设 ，则 ，则 ，
如图，当 时， 与 并不一定有交点，故 C错误；

对于 D，当 时，若 恰有 3 个根，可得 有三个不同的根.

如图，作出函数 的图象，直线 过定点 .
当 时，设过点 的直线与曲线 的切点为 .
由 ，得 ，所以 ，
故切线方程为 ，
将点 代入，得 ，即 ，所以切线的斜率为 .
则 的取值范围是 ，故 D正确.
故选：ABD.
8．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】要使分段函数的值域为，需两段函数值域衔接覆盖全体实数，即满足部分的最小值不大于部分的上界.
【详解】当时，，这部分值域为；
当时，，是增函数，这部分值域为，
要使整个函数的值域为，则，
画出和的图像，可知两个函数的交点为和，且当且仅当时，成立，
因此的取值范围是.
9．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知函数，
① 若关于的方程恰好有一个解，则的一个取值为________；
② 若关于的方程恰好有三个解，则的取值范围为___________.
【答案】 2（答案不唯一）
【分析】作函数及的图象，数形结合求解.
【详解】作函数图象，如图，
由图象可知，当或时，方程恰好有一个解，
故可取（答案不唯一）；
因为过定点，
在同一平面直角坐标系内作的图象，如图
由图象可知，当时，方程恰好有三个解.
故答案为：2（答案不唯一）；
能力进阶
1．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性和复合函数的单调性求解.
【详解】从图像上看，的图像不关于轴对称，
选项A，是奇函数，对称轴为，
所以对称轴为，
，为单调递增函数，为单调递增函数，
则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确；
选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误；
选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数，
则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误；
选项D，，不满足题意，故D错误；
2．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解.
【详解】由题可得，由于图像关于对称，所以，，
得，，
所以不等式，即的解集为.
3．（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递减
【答案】B
【分析】先根据奇函数的对称性求得函数的单调区间，再结合函数图象平移求解即可.
【详解】因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，的图象是一条连续的曲线，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
4．（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值．
【详解】依题意可得函数的定义域为，
由函数的最大值为0，
即在上恒成立，
即的图象在的下方，
结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值，
根据对称性，不妨只考虑的情况，
即当与相切时，取得最小值，
即在上恒成立，
令，即时，取得最小值，
则，令，则，
又时，，即在上单调递增；
时，，即在上单调递减，
所以，解得．
故选：A
5．（多选）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】求出的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象．
【详解】令，得，
，令，得，
若，，则，且时，恒成立，
时，，递减，，，递减，
，，递增，故D正确；
若，，则，且时，恒成立，
时，，递增，时，，递减，
时，，递减，故B正确；
若，，则，且时，恒成立，
时，，递减，时，，递增，
时，，递增，故C错误；
若，，，且时，恒成立，
时，，递增，，，递增，
，，递减，故A错误；
综上，A,C错误，B,D正确．
故选：BD．
6．（多选）已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是
B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是
C．若有5个零点，则的取值范围是
D．可能有6个零点
【答案】BC
【分析】作出的大致图象，对于A和B，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解；对于CD，首先若，则有或，数形结合即可建立的不等式组并求解，即可判断.
【详解】如图，作出的大致图象，
由图可知，
若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是，故A错误；
若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是，故B正确.
令，得，解得或.
若有5个零点，则或解得，故C正确.
若有6个零点，则解得，则最多有5个零点，故D错误.
故选：BC.
7．已知函数，若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围是___________；若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【分析】第一空，函数恰有2个不同的零点当且仅当函数的图像与直线有2个不同的交点，据此可得答案；第二空，令，则原方程可化为，然后由图像结合第一空解析可得答案.
【详解】第一空，如图，作出函数的图像，函数恰有2个不同的零点，
当且仅当函数的图像与直线有2个不同的交点，由图知，实数的取值范围是．
第二空，令，原方程化为，即，
解得或，因方程有5个解，
结合图像可得与有2个交点，与有3个交点，
于是，则.
故答案为：；.
8．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.
(1)求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
(2)若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
(3)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由得到，故不恒成立，从而得到证明；
（2）恒成立，从而，根据得到，得到答案；
（3）写出时分段函数表达式，结合函数奇偶性画出函数图象，数形结合只需对任意的恒成立，故即可，得到答案.
【详解】（1）证明：任取正常数T，存在，即，
∵，即不恒成立，
∴不是“T同比不减函数”.
（2）∵函数是“同比不减函数”，
∴恒成立，
即恒成立，
，
故，
因为，，所以，
∴，
∴k的取值范围为.
（3）当时，，
当，，
当，，
当，
由题知为奇函数，关于原点对称，如图所示：
根据图象易得：要使对任意的x恒成立，
只需，对任意的恒成立，
∴即可，
∴.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
真题实战
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
【答案】A
【分析】由，根据平移法则即可解出．
【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，
故选：A.
3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
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第06讲 函数的图像
夯实知识·突破重难·分层提能
考情 分析解读（课标要求 考情解读 备考策略）
知识 归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳）
知识1 函数图像的作法；
知识2 图像的对称性；
知识3 函数图像的应用.
重难 核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接）
考点01 已知解析式画图 方法技巧 如何利用函数图像研究函数性质
考点02 已知解析式选图 考点07 利用图像解不等式
方法技巧 知式选图的方法与技巧 考点08 利用图像处理函数零点问题
考点03 已知函数图像求解析式 方法技巧 如何利用函数图像处理函数零点问题
考点04 已知函数图像辨析系数取值 考点09 利用函数图像求参数范围
考点05 函数图像的变换 考点10 实际生活中的函数图像问题
考点06 利用图像研究函数的性质
拔高 分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战）
考情·分析解读
课标要求
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
考题统计
核心考点 2026 2025 2024
函数图像的变换 北京卷T4
函数图像的选择 天津卷T4 天津卷T3
函数与方程问题 全国I卷T7
函数图像的应用 全国I卷T8
考情解读
函数图像在高考中是高频核心考点，常以选择、填空及解答题形式出现。命题趋势强调数形结合与思维创新，重点考查图像识别、对称性、单调性及零点问题。
备考策略
高三数学备考函数图像，需先熟记基本初等函数的“母图”，掌握平移、对称、伸缩等变换规律。复习中应强化数形结合思想，通过画图分析单调性、零点与最值；同时回归教材例题，深挖命题逻辑，并针对错题进行靶向训练，避免盲目刷题。
知识 归纳梳理
知识1 函数图像的作法
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
必记结论
函数图像的左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
知识2 函数图像的对称性
1. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
2．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
知识3 函数图像的应用
利用函数的图像处理函数零点问题；
利用函数的图像研究函数的性质；
利用函数的图像解不等式；
利用函数的图像求参数范围
重难 核心突破
考点01 已知函数解析式画图像
典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象．
(1)；
(2)．
【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象
(1)；
(2)；
(3)；
【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)；
(3)．
【考法预测3】分别作出下列函数的图象．
(1)；
(2)；
(3)．
考点02 已知函数解析选图
典例1．（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
典例2．（2026高三·全国·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
【考法预测1】（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
考点03 已知函数图像求解析式
典例1．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【考法预测1】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测2】（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测3】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（ ）
A． B．
C． D．
考点04 已知函数图像辨析系数取值
典例1．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（ ）

A． B．
C． D．
【考法预测2】函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测3】抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点05 函数图像的变换
典例1．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
典例2．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的图象如图所示，那么函数的图象是（ ）
A． B．C． D．
【考法预测1】（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）
【考法预测2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　）
A． B．
C． D．
【考法预测3】（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
考点06应用图像研究函数的性质
典例1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（ ）

A．的定义域是
B．的值域是
C．
D．只与的一个值对应的值的范围是
【考法预测1】（多选）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（ ）
A．
B．当时，有
C．当时，的最小值为4，则
D．若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零
【考法预测2】（多选）设函数，其中表示，，中的最小者，下列说法正确的有（ ）
A． B．对任意的，都有
C．对任意的，有 D．当时，的最大值为1
【考法预测3】（多选）（2026·湖北武汉·二模）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
考点07利用函数图像解不等式
典例1．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数的定义域是，其图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测1】已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测2】已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（ ）

A． B． C． D．
【考法预测3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为________．
【考法预测4】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____．

考点08 利用图像处理函数零点问题
典例1．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
典例2．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考法预测1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考法预测2】（2026·山东·模拟预测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【考法预测3】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
考点09 利用函数图像求参数范围
典例1．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（ ）
A．B． C． D．
【考法预测1】若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考法预测2】若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______.
【考法预测3】已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是__________．
考点10实际问题中的函数图像问题
典例1．在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量（千克）随时间（天）变化的函数图像如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V，则函数的大致图像可能是图中的______.
【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）.
(1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产.
（ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润
（ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元
拔高 分层集训
基础演练
1．为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位
2．（2026·天津·一模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．的单调递减区间为
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的单调递增区间为
4．（2026·四川成都·二模）已知函数的图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）（25-26高三上·陕西·阶段检测）已知函数在R上单调递减，则函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数 的单调递增区间为
B．若函数 无最小值，则 的取值范围为
C．对于任意实数 都存在非零实数 ，使得
D．当 时，若方程 恰有 3 个根，则 的取值范围为
8．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________．
9．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知函数，
① 若关于的方程恰好有一个解，则的一个取值为________；
② 若关于的方程恰好有三个解，则的取值范围为___________.
能力进阶
1．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·陕西安康·三模）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递减
4．（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为0，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（多选）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是
B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是
C．若有5个零点，则的取值范围是
D．可能有6个零点
7．已知函数，若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围是___________；若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是___________．
8．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.
(1)求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
(2)若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
(3)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
真题实战
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
3．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
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