资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
解题大招15 函数对称性和周期性秒杀大招
知识点01 函数周期性结论全归纳
设是不为0的实数，对定义域内任一自变量的值：
（1）的一个周期T=.
（2）的一个周期T=.
（3）的一个周期.
（4）（为常数）的一个周期T=.
提示：，两式相减可得：
（5）（为常数）的一个周期T=.
（6）的一个周期T=.
提示：，相加，得，则T=.
（7）的一个周期T=.
（8）的一个周期T=.
知识点02 同一个函数的对称性（自身对称）
1．对称性和周期性的区别
若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.
2．函数图象本身的对称性(自身对称)
⑴图象关于直线对称.
推论1: 的图象关于直线对称.
推论2、的图象关于直线对称.
推论3、)的图象关于直线对称.
⑵的图象关于点对称.
推论1、的图象关于点对称.
推论2、的图象关于点对称.
推论3、的图象关于点对称.
3．函数的对称性与奇偶性的关系
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
知识点03 两个函数间的对称性（相互对称）
函数与图象关于直线对称.
（提示：令与中的相等，即，
从而可求得对称轴方程为）
推论1:函数与图象关于直线对称.
推论2:函数与图象关于直线对称.
推论3:函数与图象关于直线对称.
2．函数与图象关于点对称.
（提示：令与中的相等，即，
从而可解得对称中心的横坐标为）
推论1: 函数与图象关于点（0，0）对称.
推论2: 函数与图象关于点（，0）对称.
推论3: 函数与图象关于点（-，0）对称.
3．其他的一些特殊的对称结论：
⑴与图象关于y轴对称.
⑵与图象关于原点对称函数.
⑶函数与图象关于x轴对称.
⑷函数与其反函数图象关于直线对称.
知识点04 双对称性和周期性的关系偶函数的特性
1．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜.
2．若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜.
3．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜.
题型01 函数周期性结论的应用
解与函数的周期性有关的问题 1.根据题意，求出函数的周期(可以利用知识点1所介绍的二级结论秒出函数的周期). 2.利用函数的周期性，将其他区间上的求值、求零点个数、求详解式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
【典例1-1】定义在R上的函数对任意x∈R，都有，，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】
【分析】由及所求可联想到周期性，所以考虑
，所以是周期为4的周期函数，故(2026)=f(2)，而由已知可得，所以.
【典例1-2】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得.
【详解】，则，
，即的周期为，
结合奇偶性，周期性，故，
在上满足，说明的对称轴为，
则，解得，
又根据知，而，
则，于是，
即，解得
【典例1-3】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得.
【详解】，则，
，即的周期为，
（秒杀：的一个周期为）
结合奇偶性，周期性，故，
在上满足，说明的对称轴为，
则，解得，
又根据知，而，
则，于是，
即，解得
【跟踪训练】
1．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】B
【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知详解式可求解.
【详解】因为函数满足，
所以，即是以4为周期的函数.
由题意知奇函数的自变量可取0，所以.
又因为当时，，所以，解得，
所以当时，，
所以 .
2.（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】D
【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解.
【详解】因为是奇函数，所以.
由，令，得，故，
由，令，得，
所以，即，
所以，故以4为周期，
（秒杀：因为（为常数）的一个周期T=.
而，所以以4为周期）
由，则，，
，，
，，
，，
所以
.
3．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
【答案】B
【分析】利用函数的周期性求解.
【详解】由 ，得，
两式相减：，周期，
(秒解：（秒杀：因为（为常数）的一个周期T=.
而，所以以为周期）
，
原式：，
令： ，
关于对称，得,
所以，因为，得：，
，即
，
，
，
，
一个周期：，
一个周期和：，
.
题型02 函数自对性结论的应用
1．轴对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x). (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称. 2．中心对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x). (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 注意：对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2关于点，也就是关于点对称.
【典例2-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可知，进而得到，则，再由基本不等式求解即可．
【详解】，
关于点对称，又，
在和单调递减，且时，时，，
又，，
，
又（当且仅当时取等），
则.
【典例2-2】(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为　　　　　.
【答案】[－1，0]
【详解】因为函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)关于直线x＝2对称，又因为f(x)在上单调递减，则f(x)在上单调递增，则由f≤f(1)得，即≤1，解得－1≤x≤0，则解集为[－1，0].
【跟踪训练】
1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对称性，结合定义域可知对称中心为，再根据定义式求出即可判断A；代入计算即可判断B；利用函数单调性判断CD即可．
【详解】因为函数的定义域是，所以，
所以，所以A错误；
因为，所以，所以B正确；
，
又在上单调递增，在上也单调递增，
所以是增函数，又，所以，所以C错误；
因为，所以，
又因为，所以，所以D错误．
2．（多选）（2026秋·辽宁丹东·高三期末）设函数，则（ ）
是奇函数 B．是偶函数
的图象关于点中心对称 D．的图象关于直线轴对称
【分析】直接利用函数对称性的定义验证.
【答案】C
【详解】对于选项A：，则不是奇函数，故A错误；
对于选项B：，则不是偶函数，故B错误；
对于选项C：，故的图象关于点中心对称，故C正确；
对于选项D：，则的图象不关于直线轴对称，故D错误；
故选：C.
【题后反思】判断函数的对称性，一般直接通过函数的定义来进行，不要忽略对定义域的考查，函数定义域的对称性是函数具备对称的前题.
3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，，，
则，
则的图象的对称中心是
4. (2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形.
【证明】要使函数f(x)有意义，则＞0，故0＜x＜2，即f(x)的定义域为x∈(0，2)，f(2－x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln－ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a，
故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称.
题型03 两个函数对称性结论的应用
1．函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝.
2．函数与图象关于点对称.
【典例3-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　)
A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称
【答案】A
【详解】设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A.
【典例3-2】(2025·河北邯郸模拟)将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线y＝4x关于直线x＝1对称，则f＝(　　)
A.－4 B.－3
C.－2 D.4
【答案】D
【详解】函数y＝42－x的图象与函数y＝4x的图象关于直线x＝1对称，将y＝42－x的图象向下平移4个单位长度得到y＝42－x－4的图象，再将y＝42－x－4的图象向左平移1个单位长度得到y＝42－(x＋1)－4＝41－x－4的图象，即f(x)＝41－x－4，故f＝－4＝4.故选D.
【跟踪训练】
1．函数的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线关于轴对称,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数的图象关于轴对称的图象的函数详解式为,而函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线的图象关于轴对称,所以函数的详解式为,故选D.
2．(2025·福建厦门模拟)函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，其中m＝(　　)
A.3 B.
C.－1 D.－
【答案】D
【详解】设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x'，y')，则则y'＝f(1－2m＋x')，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－.故选D.
3.设函数与的图象关于直线对称,且,则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】设是函数的图象上任意一点,它关于直线对称的点的坐标为,由题意知在函数的图象上,所以,解得,即 ，
所以,解得,故选C.
题型04 利用函数的双对称性秒求函数周期
一个函数的图象如果具有两条对称轴，或具有两个对称中心，或具有一个对称中心及一条对称轴，则这这个函数一定是周期函数，常利用此结论秒求周期.
【典例4-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，都有，
即，所以为偶函数，
由可得，即，
所以是以4为周期的偶函数，
因此，
由，令可得，
所以．
【典例4-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值.
【详解】因为．所以，
又因为，所以，
即，所以的图象关于点对称，且．
又因为的图象关于直线对称，所以，且
所以，则，
所以，所以是函数的一个周期．
所以．
又因为，所以．
所以，所以.
【跟踪训练】
1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ）
A． B．1 C．3 D．7
【答案】C
【分析】首先根据偶函数的定义结合已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为，
所以，所以，所以的周期为.
因为时，，所以
2．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为.
因为，所以，即，
所以，
所以，即.
题型05 由函数的奇偶性确定函数的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
【典例5-1】已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】当涉及到函数的奇偶性时，直接利用结论或者利用函数图象平移得到与函数相关的性质，从而作出判断，也可以寻找形似函数来进行判断.
【详解】（法一）因为为奇函数，所以关于点对称，
又是上的奇函数，过，点，所以过，所以有；
又为偶函数，所以关于对称；所以有，
又，所以，所以的周期为4，
所以由，得，所以为奇函数，所以①②④正确.
（法二）举例：符合题意，再验证得到①②④正确.
故选：D.
【温馨提醒】当函数既有对称轴、又有对称中心，可以取为正弦型或余弦型函数来进行判断，化抽象函数为具体函数，直接明了.
【典例5-2】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断．
【详解】因为是定义域为的偶函数，则，
故关于对称；
因为在上单调递减，故在上单调递减；
则在上单调递增；
则等价于
即，左右两边平方可得，
即，解得，
故不等式的解集为．
【跟踪训练】
1．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性和单调性逐一判断即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
令得，A错误；
令得，C错误；
又函数在上单调递增，，
所以，，B错误，D正确.
2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（ ）
A．的周期为4 B．的图象关于点对称
C． D．
【答案】C
【分析】先根据、 为奇函数，推导出 、 的对称性与周期性，再据此逐一验证选项即可.
【详解】 为奇函数，
， ①
则关于点 中心对称，
对①两边求导：，，
即 关于直线 对称，即， ②
为奇函数，
，
令 ，则 ，代入得：，
即 关于点 对称，故， ③
联立②③：，
令 ，则 ，代入得：，
即 ，故 ，
的周期为 ，且，
由 及 ，则，
令 ，得 ，
又 关于 对称，故 ，
令 ，代入①式：，即 ，
由 ，令 ，得 ，
又 ，令 代入 ，得：
，所以，即，
故 ，得 ，所以，
所以，
即 的周期为 ；
选项A：由 ，可知 周期为 ，A错误；
选项B：由③式 ，可知 的对称中心为 ，而非 ，B错误；
选项C由 可得 ，
由 关于点 中心对称，即 ，
令 ，得 ，故，即，
又
综上：，C正确；
选项D：由 关于直线 对称，得 ，
又由 为奇函数，且关于点对称，
即 ，令 ，得 ，
由 ，令 ，得 ，故 ，
由 ，令 ，得 ，
由为奇函数求导知关于直线对称，即，
由 关于直线 对称，，
由得 ，结合 ，
令 ，得 ，
又令 ，，联立得 ，故 ，
因此 ，
因为 周期为 ，一个周期内函数值之和为 ，且，故：
，D错误.
1．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若函数的图象关于点对称，则对定义域内任意满足，结合函数定义域先确定对称中心横坐标的可能值，再代入验证即可.
【详解】∵ 要使函数有意义，则，即，解得，故函数定义域为.
若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值：
，
，
∴ ，
即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为.
2．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．在时取最小值 D．
【答案】D
【详解】令，则，故，故A错误；
因为，所以的函数图象关于点中心对称，故B错误；
因为，都有，
所以在上单调递增，
因为的函数图象关于点中心对称，所以在上单调递增，
则在上单调递增，则无最小值，故C错误；
，故D正确.
3．（25-26高一下·江苏镇江·期末）函数与的图象在上有个不同的交点，则（ ）
A．4052 B．4053 C．8104 D．8105
【答案】B
【分析】根据两函数的对称性可求出它们的对称中心为，结合图象求出它们在上交点的总个数，即可求得结果.
【详解】易知函数关于点成中心对称，
又函数满足；
因此函数也关于点成中心对称，
易知函数的最小正周期为，其值域为
因为函数在上单调递减，且当时，，当，；
可知的值域为；
画出两函数在同一坐标系下的图象如下图：
根据图象可知两函数在上除了之外，共有四个交点，
且由对称性可知这四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和满足，
再由周期性可知两函数在上除了之外共有个交点，
结合对称性可知.
4．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先由抽象函数判断函数的对称性，并根据条件，采用赋值法，判断AB选项，再利用赋值，判断函数的周期性，再由对称性和周期性判断CD.
【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，所以，
在中，令，得，
又，所以，故A正确；
令，得，即，得，
而，故B错误；
由已知得，则，得，
那么，所以函数是周期为的周期函数，
故，故C正确；
因为函数的图象关于直线对称，所以，
因为函数的周期为，所以，所以，故D正确.
5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据详解式得关于直线对称，利用导数判断在上单调性，再应用对称性和单调性判断函数值的大小即可.
【详解】由，
所以关于直线对称，
当时，，则，
所以在上单调递增，
由，则，而，
所以，故，即，
由，故，即，
综上，.
6．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过函数图像平移的性质得到和的对称中心，从而得到，再令，解得两点的横坐标，再求出的值.
【详解】可看成是平移得到，所以对称中心为.
，
令，则，
所以为奇函数，对称中心为.
，的对称中心为.
和有相同的对称中心,，即.
则直线为，
令，解得，
由题意知两点在直线上，
所以.
7．（25-26高三·全国·一轮复习）函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】原题条件转换为函数与函数得图象有三个交点，故只需画图分析即可得解.
【详解】由已知得，
则，
所以函数的图象关于直线对称，关于原点对称，
又，
进而有，所以函数是以4为周期的周期函数.
由有三个零点可知，函数与函数的图象有三个交点，
当直线与函数图象在上相切时，
由，即，
故方程有两个相等的实根.
由，解得，
当时，，作出函数与函数的图象如图：
由图知当直线与函数图象在上相切时，，
数形结合可得在上有三个零点时，实数满足，
再根据函数的周期为4，
可得所求的实数的范围为.
8．(多选)（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为奇函数 B．函数为奇函数
C．函数是偶函数 D．函数是偶函数
【答案】BCD
【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可.
【详解】由为偶函数，得，即，
所以的图象关于直线对称.
由及，得.
令，则，所以，
又，所以，即.
所以，因此是偶函数，故A错误，C正确.
由，得，
又是偶函数，所以，
所以，故为奇函数，故B正确.
由，得，又是偶函数，所以，
所以，即是偶函数，故D正确.
9．(多选)（25-26高二下·浙江宁波·期末）定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（ ）
A．函数为偶函数 B．函数为周期函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在内至少有个零点
【答案】ABD
【分析】根据已知及奇偶性的定义判断A，再由已知及偶函数性质判断B，最后利用奇偶性、周期性研究函数的对称性和零点判断C、D.
【详解】因为是偶函数，所以，
因为，所以，
将 替换为，得，
结合，可得，即，
A：由上推导可知，所以函数为偶函数，正确，
B：由，可得，
所以函数是周期为的周期函数，正确，
C：由（关于 轴对称）和周期为，
因为，所以，而，
因此，
则函数图象关于点对称，不是关于直线 对称，错误；
D：在中，令，得，
因为是偶函数，所以，代入得，解得，
结合周期为，可知均为，
同理，由，可知也为，
在区间内，所有奇数点都是函数的零点，共有个，
因此至少有个零点，正确.
10．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________
【答案】4050
【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可.
【详解】因为为奇函数，
所以，即，
所以函数关于中心对称；
因为，所以关于对称，
所以函数是周期为4的周期函数，
所以在中令，又，
则.
令，则；
令，则，
所以.
则
11．（2026高一·全国·专题练习）已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____.
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性，对称性以及函数图象和性质，结合函数零点的定义分析即可.
【详解】定义在上函数满足，可得为奇函数，
又由，可得有对称轴，
由，可得，
则最小正周期为4，
函数的零点即函数与函数图象交点的横坐标，
又当时，，
在同一坐标系内作出函数与函数图象如下：
两函数图象有3个公共点，
则函数的零点个数是3.
12．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值;
(2)设函数．
①求的值：
②证明函数的图象关于点对称．
【答案】(1)；
(2)①；
②证明：因为，其定义域为，
所以，
所以，
所以函数的图象关于点对称．
【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可；
（2）①由题意可得，将代入求解即可；
②证明即可.
【详解】（1）因为为奇函数，
由，得，
即，
当时，得，定义域为，不满足题意；
当时，由，得，
又因为是奇函数，
故定义域关于原点对称，
所以，
解得；
当时，，
定义域为，关于原点对称，
且，满足题意；
所以；
（2）①因为，
所以；
②略；
13．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：曲线是轴对称图形；
(3)若，恒成立，求的最大值和的最小值．
【答案】(1)
(2)令，
则，
所以曲线关于直线对称；
(3)的最大值为，的最小值为．
【分析】（1）首先求出导函数，求出切线斜率，再根据点斜式方程求切线方程.
（2）根据轴对称的定义证明即可.
（3）利用分离常数，得到，再利用导数得到递增，得到的最小值；先由必要条件得，再验证该取值下差函数非正，从而确定的最大值.
【详解】（1）由题知，又，，
所以切线方程为，即．
（2）略
（3）由题知，令；
由于关于直线对称，故只需考虑即可．
则，令，
则，
由，得，．
在上单调递增，在上单调递减，，
所以当，，，单调递增，
所以．即的最小值为．
由题意，，恒成立，令，，
因为，所以，即，即，
下面证明时，恒成立，
易知关于对称，故考虑即可，
；记，则；
在必有一解，
且在单调递减，在单调递增．
又，所以，从而．
即，．
所以的最大值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
解题大招15 函数对称性和周期性秒杀大招
知识点01 函数周期性结论全归纳
设是不为0的实数，对定义域内任一自变量的值：
（1）的一个周期T=.
（2）的一个周期T=.
（3）的一个周期.
（4）（为常数）的一个周期T=.
提示：，两式相减可得：
（5）（为常数）的一个周期T=.
（6）的一个周期T=.
提示：，相加，得，则T=.
（7）的一个周期T=.
（8）的一个周期T=.
知识点02 同一个函数的对称性（自身对称）
1．对称性和周期性的区别
若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.
2．函数图象本身的对称性(自身对称)
⑴图象关于直线对称.
推论1: 的图象关于直线对称.
推论2、的图象关于直线对称.
推论3、)的图象关于直线对称.
⑵的图象关于点对称.
推论1、的图象关于点对称.
推论2、的图象关于点对称.
推论3、的图象关于点对称.
3．函数的对称性与奇偶性的关系
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
知识点03 两个函数间的对称性（相互对称）
函数与图象关于直线对称.
（提示：令与中的相等，即，
从而可求得对称轴方程为）
推论1:函数与图象关于直线对称.
推论2:函数与图象关于直线对称.
推论3:函数与图象关于直线对称.
2．函数与图象关于点对称.
（提示：令与中的相等，即，
从而可解得对称中心的横坐标为）
推论1: 函数与图象关于点（0，0）对称.
推论2: 函数与图象关于点（，0）对称.
推论3: 函数与图象关于点（-，0）对称.
3．其他的一些特殊的对称结论：
⑴与图象关于y轴对称.
⑵与图象关于原点对称函数.
⑶函数与图象关于x轴对称.
⑷函数与其反函数图象关于直线对称.
知识点04 双对称性和周期性的关系偶函数的特性
1．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜.
2．若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜.
3．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜.
题型01 函数周期性结论的应用
解与函数的周期性有关的问题 1.根据题意，求出函数的周期(可以利用知识点1所介绍的二级结论秒出函数的周期). 2.利用函数的周期性，将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
【典例1-1】定义在R上的函数对任意x∈R，都有，，则等于( )
A. B. C. D.
【典例1-2】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例1-3】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【跟踪训练】
1．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
2.（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ）
A． B． C．1 D．9
3．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
题型02 函数自对性结论的应用
1．轴对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x). (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称. 2．中心对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x). (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 注意：对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2关于点，也就是关于点对称.
【典例2-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为　　　　　.
【跟踪训练】
1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2026秋·辽宁丹东·高三期末）设函数，则（ ）
是奇函数 B．是偶函数
的图象关于点中心对称 D．的图象关于直线轴对称
3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
4. (2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形.
题型03 两个函数对称性结论的应用
1．函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝.
2．函数与图象关于点对称.
【典例3-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　)
A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称
【答案】A
【详解】设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A.
【典例3-2】(2025·河北邯郸模拟)将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线y＝4x关于直线x＝1对称，则f＝(　　)
A.－4 B.－3
C.－2 D.4
【跟踪训练】
1．函数的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线关于轴对称,则（ ）
A． B． C． D．
2．(2025·福建厦门模拟)函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，其中m＝(　　)
A.3 B.
C.－1 D.－
3.设函数与的图象关于直线对称,且,则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
题型04 利用函数的双对称性秒求函数周期
一个函数的图象如果具有两条对称轴，或具有两个对称中心，或具有一个对称中心及一条对称轴，则这这个函数一定是周期函数，常利用此结论秒求周期.
【典例4-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【典例4-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ）
A． B．1 C．3 D．7
2．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
题型05 由函数的奇偶性确定函数的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
【典例5-1】已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④
【典例5-2】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练】
1．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（ ）
A．的周期为4 B．的图象关于点对称
C． D．
1．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．在时取最小值 D．
3．（25-26高一下·江苏镇江·期末）函数与的图象在上有个不同的交点，则（ ）
A．4052 B．4053 C．8104 D．8105
4．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高三·全国·一轮复习）函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
8．(多选)（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为奇函数 B．函数为奇函数
C．函数是偶函数 D．函数是偶函数
9．(多选)（25-26高二下·浙江宁波·期末）定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（ ）
A．函数为偶函数 B．函数为周期函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在内至少有个零点
10．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________
11．（2026高一·全国·专题练习）已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____.
12．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值;
(2)设函数．
①求的值：
②证明函数的图象关于点对称．
13．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：曲线是轴对称图形；
(3)若，恒成立，求的最大值和的最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑