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解题大招9 直击六大“网红”函数：V型函数、对勾函数、飘带函数、黎曼函数、高斯函数、狄利克雷函数
知识点01 V型函数
1.定义
函数 图象类似于符号“V”，故称之为 形函数,其中 为常数,且 .
2.图象与性质
其图象如下图所示：
性质：其图象的对称轴方程为 ,顶点坐标为 ,
的图象开口方向向上,
的图象开口方向向下, 并且其图象左、右两支的斜率分别为 .
4.广义V型函数（推广）:
设 为正的常数, 和 为常数 ,我们称函数 为广义 形函数 (可以仍称为 形函数). 当 时, 在区间 上的图象是与 轴平行的线段, 这时我们称 为 “平底 形函数”.
知识点02 对勾函数
1.定义
形如的函数，其图象类似于两个勾，故称之为对勾函数.
2.图象与性质
解析式
图象
定义域
渐近线
值域
奇偶性 奇函数
单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数
【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，
知识点03 飘带函数
1.定义
形如的函数，其图象类似于两根飘带，故称之为飘带函数.
2.图象与性质
解析式
图象
定义域
渐近线
值域
奇偶性 奇函数
单调性 在上是增函数 在是减函数
知识点04 黎曼函数
1．定义
函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，故称此函数为黎曼函数.
注意：无法画出黎曼函数完整的图象，只能画出有限个示意散点图.
2．基本性质
⑴定义域：[0,1],
(2)有界性： ；
(3)奇偶、周期：只定义在[0,1]，一般不讨论奇偶、周期，拓展全实数可做周期延拓；
(4)连续性：x为[0,1]内无理数：R(x)在该点连续；x为[0,1]内有理数，R(x)在该点不连续；
(5)极限：.
知识点05 高斯函数
1.定义
记 表示不超过实数 的最大整数,例如: , ,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数 被称为高斯函数, 又称取整函数.
2.性质
（1）定义域: ；值域: .
（2）不具有单调性、奇偶性、周期性.
知识点06 狄利克雷函数
定义
德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个奇怪的函数：其中为实数集，为有理数集．这个函数因此命名为狄利克雷函数.
2．图象特征
(1)图象由两条离散点列构成：
y=1:在x轴所有有理数位置画孤立空心、实心点；
y=0：在x轴所有无理数位置画孤立点；
(2)无连续曲线、画不出连续线条，任意区间内两种点稠密交错，肉眼无法精确手绘完整图象.
3．基本性质
(1)有界性：，有界函数；
(2)奇偶性：偶函数，；
(3)周期性：任意正有理数都是周期，无最小正周期；无理数不是周期；
(4)连续性： 在处处不连续.
题型01 V型函数的应用
1．去绝对值化分段函数：y=|kx+b|拆两段一次式，确定顶点与开口； 2. 抓关键点：顶点、零点、定义域端点，快速画 V 型草图； 3. 最值：开口向上顶点最小，开口向下顶点最大； 4. 不等式恒成立、值域问题依托图象数形结合，参数范围借助交点列式求解.
【典例1-1】 已知函数 ,若方程 恰有四个互异实数根,则实数 的取值范围为_____.
【答案】 或 或
【解析】 ,则问题等价于 与 有两个交点. 易知 是顶点为 、开口向上的 形函数,且顶点 在直线 上运动. 使两函数有两个交点, 有如下三种情形:
图1 图2 图3
(1) 当 的左支 与 的左支相切时 (如图 1), ,变形为 ,由 解得 ;
(2) 当 的左支 与 的右支相切时 (如图 2), ,变形为 ,由 解得 ;
(3) 当 的顶点 在 的右支上时 (如图 3), ,解得 (舍去),或 .
综上: 或 或 .
【点评】本题关键是通过变形把题目条件化为 形函数和反比例函数的交点问题,分别作出图象,观察图象变化,得出变量 的值.
【典例1-2】（25-26高三上·北京·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”．
（i）是否为“型函数”？_________；（填“是”或“否”）
（ii）若函数是“型函数”，则实数的取值范围是________．
【答案】 否
【解析】是偶函数，且在递减，递增.
当时，；当时，.
若取，则不存在，使得.
所以不是“型函数”.
由于是“型函数”.
当时，在上单调递增，.
而，要使存在且唯一，则有，解得.
所以.
当时，在递减，递增，.
而，要使存在且唯一，则有，解得.
所以.
综上可知：.
【点睛】方法点睛：新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中.
【跟踪训练】
1.(2024-2025 学年浙南名校联盟高一上期中) 设函数 ,若关于 的方程 有且仅有两个不同的实数根,则实数 的值为_____.
【答案】或或
【解析】由方程，可得，即，
令，，可得的顶点为在上，
又由与的交点坐标为，，
联立方程组，整理得，
由，解得.
作出函数的图象，如图所示，
要使得有两个不同的解，则函数过时，显然符合，此时 ，
由此实数的取值范围是或或 .
故答案为：或或 .
2．（25-26高三全国·课后作业）若函数的定义域为，满足对任意，，有，则称为型函数；若函数的定义域为，满足对任意，恒成立，且对任意，，有，则称为对数型函数．
（1）当函数时，判断是否为型函数，并说明理由．
（2）当函数时，证明：是对数型函数．
（3）若函数是型函数，且满足对任意，有，问是否为对数型函数？若是，加以证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）不是型函数，详见解析（2）证明见解析（3）是对数型函数，证明见解析
【解析】（1）由题，函数，
则
当，同号时，此时，
此时不满足，所以不是型函数．
（2）因为恒成立，
要证对任意，，，
即证对任意，，，
即证对任意，，．
因为，
所以是对数型函数
（3）函数是对数型函数．证明如下：
因为是型函数，所以对任意，，有，
又由对任意，有，所以，
所以，所以，
所以，
所以是对数型函数．
【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中解答中认真审题，把握函数的新定义，合理运用新定义和对数的运算的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）.
(1)判断是否为“型函数” 并说明理由；
(2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)不是“型函数”；理由见解析
(2)存在，
(3)．
【解析】（1）函数，当时，，当时，，当时，，不存在，使，
所以不是“型函数”；
（2）首先函数的定义域为，则，得，
由复合函数单调性可知，函数在单调递减，在区间单调递增，
所以只需对任意恒成立即可，所以；
（3）函数是“型函数”，
当时，在上单调递增，，
而，要使存在且唯一，则有，解得：，所以，
当时，在单调递减，在单调递增，所以，而，要使存在且唯一，则有，
设，即，解得，解得：
所以．
题型02 对勾函数的应用
对于对勾函数问题，由于其图象容易画出，故往往先画出其草图，再结合图象直观求解.
【典例2】（2026高三·全国·专题练习）若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为______．
【答案】/0.75
【解析】因为，则，
所以，即，
当，即，恒成立，
因为，则，所以．
当，即或时，恒成立，
因为，
所以．
综上，，
所以实数的最大值为．
【跟踪训练】
1.（多选）已知函数，下面有关结论正确的有（ ）
A．定义域为 B．值域为
C．在上单调递减 D．图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】对于A中，函数有意义，则满足，
所以函数定义域为，所以A正确；
对于B中，当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以；
当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
所以函数的值域为，所以B正确；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确；
对于D中，函数定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为奇函数，
函数的图象关于原点对称，所以D正确.
故选：ABD.
2．已知函数，，则的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意得，．
令，则，则可化为．
∵函数，在上均为增函数，
∴在上为增函数，
∵时，，时，，
∴的值域为．
3．（25-26高三上·广东东莞·期中）因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为__________.
【答案】/0.75
【解析】因为，则，，即
当，因为，则，恒成立.
当因为,所以时，
因为恒成立，所以.
综上,
所以实数的最大值为.
4．（25-26高三上·甘肃武威·期中）已知勾函数在和内均为增函数，在和 内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】根据题意在，内为增函数；要使在整数集合内为增函数，则即解得，∴实数的取值范围为，故答案为.
题型03 飘带函数的应用
1．飘带函数解析式： ，定义域，函数在分别单调递增. 2．依托双曲线型飘带图象，划分两段定义域分析值域. 3．区间求值问题，直接利用单调性代端点. 4．不等式、参量问题结合增减性列不等式求解.
【典例3】（25-26高一上·安徽·期中）形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【答案】D
【分析】应用待定系数法求函数解析式和定义域，再由奇偶性的定义判断，根据解析式判断区间单调性，进而确定最值情况，最后代入自变量求函数值判断各项正误.
【解析】由题意得，解得，则且，
因为，所以是奇函数，①错．
因为均在内单调递减，所以在内单调递减，没有最小值，②对③错，
由得，，④对.
故选：D
【跟踪训练】
1. 函数 的图象大致为 ( )
ABCD
【答案】D
【解析】解法一: 当 时, ,
令 (飘带函数),则 的图象如图:
当 时, 递增, 递减,且 ,排除 ;
当 时, 递增, 递减, 且 ,排除 C. 故选 D.
解法二: 当 时, ,选项 错误; 因为定义域为 1) ,所以选项 错误; 当 时, 0, 选项 C 错误; 故选D.
2．函数的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易得函数的定义域为，恒成立，即函数在，，上均单调递减，由此可知只有D选项中的图象符合题意，故选D．
3．（2025·湖南·模拟预测）将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图解. 如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到. 现将双曲线C：绕原点O旋转适当的角度后，得到函数的图象. 则双曲线C的离心率e的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】如图，函数的图象的两条渐近线为和，直线为其实轴，
则，
故选：C
4.（多选）已知函数，则该函数（ ）
A．最大值为 B．最小值为1 C．没有最小值 D．最小值为
【答案】AC
【解析】先整理函数，由函数的单调性，可知本题函数的单调性，利用单调性知函数没有最小值，在时，函数取得最大值，判断选项即可.因为，所以，
令，下面证明在单减，单增，
任取，且，则
，，，，
，即，所以函数在上是减函数，同理可证函数在上是增函数.
故知在上是减函数，在上是增函数.
所以在上是增函数，在上是减函数，当时，函数取得最大值为，没有最小值.
故选：AC
题型04 黎曼函数的应用
1．熟记定义：有理数取，无理数取0； 2. 连续性：无理点连续、有理点间断，全域极限均为0； 3. 求值题：分辨自变量有理 / 无理直接代定义； 4. 结合极限、间断点题型，依托稠密性分析取值规律.
【典例4】（25-26高三上·河南郑州·期中）已知定义在区间上的黎曼函数为：，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，即，
且函数是定义在上的奇函数，则，即，
由题意可得：，，
所以.
故选：A.
【跟踪训练】
1．(25-26高三下·辽宁·阶段检测）波恩哈德·黎曼是德国著名数学家，黎曼函数是他发现并提出的，其解析式为：，若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，
可得，故偶函数是周期为4的周期函数，
由 ，当时，，
，由且为无理数，，
，
所以
故选：D．
2．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式如下：．若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意得，
，
即函数的周期，
，令得：
，
，
，
．
故选：B．
3．(多选)（25-26高三上·河南·阶段检测）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．黎曼函数的定义域为
C．黎曼函数的最大值为
D．若是奇函数，且，当时，，则
【答案】BC
【解析】，错误.
因为是既约真分数，或上的无理数，所以黎曼函数的定义域为正确.
又为既约真分数，所以的最大值为正确.
因为，所以.所以.
因为是奇函数，所以，所以，
即是以2为周期的周期函数，
，
所以错误.
故选:.
4．(多选)（25-26高三上·河北沧州·期中）黎曼函数R（x）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上.当（p，q都是正整数，为最简真分数）时，，当或1或x为（0，1）内的无理数时，.若为偶函数，为奇函数，当时，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】.
因为为偶函数，所以g（x）的图象关于直线对称.
因为为奇函数，所以g（x）的图象关于点（2，0）对称.
所以，所以，所以.
所以.
若a，b中至少有一个为0或1或（0，1）内的无理数，
而，则.
若a，b均为（0，1）内的有理数，设，（，，，，m，p为正整数，，为最简直分数），则.
当能约分时，则约为最简真分数后的分数的分母，；
当不能约分时，此时.
综上，当时，而，.所以.
故选：BC
题型05 高斯函数的应用
1．定义： 为不超过 的最大整数， 是核心不等式. 2．分段：设 ，则 ，分段解方程与不等式. 3．值域：函数取值恒为整数，遇求值先锁定整数范围. 4．常用性质： ，结合单调性数形解题. 5．求参、方程题借助区间范围限定参数.
【典例5】（多选）（25-26高三上·江西赣州·期中）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，则（ ）
A．在上是增函数 B．
C．为奇函数 D．的值域为
【答案】BD
【解析】因为，，
即，故A不正确；B正确；
因为，所以C不正确；
因为表示不超过的最大整数，设，则，
则，即的值域为，故D正确.
故选：BD
【跟踪训练】
1．(多选)（24-25高一上·贵州遵义·期末）对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ）
A．函数，的图象关于原点对称
B．函数，的值域为
C．对于任意的，不等式恒成立
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】对于选项A：当时，，当时，，
即点都在函数的图象上，它们关于原点不对称，
则函数的图象关于原点不对称，A错误；
对于选项B：由取整函数的定义知， ，则，
因此函数的值域为，B正确；
对于选项C：由取整函数的定义知，，，
则，C正确；
对于选项D：由，可得，解得，
且，则或，
因此，不等式的解集为，D正确.
故选：BCD
2．（多选）（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图像关于轴对称
C．的解集为
D．若，则的值域为
【答案】ACD
【解析】，A选项正确；
，，
∴，即，B选项错误；
∵，∴，即，∴，则，
当时，即，则，由题意可知，∴此时无解；
当时，即，此时恒成立，∴是不等式解集的一部分，
当时，即，则，∵，∴不等式恒成立，即，
综上所述，，C选项正确；
∵，则，∴，∴，∴，
∴的值域为，D选项正确.
故选：ACD.
3．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如等，该函数被广泛应用于数学和计算机等领域，关于函数，正确的结论是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
【答案】BC
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，当时，有，A错误；
对于B，若，则，B正确；
对于C，若，，
若，，故有，故C正确;
对于D，当，时，，，D错误；
4．（多选）（25-26高一上·北京·阶段检测）对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有_________
①
②当时，
③
④不等式的解集为
【答案】①②④
【解析】，故①正确；
时，所以时，，故②正确；
当时，此时，故③错误；
令则化为，解得，所以，
当时，，当时，，所以，
所以不等式的解集为，故④正确.
故答案为：①②④
题型06 狄利克雷函数的应用
1.紧扣定义：有理数取 1，无理数取 0，实数域处处有定义. 2.巧用性质：偶函数、任一正有理数为周期，无最小正周期. 3.连续性：全体实数处均不连续，任意点极限不存在. 4.求值、判断奇偶周期、间断点题型，依托该函数定义进行分析.
【典例6】（24-25高三上·云南昆明·期末）德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，）在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ）．
A．值域为 B．
C． D．图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】由已知可得，
所以函数的值域为，A正确；
当时，，，，
当时，，，，
所以，B正确；
当时，，，C错误；
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
所以，
所以函数为偶函数，所以的图象关于对称，
所以函数的图象关于对称，D正确，
故选：ABD.
【跟踪训练】
1．（25-26高三下·山东德州·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ）
A．存在，有
B．对任意，都存在，
C．若，，则有
D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形
【答案】AC
【解析】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，.
对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确；
对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误；
对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，，
所以，故 C正确；
对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个，
不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D，
，所以，
故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误.
2．（多选）（25-26高三上·山东青岛·期中）德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下面描述正确的有（ ）
A．为偶函数
B．
C．
D．不等式在区间上恒成立
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，，则；当时，，
则，即，，因此为偶函数，A正确；
对于B，当时，，当时，，B正确；
对于C，取，，C错误；
对于D，当时，，不等式，
对且，恒成立；当时，，不等式，
，对且，恒成立，D正确.
故选：ABD
3．（多选）（25-26高三上·安徽·阶段检测）德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，下列说法正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C．的值域为 D．是函数的一条对称轴
【答案】BD
【解析】对于A，因为，故选项A错误；
对于B，当时，，因此；当时，同理有，
因此对，均有，故为偶函数，因此选项B正确；
对于C，因为，所以，因此函数的值域为，选项C错误；
对于D，当时，；当时，，因此恒有，选项D正确．
故选：BD
4．（25-26高三上·广东·期中）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得_______.
【答案】1
【解析】由题意，
故答案为：1.
5．（25-26高三下·北京·三轮复习）定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是_______
①的值域为
②是偶函数
③存在无理数，使
④对任意有理数，有
【答案】①②④
【解析】由题意，函数，可得函数的值域为，故①正确；
若为有理数，则为有理数，可得；
若为无理数，则为无理数，可得，
所以函数为定义域上的偶函数，故②正确；
当为无理数，若为有理数，则为无理数，
若为无理数，则可能为有理数，也有可能是无理数，
不满足，所以③错误；
对任意有理数，若为有理数，则为有理数，
若为无理数，则为无理数，所以，则④正确.
故答案为：①②④
1．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】．
故选：D．
2．（2026·江西南昌·模拟）将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为和轴）．设，，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解析】旋转后两条渐近线分别为和，夹角为，
旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线，
所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为，斜率为，方程为，
联立，解得或，
所以旋转后的双曲线的两个顶点为或，
所以实轴长为.
故选：C
3．（25-26高三上·广东深圳·期中）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例：，.已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，
可知在定义域内单调递减，且，
且，则，，可得，
若，则，可知，，
则，可得；
若，则；
若，则，可知，，
则，可得；
综上所述：函数的值域是.
故选：C.
4．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则当时,（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，，
则
，
可得，
又因为为递增数列，且，
所以当，可得.
故选：A.
5．（25-26高三上·安徽·阶段检测）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，，
则
，
可得，
又因为为递增数列，且，
所以.
故选：A.
6．（多选）（25-26高三上·四川内江·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.若，，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．函数的值域为
C．当时，函数的值域为
D．若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是
【答案】BCD
【分析】对于A，利用取整函数的定义即可判断；对于B，利用取整函数定义得到即即可得解；
对于C，由题意结合取整函数的定义得且，代入解析式即可求解；
对于D，依据已知条件的结构特征得到，再由得到，从而得解.
【解析】对于A，表示不超过的最大整数，若，，
因为是整数，则，矛盾，故A错误；
对于B，由取整函数定义可得，所以，
所以函数的值域为，故B正确；
对于C，因为，所以且，
所以，
且，当且仅当时取等号，
所以当时，函数的值域为，故C正确；
对于D，若，使得，，，…，同时成立，
则，且，且，且，…，且，
因为，所以若，则不存在t满足和，
所以只有当时，存在满足题意.
所以满足题意的正整数的最大值是.故D正确.
故选：BCD.
7．（多选）（25-26高三下·湖南郴州·阶段检测）德国数学家狄里克雷（DⅠrⅠchlet，PeterGustavLejeune，1805-1859）在1837年给出了这样一个函数，这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的值与之对应就行了，不管这个法则是用解析式还是图像、表格等形式给出的．这个函数常称为狄里克雷函数．关于狄里克雷函数的性质，下面的表述中正确的是（ ）
A．或1
B．的值域为
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】对于A项：因为为无理数，所以，故A项错误；
对于B项：由题意知的值域为：，故B项正确；
对于C项：若为有理数，则为有理数，则，若为无理数，
则为无理数，则，即的图象关于直线对称，故C正确；
对于D项：当时，，
此时，所以的图象不关于直线对称，故D项错误.
故选：BC.
8．(多选)（25-26高三上·山东日照·期末）伯恩哈德 黎曼是德国著名数学家，他在数学分析和微分几何领域贡献卓著，开创的黎曼几何为广义相对论奠定了数学基础.他提出的黎曼函数是分析学中的经典函数，其定义域为，解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．
B．关于的不等式的解集为
C．
D．若，是内的有理数，则有
【答案】ABD
【解析】对于选项A，为有理数，且互质，则，故A正确；
对于选项B，若或或内的无理数，此时，显然不成立，
当（、为正整数，、互质），由，得到，
整理得到，又、为正整数，、互质，所以，
所以，关于的不等式的解集为，选项B正确；
对于选项C，取，，则，
而，所以选项C错误；
对于选项D，，是内的有理数，
当，（、、、是正整数，、是最简真分数）时，
，，故，
所以，所以选项D正确．
故选：ABD．
9．(多选)（2026高三下·全国·专题练习）如图，飘带函数的图象类似于飘带，已知图象上两个点，关于原点对称（点的横坐标），过点，分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为，，，.将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作；将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作.则下列结论正确的是（ ）

A．
B．若，当图象沿轴折叠时，
C．
D．若，当图象沿轴折叠时，
【答案】BCD
【解析】将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，如下图：

因为，
所以为二面角的平面角，即，
过点作，垂足为，
由，则，，
所以，
则，
因为，，且平面，
所以平面，又平面，所以，
又，且，且平面，
所以平面，又平面，
所以，
则，
当时，，故B正确，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，故A错误；
将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，如下图：

因为，
所以为二面角的平面角，即，
过点作，垂足为，
由，则，，
所以，则，
因为，，且平面，
所以平面，又平面，所以，
又，且，且平面，
所以平面，又平面，
所以，
则，
当时，，故D正确，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，故C正确.
故选：BCD.
10．（25-26高三上·福建宁德·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则标为高斯函数.例如，已知函数，则的值域为__________.
【答案】
【解析】由高斯函数的定义可得：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
当时，，且每段函数都是单调递减的，每段的左端点的函数值都为1；
当时，，且每段函数都是单调递增的，每段的左端点的函数值都为1.
绘制的图象，如图所示，

由图可知，的值域为.
11．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论:
（1） ；
（2）函数 是偶函数；
（3） 函数图象上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形；
（4） 函数图象上存在三个点 ，使得 为等边三角形.
其中所有正确结论的序号是_____.
【答案】（1）（3）（4）
【解析】由狄利克雷函数的定义，可得，所以（1）正确；
由，可得，不满足，
所以函数不是偶函数，所以（2）错误；
若取函数图象上四个点，，，，
因为，且，即，互相平分，
所以函数图象上四个点，使得四边形为矩形，故（3）正确；
函数图象上三个点，，，
即，，，因为，
所以为等边三角形，故（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）
12．（2024·北京石景山·一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，．若数列，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】②③④
【解析】对于①， 时， ，故①错误；
对于②， ，，，故②正确；
对于③，
，故③正确；
对于④，， ，
构造函数 ， ，则 ，单调递增，
，即当时 ， ，
，
当时， ，， ，故④正确.
故选：②③④.
13．（25-26高一上·福建厦门·期中）定义在上的函数满足：对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数，成立，则称函数是“v型函数”．已知函数，，．
(1)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)设函数是“v型函数”，若方程存在两个不相等的实数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为在区间上具有单调性，
所以或，解得或，
即实数的取值范围是；
（2）解：因为函数图象的对称轴方程为，
所以函数在上递减，
当时，设函数的值域为，则，
当时，设函数的值域为，
因为函数是“型函数”，
由“型函数”的定义知：
①若，则存在唯一，使，所以在上单调且，
②若，则存在唯一，使，所以在上单调且，
所以函数在轴两侧的图象必须“等高”且单调，即且在上单调，
当时，，不合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，，不合题意；
当时，在上单调递增，，
所以，则舍去），
综上，
则，
由方程，
当时，方程为，
因为，
所以方程有两个实数根，设为，
则，
所以方程有两个异号实数根，
故当时，方程有且仅有一个实数根，
当时，方程为，
又因方程存在两个不相等的实数，
所以，
即当时，方程一定有一个实数根，即，所以，
由，得，则，
由，得，
则
，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
当时，，
当时，，
所以.
【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数的范围及函数新定义的问题，考查了根据方程的根求参数的范围问题，解决第二问的关键在于把所求用表示，属于难题.
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解题大招9 直击六大“网红”函数：V型函数、对勾函数、飘带函数、黎曼函数、高斯函数、狄利克雷函数
知识点01 V型函数
1.定义
函数 图象类似于符号“V”，故称之为 形函数,其中 为常数,且 .
2.图象与性质
其图象如下图所示：
性质：其图象的对称轴方程为 ,顶点坐标为 ,
的图象开口方向向上,
的图象开口方向向下, 并且其图象左、右两支的斜率分别为 .
4.广义V型函数（推广）:
设 为正的常数, 和 为常数 ,我们称函数 为广义 形函数 (可以仍称为 形函数). 当 时, 在区间 上的图象是与 轴平行的线段, 这时我们称 为 “平底 形函数”.
知识点02 对勾函数
1.定义
形如的函数，其图象类似于两个勾，故称之为对勾函数.
2.图象与性质
解析式
图象
定义域
渐近线
值域
奇偶性 奇函数
单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数
【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，
知识点03 飘带函数
1.定义
形如的函数，其图象类似于两根飘带，故称之为飘带函数.
2.图象与性质
解析式
图象
定义域
渐近线
值域
奇偶性 奇函数
单调性 在上是增函数 在是减函数
知识点04 黎曼函数
1．定义
函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，故称此函数为黎曼函数.
注意：无法画出黎曼函数完整的图象，只能画出有限个示意散点图.
2．基本性质
⑴定义域：[0,1],
(2)有界性： ；
(3)奇偶、周期：只定义在[0,1]，一般不讨论奇偶、周期，拓展全实数可做周期延拓；
(4)连续性：x为[0,1]内无理数：R(x)在该点连续；x为[0,1]内有理数，R(x)在该点不连续；
(5)极限：.
知识点05 高斯函数
1.定义
记 表示不超过实数 的最大整数,例如: , ,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数 被称为高斯函数, 又称取整函数.
2.性质
（1）定义域: ；值域: .
（2）不具有单调性、奇偶性、周期性.
知识点06 狄利克雷函数
定义
德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个奇怪的函数：其中为实数集，为有理数集．这个函数因此命名为狄利克雷函数.
2．图象特征
(1)图象由两条离散点列构成：
y=1:在x轴所有有理数位置画孤立空心、实心点；
y=0：在x轴所有无理数位置画孤立点；
(2)无连续曲线、画不出连续线条，任意区间内两种点稠密交错，肉眼无法精确手绘完整图象.
3．基本性质
(1)有界性：，有界函数；
(2)奇偶性：偶函数，；
(3)周期性：任意正有理数都是周期，无最小正周期；无理数不是周期；
(4)连续性： 在处处不连续.
题型01 V型函数的应用
1．去绝对值化分段函数：y=|kx+b|拆两段一次式，确定顶点与开口； 2. 抓关键点：顶点、零点、定义域端点，快速画 V 型草图； 3. 最值：开口向上顶点最小，开口向下顶点最大； 4. 不等式恒成立、值域问题依托图象数形结合，参数范围借助交点列式求解.
【典例1-1】 已知函数 ,若方程 恰有四个互异实数根,则实数 的取值范围为_____.
【典例1-2】（25-26高三上·北京·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”．
（i）是否为“型函数”？_________；（填“是”或“否”）
（ii）若函数是“型函数”，则实数的取值范围是________．
【跟踪训练】
1.(2024-2025 学年浙南名校联盟高一上期中) 设函数 ,若关于 的方程 有且仅有两个不同的实数根,则实数 的值为_____.
2．（25-26高三全国·课后作业）若函数的定义域为，满足对任意，，有，则称为型函数；若函数的定义域为，满足对任意，恒成立，且对任意，，有，则称为对数型函数．
（1）当函数时，判断是否为型函数，并说明理由．
（2）当函数时，证明：是对数型函数．
（3）若函数是型函数，且满足对任意，有，问是否为对数型函数？若是，加以证明；若不是，请说明理由．
3．（25-26高一上·四川绵阳·期中）定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）.
(1)判断是否为“型函数” 并说明理由；
(2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围.
题型02 对勾函数的应用
对于对勾函数问题，由于其图象容易画出，故往往先画出其草图，再结合图象直观求解.
【典例2】（2026高三·全国·专题练习）若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为______．
【跟踪训练】
1.（多选）已知函数，下面有关结论正确的有（ ）
A．定义域为 B．值域为
C．在上单调递减 D．图象关于原点对称
2．已知函数，，则的值域为 ．
3．（25-26高三上·广东东莞·期中）因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为__________.
4．（25-26高三上·甘肃武威·期中）已知勾函数在和内均为增函数，在和 内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为___________．
题型03 飘带函数的应用
1．飘带函数解析式： ，定义域，函数在分别单调递增. 2．依托双曲线型飘带图象，划分两段定义域分析值域. 3．区间求值问题，直接利用单调性代端点. 4．不等式、参量问题结合增减性列不等式求解.
【典例3】（25-26高一上·安徽·期中）形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【跟踪训练】
1. 函数 的图象大致为 ( )
ABCD
2．函数的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南·模拟预测）将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图解. 如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到. 现将双曲线C：绕原点O旋转适当的角度后，得到函数的图象. 则双曲线C的离心率e的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
4.（多选）已知函数，则该函数（ ）
A．最大值为 B．最小值为1 C．没有最小值 D．最小值为
题型04 黎曼函数的应用
1．熟记定义：有理数取，无理数取0； 2. 连续性：无理点连续、有理点间断，全域极限均为0； 3. 求值题：分辨自变量有理 / 无理直接代定义； 4. 结合极限、间断点题型，依托稠密性分析取值规律.
【典例4】（25-26高三上·河南郑州·期中）已知定义在区间上的黎曼函数为：，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．(25-26高三下·辽宁·阶段检测）波恩哈德·黎曼是德国著名数学家，黎曼函数是他发现并提出的，其解析式为：，若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式如下：．若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
3．(多选)（25-26高三上·河南·阶段检测）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．黎曼函数的定义域为
C．黎曼函数的最大值为
D．若是奇函数，且，当时，，则
4．(多选)（25-26高三上·河北沧州·期中）黎曼函数R（x）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上.当（p，q都是正整数，为最简真分数）时，，当或1或x为（0，1）内的无理数时，.若为偶函数，为奇函数，当时，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 高斯函数的应用
1．定义： 为不超过 的最大整数， 是核心不等式. 2．分段：设 ，则 ，分段解方程与不等式. 3．值域：函数取值恒为整数，遇求值先锁定整数范围. 4．常用性质： ，结合单调性数形解题. 5．求参、方程题借助区间范围限定参数.
【典例5】（多选）（25-26高三上·江西赣州·期中）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，则（ ）
A．在上是增函数 B．
C．为奇函数 D．的值域为
【跟踪训练】
1．(多选)（24-25高一上·贵州遵义·期末）对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ）
A．函数，的图象关于原点对称
B．函数，的值域为
C．对于任意的，不等式恒成立
D．不等式的解集为
2．（多选）（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图像关于轴对称
C．的解集为
D．若，则的值域为
3．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如等，该函数被广泛应用于数学和计算机等领域，关于函数，正确的结论是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
4．（多选）（25-26高一上·北京·阶段检测）对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有_________
①
②当时，
③
④不等式的解集为
题型06 狄利克雷函数的应用
1.紧扣定义：有理数取 1，无理数取 0，实数域处处有定义. 2.巧用性质：偶函数、任一正有理数为周期，无最小正周期. 3.连续性：全体实数处均不连续，任意点极限不存在. 4.求值、判断奇偶周期、间断点题型，依托该函数定义进行分析.
【典例6】（24-25高三上·云南昆明·期末）德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，）在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ）．
A．值域为 B．
C． D．图象关于直线对称
【跟踪训练】
1．（25-26高三下·山东德州·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ）
A．存在，有
B．对任意，都存在，
C．若，，则有
D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形
2．（多选）（25-26高三上·山东青岛·期中）德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下面描述正确的有（ ）
A．为偶函数
B．
C．
D．不等式在区间上恒成立
3．（多选）（25-26高三上·安徽·阶段检测）德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，下列说法正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C．的值域为 D．是函数的一条对称轴
4．（25-26高三上·广东·期中）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得_______.
5．（25-26高三下·北京·三轮复习）定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数．该函数由世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是_______
①的值域为
②是偶函数
③存在无理数，使
④对任意有理数，有
1．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2026·江西南昌·模拟）将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为和轴）．设，，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）
A． B．4 C． D．
3．（25-26高三上·广东深圳·期中）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例：，.已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则当时,（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三上·安徽·阶段检测）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选）（25-26高三上·四川内江·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.若，，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．函数的值域为
C．当时，函数的值域为
D．若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是
7．（多选）（25-26高三下·湖南郴州·阶段检测）德国数学家狄里克雷（DⅠrⅠchlet，PeterGustavLejeune，1805-1859）在1837年给出了这样一个函数，这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的值与之对应就行了，不管这个法则是用解析式还是图像、表格等形式给出的．这个函数常称为狄里克雷函数．关于狄里克雷函数的性质，下面的表述中正确的是（ ）
A．或1
B．的值域为
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于直线对称
8．(多选)（25-26高三上·山东日照·期末）伯恩哈德 黎曼是德国著名数学家，他在数学分析和微分几何领域贡献卓著，开创的黎曼几何为广义相对论奠定了数学基础.他提出的黎曼函数是分析学中的经典函数，其定义域为，解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．
B．关于的不等式的解集为
C．
D．若，是内的有理数，则有
9．(多选)（2026高三下·全国·专题练习）如图，飘带函数的图象类似于飘带，已知图象上两个点，关于原点对称（点的横坐标），过点，分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为，，，.将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作；将图象沿轴折叠，得到一个的二面角，此时的最小值记作.则下列结论正确的是（ ）

A．
B．若，当图象沿轴折叠时，
C．
D．若，当图象沿轴折叠时，
10．（25-26高三上·福建宁德·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则标为高斯函数.例如，已知函数，则的值域为__________.
11．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论:
（1） ；
（2）函数 是偶函数；
（3） 函数图象上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形；
（4） 函数图象上存在三个点 ，使得 为等边三角形.
其中所有正确结论的序号是_____.
12．（2024·北京石景山·一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，．若数列，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的序号是______．
13．（25-26高一上·福建厦门·期中）定义在上的函数满足：对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数，成立，则称函数是“v型函数”．已知函数，，．
(1)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)设函数是“v型函数”，若方程存在两个不相等的实数，求的取值范围．
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