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解题大招12 十二个大招速求函数的值域或最值
知识点01 函数的值域
函数对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合叫作函数的值域，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值．通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了．
知识点02 函数的最值
1．函数的最大值
（1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标．
2．函数的最小值
（1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．
知识点03 求值域的一些极致秒杀公式（拓展）
1．二次完全平方比一次型：已知，其最小值在处取得，即其完全平方项零点、一次项答点、极值点（使其导函数为零的点）依次成等差数列.
2．可分解二次比完全平方型：已知，若恰好有 ，则当 时，函数取最值.
3．一次比缺一次项二次型：已知，则当时，函数取最值．
4．所有二次比二次型：已知，
则方程 的解即为函数的极值点．而函数的最值往往在端点处或极值点处取得，另外，行列式的计算规则为.
大招01 观察法
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域或最值.
【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
所以
【跟踪训练】
1.（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．R
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
则，则，则，
则函数的值域为.故选：C
2.（24-25高一上·云南丽江·月考）函数在的值域为 .
【答案】
【解析】因为，则，可得，
所以在的值域为.
3.（25-26高三上·湖北·期中）已知函数满足，则函数值域为 .
【答案】
【解析】令，则，所以，
所以的解析式为，其中.
当时，，所以值域为.
大招02 配方法
对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域或最值.
【典例2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知集合 ，则__________．
【答案】
【解析】由，
，
所以
【跟踪训练】
1. （25-26高三上·河南开封·月考）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
故，故函数值域为.
故选：B
2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】得，故，
，故，
故
故选：A
3.（25-26高三上·江西南昌·月考）函数的定义域为，则函数的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，要有意义，则需，即，
即函数定义域为，
又，对称轴方程为，
所以当时，，当时，，
所以函数值域为，
大招03 图象法
作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域或最值.
【典例3】（25-26高三上·浙江杭州·期中）若，记，则函数的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．12
【答案】C
【解析】
则的图象如下：
∴当或时，有最小值3.故选：C.
【跟踪训练】
1．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【解析】画出，，的图象，观察图象可知，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的最大值在时取得为，故B正确．
2. （25-26高三上·河南开封·月考）设函数．
(1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象；
(2)写出函数的单调递增区间和值域．
【解析】（1）当时，，
当时，，
所以，
其图象如下所示：
（2）因为，
由图象可得的单调递增区间为，值域为.
3.给定函数，，．用表示，中的较大者，即.

(1)请用图象法表示函数，注：画出上的图象即可；
(2)写出函数的值域；
(3)若，则求a的值．
【解析】（1）由，得，或，
得到；
得到或，
故，故的图象如图：

（2）由图象可知当时，取最小值，故值域为．
（3）当时，，∴．
当或时，或（舍）
故或.
大招04 分离常数法
适用于形如的分式函数，第一步，对函数变形成形式；第二步，求出函数在定义域范围内的值域或最值.
【典例4-1】（25-26高三上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】函数，单调递减，
所以当时，函数的最大值是.
故选：B.
【典例4-2】（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
由是奇函数即，
所以，解得，
则，
因为且，所以，，则，
即，可得，
所以函数的值域为．
【跟踪训练】
1.（25-26高三上·重庆云阳·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，所以，故值域为．故选：D
2.（24-25高一上·江苏徐州·月考）函数的值域为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
当时，.
则.故选：B.
3．函数的值域是 ．
【答案】
【解析】函数有意义，则，解得且，
显然，则，由，得，
所以函数的值域是．
4．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，用表示不超过的最大整数，则函数的值域为________.
【答案】
【解析】，
∵，∴，∴，
∴，
即，
∴.
大招05 判别式法
将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如的函数
将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的值域或最值.
【典例5】（2026高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ．
【答案】/0.25
【解析】原函数可以化简为在时有解，
当时，，
当不等于0时，，
解得且不等于0，
故所求最大值为.
【跟踪训练】
1.（25-26高三上·江苏扬州·期中）若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设是中的最小值，则由得，
由已知，，
所以是方程的两根，
所以，又，所以，，从而，
故选：D．
2．（2026高三·四川成都·期中）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】由解析式知：函数的定义域为R，且，
整理可得，即该方程在上有解，
当时，，显然成立；
当时，有，整理得，即，
综上，原函数值域为.
故答案为：.
3．（2025高一·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ．
【答案】
【解析】因为，整理得，
可知关于x的方程有正根，
若，则，解得，符合题意；
若，则，
可得或，
解得或且，则或或；
综上所述：或，
即函数，的值域为.
故答案为：.
大招06 换元法
通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域或最值.
【典例6】（2026高三·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，，
则，
令，，
则，所以函数的值域为.
故选：B
【跟踪训练】
1．（25-26高一·福建厦门·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，令，则，
则函数变为，
在上单调递减，
其中，，
故值域为.
故选：D
2．（2026高三·辽宁·期中）函数的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】设，则，
即，
因为，所以当时，的最大值为，
故选：B.
3．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
因为，
所以，即：，
所以，
解得：，
又因为，为正实数，
所以，
所以的最大值为.
故选：C.
4．（25-26高一·全国·假期作业）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，解得，即函数定义域为，
则，
设，则，显然在上为减函数，
故当时，即时，取到最大值4，则函数的最大值为2；
当时，即时，取得最小值2，则函数的最小值为.
故函数的值域为.
大招07 单调性法
求函数值域或最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域或最值.
【典例7】（25-26高三上·全国·期末）函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方法一：根据函数的单调性进行判断；方法二：利用换元法把函数转化成二次函数，再求其值域.
【解析】方法一：由得定义域为；
因为单调递增，单调递减，
所以单调递增；
所以函数值域为．
方法二：令，则，，
所以，
函数在上单调递减，且时，函数取到最大值2，
所以函数值域为，
故选：A．
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以在上的最小值为.
故选：A
2.（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，函数的定义域为，
且由于在区间上单调递增，
在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
所以．
故选：D．
3．（2026·湖南·三模）已知函数且在上的值域为，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】函数在上具有相同的单调性，
所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增，
所以，解得，故选C.
大招08 基本不等式法
形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可；
【典例8】（25-26高三上·广东佛山·期中）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，（当且仅当时取等号）；
当时，（当且仅当时取等号）；综上所述：的值域为.故选：C.
【跟踪训练】
1．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（ ）
A．2 B．4
C．3 D．6
【答案】C
【解析】，，
，
当且仅当时，即时等号成立，
因此函数最小值为.
2．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）函数，的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】D
【解析】因为，
所以
，
又，，
所以当且仅当，即时等号成立．
3．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】，
令，则时，，
，函数在上单调递减，
若，则，
若，则，
故函数值域为．
故答案为：.
4．（2027高三·全国·专题练习）函数的值域为
【答案】
【解析】因为，所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
故函数的值域为.
大招09 反解法
根据函数解析式反解出或x的关系式，根据或x的关系式1的取值范围转化为关于的不等式(组)求解
【典例9-1】（2026·河北雄安·三模）函数的最大值为________．
【答案】/
【解析】由，则，即，
即，则，即，
解得，故函数的最大值为.
【典例9-2】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）函数的值域是__________.
【答案】
【解析】方法一：.
函数的定义域为，则且，
当时，，，；
当时，，，；
综上，函数的值域是.
方法二：令，则.
因为，所以，即，
解得或.
故函数的值域是.
故答案为：.
【跟踪训练】
1.（24-25高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得或，则函数定义域为，
由，得，
所以，得，
显然，所以，
所以，
由，得，
所以，所以，
，解得或，
由，得，，解得，
由，得，，解得，
综上，或，
所以函数的值域为，故选：D
2．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为______；
【答案】
【解析】方法一：，因为，则，所以 ，即，
所以，故函数的值域为.
方法二：令，得解得
3．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解法1：，因为，所以．
解法2：由于，则，故．
（2）解法1：，因为，所以，故．
解法2：由于，则，因为，所以，解得，即．
大招10 平方法
针对含两个根号的函数，先确定定义域.对函数y平方，展开后分离根号项，将根号内表达式转化为二次函数求其范围，进而得到的范围，结合y的正负性，最终确定函数的值域或最值.
【典例10】（2027高三·全国·专题练习）函数的值域为
【答案】
【解析】由已知得函数的定义域为，
由可得，
又，所以，
可得，
又，可得，
所以函数的最小值为，最大值为.
【跟踪训练】
1．（2025高一·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，解得，
所以函数的定义域为，
则，因为，所以，
所以，则，所以，
显然，所以，即该函数的值域为.
故选：D
2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 ．
【答案】
【解析】函数定义域，
，
设，开口向下，对称轴为，
当时，，
当或时，，
所以，所以，
所以.
大招11 赋值法
对于抽象函数的值域问题，往往利用赋值法求出函数的解析式，再求其值域，或借助函数的单调性和奇偶性通过赋值求得其最值，从而得到其值域
【典例11】（2026·河南许昌·三模）已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
【答案】C
【解析】已知是偶函数，所以①
已知是奇函数，所以，即②
由①得，
代入②：.
整理得，.
令，，则，.
对勾函数在递增，区间在递增区间内.
最小值在处：.
【跟踪训练】
2．(多选)（25-26高一上·浙江金华·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若存在使得，则的最小正周期为
C．为偶函数
D．的值域为
【答案】AC
【解析】选 项 A，令，则有，
又因为，所以；
选 项 B，令，则有，
因为，从而，则，
所以，
故是的一个周期，但不一定是最小正周期；
选 项 C，令，则有，
所以，故为偶函数；
选 项 D，取，满足抽象方程，
但是其值域为，不符题意.
故选：AC.
2．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知满足，且，则的值域为_____
【答案】
【解析】由函数满足，且，
令，可得，因为，可得，
再令，可得，所以，
令，可得，即，
再令，可得，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以的值域为.
故答案为：.
3．（25-26高三下·河南焦作·阶段检测）函数满足：对任意，，且，则的最小值是________．
【答案】3900
【解析】因为，
所以，
设，那么，
因为，所以
，
即，则，
取，得到，所以.
所以，
所以的最小值是3900．
故答案为：3900.
大招12 构造方程或不等式（组）法
对于由函数值域（或最值）求参的问题，往往先确定函数值域表达式，转化为方程（或不等式）有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性.
【典例12】（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，当且仅当时取等号.
当时，在上单调递减，此时的值域为，
因为在定义域内有最小值，所以.
故实数的取值范围为.
【跟踪训练】
1．（2026高三·河北保定·阶段练习）设函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数，由对勾函数的性质可知，
由于在上单调递减，在上单调递增，
且注意到，，，
所以所求a的取值范围是．
故选：D
2．（2026高三·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意，，又，解得，则；
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
当，函数在上单调递增，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
3．（2026高二·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ．
【答案】5
【解析】函数的对称轴方程为，
所以函数在上为减函数，
又函数在上的值域也为，
则，即，
由①得：，代入②得：，解得：（舍），．
把代入得：．
4．（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则的范围为 ．
【答案】
【解析】因为单调递增，所以，，
故有两个不同的根，
令，，则，原方程化为，
设，转化为在的图象与的图象有两个交点的问题，
因为，二次函数对称轴为且，
由图可知，要有两个交点，则，解得，即．
2．（2026高三·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，在上单调递减，
此时；
当时，．
①若，则在上单调递增，此时，
又函数的值域，不合题意；
②若，则，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域，则，
解得．综上所述：．
故选：C.
1．（2026·福建·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是增函数，所以；
因为，所以.
2．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
则或，
当时，，
当时，，
综上，此函数的值域为．
3．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，得，
所以可以转化为．
因为二次函数在上单调递增，
当时，，
所以函数的值域为．
故选：D．
4．（2026高三·全国·竞赛）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】变形函数解析式得到，问题转换成点到点和轴的距离之和，即可求解.
【解析】将变形可得，
设，则的轨迹方程为，设，
则表示抛物线上的点到点和轴的距离之和，
过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点，
故，
所以，
故选：B.
5．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】函数，
因为单调递增，所以；
因为单调递减，所以；
所以当时，；当时，；
则的最大值与最小值之差为.
6．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知函数的值域是，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】因为，且，所以函数的定义域为．
设，，则是直线的斜率．
点是半圆上的动点．如图，
设点，则．
设切线的方程为，即．
由圆心到切线的距离，解得（舍去）或．
由图可知，即的值域为，
则．
故选：A.
7.（25-26高三上·重庆·阶段检测）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
设，
,
，
即函数的值域为，
故选：C
8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，在上单调递增，
所以当时，单调递增，则.又函数的值域为，
所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以.
当，即时，函数在上单调递增，时，，
当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是.
9．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C．-1 D．
【答案】A
【分析】利用导数分析的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合的最小值，求得的最小值.
【解析】函数的定义域为，.
当时，；当时，.
在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值.
又当时，，且，
若，，则，
所以，即.
所以.
所以当，即时，取得最小值，最小值为.
10．(多选)（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C． D．在上的最小值为-6
【答案】BCD
【解析】对于A，令，可得，可得，
令，可得，即，
因为，令，可得，所以，
令，可得，
所以，所以A错误；
对于B，令，则，
因为，所以，
所以函数为奇函数，即为奇函数，所以B正确；
对于C，令，可得，即（*），
由，可得，
将（*）代入上式，整理得（**），
又由，可得，
将（**）代入上式，整理得，所以C正确；
对于D，设且，则，
因为当时，，所以，
又由，
则，即，
所以函数在上为减函数，所以在上的最小值为，
则
，
因为，所以，所以D正确.
故选：BCD.
11.（25-26高三上·江苏南京·期中）函数的最大值为 ．
【答案】/
【解析】，因为，
所以，当时等号成立，所以．
12．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于__________．
【答案】/0.5
【解析】，①．
则交换可得，,
化为②
由①②可得③，
③中令可得，
化简可得，当时等号成立，
所以的最大值等于．
故答案为：
13．（2026·北京房山·二模）我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为____．
【答案】
【解析】设圆柱底面直径为，高为，由题意得，即，
圆柱容积：，
求导得：，
令，在内得临界点：
当时，单调递增；
当时，单调递减；
因此时取得最大值，代入得：.
14．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知实数满足，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先换元设，原等式即为，设，再根据直线与圆的位置关系求出的范围，并求出，将表示成关于的函数，利用导数分析其单调性，即可解出.
【解析】设，由题意得，
即，
在平面直角坐标系中表示半圆（除去两点），令，画出图形如下：
当直线经过圆心时，；
当直线与半圆相切时，
则圆心到直线的距离：，
解得（舍去），故.
因为，所以，
所以，
令，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，，综上所述，的取值范围为.
15．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数，．若，，，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数.
令，
当时，，，所以.
当时，，当且仅当，即时等号成立.
所以由对勾函数的性质，得在上单调递增，
所以.
所以，.
函数是单调递增函数，
所以当时，.
若，，，则是的子集，
所以，解得.
故a的取值范围是.
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解题大招12 十二个大招速求函数的值域或最值
知识点01 函数的值域
函数对应关系对自变量在定义域内取值时相应的函数值的集合叫作函数的值域，其中，表示“是的函数”，指的是为在对应关系下的对应值．通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了．
知识点02 函数的最值
1．函数的最大值
（1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标．
2．函数的最小值
（1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．
知识点03 求值域的一些极致秒杀公式（拓展）
1．二次完全平方比一次型：已知，其最小值在处取得，即其完全平方项零点、一次项答点、极值点（使其导函数为零的点）依次成等差数列.
2．可分解二次比完全平方型：已知，若恰好有 ，则当 时，函数取最值。
3．一次比缺一次项二次型：已知，则当时，函数取最值．
4．所有二次比二次型：已知，
则方程 的解即为函数的极值点．而函数的最值往往在端点处或极值点处取得，另外，行列式的计算规则为.
大招01 观察法
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域或最值.
【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1.（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．R
2.（24-25高一上·云南丽江·月考）函数在的值域为 .
3.（25-26高三上·湖北·期中）已知函数满足，则函数值域为 .
大招02 配方法
对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域或最值.
【典例2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知集合 ，则__________．
【跟踪训练】
1. （25-26高三上·河南开封·月考）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，则（ ）
A． B．
C． D．
3.（25-26高三上·江西南昌·月考）函数的定义域为，则函数的值域为 ．
大招03 图象法
作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域或最值.
【典例3】（25-26高三上·浙江杭州·期中）若，记，则函数的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．12
【跟踪训练】
1．（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2. （25-26高三上·河南开封·月考）设函数．
(1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象；
(2)写出函数的单调递增区间和值域．
3.给定函数，，．用表示，中的较大者，即.

(1)请用图象法表示函数，注：画出上的图象即可；
(2)写出函数的值域；
(3)若，则求a的值．
大招04 分离常数法
适用于形如的分式函数，第一步，对函数变形成形式；第二步，求出函数在定义域范围内的值域或最值.
【典例4-1】（25-26高三上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【典例4-2】（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练】
1.（25-26高三上·重庆云阳·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25高一上·江苏徐州·月考）函数的值域为（ ）.
A． B． C． D．
3．函数的值域是 ．
4．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，用表示不超过的最大整数，则函数的值域为________.
大招05 判别式法
将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；适用于形如的函数
将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的值域或最值.
【典例5】（2026高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ．
【跟踪训练】
1.（25-26高三上·江苏扬州·期中）若实数，，满足，.用表示，，中最小的数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高三·四川成都·期中）函数的值域为 ．
3．（2025高一·浙江宁波·期中）函数，的值域为 ．
大招06 换元法
通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域或最值.
【典例6】（2026高三·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（25-26高一·福建厦门·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高三·辽宁·期中）函数的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．
3．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一·全国·假期作业）函数的值域为 ．
大招07 单调性法
求函数值域或最值时，如果能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域或最值.
【典例7】（25-26高三上·全国·期末）函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
3．（2026·湖南·三模）已知函数且在上的值域为，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
大招08 基本不等式法
形如的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①；②（或）为定值；③取等号的条件为，三个条件缺一不可；
【典例8】（25-26高三上·广东佛山·期中）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（ ）
A．2 B．4
C．3 D．6
2．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）函数，的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
3．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
4．（2027高三·全国·专题练习）函数的值域为
大招09 反解法
根据函数解析式反解出或x的关系式，根据或x的关系式1的取值范围转化为关于的不等式(组)求解
【典例9-1】（2026·河北雄安·三模）函数的最大值为________．
【典例9-2】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）函数的值域是__________.
【跟踪训练】
1.（24-25高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高三上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为______；
3．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
大招10 平方法
针对含两个根号的函数，先确定定义域。对函数y平方，展开后分离根号项，将根号内表达式转化为二次函数求其范围，进而得到的范围，结合y的正负性，最终确定函数的值域或最值。
【典例10】（2027高三·全国·专题练习）函数的值域为
【跟踪训练】
1．（2025高一·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 ．
大招11 赋值法
对于抽象函数的值域问题，往往利用赋值法求出函数的解析式，再求其值域，或借助函数的单调性和奇偶性通过赋值求得其最值，从而得到其值域
【典例11】（2026·河南许昌·三模）已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
【跟踪训练】
2．(多选)（25-26高一上·浙江金华·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若存在使得，则的最小正周期为
C．为偶函数
D．的值域为
2．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知满足，且，则的值域为_____
3．（25-26高三下·河南焦作·阶段检测）函数满足：对任意，，且，则的最小值是________．
大招12 构造方程或不等式（组）法
对于由函数值域（或最值）求参的问题，往往先确定函数值域表达式，转化为方程（或不等式）有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性.
【典例12】（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（2026高三·河北保定·阶段练习）设函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026高三·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高二·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ．
4．（2027高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则的范围为 ．
2．（2026高三·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2026·福建·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026高三·全国·竞赛）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知函数的值域是，则（ ）
A．1 B． C． D．2
7.（25-26高三上·重庆·阶段检测）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C．-1 D．
10．(多选)（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数对任意，总有，当时，，若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C． D．在上的最小值为-6
11.（25-26高三上·江苏南京·期中）函数的最大值为 ．
12．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于__________．
13．（2026·北京房山·二模）我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为____．
14．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知实数满足，则的取值范围为__________.
15．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数，．若，，，则a的取值范围是________．
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