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解题大招10 构造模特函数，秒解抽象函数问题
知识点 常见的模特函数
所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数.抽象来源于具体.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法.
常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:
特殊函数模型 抽象函数性质
正比例函数
反比例函数
一次函数
幂函数
二次函数（a≠0） f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c
指数函数
对数函数 或f(xm)=mf(x)
正弦函数
余弦函数或
正切函数
耐克函数
此外，对于表格中未提及的抽象函数性质对应的试题，要注意举一反三，通过类比与归纳的手段得出相应的函数模型.
题型01 构造正比例函数
模型：，令 此模型有以下性质：
【典例1-1】已知定义在R上的函数f(x)满足，且f(x)是增函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由，令得，令得，f(x)是R上奇函数.又f(x)是增函数，所以不等式等价于，移项得，解集为，选B.
模特秒解：构造符合条件的模特函数（满足，且为增函数），代入不等式得，直接选B，10秒出答案.
【典例1-2】(2017·全国I，5)函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，则解得.故选D.
【跟踪训练】
1．已知f(x)定义域为R，满足，且，则（ ）
A. B.6 C. D.
【答案】A
【详解】令，得，令得，令得，又，所以，选A.
模特秒解：构造，由，故，，直接选A.
2．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【详解】对于①，令，则，所以，故①正确；
对于②，令，则，
所以，所以为奇函数，
又当时，，所以不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；
对于③，设，则，
则，
所以，所以是减函数，
所以在上一定存在最大值，故③错误；
对于④，因为为减函数，，
由，得，解得，
所以的解集为，故④正确.
故选：C.
模特秒解：令，则，为奇函数，①正确②错误；排除AD，
在上单调递减，最小值为，③错误，排除B；故选D.
3．（25-26高三·四川成都·阶段练习）若且函数在上单调，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，所以，所以，
令，所以，
所以且的定义域为关于原点对称，
所以是奇函数；
又因为且在上单调，所以在上单调递增；
又因为，所以，
所以不等式等价于，
又因为在上单调递增，所以，
故选：A.
模特秒解：令，则，故选A.
题型02 构造一次函数模型(图象不过原点)
模型：，构造.
【典例2-1】(2008·重庆) 若定义在 上的函数 满足: 对任意的 , 有 , 则下列说法 一定正确的是 ( ).
A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数
【答案】C
【详解】令, 显然满足 ,故选 C.
【典例2-2】（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数满足：对任意，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④
【答案】A
【分析】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误；
【详解】因为，故令，可得，
即，解得，故①正确；
令，，可得，又，
即，解得，再令，可得，
即，故②正确；
令，可得，即
因为，则，可得，所以，
令，不妨设，可得，即，
因为，则，则，可得，即，
所以为上增函数，故③错误；
令，可得，即，整理得，
所以为奇函数，故④正确；
故选：A．
模特秒解：令，由，得，所以，由此模特函数验证各选项，知A正确，迅速搞定.
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】根据条件判断出的奇偶性，然后构造函数结合条件判断出的奇偶性，再根据最值的关系可求得.
【详解】因为对任意实数，恒有，
令，所以，所以，
令，所以，所以，且定义域为关于原点对称，
所以为奇函数，
令，则，且定义域为关于原点对称，
所以为奇函数，
令，其中为奇函数，
所以为奇函数，由奇函数的图象特点可知，
所以，所以，
故选：D.
模特秒解：令, 则，令，则为奇函数，由奇函数的图象特点可知，所以，所以，
2．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，可得，可得，
令，则，对任意的、，
总有，则，这是柯西函数方程.
由于当时，，可得对于时，，表明是一个线性函数，
形式为，，因此.
因为，所以将代入，得到，即，
因此函数，又因为，
所以，即，
因此，不等式的解集为.
故选：D.
模特秒解：设，由，得k=2，即，从而速解原不等式.
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】任取，从而,
因为，所以，所以，则在R上单调递增．
不等式等价于不等式，
即．因为在R上单调递增，
所以，解得．故选：A.
模特秒解：令，由，得，所以，从而速解原不等式.
题型03 构造二次函数模型
模型：构造：. 证明： 此模型中，b的值需依赖其他条件来确定.
【典例3-1】（2019·新高考Ⅱ，8）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，则
；
，
（简单的估算）.
故.即选C.
【典例3-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】C
【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由B知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
模特秒解：由，得，
所以可设，由，所以,再代入各选项验证即可知C正确.
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·山东菏泽·模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．14 D．16
【答案】C
【分析】依题意利用赋值法代入计算即可得出结果.
【详解】根据题意令，则，可得，
再令，则，可得.
故选：C
模特秒解：由，得，
所以可设，由，所以,所以，C正确.
2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（ ）
A．25 B．125 C．625 D．15625
【答案】C
【详解】解法一：由题意取，可得
即知则.
解法二：令，则
，
所以，
即，所以，则.
模特秒解：由可构造满足条件的函数，
可以快速得到.故选：C.
3．(多选)（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．点与点关于原点对称
B．函数是奇函数
C．当时，
D．当时，
【答案】BD
【详解】取得，，取得，
所以，，故A错误；
因为，
所以函数是奇函数，故B正确；
取得，
所以，
，
所以，
若，则故C错误；
，故D正确．
模特秒解：因为，所以可设，再代入各选项验证.
题型04 构造三次函数模型
模型：构造：
【典例4】（2026·青海·二模）已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【详解】对于①，令，得，所以.
令，得，所以为奇函数，故①正确；
对于③，令，得，
所以，，故③错误.
对于②，因为，
所以， ，
，，，以上各式相加得
，所以，故②正确.
对于④，当时，，所以在上单调递减，故④正确.
故选：D.
模特秒解：由可构造满足条件的函数，又
可以快速得到，所以，再验证各选项.
【跟踪训练】
1．定义在R上的函数满足，则
A.5 B.6 C.7 D.
【答案】D
【详解】令，得；令，得，f(x)为奇函数，
对中的x求导：
令，得，令，则，
，，
设，由得 ，故，所以.
模特秒解：对比模型对应，设，
由 得 ，故，，和为.
2．函数定义在R上，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】对中的导：
令，得，令，则，
，故选.
模特秒解：对应 ，设 ，则 .由 得 ，故 .
3．(多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．在上单调递增 D．
【答案】BCD
【详解】对于A，取，得，解得，
取，则，即，又，
因此为奇函数，A错误；
对于B，，
解得，因此，B正确；
对于C，，则，，
，函数在上单调递增，C正确；
对于D，取，则，求导得，
于是，解得，由，
求导得，则，，
又函数的周期为4，，
所以，D正确.
故选：BCD
模特秒解：题目给出的抽象函数模型为：,与通用三次函数模型 对比，可得，即,因此，可设函数为：
,则，由代入得：，
验证：，与题目条件一致，所以，利用此函数验证各选项即可.
题型05 构造指数函数模型
模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则.
【典例5-1】已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)f(y)，且f(1)=2，则f(3)=（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】C
【详解】令x=y=1，得f(2)=f(1)·f(1)=4；再令x=2,y=1，得f(3)=f(2)·f(1)=8.故选C.
模特秒解：构造模特函数f(x)=2x，直接代入得f(3)=23=8，秒出答案选C.
【典例5-2】已知f(x)满足对任意x,y都有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0时f(x)>1，则下列说法正确的是（ ）
A.f(x)是奇函数 B.f(x)是减函数 C.f(0)=0 D.f(2)>f(1)
【答案】D
【详解】令x=y=0得f(0)=f (0)，故f(0)=0或1，若f(0)=0，则对任意x，f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0，与x>0时f(x)>1矛盾，故f(0)=1，C错误；令y=-x得f(0)=f(x)f(-x)=1，故，为非奇非偶函数，A错误；设x10，f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)f(x2-x1)>f(x1)，故为增函数，B错误；f(2)=f(1+1)=f (1)，因f(1)>1，故f(2)>f(1)，D正确.
模特秒解：构造模特函数f(x)=2x，逐一验证：A选项f(-x)=2-x≠-2x，错误；B选项f(x)=2x是增函数，错误；C选项f(0)=1，错误；D选项f(2)=4>2=f(1)，正确，直接选D.
【跟踪训练】
1.(多选)已知f(x)满足f(a+b)=f(a)f(b)，且f(2)=4，下列说法正确的是（ ）
A.f(1)=2 B.f(0)=1 C.f(-2)=4 D.f(x)是奇函数
【答案】AB
【详解】f(2)=f(1+1)=f (1)=4，所以f(1)=±2，又因为，所以f(1)=2，A正确；令x=y=0，得f(0)=f (0)，所以f(0)=0或1，若f(0)=0，则对任意x，f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0，与f(2)=4矛盾，故f(0)=1，B正确；令x=2，y=-2，得f(0)=f(2)f(-2)=1，所以，C错误；令y=-x，得f(0)=f(x)f(-x)=1，所以，f(x)是非奇非偶函数，D错误，答案选AB.
模特秒解：构造模特函数f(x)=2x，f(1)=2，A正确；f(0)=1，B正确；，C错误；f(-x)=2-x≠-2x，D错误.
2.（多选）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)，且f(1)=2，下列说法正确的有（ ）
A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(2x)=[f(x)]
【答案】ACD
【详解】令x=y=0，得f(0)=f (0)，所以f(0)=0或1，若f(0)=0，则对任意x，f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0，与f(1)=2矛盾，故f(0)=1，A正确；令y=-x，得f(0)=f(x)f(-x)=1，所以，f(x)是非奇非偶函数，B错误；设x10，f(x2)=f(x1+(x2-x1))=f(x1)f(x2-x1)>f(x1)，，因为且f(1)=2>1，所以f(x)在R上单调递增，C正确；f(2x)=f(x+x)=f(x)f(x)=[f(x)] ，D正确，答案选ACD.
模特秒解：构造模特函数f(x)=2x，f(0)=1，A正确；f(-x)=2-x≠-2x，B错误；f(x)=2x在R上单调递增，C正确；f(2x)=22x=(2x) =[f(x)] ，D正确，答案选ACD.
3．（多选）已知函数的定义域为R，值域为，，则（ ）
A． B．
C． D．是函数的极小值点
【答案】AC
【分析】由已知利用赋值法分别检验各选项即可判断.
【详解】取，则，且，故，A正确；
取，符合题意，此时，且在上单调递增，不存在极值点，B和D错误；
取，则，即，C正确，
故选：AC．
题型06 构造对数函数模型
模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 特征：.
【典例6】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足且，有，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，即，
因为，
所以，可转化为，
即，即.
因为满足且，有，
所以在区间上单调递增，
即，解得，
即不等式的解集为.故选：C.
模特秒解：构造模特函数，则由，得易求得a=8，
即，再秒解该不等式.
【跟踪训练】
1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数
【答案】B
【详解】函数定义域为，关于原点对称.
令得，即，
令得，即，
令，得，即，
所以是偶函数，
故选：B．
模特秒解：构造模特函数，符合条件：对任意不等于0的实数，都有，
且为偶函数，故选B.
2．已知f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且x>1时f(x)>0，则下列说法正确的是（ ）
A.f(x)是奇函数 B.f(x)是减函数 C.f(1)=0 D.f(4)=2f(1)
【答案】C
【详解】令x=y=1得f(1)=2f(1)，故f(1)=0，C正确；定义域为x>0，无奇偶性，A错误；设x1模特秒解：构造f(x)=lnx，验证得f(1)=0，其余选项均错误，选C
3．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 .
【答案】答案不唯一
【详解】由题意可知，可变化为的形式，由此可想到对数函数，
又因为在上是减函数且，
所以满足条件的一个函数可取，
故答案为：(答案不唯一).
题型07 构造幂函数模型
模型1：若，则可设 模型2：若，则可设.
【典例7】(25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．可能是单调递减函数
C．为奇函数 D．若，则
【答案】B
【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时.
对于A，令，则或，
若，则对，取，都有，不满足单调函数性质，
故，故A正确；
对于B，令，则或
由，则舍去，得，
因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误；
对于C，令，则或（舍），
则，取，
则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确；
对于D，令，则，
令，则，
则，故D正确.
故选：B
模特秒解：构造，因为定义域为R,所以所以为单调递增函数，B错误.
【跟踪训练】
1．已知函数f(x)不是常函数，且满足f(xy)=f(x)f(y)，且f(x)是奇函数，则f(-1)=（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】A
【详解】f(1)=f (1)，解得f(1)=0或1，若f(1)=0，则，为常函数，不合题意，故f(1)=1，又f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-1，选A.
模特秒解：构造，显然f(-1)=-1，故选A.
2．（多选）已知定义在上的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（）
A． B．为单调递减函数
C． D．
【答案】ACD
【详解】令，则，已知，且在上，若 为幂函数形式，函数值恒正，故，A正确；令，则 ，
由，且，可知 越大，越大，故单调递增，B错误；令 ，则，令 ，得 ，故 ，C 正确；对于D，用数学归纳法证明：当n=1时，，成立；
假设时，，则时，，成立.
故 D 正确.故选ACD.
模特秒解：构造幂函数模型:,由 , 故，再代入各选项秒解.
3．已知函数定义在上，对任意，有，且，则 ， .
【答案】 .
【详解】令，则 .
因 在 上，由 ，且为幂函数形式时函数值恒正，故.
令，先求 ：令，得 ，则.
模特秒解：构造幂函数模型， ，由，得，再代值秒解.
题型08 构造余弦或双曲余弦函数模型
模型1：若，则， 或 模型2：若，则，或 附：双曲余弦函数特征：. 模型3：若，则.
【典例8-1】（2022·新高考Ⅱ，8）已知函数的定义域为，且，（1），则　　
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【详解】取符合条件，则，且．由于22除以6余4,
所以
【典例8-2】(2026湖南A佳5月大联考) 定义在上的函数满足：
，，若为偶函数，且
恒大于 0，则下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数
B．
C．
D．若 ，则
【答案】ABD
【解析】令 ，得 ，因为 和 0 ，则 ．令 ，得 ，故 ，则 为奇函数.故选项 A正确；令 ，得 ，因为 ，则 令 ，得 ，故选项 B 正确；
用＂＂代替＂＂，得 ，
两式相乘得 ，若等于 ，则 ，故选项 C 错误；令 ，相加得 ，用2x代替x,得 ，继续操作得，
令 ，得，由，联立得 ．故选项 D 正确．故选择 ABD．
模特秒解：取 符合题意，此时为奇函数，故选项 A 正确；，故选项B正确；
，
而 ，不恒相等，故选项C错误；若，则
．故选项D正确．故选择AB.
D ．
【跟踪训练】
1．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【详解】由题意知函数的定义域为，且，，
令，则，即，故为偶函数；
又由为奇函数，可得，令，则，得，
又由可得的图象关于点成中心对称，则；
又由可得，又结合为偶函数，
则，故，即4为的周期，
故，则，
故
故选：B.
模特秒解：设，则为奇函数，故，
令，其最小正周期T=4，且，
所以故.
2．（多选）（25-26高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．的图象关于对称
【答案】BC
【详解】方法一：由题可知
令，，则，
即，可得，故A错；
令，则，即，
又因为，，可得，故B正确；
令，可得，故C正确；
若的图象关于对称，则函数满足，
而，，显然，故D错，
令，可得，
的图象关于对称.
故选：BC.
模特秒解：设，则由，得，
3．(多选)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]模特秒解：由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
题型9 正弦与双曲正弦型
【典例8】（2027高三·江西九江·阶段测试）已知函数，任意，满足，且，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【详解】模特秒解：依题，吻合正弦平方差公式，
结合，构建特殊函数满足题设条件，
则知该函数是以4为周期的函数，也是一个奇函数，有，
依，可得，
则，
所以.
【跟踪训练】
1.（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【详解】令，可得，所以，
令，可得，
因为不恒为0，所以，所以是奇函数，
因为，
所以.
故选：B.
模特秒解：依题意可令，
所以.
故选：B.
2．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数
【答案】C
【详解】对A，令，则，得，故A错误；
对B，令，得，
由整理可得，
将变换为，则，
故，故，故是奇函数，故B错误；
对C，设，则，
且
，故，则.
又，是奇函数，故是增函数，故C正确；
对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误.
故选：C
模特秒解：令，则易知是增函数，几秒搞定选C.
3．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．当时， D．当时，
【答案】D
【详解】对于A，
令，则，得，
令，得，
由整理可得，
由题干可知不恒为0，故，
即，故是奇函数，不是偶函数，A错误；
对于B，设，则，
则，
且，
故，则，
又，是奇函数，故是增函数，
由是增函数可得不是周期函数，故B错误；
对于C，时，，，
，，C错误；
对于D，时，，
，，D正确.
故选：D.
模特秒解：令，易知是增函数，而
题型09 构造正切函数模型
模型：若，则
【典例9】已知函数f(x)满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】令，得，直接得A，选A.
模特秒解：构造，左边，正好是A选项，选A.
【跟踪训练】
1．已知f(x)满足，则函数是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶 D. 既是奇又是偶
【答案】A
【详解】令得，令得，奇函数，选A.
模特秒解：构造，，奇函数，
2．（多选）已知定义在D上的函数f(x)满足：对任意且，恒有，且，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C.f(x)是定义域上的奇函数 D.
【答案】ABC
【详解】令，代入等式得，整理得，因，故，A正确；令，代入得，故，f(x)为奇函数，C正确；
代入，得，B正确；设，则，解得，D错误.
模特秒解：直接构造正切型函数，由得.代入验证：（A对），（B对），正切函数为奇函数（C对），（D错），直接选ABC.
3．已知定义在上的函数$f(x)$满足：对任意且，恒有，且当时，0A. B. f(x)在上单调递增
C. f(x)是定义域上的偶函数 D.
【答案】ABD
【详解】原式变形为，令得，A正确；
令得，故f(x)为奇函数，，D正确、C错误；
任取，则，，，因f(x)在(0,2)上小于1、在上大于-1，故分母大于0，且，故$f(x)$单调递增，B正确.
模特秒解：构造正切型函数，验证当时，值介于0到1，完全匹配条件.代入选项：（A对），正切函数在单调递增（B对），正切为奇函数（C错、D对），直接选ABD.
题型10 构造反比例函数模型
模型：若.
【典例10】（24-25高三·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，
令，得，又，，
，
再令，，，
.故选：B
模特秒解：令，则由②，得，解得k=2，即，所以.
【跟踪训练】
1.（25-26高三·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【详解】因为，取可得，
又，可得，
因为，取可得，所以，又，故，由，取，，可得，
故选：D.
模特秒解：令，则由，得，解得k=2，即，所以.故选D.
2.（多选）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．在定义域内单调递减
【答案】AC
【详解】令，则，解得，故A正确；
因为，即，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
故，故B错误；
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，则，
令代换，则，
由两式可得，化简可得，所以为奇函数，故C正确；
因为在单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减，
但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故D错误.
故选：AC
模特秒解：令，则由，得k=1,即，再代入验证各选项正误.
限于篇幅，其他类型的模特函数问题就不一一讲述了，同学们可以仿照本文自行归纳并做到灵活应用。日常刷题时多对标初等原型函数，熟记一次、二次、指数、三角四类常见模型的函数方程特征，遇到抽象函数先试构造模型快速预判答案，再用赋值法严谨验算.长期坚持归纳总结，就能跳出抽象函数的思维误区，实现小题速解、大题稳拿分.
1．（25-26高三·云南玉溪·阶段练习）设定义在R上的函数对任意实数x，y满足，且，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】B
【详解】由题意令，则有，故得
令，，则有
又∴∴
故选:B
模特秒解：令，由，得k=2，即，所以
2（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，则，所以.
令，则，所以.
所以函数为奇函数.
设，且，则.
由题意知，当时，，所以.
因为，所以有.
即，所以在上是减函数.
不等式，
根据单调性可得，
化简得，
解得.故选：C.
模特秒解：令，由，得.
3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】分别令，，得出与的关系后可得结论．
【详解】令，得；
令，，得；
令，得.
将以上三式相加得，即.
故选：A．
模特秒解：设，则
联立，同类项系数对应相等：
，所以，即
,从而速求.
4.(2020·新高考I,8)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
所以在上也是单调递减,且,.
故可令
设，则
所以由，得
解得或.故选D.
5．（2025高三·北京·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C．为增函数 D．为奇函数
【答案】B
【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足，
令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确；
令，可得即，当时，，即，
设，即，即有，
则在上递增，故C正确．
故选：B．
模特秒解：令，由，得，所以，由此模特函数验证各选项，知B正确，迅速搞定.
6．定义在上的函数满足：对任意，且当时，，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，则，由条件,又，故 在 上单调递增,
，由单调性得,解得.
模特秒解：构造，所以，
从而.
7．（25-26高三上·山西临汾·期末）定义在上的函数不恒为0，对任意均有，且.则下列说法正确的是（ ）
A． B．周期为4
C． D．为奇函数
【答案】B
【详解】对于选项A，令，则，
整理得，
解得或；
若，令，则，
即，这与函数不恒为0矛盾，
所以，选项A错误；
对于选项B，令，
则，
所以；
用代替，则，
再用代替，则；
所以函数周期为4，选项B正确；
对于选项C，因为函数周期为4，
所以，
令，则，即，
因为，
所以，所以，选项C错误；
对于选项D，令，则，
即，
因为，所以，即，
为偶函数，选项D错误.
故选：B
模特秒解：设模特函数：，满足，符合题干条件,再代入各选项秒解.
8．（多选）（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A． B．或
C．是上的增函数 D．是上的增函数
【答案】AC
【详解】在中，
令，得，即．
因为函数为非常数函数，所以，A正确．
令，则．
令，则，①
令，则，②
由①②，解得，从而，B错误．
令，则，即，
因为，所以，所以C正确，D错误．
故选：AC
模特秒解：题目给出的抽象函数模型为：,与通用三次函数模型 对比，可得，即,因此，可设函数为：
,再验证各选项.
9．（25-26高三上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论：
①；
②是上的偶函数，
③若，则；
④函数在上是减函数.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【分析】通过对分别赋值，逐个分析四个结论.
【详解】对于①，令，则，当时，，所以，所以，故①正确；
对于②，令，则，，
由当时，，所以，所以，得，
故②错误；
对于③，令，则，得，
令，则，得，
故③正确
对于④，设，则，
当时，，所以，
由已知得，
所以，故④正确.
故答案为：①③④
模特秒解：令，再验证各选项的对错.
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解题大招10 构造模特函数，秒解抽象函数问题
知识点 常见的模特函数
所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数.抽象来源于具体.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法.
常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:
特殊函数模型 抽象函数性质
正比例函数
反比例函数
一次函数
幂函数
二次函数（a≠0） f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c
指数函数
对数函数 或f(xm)=mf(x)
正弦函数
余弦函数或
正切函数
耐克函数
此外，对于表格中未提及的抽象函数性质对应的试题，要注意举一反三，通过类比与归纳的手段得出相应的函数模型.
题型01 构造正比例函数
模型：，令 此模型有以下性质：
【典例1-1】已知定义在R上的函数f(x)满足，且f(x)是增函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【典例1-2】(2017·全国I，5)函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．已知f(x)定义域为R，满足，且，则（ ）
2．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．（25-26高三·四川成都·阶段练习）若且函数在上单调，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型02 构造一次函数模型(图象不过原点)
模型：，构造.
【典例2-1】(2008·重庆) 若定义在 上的函数 满足: 对任意的 , 有 , 则下列说法 一定正确的是 ( ).
A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数
【典例2-2】（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数满足：对任意，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型03 构造二次函数模型
模型：构造：. 证明： 此模型中，b的值需依赖其他条件来确定.
【典例3-1】（2019·新高考Ⅱ，8）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则　　
A． B．
C． D．
【典例3-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·山东菏泽·模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．14 D．16
2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（ ）
A．25 B．125 C．625 D．15625
3．(多选)（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．点与点关于原点对称
B．函数是奇函数
C．当时，
D．当时，
题型04 构造三次函数模型
模型：构造：
【典例4】（2026·青海·二模）已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④
【跟踪训练】
1．定义在R上的函数满足，则
A.5 B.6 C.7 D.
2．函数定义在R上，且，则（ ）
A. B. C. D.
3．(多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．在上单调递增 D．
题型05 构造指数函数模型
模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则.
【典例5-1】已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)f(y)，且f(1)=2，则f(3)=（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
【典例5-2】已知f(x)满足对任意x,y都有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0时f(x)>1，则下列说法正确的是（ ）
A.f(x)是奇函数 B.f(x)是减函数 C.f(0)=0 D.f(2)>f(1)
【跟踪训练】
1.(多选)已知f(x)满足f(a+b)=f(a)f(b)，且f(2)=4，下列说法正确的是（ ）
A.f(1)=2 B.f(0)=1 C.f(-2)=4 D.f(x)是奇函数
2.（多选）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)，且f(1)=2，下列说法正确的有（ ）
A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(2x)=[f(x)]
3．（多选）已知函数的定义域为R，值域为，，则（ ）
A． B．
C． D．是函数的极小值点
题型06 构造对数函数模型
模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 特征：.
【典例6】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足且，有，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（2027高三·全国·专题练习）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数
2．已知f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且x>1时f(x)>0，则下列说法正确的是（ ）
A.f(x)是奇函数 B.f(x)是减函数 C.f(1)=0 D.f(4)=2f(1)
3．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数 .
题型07 构造幂函数模型
模型1：若，则可设 模型2：若，则可设.
【典例7】(25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．可能是单调递减函数
C．为奇函数 D．若，则
【跟踪训练】
1．已知函数f(x)不是常函数，且满足f(xy)=f(x)f(y)，且f(x)是奇函数，则f(-1)=（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
2．（多选）已知定义在上的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（）
A． B．为单调递减函数
C． D．
3．已知函数定义在上，对任意，有，且，则 ， .
题型08 构造余弦或双曲余弦函数模型
模型1：若，则， 或 模型2：若，则，或 附：双曲余弦函数特征：. 模型3：若，则.
【典例8-1】（2022·新高考Ⅱ，8）已知函数的定义域为，且，（1），则　　
A． B． C．0 D．1
【典例8-2】(2026湖南A佳5月大联考) 定义在上的函数满足：
，，若为偶函数，且
恒大于 0，则下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数
B．
C．
D．若 ，则
【跟踪训练】
1．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
2．（多选）（25-26高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．的图象关于对称
3．(多选)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型9 正弦与双曲正弦型
【典例8】（2027高三·江西九江·阶段测试）已知函数，任意，满足，且，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【跟踪训练】
1.（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
2．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数
3．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．当时， D．当时，
题型09 构造正切函数模型
模型：若，则
【典例9】已知函数f(x)满足，则（ ）
A. B. C. D.
【跟踪训练】
1．已知f(x)满足，则函数是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶 D. 既是奇又是偶
2．（多选）已知定义在D上的函数f(x)满足：对任意且，恒有，且，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C.f(x)是定义域上的奇函数 D.
3．已知定义在上的函数$f(x)$满足：对任意且，恒有，且当时，0A. B. f(x)在上单调递增
C. f(x)是定义域上的偶函数 D.
【答案】ABD
【详解】原式变形为，令得，A正确；
令得，故f(x)为奇函数，，D正确、C错误；
任取，则，，，因f(x)在(0,2)上小于1、在上大于-1，故分母大于0，且，故$f(x)$单调递增，B正确.
模特秒解：构造正切型函数，验证当时，值介于0到1，完全匹配条件.代入选项：（A对），正切函数在单调递增（B对），正切为奇函数（C错、D对），直接选ABD.
题型10 构造反比例函数模型
模型：若.
【典例10】（24-25高三·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1.（25-26高三·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
2.（多选）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．在定义域内单调递减
限于篇幅，其他类型的模特函数问题就不一一讲述了，同学们可以仿照本文自行归纳并做到灵活应用。日常刷题时多对标初等原型函数，熟记一次、二次、指数、三角四类常见模型的函数方程特征，遇到抽象函数先试构造模型快速预判答案，再用赋值法严谨验算.长期坚持归纳总结，就能跳出抽象函数的思维误区，实现小题速解、大题稳拿分.
1．（25-26高三·云南玉溪·阶段练习）设定义在R上的函数对任意实数x，y满足，且，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
2（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4.(2020·新高考I,8)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5．（2025高三·北京·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C．为增函数 D．为奇函数
6．定义在上的函数满足：对任意，且当时，，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26高三上·山西临汾·期末）定义在上的函数不恒为0，对任意均有，且.则下列说法正确的是（ ）
A． B．周期为4
C． D．为奇函数
8．（多选）（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A． B．或
C．是上的增函数 D．是上的增函数
9．（25-26高三上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论：
①；
②是上的偶函数，
③若，则；
④函数在上是减函数.
其中所有正确结论的序号是__________.
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